Текст книги "Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики"

Видеть в пространстве

Когда занимаешься геометрией в размерности 2 или 3, есть простейший способ показать, о чем идет речь: нарисовать.

Например, в пространстве размерности 3 можно собрать вместе 20 равносторонних треугольников, чтобы создать двадцатигранник примерно такого вида:

Этот примечательный объект, известный с античных времен, называется правильным икосаэдром. Когда вы смотрите на рисунок, вам кажется, что вы видите висящий в пространстве икосаэдр. Но на самом деле у вас перед глазами не это. Вы смотрите на страницу размерности 2, на которой находится изображение икосаэдра. А точнее, это изображение представляет собой то, что называют проекцией: тень (в размерности 2) от воображаемого икосаэдра (в размерности 3).

Вашему мозгу запросто удается реконструировать объекты в размерности 3 из их проекций в размерности 2.

Пересматривая свои отпускные фотографии, вы словно видите в реальности сцены, разворачивающиеся в размерности 3. Это не требует от вас никакого особого усилия. Это не утомляет вас и не создает никаких метафизических проблем. Вы никогда не говорите себе, что эти сцены происходят в размерности 2 и что все, что вы словно бы видите в размерности 3, – абстракция, мысленная реконструкция, представляющая собой исключительно плод вашего воображения. У вас не возникает впечатления, что все, что вы словно бы видите на фото, – галлюцинация.

Ваш мозг может видеть даже то, что не показано на изображении. Глядя на проекцию икосаэдра, вы можете не только его увидеть, но и мысленно повернуть, хотя это и требует некоторой концентрации. Сам рисунок остается полностью неподвижным. Это не мешает вам прекрасно понимать, что я имею в виду, говоря «повернуть икосаэдр».

Например, если вы повернете икосаэдр на одну пятую часть оборота вокруг вертикальной оси, вы получите исходный икосаэдр. Эта инвариантность относительно вращения – хорошо известное свойство икосаэдра.

Если бы я просто определил правильный икосаэдр как абстрактное объединение 20 равносторонних треугольников, не дав вам способа представить его зрительно, вам было бы намного сложнее понять, что такое инвариантность относительно вращения. С рисунком это намного проще.

Преобразование математических определений в мысленные образы помогает понимать их. Зрительная интуиция делает очевидными математические свойства, которые совершенно не были бы очевидными без мысленного образа. Когда вам не удается вообразить математические объекты, у вас создается впечатление, что вы не вполне их понимаете. И оно оправданно.

Геометрия для слепых

Когда мы впервые слышим о геометрии в размерности 4, мы задаемся вопросом, что же представляет собой это самое четвертое измерение. Это время? Или что-то еще?

Правильный ответ: четвертое измерение – это ровно то, что мы хотим, чтобы оно собой представляло.

Когда мы занимаемся геометрией в размерности 2, то есть на плоскости, точка определяется двумя координатами, которые обычно называются абсциссой и ординатой, или x и y, и обозначают ровно то, что мы хотим, чтобы они обозначали:

когда мы смотрим на географическую карту, x обычно обозначает долготу, а y – широту;

когда мы чертим фасад здания, x обычно обозначает ширину, а y – длину;

когда мы описываем развитие популяции кроликов, x обычно обозначает время, а y – количество кроликов.

Точно так же в пространстве размерности 10 точка определяется 10 координатами, которые обычно называют x1, …, x10. Если мы хотим, чтобы эти координаты что-то обозначали, они могут обозначать ровно то, что мы пожелаем.

Если вы хотите описать географическую прогрессию нашествия кроликов, вам необходимо мыслить в размерности 4, потому что вам нужны 4 координаты: долгота, широта, время и плотность популяции кроликов.

Будет совершенно верно сказать, что геометрия в размерности 4 – абстракция. Но это простая и естественная абстракция. Ваш мозг может принять идею размерности 4 и даже счесть ее конкретной, точно так же как принимает и считает конкретным все то, что в реальности совершенно таковым не является. Географическая прогрессия нашествия кроликов – это абстрактное понятие. Вы считаете его конкретным, потому что по сути ваш мозг уже готов согласиться, что размерность 4 действительно существует и конкретна.

