Текст книги "Философия. Античные мыслители"

Глава 2
Пифагорейская школа

Пифагора можно считать младшим современником Анаксимандра[31]31
  Его расцвет приходился на 6о олимпиаду (540–537 гг. до и. э.).


[Закрыть]. Именно он, как утверждают источники, стал впервые называть свое учение философией (т. е. любовью к мудрости). Человек, по его утверждению, слишком слаб, чтобы обладать самой мудростью, но может лишь стремиться к ней. Однако говорить мы далее будем не о самом Пифагоре, а о его школе. Отметим, кстати, что мы сталкиваемся здесь с замечательным явлением в истории мысли: созданием философской школы, т. е. философского движения, на протяжении нескольких столетий объединявшего многих единомышленников. Конечно, пифагорейская школа менялась в течение своей долгой истории. Сейчас мы будем говорить о ее раннем периоде, т. е. до IV в. до н. э., однако для пояснения основных идей будем прибегать и к более поздним источникам. Вопреки принятой традиции, мы обсуждаем учения ранних пифагорейцев после разговора о Гераклите и Пармениде. Это кажется уместным, поскольку названные авторы, судя по всему, повлияли на пифагорейских мыслителей, о которых мы сейчас будем говорить. Более того, в дошедших до нас пифагорейских текстах, возможно, содержится некоторая полемика как с Парменидом, так и с Гераклитом.

В этом разговоре нам не избежать экскурсов в разнообразные исследования, проведенные пифагорейцами в арифметике, геометрии, астрономии, музыке, а также других науках. Эти исследования вели и другие мыслители, в том числе Фалес, Анаксимандр, Гераклит и Парменид, о которых мы здесь уже писали. Однако именно у пифагорейцев намечается некая система знаний, т. е. попытка сведения всего к единым основаниям. Можно сказать, что у них намечается нечто вроде дедукции всех наук из начал. Поэтому в пифагорейской науке можно (по-видимому впервые) конкретно проследить, что представляет собой ясное знание и как оно получается.

Мы видели, что Парменид полагает различие бытия и небытия контрадикторным: можно либо быть, либо не быть. Контрадикторны также предел и беспредельное, т. е. первый соответствует бытию, а второе – небытию. Во фрагментах Филолая[32]32
  Утверждается, что был первым из пифагорейцев, написавшим книгу. См.: [ДиогенЛаэртский, 330].


[Закрыть] мы видим попытку смягчить это противопоставление. Выражаясь языком классической логики, оно оказывается не контрадикторным, а контрарным. Между двумя противоположностями находится нечто третье. Предел и беспредельное Филолай рассматривает как два начала, к которым причастны все вещи. Иными словами, все сущее, открытое нашему взгляду и доступное нашей мысли, есть единство предела и беспредельного, содержит в себе и то и другое. А. Ф. Лосев приводит весьма выразительный фрагмент Филолая:

Все существующее должно быть пределом или беспредельным или тем и другим вместе. Но быть пределом или только беспредельным оно не может. Вследствие того, что, как оказывается, оно не состоит ни исключительно из одного предела, ни исключительно из одного беспредельного, совершенно ясно, что мировой строй и [все], что в нем, образовалось из соединения предела и беспредельного и наглядным примером этого может служить то, что наблюдается в действительности на полях: а именно, одни части их, состоящие из самых границ [т. е. межи], ограничивают [участки], другие же части, состоящие из границ и [лежащих за последними] неограниченных [участков], ограничивают и не ограничивают, те же, которые состоят [только] из неограниченного [пространства], будут являться неограниченными (курсив А. Ф. Лосева. —Г. Г.)[33]33
  [Лосев 1963, 266]. Я даю перевод, использованный Лосевым, поскольку он выглядит более прозрачным, чем перевод этого же места в книге: [Фрагменты]. Для сравнения приведу его здесь: «Все сущие по необходимости должны быть либо ограничивающими, либо безграничными, либо и ограничивающими и безграничными [одновременно]. Но быть только безграничными или только ограничивающими они не могут. Стало быть, так как очевидно, что они не [состоят] ни из одних лишь ограничивающих, ни из одних лишь безграничных [элементов], то, следовательно, ясно, что и космос и вещи в нем были слажены из ограничивающих и безграничных [элементов]. Это явствует из того, что [наблюдается] в произведениях: те из них, что из ограничивающих, ограничивают, те, что из ограничивающих и безграничных, ограничивают и не ограничивают, а те, что из безграничных, окажутся безграничными» [Фрагменты, 441.


