Текст книги "Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики"

Воспроизвести вслепую

Открытие всегда начинается с простого и наивного стремления понять. Мы придумываем новые приемы не из любви к новизне, а потому, что существующие техники не срабатывают. Нет ориентиров, нет никого, кто мог бы вас направить, – значит, нужно прислушаться к собственному телу. Нужно привыкнуть чувствовать его по-новому. Найти решение – значит сделать мыслимым то, что до сих пор было немыслимым. Это все равно что расширить когнитивные возможности человеческого вида.

Одна из особенностей математики – в том, что понять что-то бывает так же сложно, как и открыть; главную роль по-прежнему играет самоанализ. Чтобы воспроизвести невидимые действия, вы должны прислушаться к себе и заново изобрести их в себе и для себя.

Для понимания этой сложности представьте себе невидимую версию прыжка в высоту, выполняемую без свидетелей и камер, в пустом зале с электронными приборами в роли судей, которые лишь проверяют, что планка преодолена, но никак не фиксируют технику прыгуна.

И как тогда Фосбери мог бы рассказать свою историю?

Все были бы убеждены, что он генетически запрограммирован прыгать выше, чем все остальные. Никто не поверил бы, если бы он заявил: «Я ни в чем не превосхожу остальных биологически, и, кстати, мои спортивные качества не позволяли мне соперничать с другими, пока я не открыл новый метод».

Он мог бы написать книгу про свою технику – про то, как он воспринимал ее изнутри. Но как найти нужные слова? Когда один из его прыжков впервые засняли на пленку, Фосбери сам был удивлен, поскольку ему было сложно поверить, что увиденное на экране физически возможно и реально отражает то, что он делает.

Для человека, который никогда не видел, как это делается, научиться прыгать как Фосбери почти так же сложно, как самому придумать такую технику. Даже с подробными указаниями это невероятно сложно. «Подбросьте свое тело в воздух и откиньтесь на спину, головой вниз». Серьезно? А зачем все эти страницы предварительных рассуждений о траектории разбега и наклоне оси тела при приближении к планке? Зачем этот технический язык? Это все правда нужно?

Научиться какому-то действию – значит понять его за пределами слов. Почувствовать его в собственном теле. Осознать, что оно естественно и интуитивно.

Невидимые действия

Математика таинственна и сложна, потому что мы не можем увидеть, как с ней справляются другие. Можно увидеть то, что они пишут на доске или на листе бумаги, но нельзя увидеть то, что они предварительно проделали у себя в голове и что сделало их способными это подумать и написать.

Сама по себе математика проста, но мысленные действия, позволяющие овладеть ею, едва уловимы и парадоксальны. Они невидимы. Мы не можем воспроизвести то, что делают другие. У нас есть только слова, чтобы говорить об этом, но слова всегда упускают главное – то, что мы действительно чувствуем в своем теле.

Каждый должен воссоздать эти действия для себя, вслепую. Легко смеяться над учителями математики, но представьте себя на их месте.

Как бы вы стали объяснять кому-то, как завязывать шнурки, если этот человек никогда не видел ботинок, а ваш единственный канал общения – телефонный разговор? Вообразите эту сцену на несколько секунд, и вы увидите, насколько это трудно. От одной мысли перехватывает дыхание, это просто головокружительно сложно.

Эта повседневная реальность преподавания математики обуславливает конкретные сложности, с которыми сталкиваемся мы все. У профессиональных математиков есть кое-что общее с двоечниками – им знакомо чувство полной растерянности.

Этот опыт – часть их повседневности. Математик, присутствующий на научной конференции, знает, что он, вероятно, потеряет нить объяснений в первые же пять минут. Он знает, что дальше настаивать на разъяснениях бесполезно, это попросту болезненно и унизительно, потому что слова, которые он произнесет, ничего не будут для него значить.

Но профессиональный математик знает, что растерянность – нормальный этап процесса понимания. Он не обидится. А главное, не будет притворяться, будто что-то понимает. Даже не станет пытаться записывать. Просто перестанет слушать.