Вопреки стереотипу, вовсе не абстрактность делает математику трудной для понимания. Абстракция – наш универсальный способ мыслить. Слова, которыми мы пользуемся, – это все абстракции. Говорить, составлять предложения – значит манипулировать абстракциями и объединять их. Геометрия в размерности 4 ничуть не более абстрактна, чем геометрия в размерности 2. Проблема геометрии в размерности 4 не имеет ничего общего с абстрактностью. Ее проблема в том, что ее сложно представить и сложно нарисовать.

Уроки геометрии в высокой размерности – это уроки геометрии для слепых.

Они похожи на теорию осязания из предыдущей главы: вместо того чтобы опираться на зрительную интуицию, они используют математический язык и формализм, чтобы определить геометрический лексикон, чей смысл всегда очень точен, но зрительная интерпретация не возникает сама собой. Все можно описать формулами с опорой на координаты. Например, существует формула, определяющая расстояние между двумя точками на основании их координат.

Сначала нашему мозгу непривычно работать с новым лексиконом. Он не умеет интуитивно присваивать словам визуальное значение. Поэтому геометрию в размерности 4 нельзя преподавать так же, как геометрию в размерности 2, где фигуры и зрительная интуиция играют центральную роль.

Например, в размерности 4 существует аналог икосаэдра. Это многогранник с 600 гранями, очень правильный и еще более красивый, чем икосаэдр. А скорее следовало бы сказать, что этот объект представляет собой «гипермногогранник», у которого 600 «гиперграней». Эти гиперграни – объекты размерности 3, которые оказываются правильными тетраэдрами, то есть правильными пирамидами с треугольным основанием. Таким образом, у каждой гиперграни есть 4 грани, являющиеся правильными треугольниками, а к каждой из этих граней примыкает другая гипергрань. Всего у нас 600 гиперграней, 1200 граней, 720 ребер (сторон треугольников) и 120 вершин.

Трудно представить?

Если вам это поможет, вот рисунок:

Речь идет о тени в размерности 2 от объекта размерности 4 (или скорее об одной из его теней, так как тень предмета зависит от его расположения и направления света).

Вам, конечно, хотелось бы взглянуть на рисунок и без усилий увидеть перед собой «гиперикосаэдр», повисший в четырехмерном пространстве.

Я бы тоже очень хотел увидеть его перед собой. Я хотел бы почувствовать его многомерную плотность, охватить его одним взглядом и понять его форму во всей глобальности. Увы, этого не происходит.

Мой мозг не способен мгновенно и без усилия выстроить мысленный образ объекта размерности 4 на основании его тени в размерности 2. Я научился воспринимать физическое присутствие гиперикосаэдра, но другим способом, без использования рисунка.

Абсолютно неверные образы

Изучая математику, я быстро осознал, что я такой же, как все. Я не умел видеть геометрические объекты в высокой размерности так же, как в размерности 2 или 3.

Но я осознал и еще одно явление, более незаметное и неожиданное.

В нем не было ничего блистательного. Оно разворачивалось на заднем плане, в фоновом шуме и запросто могло бы пройти незамеченным. Возможно, оно вообще было всегда, просто я не обращал внимания.

Как бы то ни было, лишь в этот конкретный момент жизни, в год моего 18-летия, в первые месяцы обучения математике, когда мы подошли к геометрии в высокой размерности, я в полной мере осознал: некоторые абстрактные понятия, которые мне преподавали, вызывали во мне очень смутные впечатления более-менее визуальной природы.

Эти впечатления были не слишком сильными, а их значение не вполне ясным. Речь шла о смутных и мимолетных мысленных образах. Иногда они появлялись, иногда нет. Я не знал, как это понимать. Эти образы были нестабильными, размытыми, они быстро исчезали. Они были наивными. Хуже того, они были неверными.

Мой мозг словно бы пытался увидеть геометрию в высокой размерности, громоздя друг на друга мысленные образы в размерностях 2 и 3. Результат попадал до смешного мимо цели. Образы были не просто слегка неверными, как слегка неверна нарисованная окружность, потому что получается не идеально круглой. Мои мысленные образы были чудовищно неверными.