[Закрыть].

Следовательно, во всем, что существует, мы должны обнаружить присутствие того и другого. Кажется, что это вполне соответствует и нашему обыденному опыту. Конечно, все, что нас окружает, изменчиво и множественно. Наши суждения, пытающиеся уловить что-либо из видимых вещей, неточны, наши познания далеки от ясности. Но все же трудно согласиться с Парменидом и признать их лишь ложью, а все вещи – призраками. Все же мы улавливаем какую-то определенность, какие-то относительно устойчивые формы. Поэтому мысль о единстве двух начал кажется вполне уместной. Но как возможно такое единство? Филолай обнаруживает здесь серьезную трудность. Вещи «неподобные, неединородные» не могут соединиться и создать нечто упорядоченное[34]34
  СмФрагменты, 442.


[Закрыть]. Но предел и беспредельное именно таковы. Следовательно, должно существовать нечто их объединяющее, удерживающее вместе два разнородных элемента. Это удерживающее или скрепляющее начало Филолай называет гармонией.

В привычном нам употреблении слово «гармония» принадлежит к теории музыки и обозначает правильное сочетание тонов в созвучии. Взятое в более широком значении оно может работать как эстетическая категория, выражающая стройную согласованность частей в рамках упорядоченного целого. Заметим, что буквальное значения греческого слова harmonia – связь, скрепа[35]35
  Интересно, что слова «гармония» и «арматура» происходят от одного корня.


[Закрыть]. Пифагорейская философия сочетает все три значения, при этом исходит она, по-видимому, из теории музыки. Это понятие было затем воспринято Платоном и его многочисленными последователями. Учение о гармонии неотделимо от всякого рассуждения о порядке, структуре, организации частей в пределах целого. Поэтому я намерен рассмотреть некоторые детали пифагорейской теории музыки.

Пифагорейцы строят свою музыкальную теорию на опытных фактах, которые, однако, оказываются лишь материалом для глубоких теоретических (прежде всего математических) исследований. Исходное наблюдение состоит, по-видимому, в том, что звуки (например звуки, извлекаемые с помощью музыкальных инструментов) имеют разную высоту[36]36
  В рассмотрении музыкальной теории пифагорейцев я опираюсь на исследование: [Щетников 2012].


[Закрыть]. Например, зажимая натянутую струну в разных местах, мы можем делать ее звучание более высоким и более низким. Взяв два звука разной высоты, мы, по крайней мере теоретически, можем найти звук промежуточной высоты, т. е. выше более низкого, но ниже более высокого. Так можно сделать для любой пары различных по высоте звуков. Следовательно, можно представить себе непрерывную шкалу высот: любая пара звуков заключает внутри себя бесконечный интервал звучаний. Хотя наше ухо не может уловить различия между звуками, достаточно близкими по высоте, но теоретически мы в состоянии вообразить, что звуки могут приближаться друг к другу по высоте сколь угодно близко, сохраняя, однако, различие. Таким образом, каждый звук есть точка, извлеченная из континуума различающихся по высоте звуков.

Такое представление уже указывает на соединение предела и беспредельного. Континуум звуков беспределен. Однако, извлекая отдельные звуки на музыкальном инструменте, мы находим на этом континууме определенные точки, выделяем в нем некоторые интервалы, т. е. задаем границы, пределы. Представим себе, например, восьмиструнную греческую лиру. Две крайние струны, издающие самый высокий и самый низкий для этого инструмента звук, как бы вычленяют определенный интервал из беспредельного множества звуков, неограниченного по высоте ни сверху, ни снизу. Однако заданный двумя струнами интервал также беспределен. Он хотя и ограничен сверху и снизу, но безгранично делим и содержит бесконечно много звуков. Другие струны лиры задают целую систему границ, устанавливая новые пределы, упорядочивая континуум звучаний. Рассмотрим подробнее, как осуществляется это упорядочение.

Приведем еще один эмпирический факт: существует интервал, такой, что разделяемые им звуки звучат как будто одинаково, несмотря на различие в высоте, а при одновременном звучании сливаются в один голос. Такое звучание называют по-латыни консонанс. Именно так настраивались две крайние струны восьмиструнной лиры, а потому и интервал получил впоследствии название октава.

