Текст книги "Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики"

Создано людьми, создано для людей

Вот где его замечание о тостерах обретает полный смысл. Когда человек сталкивается с математическим текстом, задача не в том, чтобы прочесть его с первой до последней страницы, как читал бы робот. Задача в том, чтобы уловить мысли между строк, то есть придать интуитивный смысл использованным словам и описанным ситуациям.

Но математические тексты написаны не роботами и не для роботов. Они написаны людьми и для людей. Без нашей способности придать им смысл, без мыслей между строк математических текстов не было бы, как не было бы музыкальных партитур без музыки.

Лучший способ поделиться этим человеческим пониманием – прямое общение между людьми. Это общение о математике ведется на языке людей. Как рассказывает Тёрстон, эффективнее всего оно бывает, когда общаются только двое:

«Наедине люди используют каналы коммуникации, далеко выходящие за пределы формального математического языка. Они жестикулируют, рисуют картинки и диаграммы, издают звуки, используют язык тела».

Когда кто-то только что доказал новую важную теорему, отмечает Тёрстон, зачастую он может объяснить решение за несколько минут в частной беседе двух специалистов по этой теме. Но чтобы объяснить тот же самый результат в докладе перед аудиторией специалистов, нужно закладывать час. А чтобы передать этот результат письменно, нужна статья на 15–20 страниц, на понимание которой тот же самый специалист потратит несколько часов или даже дней.

Перейти от масштаба минут к масштабу дней – значит потратить в 500 раз больше времени. На самом деле все еще хуже, потому что в процессе мы теряем энтузиазм.

Волшебный флюид

Понимание математики – это не какой-то волшебный флюид, передающийся взмахом руки, но оно весьма на него похоже. Если хочешь вникнуть в математическое понятие, самый короткий путь идет через свободную дискуссию с тем, кто реально его понимает.

Профессиональным математикам это хорошо известно. Истинный предмет их интереса – их собственные трудности в понимании математики. У них ровно та же проблема, что у двоечников. Только они знают решение.

Когда я учился в аспирантуре, я смог продвинуться в понимании математики не благодаря чтению книг. Тем, что я смог совершить впоследствии, я во многом обязан беседам с Рафаэлем. Мне очень повезло провести столько времени с кем-то настолько компетентным и готовым щедро делиться своим знанием.

Объяснения Рафаэля никогда не следовали строгим правилам. Иногда они были неверны. Зато всегда были просты и человечны. Они придавали смысл. Порождали желание узнавать. Рафаэль объяснял мне, что на самом деле означает та или иная теорема. Он рассказывал, как когда-то была придумана та или иная идея и как ее следовало понимать «по сути».

Понимать что-то по сути – значит быть способным интуитивно объяснить это самому себе и назвать причину, по которой это истинно, уловить суть всей истории. Если бы математика была только вопросом логики, такой задачи бы не существовало. Из логического рассуждения нельзя извлечь никакой отдельной сути.

Объяснения по сути, с размахиванием руками, подразумевают, что у слушающего останется неопределенность. С их помощью рассказывают, зачем нужны тостеры и как в них кладут бутерброды, но никогда не дается список деталей тостера. Если вам это действительно интересно, можете обратиться к Определению 7.4 на странице 138.

Важность непосредственного общения объясняет организацию и образ жизни математического сообщества. У астрономов есть телескопы, у физиков есть ускорители элементарных частиц, а у математиков есть свой великий научный инструмент – путешествие.

Путешествия математиков позволяют новым идеям распространяться с эффективностью, которой невозможно добиться другим способом. Часто они бывают долгими. Нужно время, чтобы поболтать, выпить не одну чашку кофе, порисовать на доске и вернуться назавтра к дискуссии с вопросом, который посетил нас при пробуждении. Один японский математик, Кёдзи Сайто, хотел понять мысли между строк в моих статьях – и поэтому он часто приглашал меня в Киото. А мне это позволило лучше понять мысли между строк уже в его статьях. Такие путешествия – часть жизни математиков.

Ясное и наводящее страх

В том же самом классе, где безмолвно страдает двоечник, вполне вероятно, есть отличник, который мог бы все объяснить ему простыми словами. Так почему такого разговора почти никогда не происходит?