Я учился в подготовительном классе лицея Людовика Великого. Мне преподавали серьезную, официальную математику во всей пышности аксиом, определений, предположений, теорем, доказательств, символов и формул. Все это мне преподавали в логическом и структурированном виде. Меня учили оформлять математику строго и точно.

И все это время, не осмеливаясь никому рассказать, я продолжал цепляться за свою наивную интуицию. Это совершенно не работало и приводило к очень странному результату.

Рисунки в моей голове напоминали мои же каракули в детском саду, когда я рисовал человечков с руками и ногами прямо из головы, не осознавая, что забыл какую-то часть тела. Точнее, так: я осознавал, что забыл часть тела, и она определенно важна, но осознавал я это смутно и невнятно и не мог назвать, чего же не хватает. Я знал, что тут что-то не так, но не мог сказать что.

Помню, однажды я позвал воспитательницу и сказал, что на моем рисунке чего-то не хватает. Она ответила, что все в порядке и рисунок очень милый. У меня возникло впечатление, что ей на меня наплевать.

Мне совершенно не хотелось повторять этот опыт и поднимать руку, чтобы сказать, что у меня проблема, потому что образы в моей голове получаются неправильными. Мне совершенно не хотелось выставлять себя на всеобщее посмешище. Рефлекторно я старался воспринимать эти мысленные образы как мысли-паразиты, от которых нужно было избавиться.

Если бы секрет успеха в подготовительном классе лицея Людовика Великого заключался в том, чтобы мыслить как четырехлетка и малевать в голове каракули, все бы об этом знали.

Настала пора подрасти. Я должен был научиться мыслить логически и структурированно, серьезными и сложными словами, а не представлять себе разные вещи в упрощенном и образном виде. Надо было повзрослеть.

Трубы потоньше или потолще

В то время я еще верил, что логика нужна, чтобы думать. У меня не получалось думать логически, но я считал, что проблема во мне. Я полагал, что сумею решить эту проблему, изучая математику, и что первый этап заключается в том, чтобы избавиться от этих наивных и неверных мысленных образов.

Но среди всех этих неверных образов, среди всех посторонних мыслей, от которых я стремился избавиться, я с удивлением обнаружил образ, не настолько ложный, как все остальные.

При изучении векторных пространств также изучаются понятия размерности, линейного отображения, уровня, ядра… Обычно векторные пространства отмечаются буквами, а линейные отображения – стрелками, соединяющими эти буквы. Но когда я решал представить себе векторные пространства как емкости побольше или поменьше (в зависимости от их размерности), а линейные отображения – как трубы потоньше или потолще (в зависимости от уровня), все упражнения на эти понятия становились очевидными.

Это было не таким уж большим достижением. Оставалось еще множество тем и множество упражнений, которые мне не давались. Но упражнения по этой теме я не просто умел решать – они стали настолько же очевидными, как то, что 1 000 000 000 – 1 = 999 999 999. Настолько очевидными, что казалось нелепым, что их вообще задают, и еще более нелепым – что есть люди, которые не умеют их решать.

Образ труб упрощал мне жизнь, но откуда он взялся? Предполагается, что я и должен был так действовать? А что происходит в голове у других? Как они себе представляют математические понятия?

Я помню, как растерянно смотрел на одноклассников, вглядываясь в их лица в попытке найти признаки того, что происходило у них в голове.

И я в замешательстве осознал, что не имею об этом ни малейшего представления.

Огромная проблема

Никто не объяснил нам, что должно происходить у нас в голове, и это стало огромной проблемой.

Я понимал, что есть два принципиально разных способа воспринимать образование, которое мы получали, и эти два подхода несовместимы друг с другом.

Первый подход заключается в том, чтобы считать математику видом знания. Математические утверждения – это информация, которую надо знать и уметь воспроизводить. Нужно учить определения, учить теоремы, учить доказательства.

Второй заключается в том, чтобы отказаться учить. Он подходит к математике как к чувственному опыту. Единственная задача математических утверждений – вызывать к жизни мысленные образы, и только эти мысленные образы позволяют понимать. Как только у нас получаются правильные мысленные образы, все остальное становится очевидным.

