Текст книги "Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики"

Огромный коэффициент расширения

Теоретически все должны быть способны читать математические тексты. В отличие от словарей, они не содержат закольцованных определений. Не требуется никаких предварительных знаний, а при необходимости читателя отсылают к предыдущим данным, в которых он сможет найти определение слов, которых он еще не знает. Если инструкции ясны и все подробности в наличии, для понимания не должно быть никаких препятствий.

Однако на практике при написании математического текста с первых же строк возникает гигантская проблема: объяснить мысленный образ словами чудовищно сложно.

«Порой нужен огромный коэффициент расширения, чтобы перевести мой образ мыслей в то, что будет возможно сообщить кому-то другому», – замечает Тёрстон.

Результат зачастую неудобоварим. Когда Тёрстон говорит об «огромном коэффициенте расширения», это не значит, что текст будет в два или три раза длиннее, – это значит, что перевод в письменную форму того, что кажется нам очевидным, может быть в десять, сто или тысячу раз длиннее, чем изложение, которое мы сформулировали бы для себя мысленно. К тому же в стороне остается множество подробностей, которые мы никогда не осмелимся сформулировать.

Описанный Тёрстоном феномен ни в коей мере не прерогатива высокой науки. Он проявляется, как только мы пытаемся точно записать простейшие мысленные образы.

Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать – увы, это верно и для образов, существующих только у нас в голове.

Чтобы вы могли в полной мере осознать это положение, вот вам первое упражнение на одном из наших любимых примеров. Сколько вам нужно времени, чтобы представить свои действия при завязывании шнурков? Две секунды? Три? А теперь возьмите бумагу и карандаш и попытайтесь точно описать, в чем заключается движение, чтобы абсолютный новичок смог следовать вашим инструкциям и получить тот же результат. Самый сложный вариант упражнения – использовать только слова. Но и простой вариант, в котором разрешены рисунки, очень сложен.

Осознать степень этой сложности – значит понять нечто основополагающее и весьма утешительное: математический текст может выглядеть чудовищно сложным и все же выражать вполне простые мысли.

По сути, нет никакой причины бояться математических текстов. Чтение между строк, о котором говорит Тёрстон, не просто возможно – оно неизбежно намного проще, чем сам текст. Но прежде чем прийти к этому пониманию, такому простому, и прежде чем у вас появятся правильные мысленные образы, вам придется двигаться наощупь.

Искусство мыслить ясно

Если вы не сумели найти слова, чтобы объяснить, как вы завязываете шнурки, если у вас нет ни малейшего желания это делать или вы все бросили на полпути – в этом нет ничего удивительного.

Искусство писать о математике, то есть искусство передавать свои мысленные образы ясно и точно, чтобы и другие могли овладеть ими и воспроизвести их, – это воистину великое искусство.

Трудным его делает тот факт, что ваши мысленные образы далеко не так точны, как вы думаете. Что мешает узлу на ваших шнурках развязаться, если он завязан правильно? Если вы этого не знаете – значит, вы не знаете в полной мере, как завязан этот узел.

Как объясняет Гротендик, работа по записыванию математики – на самом деле двойная работа по прояснению мыслей и оттачиванию языка. Это тонкое упражнение по психомоторной координации, и нужны годы тренировок, чтобы им овладеть. Хорошая новость: за это может взяться любой и, при наличии необходимых инструментов, двигаться вперед на протяжении всей жизни.

Научиться писать о математике – значит научиться мыслить ясно. Было бы жалко себя этого лишать.

Со временем благодаря собственному опыту становится понятно и то, почему математические тексты написаны с таким странным формализмом, на этом языке, созданном для роботов: на самом деле выбора особо и нет.

Чтобы убедиться в этом, вернемся к еще одному нашему любимому примеру – понятию формы, которое вы открыли еще в раннем детстве. Давайте представим параллельный мир, где вы будете действительно первым человеком, открывшим концепцию формы. Как бы вы объяснили словами свою методику различения звездочек и квадратов и помещения правильных фигурок в правильные отверстия?

Игра на терпение

В этом воображаемом мире визуальная культура настолько бедна, что игра в формы называется игрой на терпение, поскольку единственный известный метод справиться с ней – часами пробовать наобум.

Здесь не существует никакого геометрического языка. Слов «круг», «квадрат» и «треугольник» еще не придумали. Слово «сердце» есть, но только для обозначения того, что стучит у нас в груди. Если вы используете его, чтобы обозначить одну из фигурок игры на терпение, вас не понимают. То же и со словом «звезда». Звезды светят на небе, но никто не видит связи с игрой на терпение. Вопрос даже не в том, сколько у звезд лучей: пять, шесть, семь или восемь – люди очень далеки от этого. И кстати, откуда вообще могла взяться мысль, что у звезд якобы есть лучи? Это о чем вообще?