Если он действительно хочет понять, он будет действовать иначе.

Глава 6
Откажитесь от чтения

Я не коллекционер. Я не нахожу удовольствия в накоплении предметов. Это относится и к книгам тоже – я не раз избавлялся от значительной части своей библиотеки, дарил или перепродавал большинство книг. Я сохранил только те, к которым был особо привязан.

Моя математическая библиотека невелика – меньше ста книг. Мало у кого дома есть сто книг по математике, но у некоторых математиков их намного больше. Я скопил эти книги за время учебы и научной деятельности. Несколько экземпляров мне подарили, потому что я был знаком с авторами. Меньше ста за все эти годы – не так уж много.

Большую часть нужных мне книг я одалживал или читал в электронной форме. Я покупал только те, которые мне очень нравились, которые я хотел иметь у себя или находил действительно прекрасными.

Одна из моих любимых книг, одна из тех немногих, расставание с которыми разбило бы мне сердце, – «Категории для работающего математика» Саундерса Маклейна.

Каждый раз, как она попадается мне, я мысленно улыбаюсь. Эта книга написана в 1960-е годы и остается главным трудом по теории категорий – революционному способу видеть и осмыслять математические структуры, который Маклейн и Самуэль Эйленберг изобрели в 1940-е годы.

Я купил ее 20 лет назад, сразу после защиты диссертации, на первое жалованье доцента в Йельском университете. Немногие книги оставили во мне такой же след. Я нахожу ее великолепной, блистательной, вдохновляющей и на редкость хорошо написанной.

Я так ее и не прочитал.

Рафаэль

В начале работы над диссертацией, хотя я официально считался очень способным к математике, а моя работа уже заключалась в создании новых форм математики, я все еще робел перед существующими знаниями.

Стоило мне открыть научную статью, как я застревал на первых же строках. Мне не хватало основ. Я искал их по ссылкам в исходной статье, но эти тексты также было сложно читать. Я шел смотреть, к чему отсылают в свою очередь эти работы.

Ссылки, ссылающиеся на ссылки, ссылающиеся на ссылки, на которые ссылаются ссылки, – можно продолжать бесконечно. Добравшись таким образом до математики 1950-х годов, я осознал, что уже она для меня непонятна. Углубившись в прошлое еще на несколько поколений, я был погребен под тысячами книг и десятками тысяч научных статей, и все были непонятны. Как я мог надеяться выдумать хоть что-то оригинальное?

Однажды я услышал о недавно вышедшей книге на тему, которая была полезной – но не ключевой – для моего исследования. Все говорили, что эта книга очень понятно и хорошо написана. Мне захотелось ее прочесть.

Через неделю я так и не добрался до третьей страницы. Я был обескуражен и обратился за помощью к моему другу Рафаэлю Рукье, молодому математику-вундеркинду, с которым делил кабинет.

Его ответ отпечатался в моей памяти навсегда: «Да ты что, Давид! Тебе что, никто не говорил, что книги по математике читать не нужно? Никто не говорил, что читать их вообще невозможно?»

Осмелиться не читать

Нет. Никому не хватило смелости сказать мне это настолько прямо.

Рафаэль преувеличивал – книги по математике читать можно. Но это против нашей природы и требует необычайного усилия, даже если ты очень одарен в математике. Прочесть настоящую книгу по математике (а не просто книгу о математике, как та, что у вас в руках) почти так же сложно, как и написать.

На то есть веская причина. Открывая книгу по математике, вы открываете книгу, где слова имеют смысл, который вы еще не можете понять. Иногда они имеют смысл только для этой конкретной книги. Для чтения книги нужно понимать слова, которые в ней содержатся. Для этого вам понадобится выстроить внутри себя правильные мысленные образы для каждого слова и сочетания слов. Это требует напряженного усилия, почти такого же, как то, что позволило автору написать эту книгу, и это усилие приведет вас почти к такому же пониманию темы, как у него.

