Текст книги "Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики"

«С жадностью вслушиваясь в голоса вещей»

«Право открытия принадлежит ребенку; о нем-то я и поведу речь. О маленьком ребенке, который еще не оглядывается, как взрослые, на каждом шагу: как бы не ошибиться, не опростоволоситься на людях […] О ребенке, которого не пугает досадная манера иных вещей оказываться совсем не такими, какими мы привыкли их себе воображать».

Этот абзац «Урожаев и посевов» звучит как банальность, которую мы слышали уже сотню раз, и она явно лжива. Нет, из маленьких детей не выходит больших ученых. И даже если бы это было так, нам-то с этого что? Мы уже не станем детьми.

Но ведь Гротендик выражается метафорически. Он имеет в виду ребенка, живущего «в нас», с которым «мы потеряли связь». В начале своего рассказа он обращается к читателю именно с этими удивительными словами: «С тем, кто умеет быть один, с ребенком в тебе – только с ним я и хочу говорить».

По мнению Гротендика, его необычайный творческий потенциал берет начало в близости, которую он поддерживает с ребенком внутри себя: «Каким-то образом (я еще не задумывался над причиной) у меня такая невинность все же сохранилась».

Он описывает это как «дар одиночества», способность, «с жадностью вслушиваясь в голоса вещей, предаваться во власть этой младенческой игры целиком».

«Искать и находить, то есть спрашивать и жадно ловить ответ, – есть ли на свете более естественное занятие! И ведь оно доступно каждому, ни у кого нет особых привилегий. Это подарок; судьба наделяет им каждого из нас еще в колыбели».

Что бы мы ни думали о Гротендике, о его странности, эксцентричных манерах, причудливых увлечениях, нужно заставить себя заглянуть глубже. Если кто-то и может с полным правом поведать нам об этом, то только он.

«Урожаи и посевы» часто напоминают учебник по йоге, и в некотором роде именно о нем и идет речь. Через метафоры и истории из жизни эта книга описывает особую манеру владеть своим телом, очень конкретный психический настрой, необычное отношение к языку и к истине.

Гротендик – великий йог, придумавший собственную технику медитации. Она строится вокруг обретения радикальной формы любопытства и безразличия к чужому мнению, которую мы могли бы назвать позицией маленького ребенка.

Все математики развивают у себя подобные техники, но редко их осознают и редко могут объяснить. А вот Гротендик дает нам инструкцию.

Этот настрой психики совершенно определенно лежит в основе его рабочего метода. В самых общих чертах – вот в чем он состоит.

«Сам я более или менее уверен в моем утверждении»

Открыть книгу по математике на теме, в которой вы ничего не понимаете, – это примерно как оказаться за пультом управления пассажирского самолета или АЭС. Там куча кнопок и циферблатов, у вас нет ни малейшего представления об их назначении и ни малейшего желания наделать глупостей. Вы бы и хотели понять, но не понимаете. Нормальная реакция – сидеть смирно и, главное, ничего не трогать. Прежде чем трогать, надо все изучить и обдумать.

Но если вы посадите за пульт управления двухлетнего ребенка, он отреагирует иначе. Он перенажимает на все кнопки, в первую очередь на красные и на те, которые мигают.

Рекомендация Гротендика – поступать как двухлетний ребенок. Желая что-то понять, Гротендик испытывает удачу напрямую, без комплексов, как поступил бы маленький ребенок. Он не ждет, пока что-то поймет, прежде чем броситься туда с головой. Он идет не раздумывая, отчасти наобум:

«Когда в математике или в чем угодно та или иная вещь пробуждает во мне любопытство, я как будто ее расспрашиваю. Умны ли мои вопросы, не покажутся ли они кому-нибудь глупыми или не слишком продуманными, – об этом я не тревожусь».

«Бывает, я задаю ей вопрос-утверждение; это как проба лотом с борта корабля. Сам я уверен в нем настолько, насколько, к моменту его формулировки, я продвинулся на пути к пониманию общей картины».

«Часто, особенно в начале исследования, утверждение бывает заведомо ложным – достаточно сформулировать его, чтобы в этом убедиться».

Еще бы понять, что в его понимании означает расспрашивать вещи, задавать вопросы и брать пробы лотом.