В вашем понимании мира, на вашем внутреннем языке вы допускаете, что у звезд есть лучи, и вы узнаете пятилучевую звезду в одной из фигурок игры на терпение. Почему бы и нет? Только вот эта идея пока существует только у вас в голове.

Остальные жители этого мира не слепы. Биологически они способны видеть те же формы, что и вы, но еще не научились это делать. Их мозг получает ту же необработанную зрительную информацию, но не может ее структурировать.

«Смотри, эта фигурка в форме звездочки. А здесь отверстие тоже в форме звездочки. Если ты возьмешь эту фигурку и поместишь в это отверстие правильной стороной, она войдет сама, с первого раза».

Такие объяснения не помогут. Люди не увидят звезду у себя перед глазами. Неважно, что они живут в том же мире, что и вы, – у них иной опыт. Они будут глупо улыбаться, глядя, как вы справляетесь с игрой без угадывания. Для них вы будете волшебником.

Теория осязания

В отсутствие геометрии жители этого параллельного мира научились компенсировать ее, развивая тактильные ощущения. Всем школьникам преподают теорию осязания. Они учатся проводить по поверхностям пальцем и распознавать текстуры. Они знают, что такое твердое, мягкое, гладкое, шероховатое, рифленое, волокнистое, бугорчатое, рыхлое, пористое.

Понимая соответствующие физические ощущения, они знают, что такое впадина и что такое вершина. Это немного, но это неплохая стартовая точка, нам хватит.

Сила математического отношения к миру в том, что можно позволить себе расширить язык новыми словами, которым дается точное значение. Опираясь на вещи, которые люди уже видят, можно построить новые, которых они еще не видят, но могут ими манипулировать через определения.

По мере манипуляции этими новыми словами появляется надежда, что в конце концов они на самом деле их поймут.

Чтобы можно было говорить о треугольниках, звездочках и квадратах, не опираясь на зрение, достаточно реконструировать эти понятия, опираясь на лексикон осязания. Нельзя просто указать пальцем и сказать «смотри, это звездочка». Такая неспособность опереться на общий опыт создаст серьезные трудности с формулировками и кончится неудобоваримым и сложным текстом. Но мы все же справимся.

Вот на что мог бы походить результат. Осторожно, следующие три страницы написаны стилем, очень похожим на стиль официальной математики. Следовательно, их откровенно тяжело читать.

Тактильная теория игры на терпение для начинающих

Проводя пальцем по краю фигуры (или отверстия), мы обнаруживаем последовательность вершин и впадин. Дадим этой последовательности вершин и впадин название: пусть она называется сигнатурой фигуры (или отверстия). Например, у нас есть фигура (которую вы хотите назвать треугольником, только этого слова еще не существует) со следующей сигнатурой:

вершина, вершина, вершина;

и есть отверстие (в которое эта фигура может поместиться) со следующей сигнатурой:

впадина, впадина, впадина.

Как это всегда бывает с математическими определениями, слово «сигнатура» выбрано произвольно. Я мог бы выбрать другое слово, и это ничего бы не изменило, потому что смысл, который я ему даю, сводится к его определению, без прямой связи с его использованием в обычном языке. Но раз у меня есть выбор, лучше взять слово, которое упростит чтение, а значит, я возьму слово, чей повседневный смысл может помочь понять математический. «Сигнатура» кажется мне подходящим вариантом, потому что наводит на мысль, что сигнатура поможет идентифицировать каждую фигуру и каждое отверстие. Если это слово ничего вам не говорит, вы вольны заменить его каким-нибудь другим.

И все же определение, которое я дал, создает небольшую техническую проблему: у одного и того же объекта может быть несколько разных сигнатур в зависимости от точки, с которой началось движение вашего пальца. Значит, для большей точности стоило бы говорить об «одной из сигнатур», а не просто о «сигнатуре». Например, у нас есть фигура (которую вы хотите назвать звездочкой), одна из сигнатур которой выглядит так:

вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина.

Но, начав вести пальцем с другого места, вы могли бы также обнаружить в качестве сигнатуры вот что:

впадина, вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина, вершина.

Важна не сигнатура как таковая, а сигнатура с учетом смещения. Под выражением «с учетом смещения» имеется в виду следующее: элементарным смещением сигнатуры называется операция, заключающаяся в том, чтобы взять первое слово и поместить его в конец. Так, элементарное смещение, начинающееся с сигнатуры

впадина, вершина, вершина, вершина,

приводит к сигнатуре

вершина, вершина, вершина, впадина.