Если вам этого действительно хочется, у вас достаточно времени и книга выбрана правильно, возможно, оно того стоит. Готовьтесь к нескольким месяцам упорного труда. Это испытание сродни обряду инициации – оно преобразит вас. За всю свою жизнь я по-настоящему сумел прочесть всего три или четыре книги по математике. Я не жалею об этом труде. Он придал мне неслыханную силу, словно я глотнул волшебного зелья. Эта сила и сейчас со мной. Но зелье было сложно проглотить.

Даже если Рафаэль и преувеличивал, по сути он был прав. Книги по математике не созданы для того, чтобы их читать.

У него даже манера держать книги была другой, чем у меня. Он буквально иначе брал их в руки. Рафаэль был первым человеком в моей жизни, кого никогда не пугала математика. Он не видел проблемы в том, чтобы взять 500-страничный том по теме, в которой он ничего не понимал, и раскрыть прямо на середине.

Рафаэль удерживал книги в равновесии на предплечье, взявшись пальцами за верх переплета. Вторая рука оставалась свободной, и он мог очень быстро перелистывать ею страницы. Техника довольно проста. Она заключается в том, чтобы никогда не начинать с начала, а только с того места, которое тебе нужно. Это не техника чтения – это техника не-чтения.

По сути, когда берешь книгу по математике, у тебя всегда сидит в голове какая-то мысль. Возможно, мы хотим разобраться в понятии, которое только что где-то увидели, узнать, верно ли конкретное утверждение, или понять, как его доказать. Реально нам нужно, может быть, Определение 7.4 со страницы 138, Теорема 11.5 со страницы 227 или всего лишь один конкретный момент из ее доказательства.

Вот Рафаэль и научил меня отправляться прямо на страницу 138 или 227 и искать те самые четыре–пять строк, которые в этот конкретный момент больше всего меня интересуют, вообще не заботясь о горах предварительных условий, от которых предположительно зависят эти строки.

Вот это и нервирует больше всего. Предполагается, что книга по математике организована логично и, чтобы понять страницу 138 или 227, теоретически следовало бы предварительно понять все, что написано раньше. А значит, линейное чтение должно быть единственно возможным способом чтения. Но на практике этот способ не работает.

В тех четырех–пяти строках, которые нас интересуют, возможно, будут какие-то загадочные слова. Если это мешает нам понять суть, вероятно, мы захотим обратиться к определениям. Прекрасно. Или мы как-нибудь разберемся сами. Тоже отлично.

На самом деле мы можем делать что хотим. Можем листать книгу в течение десяти минут, часа или трех месяцев – неважно. Основной принцип – никогда не заставлять себя следовать порядку страниц, а следовать только порядку собственного желания и любопытства.

Это книга должна служить нам, а не наоборот. Если мы попытаемся читать книгу по математике как «нормальную» книгу, предоставим ей задавать темп и будем ждать, что она будет вести нас за руку и рассказывать историю, ничего не получится. Мы тут не для того, чтобы пассивно слушать. Нам не хватает для этого терпения, и, давайте уж начистоту, нас это не интересует. Мы здесь потому, что у нас есть конкретные вопросы, потому что мы чего-то не понимаем и хотим понять.

В любом случае, книга не должна навязывать нам тему разговора. Вопросы здесь задаем мы.

Не стоит прятать голову в песок. Понять те четыре–пять строк, которые нас интересуют, будет очень сложно, особенно если они где-то в середине книги. Возможно, мы проведем над ними несколько часов. Каждая страница книги по математике очень трудна для понимания. Якобы простые, но на самом деле скучные предварительные пояснения понять ничуть не проще.

В конечном счете, страница, которая больше всего нас интересует, с большой вероятностью окажется для нас наименее сложной. Во-первых, она нас интересует – а когда интересно, все намного проще! Во-вторых, она неизбежно связана с чем-то, что мы уже понимаем, – иначе она бы нас не интересовала.

Следовать своему желанию – единственный способ по-настоящему дать ему шанс осуществиться. Начинать с начала – значит рисковать все бросить уже на странице 2.

Билл Тёрстон

На свете есть не только книги по математике. Есть и другие книги, которые никто никогда не читает с начала. Вот вы читали инструкцию к вашему тостеру?