На всем протяжении книги Гротендик описывает математическую работу как последовательность конкретных физических действий. Но что точно значит расспрашивать вещи? Если я хочу расспрашивать вещи, как мне поступать? При близком рассмотрении это весьма загадочное выражение, почти настолько же загадочное, как его зеркальный двойник, которым также пользуется Гротендик: вслушиваться в голоса вещей.

И кстати, раз уж мы здесь, – что такое «математическая вещь»? Где можно встретить эти самые вещи и как вступить с ними в общение?

Гротендик никогда не утруждает себя уточнением, вероятно, потому, что он настолько привык вести диалог с этими вещами, что уже забыл, что и ему самому пришлось этому учиться.

Математические вещи – это вещи, которые люди, не связанные с математикой, называют математическими понятиями или математическими абстракциями. Речь может идти о числах, множествах, пространствах, геометрических формах различной природы или других типах абстрактных структур. А вот математики любят называть это математическими объектами, потому что представление этих вещей в роли конкретных объектов, которые можно потрогать, облегчает понимание.

Расспрашивать вещи, вслушиваться в голоса вещей – значит пытаться представить их, изучить мысленный образ, который у нас возникает, попытаться сделать его прочнее, точнее, обнаружить в нем больше подробностей, словно пытаясь вспомнить сон.

Удовольствие ошибаться

Нужно выразить этот подход в конкретных терминах. Язык «Урожаев и посевов» настолько образен, что может создаться впечатление, будто автор намеренно стремится сохранить недосказанность.

Такое впечатление ошибочно. Гротендик изо всех сил старается быть точным. Его загадочный лексикон служит для решения насущной проблемы – его текст говорит о действиях, которые мы производим у себя в голове, и мысленных образах, которыми мы манипулируем, но в нашем языке нет нужных слов. Не существует специального лексикона, чтобы простыми словами рассказать об этих действиях и этих образах. Никто не позаботился сказать нам, что у нас есть право об этом говорить.

Позиция маленького ребенка – это не аллегория, а совершенно конкретный настрой ума.

Базовый принцип прост, но представляет собой настоящую революцию. Это тот тип идей, о которых почти никто не задумывается, потому что это слишком просто и противоречит нашему инстинкту. Тот тип идей, который как раз и способен все изменить, на всех уровнях обучения математике, включая совсем начинающих и так называемых неспособных.

Когда мы узнаём новое математическое понятие, нам сложно его представить. Оно является нам в форме абстрактного определения, последовательности слов на странице или предложения, произнесенного преподавателем. Эта последовательность слов не имеет для нас никакого смысла. Она ни о чем нам не говорит.

Обычно учащиеся не чувствуют себя вправе представлять математические объекты, которых они еще не понимают. Они ощущают необходимость узнать больше, прежде чем осмелиться их увидеть. А пока удовлетворяются расшифровкой. Они ничего не понимают, у них трещит голова, но они говорят себе, что если будут упорствовать, то смогут собрать самую важную информацию, а пытаясь ее запомнить, может быть, в конце концов поймут. Только вот это никогда не работает.

Гротендик поступает иначе. Он знает, что ни к чему накапливать информацию о вещах, которые не удается увидеть. Вместо этого он разрешает себе представлять эти вещи сразу же, ничего не дожидаясь, даже если он твердо знает, что ему это не удастся, а его способ их представить будет до нелепого неверным.

Он совершенно не боится ошибаться. Более того, он уверен, что непременно ошибется, и именно к этому и стремится.

Гротендик активно ищет ошибку, как маленький ребенок ищет, каких бы еще наделать глупостей. В своем исследовании математического мира каждый раз, как он чувствует что-то странное или интригующее, неясное или неудовлетворительное, противоречивое или неприятное, он направляется именно туда.

Когда в его видении мира что-то идет не так, это вызывает в нем чувство беспокойства. Он углубляется в поиск, чтобы обнаружить источник этого беспокойства, так как это единственный способ унять его. Обнаружение ошибки – это источник удовольствия и облегчения.

«Момент, когда тебе наконец открывается ошибка в работе, можно смело назвать решающим. Для всякого труда, связанного с открытием, это – момент истинного творчества. И не так уж важно, о чем здесь идет речь, будь то математическая работа или труд, посвященный открытию себя самого. Это – то самое мгновение, когда наше знание, о чем-то или о ком-то, вдруг обновляется».