В пределах октавы выделяется еще два консонансных интервала, получивших названия квинта и кварта. Разделяемые ими голоса также сливаются в один, но не так точно и совершенно, как в октаве. При этом квинта звучит все же более согласованно, чем кварта.

Три консонансных интервала определенным образом организуют звуковой континуум. Чтобы увидеть это, представим три голоса – обозначим их А, С, D. Пусть интервал между А и D составляет октаву, а между А и С – квинту. Все три голоса будут создавать консонанс. При этом оказывается (также эмпирический факт), что интервал между С и D составляет кварту. Оказывается, таким образом, что октава представляет собой сумму двух других консонансных интервалов. Взяв далее еще один звук – В – образующий с А кварту, мы установим в пределах октавы некоторую систему интервалов. Звук В отличается от D на квинту. Октава оказывается разделена на последовательность интервалов четырьмя голосами: А, В, С, D. Интервалы между этими голосами графически изображены на рис. 1.

Обратим внимание на интервал ВС. Он образует как бы недостающую часть, которую надо добавить к двум квартам, чтобы получилась октава. Он же составляет разницу между квартой и квинтой. Этот интервал называется тон. Хотя сам он не дает никакого созвучия, ему можно приписать весьма важную роль. Он составляет меру для всех музыкальных интервалов. Любой воспроизводимый в музыке интервал составлен из тонов (в некоторых случаях из полутонов).

Рис. 1. Схема соотношений интервалов звука

Таким образом, в беспредельный континуум звуков внесены не только границы, но и внутренняя соразмерность. Возникает возможность точного числового соотнесения интервалов. Более того, консонансные интервалы представлены как соразмерные части организованного целого. Однако эта организация еще не вполне прояснена. Слишком много в ней основывается на чувственном восприятии, на способности человека различать и соотносить звуки. Ясно, что эта способность у всех различна, а отношения, основанные на таком восприятии, не могут быть точными. Пифагорейцы постарались найти для своих исследований более надежную опору, что и привело к исследованию музыкальной гармонии.

Главным открытием пифагорейцев в теории музыки следует считать то, что они сумели свести звуковые интервалы к отношениям длин, т. е. весьма точно измеряемых величин. Эти отношения собственно и получили названия гармоний.

Сохраним те обозначения, которые мы только что использовали, только теперь буквами А, В, С, D будем обозначать не сами звуки, а длины струн, которые эти звуки производят. Пифагорейцам принадлежит следующее открытие.

Октава соответствует отношению 1:2, т. е., если звук D на октаву выше А, то струна D в два раза короче струны А.

Соответственно отношения длин струн А к В составляет 4:3 (кварта).

Отношение А к С составляет 3:2 (квинта).

Иными словами, каждый консонансный интервал определяется числовым отношением. Присмотримся к этим

отношениям внимательнее. Чтобы лучше описать их свойства, разделим А на 12 равных частей. В таком случае двенадцатая часть А окажется единицей измерения, т. е. общей мерой для всех остальных струн. Легко видеть, что при измерении этой единицей А=12; В = 9; С = 8; D=6. Получается, что отношение С к D составляет 4:3, а отношение В к D – 3:2, что, как и следовало ожидать, соответствует кварте и квинте.

Легко видеть, кроме того, что один тон определяется отношением В к С, т. е. 9:8. Это значит, что можно строить и другие звуковые интервалы. Выбрав тон в качестве меры для интервала звучаний, можно подобрать требуемые отношения длин для любого интервала в пределах октавы. При этом всякий раз будет сохраняться соразмерность длин. Правда использовать двенадцатую часть А (самой длинной струны) в качестве общей меры уже не удастся. Всякий раз нужно будет выбирать другую единицу измерения. Тот факт, что именно для трех консонансных интервалов существует общая мера, как будто говорит об их особой природе.

Итак, консонансные звучания определяются числовыми пропорциями. Эти пропорции пифагорейцы и назвали гармониями, т. е. скрепами. Именно они, по мысли Филолая, скрепляют предел и беспредельное. В самом деле, с помощью числовых отношений структурируется беспредельность континуума звуков, вносится порядок, определенность, устойчивость в то, что поначалу предстает как неопределенное, неуловимое. Существование числовых отношений, в свою очередь, определяется соизмеримостью, т. е. наличием общей меры. Величины, соответствующие звукам, измеряются одной и той же единицей, что и создает их особую связь друг с другом. Все они могут быть представлены как части, складывающиеся в некоторое целое: каждая из величин В, С или D составляет часть А, причем часть, соразмерную с целым[37]37
  Уместность разговора о целом и частях обнаружится, если мы будем рассматривать не четыре струны разной длины, а одну струну, которая пережимается в разных местах. Пережав А посередине, мы получим октаву, разделив точкой пережатия в отношении 3:1, заставим большую часть звучать в кварту с целым и т. д.