Мы говорим, что две сигнатуры эквивалентны с учетом смещения, если от одной к другой можно перейти через последовательность элементарных смещений. Например, следующие четыре сигнатуры эквивалентны с учетом смещения:

впадина, вершина, вершина, вершина;

вершина, вершина, вершина, впадина;

вершина, вершина, впадина, вершина;

вершина, впадина, вершина, вершина.

И действительно, они выводятся друг из друга посредством применения элементарных смещений. Если применить элементарное смещение к последней из этих четырех сигнатур, мы вернемся к первой.

Определение. Форма есть класс эквивалентности сигнатур с учетом смещения.

Чтобы понять это определение, нужно знать понятие класса эквивалентности. Это классическое математическое понятие, вы найдете его определение в любой книге по теории множеств. На практике определение говорит о том, что любая сигнатура определяет некую форму и что две сигнатуры определяют одну и ту же форму, если – и только если – они эквивалентны с учетом смещения. Четыре сигнатуры выше – пример класса эквивалентности сигнатур с учетом смещения.

Если все это меня забавляет, я могу и дальше придумывать слова. Я могу определить треугольники, круги и квадраты в категориях их сигнатур. Например, треугольник будет определен как форма со следующей сигнатурой:

вершина, вершина, вершина.

Точно так же я могу решить назвать звездой с n-количеством лучей форму, одна из сигнатур которой создается повтором схемы вершина, впадина n раз. Частным случаем является звезда с 5 лучами, одна из сигнатур которой выглядит так:

вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина.

Согласно этому определению, сердце есть звезда с одним лучом.

На языке сигнатур и форм можно описать метод, чтобы разобраться с игрой на терпение, не нащупывая решение часами.

Определение. Отражением сигнатуры называется последовательность слов, полученная на основании некой сигнатуры посредством систематической замены слова «впадина» на слово «вершина» и слова «вершина» на слово «впадина».

Таким образом, отражением «вершина, вершина, вершина» является «впадина, впадина, впадина», и наоборот. Если две сигнатуры эквивалентны с учетом смещения, таковы же и их отражения, и, следовательно, понятие отражения распространяется на формы. Основным результатом теории игры является следующий факт.

Теорема. Для каждой фигуры F существует уникальное отверстие О, такое, что форма О является отражением формы F, и О – единственное отверстие, в которое может поместиться F.

Иначе говоря, чтобы определить, в какое отверстие может поместиться фигура, есть следующий метод.

1. Обвести пальцем фигуру, чтобы вычислить ее форму.

2. Обвести пальцем каждое отверстие, пока не будет обнаружена форма-отражение.

3. Когда мы ее найдем, мы можем быть уверены, что нашли правильное отверстие: фигура в него войдет.

Настоящая математика

Как и все математические определения, наше определение форм производит впечатление голословного и оторванного от жизни.

Не будем все же забывать о хорошем: мы только что совершили подвиг, рассказав о формах через лексику тактильного опыта без отсылок к зрительному. Иначе говоря, мы нашли средство выразить, что такое «иметь форму звезды» на языке, который был бы понятен незрячему.

Плохо то, что наше определение уныло. Оно совершенно не передает красоту и богатство зрительного опыта. По сравнению с тем, что для нас представляют собой формы, с их глубиной, с их универсальностью, со всем, что заставляет нас любить их и ощущать как очевидность, наше определение прискорбно скудно.

Было бы глупо думать, что мы закончили. Мы едва начали. Наше определение – лишь крошечная отправная точка среди бессчетного множества других возможных точек на пути к тому, чтобы добраться до сути того, что такое форма. Ничто не запрещает нам продолжать усилия. Ничто не запрещает изобретать все более гибкий язык, чтобы все более тонко улавливать, что же точно значит, в случае звезды, быть более или менее заостренной, более или менее вытянутой, более или менее изогнутой и так далее.

Но расширение лексикона, повышение точности и добавление подробностей не решат нашу проблему.

Наша проблема гораздо серьезнее. Видеть – это не вопрос слов. Видеть – это чувственный, инстинктивный опыт, который мы переживаем без рефлексии.

Сказать, что форма – это класс эквивалентности сигнатур с учетом смещения, сказать, что звезда – это форма, одна из сигнатур которой создается повтором схемы «вершина, впадина» n раз, будет, возможно, весьма хитроумно, но никогда не удовлетворит нас полностью. Мы же не роботы. Мы вовсе не хотим познавать мир через язык, которым пишут административные бланки. Мы хотим «видеть» не раздумывая.