То, что Гротендик пишет об ошибках, имеет вселенский размах, далеко выходящий за пределы науки. Эти слова следовало бы выгравировать на фасадах школ:

«Бояться ошибки – по сути то же, что бояться истины. Тот, кто боится промахнуться, неспособен сделать открытие. Страх оступиться придает ошибке каменную неуязвимость».

Мало кто знает, что в математике основные препятствия имеют психологическую природу, и не только в начале, а на протяжении всего пути, до самого высокого уровня науки. Взрослея, мы боимся выглядеть глупо. Учимся стыдиться своих ошибок. Учимся скрывать, в том числе от самих себя, что мы почти ничего не поняли. Чтобы добиться успехов в математике, надо научиться дезактивировать именно этот рефлекс все скрывать. А это очень сложно.

В возрасте, когда мы еще были вольны задавать глупые вопросы, в том числе сотню раз подряд задавать один и тот же вопрос, неспособных к математике не было. Великие математики изобретают и внедряют специальные техники, чтобы вновь обрести эту детскую невинность. Все они заявляют, что это необходимо. Мы вернемся к этому в главе 13.

Вопрос пластичности

Когда Гротендик говорит об «ошибке внутри нас», это не имеет никакого отношения к логике. Это не ошибка в вычислении и не ошибка в рассуждении. Ошибка, о которой говорит Гротендик, – это ошибка интуиции, ошибка видения: образ вещей, который мы себе создали, неверен.

Как мы будем наблюдать на протяжении всей этой книги, главная задача понимания математики – суметь постепенно изменить наш способ представлять себе предметы, сделать его яснее, точнее и ближе к реальности.

Иногда говорят, что полушария нашего мозга якобы функционируют по-разному. Левая часть мозга специализируется на логическом мышлении и счете, а правая – на ассоциативном и интуитивном мышлении.

Это нелепость. Столь фантазийное толкование нашей анатомии родом из 1960-х годов и с тех пор уже дискредитировано. На самом деле две половины нашего мозга очень похожи друг на друга и на самом глубинном уровне работают по ассоциативному и интуитивному принципу. Органа, который позволяет понимать мир логически, не существует. Если вы на него рассчитываете, чтобы продвинуться в математике, ждать придется долго.

Наша удивительная способность обучаться и изобретать берет свое начало в пластичности мозга, то есть в неосознанной способности без конца перестраивать ткань ассоциаций, связанных с образами и ощущениями, которая, как в буквальном, так и в переносном смысле, и есть подлинная структура нашего мозга и нашей мысли.

Постижение нового – это всегда вопрос пластичности мозга. Ошибка играет здесь основную роль – она и есть двигатель пластичности. Научиться видеть, ходить, пользоваться ложкой, завязывать шнурки, говорить, читать и писать – все это всегда означает перестройку мозга. Она никогда не происходит сразу. Ребенок не умеет ходить, пока не попробует и не потерпит неудачу. Ему нужно падать, чтобы научиться стоять. Только накопление ошибок позволяет ему постепенно развить интуитивное чувство равновесия.

Как любой психомоторный навык, осмысление нового математического понятия идет через перестройку интуиции, что предполагает фазу поисков наощупь. Если переформулировать слова Гротендика об ошибке применительно к ходьбе, они становятся кристально ясными:

Бояться упасть – по сути то же, что бояться ходить. Тот, кто боится разбить себе нос, уже тем самым неспособен научиться ходить. Именно решение остаться сидеть на месте придает изначальной неловкости форму психомоторного нарушения.

Роль логики

В мире мысленных образов законы физики неприменимы. Можно представить что угодно, в том числе взаимоисключающие вещи, и не споткнуться о них. Можно не бояться ошибиться.

Именно в этой точке математический подход расходится с нашим обычным способом использовать интуицию. Математики придумали метод, который позволяет обнаружить ошибки, пока они у нас в мыслях. Он опирается на письмо, а точнее – на письмо на официальном языке математики, который строится вокруг логического формализма.

Логика нужна не для того, чтобы думать. Она нужна, чтобы обнаружить, в каком месте мы думаем неправильно.