[Закрыть].

Космология пифагорейцев построена на тех же основаниях, что и теория музыки. Впрочем, здесь, наряду с наблюдениями за движением светил, они прибегают и к весьма произвольным построениям, позволяющим им перенести на Космос те самые числовые гармонии, которые они открыли, исследуя музыку. Важно, что и в космологии речь идет о пределе и беспредельном и об их соединении с помощью числа.

Обратим внимание на два свидетельства о пифагорейской космологии. Утверждается, что Пифагор первым назвал Вселенную «космосом», имея в виду порядок, который ему присущ[38]38
  Псевдо-Плутарх. Мнения философов. 2.1.


[Закрыть]. Аристотель же описывает пифагорейское представление о космосе так:

Пифагорейцы также признавали существование пустоты и утверждали, что она проникает в Небо [=космос] из [окружающего] бесконечного (ἄπειρον), как если бы [Небо] вдыхало пневму и пустоту, которая разграничивает физические сущности (φύσεις), как если бы пустота была разделением и разграничением смежных [тел]. Прежде всего, это наблюдается в числах, так как пустота разграничивает [их, сообщая] им самобытность (φύσις) (Аристотель. Физика. Δ. 6. 213 b 22)[39]39
  Цит. по: [Фрагменты, 482]. В переводе В. П. Карпова этот фрагмент звучит несколько иначе: «Пифагорейцы также утверждали, что пустота существует и входит из бесконечной пневмы в само Небо, как бы вдыхающее [в себя] пустоту, которая разграничивает природные [вещи], как если бы пустота служила для отделения и различения смежных [предметов]. И прежде всего, по их мнению, это происходит в числах, так как пустота разграничивает их природу» (см.: Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 3. М.: Мысль, 1981. С. 136).


[Закрыть].

Итак, Вселенная есть космос, т. е. некоторый порядок. Однако этот порядок существует наряду с неопределенностью, с беспредельностью, пустотой. Беспредельность и пустота не только объемлют космос, но и проникают внутрь него. Что означает проникновение пустоты внутрь порядка? Я думаю, это можно понять по аналогии с только что рассмотренной теорией музыки. Мы видели, что музыкальная гармония вносит упорядоченность в континуум звуков. Отдельные («точечные») звуки, ограничивающие интервалы и образующие консонанс, создают определенную структуру, порядок, определяемый числовыми отношениями. Однако эта структура, во-первых, объемлется неупорядоченным континуумом звуков, а во-вторых, наполнена им изнутри. Как бы мы ни ограничивали музыкальные интервалы, создавая упорядоченную звуковую структуру, между границами всегда будет оставаться континуум, бесконечная, неупорядоченная совокупность потенциальных звуков.

Таков, по-видимому, и космос. Он образован телами правильной геометрической формы, расположенными друг относительно друга в строгом порядке. Однако эти тела разделены пустотой. Между ними и внутри них остается пустота, нечто неопределенное, бесконечно делимое, неупорядоченное. Эта пустота разделена границами тел (подобно тому, как звуковой континуум разделен голосами, т. е. «точечными» звучаниями), а потому сам космос есть единство предела и беспредельного. Именно такое единство создает космос: из приведенного свидетельства Аристотеля это очень ясно видно. Порядок возможен лишь тогда, когда тела в космосе разделены пустотой. Только благодаря «впусканию» пустоты (неопределенности, континуума) в промежутки между телами эти тела разделены и, соответственно, определенны. Точно также и голоса есть нечто различимое и определенно звучащее, благодаря разделяющим их интервалам. Вспомним, что Парменид, который не допустил никакого смешения предела и беспредельного и жестко отделил бытие от небытия, должен был признать бытие однородным и повсюду себе равным, т. е. внутренне неструктурированным, а значит, парадоксальным образом, неопределенным. Неожиданно получается, что неопределенность, понятая как беспредельность, неотделима от определенности и предела, более того, оказывается условием ясного понимания.