Определенную роль играет уверенность двоечника, что он по природе хуже. Он слишком подавлен, чтобы задать правильные вопросы – по-настоящему простые, те самые, которые выглядят слишком глупыми, а на самом деле в них вся суть.

Часть ответственности лежит и на преподавателях. Порой они поддерживают иллюзию, что математика может ограничиться формальными рецептами. Всем нам знакомо зеркальное отражение невероятной пропасти, отделяющей способных к математике от неспособных, – эта же пропасть отделяет хороших учителей математики от плохих.

Попробуем объяснить. В математическом мире тостеры поставляются разобранными на детали. Каждый должен собрать свой экземпляр у себя в голове. Плохой учитель математики – тот, который пересказывает 198 этапов сборки тостера и делает вид, что на этом вся история заканчивается. Хороший – тот, кто прилагает все усилия, чтобы объяснить, что такое вообще тостер. Он постоянно смотрит в глаза ученикам, потому что именно по их взгляду он увидит, поняли ли они. Первый читает курс для роботов, второй – для людей.

Вываливать 198 этапов сборки тостера на человека, который не понимает его назначения, – акт неслыханного насилия. Все равно что воспитывать ребенка, не рассказывая ему сказок.

Не думаю, что плохие учителя математики намеренно ведут себя как садисты. Возможно, они не считают человеческое понимание центром математической задачи, потому что сами получили неправильное образование. Возможно, они и сами не видят тостер у себя в голове. А может, наоборот – когда слишком хорошо представляешь в голове тостер, есть склонность забывать, что не все так могут.

«То, что для чьего-то ума выглядит ясным, для другого может выглядеть пугающе», – пишет Тёрстон.

Сложность в передаче мысленных образов, их мимолетность и глубокая субъективность, неспособность нашего языка точно передать их и склонность нашей интуиции ошибаться – это и есть те причины, которые привели к изобретению логического формализма.

Математика для Тёрстона, как и для всех математиков, – чувственный и плотский опыт, идущий впереди языкового выражения. В сердце системы, делающей этот опыт возможным, лежит логический формализм. Книги по математике нечитабельны, но всё же они нам нужны. Это инструмент, который позволяет в письменной форме поделиться настоящей математикой, единственной, которая действительно имеет значение, – тайной математикой, математикой, что находится у нас в голове.

Остается одна большая загадка.

Как людям удается находить в себе смелость и желание писать нечитаемые книги, безразличные к читателям и такие же сухие, как инструкции к тостерам? Что вообще может их мотивировать? В каком состоянии ума происходит математическое творчество?

Это тема следующей главы.

Глава 7
Позиция маленького ребенка

«Дорогой Серр, спасибо за все статьи, которые ты мне любезно прислал, и за твое письмо. У меня никаких новостей. Закончил треклятое сочинение по гомологической алгебре».

Так начинается письмо Александра Гротендика Жан-Пьеру Серру от 13 ноября 1956 года. Удивителен его небрежный тон – особенно если знаешь, кто такой Серр, кто такой Гротендик и о чем это письмо.

Жан-Пьер Серр – один из величайших математиков XX века. Научная карьера не измеряется полученными наградами, но когда человек получает их все – это определенно что-то значит. Серр получил Филдсовскую премию в 1954 году в 27 лет – рекордно юный возраст, и этот рекорд не побит до сих пор. Премия вручается математикам моложе 40 лет, и долгое время не было другой награды за выдающуюся математическую карьеру в целом. В тот год перед вручающим ее комитетом стояла ответственная задача: из всех живущих математиков надо было выбрать того, кто заслуживал получить ее первым. И премия была присуждена Серру.

Что до Гротендика – он даже больше, чем великий математик. Еще задолго до своей смерти в 2014 году он стал легендой.

Он один из тех редких математиков (их всего несколько человек за всю историю), чей вклад не ограничивается глубокими результатами или эффектными теориями. Гротендик придумал свой способ подходить к математическим задачам, настолько новый и плодотворный, что он как будто изменил саму природу математики.

Именно поэтому его часто считают величайшим математиком ХХ века, если это понятие вообще имеет какой-то смысл.