Эти два подхода несовместимы, потому что подразумевают совершенно разные мысленные действия. Выучить наизусть, согласиться поверить тому, чего не понимаешь, – все это есть только в первом подходе. Во втором мы смотрим на то, чего не понимаем, с подозрением и недоверием: «Даже так? Вот так оно и есть? Невероятно! Но как это возможно? Как мне удается это увидеть?»

До этого момента я инстинктивно следовал второму подходу. В основном получалось. Когда в начальной школе мне объяснили, что такое круг, я тут же сумел увидеть у себя в голове круги. Так я стал отличником по математике. По сути, школа помогла мне лишь облечь в слова вещи, которые мне и так было легко видеть более-менее четко.

Но я приближался к концу этого пути. Теперь школа рассказывала мне о серьезных и глубоких вещах, в которых я ничего не понимал, и моя интуиция была бессильна их вообразить. Я достиг предела своих мыслительных способностей. Тот образ труб потоньше или потолще, возможно, был последним внятным всплеском интуиции. И то мне еще повезло. Ведь честно, на что я мог надеяться с настолько наивными образами?

А без возможности рассчитывать на интуицию я был загнан в угол. У меня не осталось выбора. Настал момент начинать учить.

Но я вполне осознавал, что это влекло за собой. Воспринимать математику как знание означало отказаться от ощущения ее жизни во мне. Отказаться от любви к ней. Отказаться от удовольствия ее понимать.

Прислушаться к диссонансу

Если честно, это был не первый случай, когда математика стала для меня реальной проблемой.

Такое со мной уже случалось в начале средней школы, когда понадобилось использовать буквы для обозначения чисел. «Пусть n – целое число». Но если n – целое число, почему бы не сказать какое? Зачем нагонять туману? У меня возникло впечатление, что я промахнулся мимо цели, ничего не понимаю и вообще недостаточно умен.

Тогда это, к счастью, продлилось недолго. Без особых усилий, просто со временем, я в конце концов смирился с тем, что можно мыслить при помощи букв, то есть оперировать числами, не зная, о каких числах речь. И что в этом весь фокус. Мыслить при помощи букв – это способ оперировать сразу всеми числами. Совершать бесконечное количество умозаключений с помощью конечного количества слов.

Только теперь у меня уже не было времени. Каждую неделю появлялся десяток новых понятий, которые нужно было осмыслить, а у меня не было ни малейшего представления, как уложить их в голове.

Именно в этом контексте, за несколько недель до моего 18-летия, я принял самое фундаментальное решение во всей моей научной карьере и, пожалуй, во всей жизни: вместо того чтобы отгонять глупые идеи и посторонние мысли, я решил принять их и прислушиваться к ним.

Конечно, не было и речи о том, чтобы верить им на слово. Я прекрасно знал, что они неверны. Более того, это было очевидно. Но раз это было настолько очевидно, мог ли я точно сказать, в чем они неверны?

Сегодня, когда я пытаюсь описать эту интеллектуальную методику, я формулирую ее так: я стал прислушиваться к диссонансу между своей интуицией и логикой. В главе 11 я объясню, что конкретно это значит, на примере, который вполне может быть вам понятен.

Теперь, оглядываясь назад, я поражаюсь тому, что мне пришлось принимать это решение в одиночестве, конструируя что-то у себя в уголке, и некому было мне сказать, что так и нужно делать.

Помню, как попытался поговорить об этом с другом – его звали Ксавье, мы вместе изучали математику. Но проблема в том, что мои заботы были настолько оторваны от официальной математики и нашего образования, что я оказался не в состоянии ясно выразиться. У меня не нашлось правильных слов, чтобы рассказать об этих задачах. Понадобились десятки лет, чтобы научиться их излагать.

У меня не было никаких оснований считать, что этот метод сработает – впрочем, не то чтобы я действительно этого ждал. Это был просто дурацкий эксперимент, который, как я полагал, мне очень скоро придется бросить. Я действовал из любопытства, просто чтобы увидеть, обнаружить, в какой именно тупик я упрусь. Мне казалось немыслимым, чтобы это был правильный метод и при этом никто нам об этом не сказал.