Когда вы разбираете текст, написанный на официальном языке математики, вы находитесь в положении слепого, который разбирает наше формальное определение звезд, будучи не в состоянии видеть звезды. Разумеется, это какая-то тарабарщина – во всяком случае в начале, пока вам не удастся придать определениям интуитивный смысл, пока вы не поймете, что они «означают».

Задача понимания математики именно в этом: найти способ сформировать внутри себя новые мысленные образы на базе формальных определений, чтобы сделать эти определения интуитивно понятными, «почувствовать», о чем они говорят.

Понять математический текст, определяющий звезду как форму, одна из сигнатур которой создается повтором схемы «вершина, впадина» n раз, – значит суметь забыть это сложное определение и непосредственно ощутить, что такое звезда, по команде, по простому упоминанию слова «звезда».

Истинное удовольствие от математики – это удовольствие, которое вы испытываете в тот день, когда вдруг осознаете, что способны увидеть звезды у себя в голове, хотя никогда раньше их не видели.

Тайные приемы математиков направлены на то, чтобы упростить и ускорить это интуитивное понимание. Это техники, которые позволяют научиться видеть с опорой на средства языка. Далее в этой книге мы приведем их примеры.

Я знаю, что это кажется слишком прекрасным, чтобы быть правдой. Вам трудно поверить, что вы способны на подобный подвиг. И все же так и есть. У вас есть способность опереться на абстрактное определение и интуитивно почувствовать, что́ оно означает. Вам уже это удалось.

То число, которое вы можете по команде вызвать у себя в голове, взяв миллиард и отняв от него единицу, – никто и никогда не описывал его вам никак иначе, чем в виде сложного нагромождения абстрактных математических понятий.

Его десятичная запись 999 999 999, та самая, которая создает у вас впечатление, что это число физически присутствует на странице, прямо перед вами, всегда была лишь обобщением длинного формального определения. Такая запись характеризует это число как результат последовательности операций сложения и умножения, от которой у вас вскипит мозг, если вы попытаетесь ее представить:

Девять плюс девять, умноженное на десять, плюс девять, умноженное на десять, умноженное на десять, плюс девять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, плюс девять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять плюс девять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, плюс девять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, плюс девять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, плюс девять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять.

На бумаге это число – абстрактное, логическое и холодное нагромождение. Но у вас в голове этот объект прост, конкретен и очевиден.

Глава 9
Что-то идет не так

Когда я учился в школе, мне часто повторяли, что я неправильно держу ручку и потому пишу как курица лапой.

Я решил изучать математику, так как считал, что меня научат правильно «держать ее в голове». Я ее держал по-своему, получалось неплохо, но я совершенно не был уверен, что мой способ правильный.

Больше всего меня изумляло, как во время учебы, так и во время научной деятельности, что я не получил никакого формального руководства по этому поводу, словно тема была несерьезной или не заслуживала того, чтобы тратить на нее время.

Возможно, я был наивен, но мне казалось, что главная проблема математики заключается не в том, чтобы выяснить, верна ли та или иная теорема, а чтобы понять, что делает эти теоремы такими простыми для некоторых и такими сложными для всех остальных. И потому, окончив школу и поступив на первый курс, я ожидал, что правильный способ мысленно манипулировать математическими понятиями станет темой первого же занятия. Разумеется, для начала мне объяснят, как надо делать!

Но первое занятие было посвящено совершенно другой теме. Официальная математика считает точкой отсчета не невидимые действия, выполняемые в мыслях, а формальную логику и теорию множеств. Объяснение, которого я ждал, не появилось и на следующем занятии, и на последующем тоже. В конце концов я перестал ждать.

И все же этот вопрос всплыл снова через несколько недель, когда мы подошли к теме векторных пространств любой размерности. И тогда он начал серьезно меня волновать.

Векторное пространство размерности 1 – это прямая. Векторное пространство размерности 2 – плоскость. Векторное пространство размерности 3 – трехмерное пространство, в котором мы живем. Или скорее пространство, в котором мы склонны считать, что живем, хотя Эйнштейн и объяснил нам, в чем это неверно.

Нет никаких причин останавливаться на числе 3. Используя логический формализм, можно двигаться дальше. Можно определить, что такое пространство размерности 4, размерности 5, размерности 6 и так далее. Если есть такое желание, можно заниматься геометрией в размерности 24, в размерности 196 883 и вообще в размерности n, где n – любое целое число.

Эти пространства не какие-то лабораторные диковинки. Это основополагающие понятия, необходимые для понимания окружающего нас мира, и вот уже сто лет они занимают в науке и технологии настолько важное место, что часто входят в базовый лексикон на тех же правах, что и целые числа.

Если вы никогда не учились мыслить в заданной размерности, вы прошли мимо одной из величайших радостей существования. Все равно что никогда не видеть моря или не есть шоколада.