Математик Александр Гротендик[5]5
  Alamy


[Закрыть]

Что же касается «треклятого сочинения по гомологической алгебре», речь идет о статье «О некоторых вопросах гомологической алгебры», вышедшей в 1957 году в японском научном журнале Tohoku Mathematical Journal.

Эта статья стала первым опытом Гротендика в тематике исследований, которая принесет ему известность. Под влиянием Серра он приобщился к алгебраической геометрии. Между молодыми людьми завязалась математическая дружба, которой суждено было войти в историю как одной из самых плодотворных. Позже Гротендик скажет о своей встрече с алгебраической геометрией, что это было все равно что «вдруг обрести вновь "землю обетованную" с ее сказочными богатствами».

Описанию этой земли обетованной Гротендик посвятит 15 лет своей жизни. Письмо он называл сердцем своей методики. Вплоть до того, что заявлял: «Занимаясь математикой, человек прежде всего пишет».

Эта страсть к писанию делает его письмо к Серру глубоко загадочным. Ведь «треклятое сочинение» – это всего лишь первый рассказ о путешествии Гротендика в эту землю обетованную. Но редактура кажется ему настолько нудным занятием, что завершение этой работы, занимавшей его больше года, он вовсе не считает событием: «У меня никаких новостей».

Именно этими словами Гротендик сообщает о завершении исторической статьи.

Может быть, он шутил? Вряд ли. В интервью 2018 года Серр рассказывает, что одной из особенностей Гротендика было как раз полное отсутствие чувства юмора: «Не припомню, чтобы он когда-либо отпускал остроты. Например, про математику с ним шутить было нельзя».

За этим кажущимся парадоксом скрывается глубокая тайна о природе математической работы. Отстраненность и небрежность Гротендика могут казаться непонятными, но когда вы узнаете больше о его интеллектуальных действиях, вы поймете, что все это прекрасно согласуется.

Шутка вышла чересчур неуклюжей

Среди широкой общественности все знают, кто такой Эйнштейн, но мало кто знает Гротендика.

Сравнивать их не так уж нелепо. Эйнштейн совершил революцию в представлении физиков о пространстве и времени. Гротендик совершил революцию в представлении математиков о понятии пространства. Более того, он даже изобрел заново само понятие точки и предложил геометрический взгляд на понятие истины.

Некоторые математики даже считают, что сравнение с Эйнштейном несправедливо. Труды Эйнштейна они находят прекрасными, изысканными, блестящими, восхитительными. Они говорят, что это произведения очень сильного автора. Что же до трудов Гротендика, они находят их необыкновенными, головокружительными, великолепными и ужасающими. Они говорят, что подобные вещи не могут быть созданы человеком. Идеи Гротендика не всегда просто понять, но, когда понимаешь хоть немного, кажется невероятным, что кому-то могло такое прийти в голову.

Жан-Пьер Серр не стесняется говорить о творчестве Гротендика, что лично он не смог бы создать такого, поскольку «это требует огромной силы». Когда речь заходит о Гротендике, Серр упоминает «мощь, исходившую из его головы» и говорит о сверхъестественной силе его ума: «И в физическом, и в интеллектуальном плане – одинаково необыкновенно. Не знаю никого, в ком было бы столько силы. Я знаю людей с очень сильным интеллектом, но Гротендик – это просто животная мощь».

Гротендик это мнение не разделяет. Он не считает себя одареннее других. Его необыкновенный творческий потенциал происходит не отсюда:

«Эта власть – отнюдь не особый "дар", как, скажем, исключительная способность рассудка […] Подобные дары без сомнения драгоценны и уж, конечно, достойны зависти тех, кто (как я) не был от рождения наделен ими так щедро».

Гротендик дает совершенно другое объяснение: «Годны ли в дело изобретательность и фантазия искателя, определяется степенью напряженности его внимания, с каким он прислушивается к голосам вещей».

Мы словно в точности возвращаемся к словам Эйнштейна – нашей точке отсчета в начале главы 1: «У меня нет особого таланта. Я просто страсть как любопытен».