Когда Гротендик берет пробы лотом, чтобы расспросить вещи, которые хочет понять, именно письмо дает ему ответ.

«Часто, особенно в начале исследования, утверждение бывает заведомо ложным – достаточно сформулировать его, чтобы в этом убедиться. Стоит лишь записать его на бумаге, как несообразность предположения бросается в глаза – а пока не запишешь, какая-то рябь, как при головокружении, словно нарочно скрывает эту очевидность».

«После этого, возвращаясь к задаче, чувствуешь, как у тебя прибавилось уверенности: есть надежда уже не так безбожно промахнуться со следующим ответом».

В отличие от биолога, который пишет статью после завершения экспериментов, математик пишет в разгаре своей исследовательской работы, потому что письмо «и есть» эта работа. Вот что говорит об этом Гротендик:

«Роль письма не в том, чтобы запечатлеть результаты исследования, но сам процесс исследования»[10]10
  Перевод Екатерины Поляковой.


[Закрыть].

«Я никогда не скупился на усилия, чтобы как можно тщательнее обозначить посредством математического языка эти образы и понимание, которое они дают»[11]11
  Перевод Екатерины Поляковой.


[Закрыть].

«Именно в этом непрерывном усилии сформулировать несформулированное, уточнить пока еще расплывчатое, возможно, кроется динамика, характерная для математического труда (а также, возможно, для любого творческого интеллектуального труда)»[12]12
  Перевод Екатерины Поляковой.


[Закрыть].

Математическое письмо – это работа по транскрипции живой (а потому смутной, нестабильной и невербальной) интуиции в текст, точный и стабильный (а потому мертвый, как ископаемое).

А точнее, это была бы просто работа по транскрипции, если бы интуиция сразу была точной и правильной. Но интуиция никогда не бывает сразу точной и правильной. Сначала она расплывчата и ошибочна – впрочем, она всегда отчасти такой и остается. По мере записывания интуиция становится все менее расплывчатой и все менее ошибочной. Это медленный и постепенный процесс.

Математическое творчество – это постоянное чередование усилия воображения (умения увидеть предметы) и усилия вербализации (умения облечь увиденное в слова).

Этот процесс меняет и нашу интуицию, и наш язык. Мы учимся видеть одновременно с тем, как учимся говорить. Мы учимся видеть новые вещи и придумываем язык, который позволяет их назвать, – тот новый язык, который для Гротендика «теперь должен возникнуть из кажущегося небытия неосязаемого тумана»[13]13
  Перевод Екатерины Поляковой.


[Закрыть].

Результат этой работы воплощается двумя разными путями. Первое воплощение невидимо – это изменение понимания мира и состояния сознания у человека, выполнившего работу. Второе воплощение – это математический текст.

Гротендик знает, что это второе воплощение, со стороны языка – единственный видимый результат, которым можно поделиться. Но не это мотивирует его действия. По его мнению, «отнюдь не в этом аспекте находится душа понимания математических вещей»[14]14
  Перевод Екатерины Поляковой.


[Закрыть].

Процесс записывания позволяет Гротендику развить собственную интуицию. Как только ему все становится ясно, он смотрит на собственные статьи отстраненно, словно это инструкции к тостерам.

Треклятый диплодок

В следующей главе мы увидим, как столь своеобразное функционирование математического языка делает его чудотворным инструментом для прояснения мыслей.

А эту главу закончим возвращением к загадке, с которой мы начали, – к небрежному тону письма, которое 28-летний Гротендик пишет Серру 13 ноября 1956 года, чтобы сообщить, что закончил свое «треклятое сочинение».

В июне 1955 года, 17 месяцами ранее, Гротендик писал Серру, чтобы поделиться первыми заметками. В то время его тон был полон энтузиазма, так как Гротендик находился на начальной стадии открытия. Он проводил пробы лотом, совершал неимоверные ошибки и быстро двигался вперед. В этот период он еще называл отдельные пассажи своих заметок «неснесенными яйцами», из которых, возможно, «вылупится чушь».

В течение следующего года Гротендик их высиживал. Он смотрел, как лопается скорлупа, и вскармливал странное создание, которое оттуда вышло. По мере того, как рукопись росла и обретала структуру, Серр и Гротендик говорили о ней все более небрежно, вплоть до того, что прозвали ее «диплодоком».