Космос, согласно пифагорейским представлениям, представляет собой сферу. За пределами этой сферы, как следует из только что приведенного свидетельства Аристотеля, – беспредельное, из которого в космос проникает пустота. В центре Космоса расположен огонь, или неподвижный

Очаг. Он излучает свет и составляет противоположность окружающей космос пустоте. Последняя в ряде источников характеризуется также как тьма[40]40
  ю. Свет у пифагорейцев отождествляется с пределом, а тьма с беспредельным. Аристотель приводит десять пар противоположных начал, организующих космос согласно пифагорейскому учению: предел и беспредельное; нечет и чет; единое и множество; правое и левое; мужское и женское; покоящееся и движущееся; прямое и кривое; свет и тьма; хорошее и дурное; квадрат и прямоугольник. (Аристотель. Метафизика. А. 5. 986 а 13). и. Введение пифагорейцами этого невидимого космического тела Аристотель объясняет их пристрастием к числам. Полагая совершенным числом десятку, они считали, что Космос должен состоять непременно из десяти сферических тел. Аристотель, весьма критично настроенный к пифагорейцам, пишет по этому поводу, что они действуют «не ища теорий и объяснений, сообразных с наблюдаемыми фактами, а притягивая за уши наблюдаемые факты и пытаясь их подогнать под какие-то свои теории и воззрения»


[Закрыть] <sup>[41]41
  (Аристотель. О Небе. 293 b i).


[Закрыть]</sup>. Между этим центром и Космосом расположены еще девять концентрических сфер. Они вращаются вокруг Очага и несут каждая некоторое светило (планету). Расположение светил, если считать от Неба к центру, таково: Сатурн, Юпитер, Марс, Меркурий, Венера, Солнце, Луна. Далее, ближайшими к Очагу пифагорейцы полагали Землю, а также постулированную ими ненаблюдаемую Антиземлю. Наблюдать ее с Земли (в отличие от остальных движущихся в Космосе тел) невозможно, поскольку она движется с противоположной от Земли стороны¹¹.

Принципом организации Космоса выступает, как и в музыкальной теории, гармония. Расстояния между сферами находятся в тех же самых отношениях, которые связывают длины струн, звучащих в консонансе. Вот, что пишет об этом Александр Афродисийский:

А так как началом этой гармонии они считали число, то, естественно, и началом Неба и Вселенной они тоже полагали число. Так, например, расстояние от Земли до Солнца в два раза больше, чем расстояние до Луны, в три раза больше расстояния до Венеры и в четыре раза больше расстояния до Меркурия; также и для всех остальных [небесных тел] они принимали некоторое арифметическое отношение и потому полагали, что движению Неба присуща музыкальная гармония[42]42
  12. См.: [Фрагменты, 468–469].


[Закрыть].

Построив величины, связанные этими отношениями, мы легко убедимся, что они соответствуют октаве, квинте и кварте. Пифагорейцам принадлежит также идея о «музыке сфер». Вот еще одно свидетельство того же автора:

Полагая, что расстояния движущихся вокруг центра тел пропорциональны, что одни из них движутся быстрей, другие – медленней и что движущиеся медленней издают при движении низкий звук, а движущиеся быстрей – высокий, [они заключали, что] эти звуки относятся между собой так же, как расстояния, и потому образуют гармоническое звучание[43]43
  [Фрагменты, 468].


[Закрыть].

Таким образом, числовая гармония (т. е. пропорция), соединяя предел и беспредельное, создает организованное целое. Мы постигаем Космос именно как целое, сложенное из соразмерных частей. Беспредельное, как мы видели, необходимо для этой соразмерности, поскольку благодаря ему части отделимы друг от друга, и мы имеем дело именно с целым, а не с единым и простым. Последнее было бы непостижимо, поскольку в нем невозможна никакая организация, никакая соразмерность.

Близкие идеи мы находим в пифагорейских исследованиях по геометрии и арифметике.

На первой из названных наук мы не будем останавливаться подробно. Приведем лишь некоторые соображения, касающиеся греческой геометрии вообще, имея в виду, что пифагорейцы, по-видимому, создали ее значительную часть.

Ведущей идеей в геометрии является идея равенства фигур. Основной операцией здесь является наложение линий и/или фигур и их сопоставление. Важным результатом геометрического рассуждения становится заполнение одной линии или фигуры организованной совокупностью других.

Рассмотрим, например, задачу об удвоении квадрата, решение которой приведено в диалоге Платона «Менон».