Но Гротендик идет еще дальше. И все же он знает, что никто не станет ему верить, потому что такие заявления никто никогда не принимает всерьез:

«Стоит лишь упомянуть о чем-нибудь подобном, как со всех сторон – на лице ли самого безнадежного тупицы, на устах ли ученейшего из ученых, о чьих заслугах простому смертному и мечтать грешно, – встречаешь одну и ту же, стесненную, понимающую улыбку. Дескать, шутка вышла чересчур неуклюжей».

У Эйнштейна была репутация шутника. Насчет Гротендика можно не беспокоиться – он не шутит никогда.

Жаль, что у нас так и не состоялся этот пресловутый разговор с Эйнштейном, где он раскрыл бы нам секреты своего творческого потенциала, согласился бы ответить на наши вопросы и рассказал бы правду в подробностях, как он это делает.

А вот Гротендик написал на эту тему текст размером больше тысячи страниц. Там он в точности описывает, что происходит у него в голове, когда он занимается математикой. Он признается в полной неспособности прочесть какой бы то ни было математический текст, даже простой, пока не создаст в мыслях нужные образы. Признается и в том, что не способен следить за конференциями, потому что для него все происходит слишком быстро. Объясняет, как справляется с ощущением полного непонимания. А главное – точно указывает, где для него во всем этом таится удовольствие.

Этот необыкновенный рассказ называется «Урожаи и посевы». Рукопись долго оставалась неизданной. Она передавалась из-под полы более 35 лет, и нужно было дождаться 2021 года, чтобы нашелся издатель, решившийся опубликовать ее[6]6
  Речь о французском издании. Сокращенный русский перевод вышел в 2002 году.


[Закрыть].

Уникальное свидетельство

«То, что ведет и преобладает в моей работе, является ее душой и смыслом существования, – мысленные образы, возникающие в ходе работы, дающие возможность приблизиться к реальности математических объектов»[7]7
  Перевод Екатерины Поляковой.


[Закрыть].

«Всю жизнь я был неспособен прочесть математический текст, каким бы безобидным или упрощенным он ни был, если мне не удавалось придать этому тексту "смысл" в понимании моего опыта математических объектов, то есть когда текст не вызывал во мне мысленных образов и интуиции, которые вдохнули бы в него жизнь»[8]8
  Перевод Екатерины Поляковой.


[Закрыть].

Эти абзацы, как и все процитированные здесь, взяты из «Урожаев и посевов».

Рассказ Гротендика – долгий монолог, увлекательный, но обескураживающий, с пророческими нотками. Не могу сказать, что рекомендую вам его прочесть. Во всяком случае, только с серьезным предупреждением: это монструозный текст, длинный и трудный, местами блестящий, местами невнятный. Он множит метафоры и аллегории, усеян примечаниями и сносками, у которых есть собственные примечания и сноски. На протяжении сотен страниц автор блуждает в личных обидах и необоснованных упреках, отчего рассказ становится откровенно нечитаемым.

Это текст только для посвященных, но даже им крайне трудно добраться до конца.

Однако же все согласны, что «Урожаи и посевы» – самое потрясающее свидетельство о математическом опыте, когда-либо написанное. Как и многие мои друзья и подруги из мира математики, я нашел там моменты ослепительной ясности и правильности.

Не раз я останавливался при чтении и говорил себе: «Он прав. Так и есть. В этом и тайна. Вот так все в голове и происходит. На самом деле именно через эти мысленные действия, очень простые, вот эти действия, которые выглядят совершенно невинно, но которые никто и не думает выполнять, становишься очень сильным в математике. Никогда не читал ничего настолько же важного. То, что рассказывает Гротендик, надо бы суметь объяснить всем».

И все же я знаю, что мысль Гротендика в необработанном виде слишком загадочна, чтобы ее могли услышать за пределами ограниченного круга специалистов.

В итоге у нас в некотором роде та же проблема, что и с Эйнштейном. Нам не хватает возможности устроить честный разговор, задать простые вопросы. Гротендик пошел дальше, чем Эйнштейн. Он раскрыл нам невероятные подробности. Но, чтобы расшифровать его свидетельство, нужно связать его с нашим конкретным опытом. «Урожаи и посевы» – визионерский, но эзотерический текст, написанный слишком рано – в эпоху, еще не готовую получить это послание, – да еще и слишком одиноким человеком.