Великие идеи заняли свое место. Удовольствие открытия, то есть удовольствие от пришедшего наконец понимания, уже начало блекнуть. Сюрпризы происходят редко. Остался лишь вопрос отделки, технических деталей, приведения в соответствие с почти бюрократическими требованиями официального языка математики.

В последние месяцы редактуры работа стала каторгой. Гротендик беспокоился: кто вообще захочет публиковать его треклятого диплодока? Он выбрал японский журнал Tohoku Mathematical Journal, потому что «вроде бы статьи-реки их не пугают».

В письме от 13 ноября 1956 года Гротендик даже извиняется. Он создал чудовище, но выбора у него не было: «Это единственный способ, которым я, продолжая настаивать, могу понять, как все работает».

Глава 8
Теория осязания

В семействе книг, которые никто никогда по-настоящему не читает, помимо книг по математике и инструкций к тостерам есть еще один вид, о котором не стоит забывать, – словари.

В детстве словари меня завораживали. Они обещали определить каждое слово с помощью других. Но возможно ли сдержать это обещание? Могут ли словари действительно послужить нам дверью в мир познания языка? Если хочешь научиться словам с нуля, с какой страницы начинать?

Если вы не знаете, что такое банан, словарь расскажет вам, что это «съедобный плод бананового дерева, продолговатой формы, вначале зеленый, затем желтый с черными точками при созревании, с мучнистой мякотью». Так, а что такое банановое дерево? Это «однодольное древовидное травянистое растение семейства банановых, плодом которого является банан».

Не то чтобы это было неверно, но особого интереса не вызывает. Определение странно извилисто и сложно, а главное, оно закольцовано: банан – это плод бананового дерева, которое плодоносит бананами. В таком случае лучше уж избавить себя от технической тарабарщины и прямо заявить, что банан – это банан, если в этом основной посыл.

Витиеватыми фразами не получится объяснить суть банана тому, кто не знает, что это такое. Чтобы по-настоящему отразить то, что мы думаем о бананах, самым простым и честным определением по-прежнему остается то, которое мы сообщаем детям: «Попробуй сам, это вкусно!»

Словарь полон закольцованных определений.

Что такое тепло? «Свойство чего-то теплого, ощущение, создаваемое горячим предметом». Что такое горячий? «С температурой выше нормы, повышенной температуры». Что такое температура? «Показатель, насколько тело или среда горячи или холодны».

Что такое истина? «Свойство того, что истинно». Истинный? «Соответствующий истине».

С логической точки зрения словари – те еще финансовые пирамиды. Если бы мы реально рассчитывали на них, желая узнать, что такое банан, тепло или истина, мошенничество давно бы раскрылось.

Но мы поступаем не так. Наш подход не определяется логикой. Мы не учим слова по их определениям. Мы усваиваем язык через постепенное погружение, через последовательность разъяснений. Наш мозг обладает способностью видеть вещи до того, как мы сумеем их назвать, узнавать слова до того, как мы поймем их смысл, и постепенно соотносить слова с тем, что мы видим.

Мы начинаем с нуля – в буквальном смысле. Мы начинаем не со словарей. Мы начинаем с жизни, то есть с общего опыта, который объединяет нас с остальными.

Начать с нуля

Математические определения похожи на определения в словарях, только с одним нюансом – они действительно определяют.

В отличие от словарей, математические тексты не довольствуются установлением связей между уже существующими словами. Они не ограничиваются вещами, на которые можно указать пальцем и которые присутствуют в общем опыте.

Математическое определение – это не комментарий и не объяснение. Это точная инструкция по сборке нового мысленного образа и акт рождения нового слова, которым решено его назвать. (На практике существующее слово часто используется заново, получая новый смысл, который может не иметь прямого отношения к смыслу этого слова в повседневном языке.)

В этом плане математические определения обладают силой творения: они воплощают вещи в жизнь. Может показаться смешным, что мы говорим об этом так помпезно, но именно в этом и состоит задача: когда видишь вещи, которых другие не видят, передача знания о них подразумевает, что нужно сделать так, чтобы эти вещи стали существовать в голове других.

Подход очень прост: объяснить другим, как начать с вещей, которые они уже способны видеть, чтобы мысленно построить новые вещи и постепенно научиться видеть и их тоже.