Вероятно, нет. Может быть, вы машинально открыли ее, пока распаковывали тостер, но скорее всего вы никогда в нее по-настоящему не заглядывали. Разве что, конечно, если у вас возникла проблема с тостером – тогда вы, вероятно, пропустили все предисловия и напрямую отправились на страницу, которая в этот момент вас больше всего интересовала.

Может показаться шуткой, что мы сравниваем математические тексты с инструкциями к тостерам. Но вообще, это очень глубокая мысль. Мы обязаны ею Биллу Тёрстону.

Билл Тёрстон (1946–2012) – один из самых потрясающих математиков нашего времени. Его работы по геометрии, отличающиеся исключительной глубиной и оригинальностью, стали важнейшим этапом на пути к доказательству знаменитой гипотезы Пуанкаре, которое завершил Гриша Перельман в 2002 году.

Эти работы принесли Тёрстону Филдсовскую премию в 1982 году. Как и Абелевская премия, это самая престижная награда по математике.

Возможно, Тёрстон – величайший геометр ХХ века, но не только. Сложно передать в нескольких словах его необыкновенное мышление, открытый ум, безграничный гуманизм и любознательность. Насколько мне известно, никакой другой выдающийся математик не участвовал в создании коллекции высокой моды для Иссэя Миякэ.

В 1994 году Тёрстон опубликовал в «Бюллетене Американского математического общества» (Bulletin of the American Mathematical Society) статью на пару десятков страниц «О доказательстве и прогрессе в математике» (On Proof and Progress in Mathematics), описывающую изнутри его мотивацию как математика и мыслительные процессы, задействованные в его работе.

В частности, Тёрстон рассказывает, что, читая научную статью по знакомой тематике, он никогда не читает ее в полном смысле слова. Он предпочитает сосредоточиться на мыслях между строк.

Как только он составляет себе представление о них, весь формализм и подробности структуры статьи вдруг кажутся ему ненужными и избыточными: «Мне было бы проще все написать с нуля, чем пытаться понять, что на самом деле написали авторы».

Уильям Пол (Билл) Тёрстон[4]4
  Alamy


[Закрыть]

«Это как новый тостер, к которому прилагается инструкция на шестнадцать страниц, – продолжает он. – Если вы уже понимаете что-то про тостеры, и этот экземпляр похож на те, с которыми вы встречались раньше, вы просто включите его в сеть и убедитесь, что он работает, а не будете сначала читать все подробности в инструкции».

Эта метафора заслуживает дальнейшего развития.

Тёрстон говорит, что инструкция бесполезна, если вы уже знаете, что такое тостер. Но если вы не имеете ни малейшего представления о тостерах, много ли пользы вам будет от инструкции?

Несомненно, вы с радостью узнаете, что не стоит совать пальцы внутрь и не нужно использовать его во время купания в ванне, но все эти правила безопасности, которые инструкция приказывает вам ВНИМАТЕЛЬНО ПРОЧЕСТЬ ПЕРЕД ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ, никак не помогут разрешить великую тайну тостеров: зачем они вообще нужны?

Я не нашел инструкцию от своего тостера, зато нашел от пылесоса. В ней 64 страницы, но нигде не объяснено, зачем нужен пылесос. Иначе говоря, если бы мы ограничились официальной литературой, пылесосы создали бы нам огромные проблемы. Было бы несколько счастливчиков, способных к использованию пылесоса (те, кто случайно разобрался, что с ним делать), а остальные остались бы в этом полными профанами. Мы приняли бы это с покорностью судьбе.

Сокровенный смысл пылесосов не содержится в инструкции к ним. Это секрет, который мы передаем в устной традиции.

Но этот основной закон обучения, работающий как для пылесосов, так и для математических теорий, остается неизвестным и забытым.

Иной, нечеловеческий язык

Математические тексты написаны не на человеческом языке. Вот почему их так сложно читать.