Прежде чем поделиться с вами тем, что лично мне запало в память при чтении, что созвучно моему собственному опыту, я хочу рассказать чуть побольше о жизни Гротендика и его выдающейся личности.

Ребенок-дикарь

Александр Гротендик родился в Берлине в 1928 году. Его родители были анархистами, вынужденными бежать от нацистского режима. В 1933 году, когда ему было пять лет, мать передала его на воспитание семье Вильгельма Гейдорна, лютеранского пастора из Гамбурга.

Похоже, что до этого момента Гротендик получал очень своеобразное воспитание, вдохновленное анархистскими принципами его родителей. Его приемная мать Дагмар Гейдорн сразу после знакомства с ним описывала его как ребенка-дикаря, грязного и без тени робости. Доверяя ей сына, Ханка Гротендик попросила, чтобы его никогда не посылали в школу и никогда не стригли ему волосы.

Александр Гротендик в детстве[9]9
  Из открытых источников


[Закрыть]

Гейдорны остригли ему волосы и отправили в школу. Пожалуй, это единственный мирный и «нормальный» период его существования. Он на всю жизнь сохранил привязанность к своей приемной семье.

В апреле 1939 года, опасаясь за безопасность Гротендика (его отец был евреем), Гейдорны посадили его в поезд, идущий в Париж, и там он воссоединился с родителями, бежавшими во Францию. Вскоре после этого его отец был арестован и отправлен в Освенцим, где умер в 1942 году. С 1940 года Гротендик с матерью жили на юге Франции в лагерях для интернированных.

Тогда и стало вырисовываться пристрастие Гротендика к математике. Дальнейшее похоже на штампы голливудского кино. В послевоенной Франции мать и сын не имели гражданства. Они жили бедно, зарабатывая уборкой домов и сбором винограда. Юного студента заметил один из преподавателей и написал ему рекомендательное письмо. В 1948 году, в возрасте 20 лет, Гротендик отправился в Париж и встретился там с несколькими величайшими математиками того времени.

Один из них дал Гротендику прочесть свою последнюю статью, которая заканчивалась списком из 14 важных нерешенных задач. Список из разряда тех, где целеустремленный студент может откопать хорошую тему диссертации: он выбирает проблему, три года над ней размышляет, призывает на помощь научного руководителя, решает проблему наполовину, и все довольны. Гротендик удалился к себе работать и вернулся через несколько месяцев. Он решил все 14 проблем.

Вплоть до 1970 года Гротендик неуклонно поднимался по ступеням, отделявшим безымянного беженца от вершины мировой науки. Он стал величайшим и сильнейшим. Мощь его работы феноменальна. Вокруг него возник исследовательский институт. В 1966 году ему была присуждена Филдсовская премия, на вручение которой он не явился, но это просто смехотворно в сравнении со всем остальным. Гротендик и его студенты взялись за титанический визионерский проект по реконструкции алгебраической геометрии, наследие которого в значительной степени дало пищу современным математическим исследованиям.

Но в 1970 году, в возрасте 42 лет, Гротендик резко оборвал научную карьеру. Он ушел из созданного вокруг него института и начал новый жизненный период, посвященный общественной деятельности и участию в движении глубинной экологии.

В середине 1980-х годов, через 15 лет после ухода, он пишет «Урожаи и посевы». Он намерен создать текст для широкой публики, поскольку считает себя носителем важного послания. В письме от 2010 года он признаёт, что это удалось ему не полностью: «Это размышление, это свидетельство о моей жизни математика, каким бы нечитаемым – могу это допустить – оно ни было, очень много значит для меня».

В 1990 году Гротендик удалился от мира. Он поселился в маленькой деревушке Ласер в департаменте Арьеж, у подножия Пиренеев, где предавался медитации и жил в полном одиночестве и аскетизме до самой своей смерти в 2014 году. Он дошел до того, что пытался кормиться исключительно супом из одуванчиков.

Гротендик никогда не переставал писать. После него осталось огромное количество математических, философских и мистических заметок, в том числе, кажется, размышление на 30 000 страниц, посвященное «проблеме зла».

Близость математического опыта к опыту безумия – это тема, которую мы не можем проигнорировать. Мы вернемся к ней в главе 17.