И все же я очень быстро убедился, что это работает. Чем больше я размышлял над своими глупыми идеями, тем менее глупыми они становились. Чем больше я сосредотачивался на посторонних мыслях, тем четче они делались. Чем больше я прислушивался к диссонансу между моей интуицией и логикой, тем лучше я был способен записать его словами. Моя интуиция никогда не была совершенной, но постоянно развивалась – без всякого усилия с моей стороны.

За несколько недель мой способ учиться преобразился. Я стал использовать занятия как материал для проверки моей интуиции. Я пытался предсказать, что скажет преподаватель. Большую часть времени у меня не получалось, но так я мог выяснить, где моя интуиция уже работает верно. То, что я понимал, я понимал настолько хорошо, что мог на это опереться и сосредоточиться на других вопросах.

То, что не понимал, я прокручивал в голове, пока не пойму, почему не понимаю. В конце концов именно это позволяло мне понять.

Наша обычная интуиция

Пока в школах математика не будет преподаваться с точки зрения нашей человеческой действительности, у нас будут только самоучки.

Недостаточно заявить, что математика – вопрос интуиции. Еще нужно объяснить, что эта интуиция нам подвластна, и объяснить методы, позволяющие ее развить. Ничто так не пугает, как миф о какой-то математической интуиции, которая якобы имеет особую природу и дарована лишь избранным.

Математическая интуиция – это та же самая интуиция, которой мы пользуемся изо дня в день, но развитая и укрепленная столкновением с языком и логикой. Это то, чем становится наша интуиция, когда мы прекращаем считать, что это дар небес, и обзаводимся способами систематически развивать ее. Мне часто казалось, что математическая работа сродни садоводческой. Пропалываешь, сажаешь, обрезаешь, поливаешь. Кажется, что ничего не растет, но в конце концов констатируешь – что-то все же выросло.

Трудно поверить, что можно оттолкнуться от нашего обычного восприятия пространства и развить его до степени, когда инстинктивно умеешь мыслить в любой размерности. И все же это так.

За нашими ложными верованиями в математический интеллект, за суевериями и запретами прячется глубинное непонимание мощи нашей умственной пластичности и законов, которые правят ею. Это тема следующей главы.

Нежелание математического образования затрагивать эту область личностного развития остается для меня загадкой. Как будто преподаватели не чувствуют себя вправе об этом говорить. Мало кто осмеливается описать свою интуицию простыми словами и признаться в неимоверной наивности своих мысленных образов.

И все же некоторые математики из числа величайших признаются в этом с обескураживающим спокойствием. Ярким примером может служить Пьер Делинь.

Пьер Делинь – необыкновенный математик, самый известный из учеников Гротендика, вплоть до того, что последний однажды сказал о Делине: «Он сильнее меня». В 1978 году он получил Филдсовскую премию (за доказательство знаменитых гипотез Вейля), а в 2013 году – Абелевскую.

В одном интервью 2013 года по случаю вручения Абелевской премии Делиня спросили о его необыкновенной интуиции и способности выработать глубинное понимание абстрактных структур в высокой размерности. Вот что, в частности, он ответил:

«Важно уметь угадать, что верно, а что нет».

«Я не помню доказанные математические утверждения. Я, скорее, стараюсь собрать в уме коллекцию образов. Не один образ. Они все неверны, но по-разному, и я знаю, в чем именно они неверны».

«Образы очень просты. Я могу нарисовать у себя в голове что-нибудь вроде круга в плоскости и прямую, которая движется и смахивает его».

«Это всегда очень простые образы, но собранные воедино».

Математическая интуиция настолько банальна, проста и глупа, что нужно много уверенности в себе, чтобы осмелиться не выбрасывать ее на свалку. Когда ты уже не ребенок, хочется лишь одного – заставить ее замолчать. Именно это чуть не случилось со мной, когда я решил, что должен избавиться от глупых идей и посторонних мыслей.

Тот тихий робкий голос, который говорит вам, что вы не понимаете, и есть ваша математическая интуиция. Не путайте его с другим, грубым и шумным, который говорит вам, что вы ни на что не годны. Тихий голос пытается направлять вас. Его и надо слушать с самым пристальным вниманием. О нем и надо заботиться. Его и надо защищать до конца ваших дней.