Официальный язык математики работает не так, как язык, на котором мы говорим, и никто из людей никогда не сможет в полной мере овладеть ими обоими. Этот искусственный язык – чисто человеческое изобретение (пожалуй, одно из величайших за нашу долгую историю), созданное, чтобы исправить уязвимости языка, на котором мы говорим.

Его главная особенность заключается в том, что он заменяет наш обычный способ определять слова на радикально иной.

В повседневной жизни мы не даем точных определений используемым словам. Мы учимся им на примерах. Лучший способ объяснить, что такое банан, – показать его. Этот метод работает неплохо, но порой создает реальные трудности, и вот самая явная из них: если что-то существует только у вас в голове, как показать на это пальцем?

На самом глубинном уровне математика – единственная успешная попытка человечества точно рассказать о вещах, на которые мы не можем показать пальцем. Это одна из центральных тем этой книги, и мы еще не раз к ней вернемся.

Самые важные строки в математическом тексте – это не теоремы и не доказательства, а определения. Математический язык работает как конструктор, где слова по-настоящему определяются, то есть строятся на базе других слов, которые ранее сами были определены. И именно это позволяет говорить о вещах, на которые невозможно показать пальцем.

При таком подходе смысл слов сводится исключительно к их определению. Они становятся лишь абстрактными оболочками, не означающими ровным счетом ничего, кроме того, что сказано в их определении: если наличие хобота – часть определения слона, значит, слон, у которого убрали хобот, немедленно перестает быть слоном.

Этот логический формализм настолько не соответствует гибкости нашего ума, что становится гротескным. У нас нет ни малейшего желания думать так, да мы на это и не способны. Так работать могут только роботы и компьютеры. А мы ни то и ни другое.

Вот цена, которую приходится платить, чтобы корректно говорить о невидимом. Хотя логический формализм чужд нам по сути, мы можем научиться манипулировать им, точно так же, как можем научиться взаимодействовать с роботами и компьютерами. Они раздражают нас, мы находим их смешными, но в конце концов привыкаем к их психологии и все-таки весьма довольны, что они у нас есть и служат нам.

Научиться видеть

Понимать математику – значит научиться обращаться с этими словами-оболочками, определенным логическим формализмом, как если бы речь шла о словах родного языка. Научиться наполнять эти слова интуитивным и конкретным смыслом. Научиться видеть предметы, которые они обозначают, как будто они сейчас перед нами. Это подразумевает особые техники, о которых мы расскажем в следующих главах.

«Видеть» – это не всегда самое удачное слово, потому что не все конкретные объекты видимы. Сладкий вкус, текстура материала, ритм, песня, знакомый запах или ощущение проходящего времени – это тоже вполне конкретные переживания.

Способность соотносить воображаемые физические ощущения с абстрактными понятиями называется синестезией. Некоторые люди видят буквы в цвете. Другие воспринимают дни недели расположенными в пространстве вокруг себя.

Распространенное убеждение гласит, что синестезия – редкий феномен, связанный с некоторыми психическими нарушениями. На самом деле это универсальное явление, лежащее в основе человеческого познания. Вот маленький тест, чтобы определить, способны ли вы к синестезии: можете ли вы, глядя на последовательность букв в слове «шоколад», ощутить звук, цвет, аромат? А при виде последовательности символов «999 999 999» возникает ли у вас ощущение чего-то большого?

Что действительно редко встречается, так это осознание нашей способности к синестезии и стремление систематически ее развивать.

Математическое действие – это разновидность мыслительной йоги, цель которой – вернуть нам контроль над нашей способностью к синестезии.

Ничего из того, что я здесь рассказываю, не должно стать для вас сюрпризом, потому что все это вам знакомо. Когда вы научились «видеть» число 999 999 999, а не завитушки, выписанные ручкой по бумаге, – это произошло благодаря вашей способности к этой мыслительной йоге.

Вы смогли сделать это в раннем детстве и должны быть все еще способны к этому сейчас.

Билл Тёрстон был одним из величайших мастеров этого искусства. В главе 10 я расскажу вам кое о чем из того, что ему удалось увидеть. Это настолько необычайно, что вам будет трудно мне поверить.

Нам предстоит еще многому у него учиться.