Сама задача состоит в том, чтобы построить квадрат, вдвое больший данного. Решение сводится к демонстрации, что именно таким квадратом, будет квадрат, сторона которого равна диагонали исходного квадрата. Это видно из приводимого рисунка.

Рис. 2. Задача удвоения квадрата

Мы видим, что исходный квадрат – ABCD – составлен из двух равных треугольников. Квадрат DBFE, построенный на диагонали исходного, составлен из четырех точно таких же треугольников. Поэтому он вдвое больше исходного.

Здесь мы видим общий метод решения задач: разделение некоторого целого на равные части и составление нового целого из тех же частей. При этом достигается возможность соизмерения двух целостностей. В приведенном примере прямоугольный треугольник, полученный при делении исходного квадрата диагональю, является общей мерой для двух квадратов. Сопоставление двух целых предметов достигается благодаря их составленности из соизмеримых частей, в конечном счете из многократно воспроизведенной части, являющейся общей мерой.

Однако не все оказывается так гладко. Пифагорейцам пришлось иметь дело с задачами, которые не решаются подобным способом. В таких задачах ни при каком разбиении на части одного целого не удается составить из этих частей другое. Иными словами, существуют несоизмеримые величины. Таковы, например, сторона и диагональ квадрата. Мы не будем приводить здесь доказательства их несоизмеримости, но попробуем описать существо проблемы. Ясно, что диагональ больше стороны. При этом она не превышает сторону в целое число раз: удвоив сторону квадрата, мы получим величину, превышающую диагональ. Если взять теперь половину стороны, то окажется, что две половины, как мы знаем, меньше диагонали, тогда как три вторых стороны ее превышают. Разбив сторону на три равные части, мы получим, что 4/3 стороны меньше диагонали, а 5/3 – больше. Точно также 5/4 стороны не достает для покрытия диагонали, 6/4 – уже избыток. Такой же результат получится и при более дробных делениях. На какие бы равные части мы ни разделили сторону, нам никогда не удастся составить из этих частей диагональ, мы всякий раз будем получать либо недостаток, либо превышение. Впрочем, чем более мелкие части мы будем использовать, тем меньше будет разница между диагональю и составленных из этих частей отрезков. Поскольку линия делима до бесконечности, то можно достичь сколь угодно точного приближения, но точного равенства – никогда.

Несоизмеримость явно связана с бесконечной делимостью. Она не могла бы возникнуть, если бы существовал некий предел делению, если бы мы могли выявить некий атом[44]44
  Atomos по-гречески буквально значит «неделимый».


[Закрыть], из которого были бы составлены все геометрические величины. Такой атом был бы универсальной мерой, и несоизмеримость была бы невозможна. Но такого атома нет, и, соответственно, нет общей меры для всех геометрических величин. При решении каждой задачи мы должны выбирать особую меру, сообразно ее условиям. Но, оказывается, что найти такую меру не всегда возможно.

В геометрии, таким образом, мы опять имеем дело с пределом и беспредельным. Фигуры и линии ограничены, т. е. имеют предел, но бесконечно делимы, следовательно, включают беспредельное. Точки, ограничивающие линии, и линии, огранивающие фигуры, играют ту же роль, что отдельные голоса в музыке. Они разграничивают континуум, бесконечно делимую среду, вносят в нее структуру, определенность. Именно благодаря такому разграничению возникают соразмерные целостности, подобные тем, которые мы видели в задаче об удвоении квадрата. Но, как видим, в геометрии предел не всегда может совладать с беспредельным. «Прорываясь» в виде несоизмеримости, оно не позволяет нам достичь полной ясности при изучении геометрических фигур и величин.

Гораздо в большей степени удается достичь ясности в арифметике. Здесь мы имеем как раз то, что отсутствовало в геометрии – общую меру. Все числа соизмеримы, поскольку составлены из единиц. В этом собственно и состоит определение числа. По Евклиду, число есть «множество, составленное из единиц» (Евклид. Начала. VII. Опр. 2). Если же пользоваться пифагорейскими источниками, то сходное по сути, хотя и несколько более сложное, определение дает Никомах из Герасы: «Число есть ограниченное множество, или собрание единиц, или поток составленного из единиц количества»[45]45
  [Никомах, ю6].


[Закрыть]. Единица не определяется никак. Она, в отличие от числа, неделима. Иными словами, в арифметике мы имеем ровно ту ситуацию, которую описывали выше. Этим арифметика принципиально отличается от геометрии. Впрочем, число также есть единство предела и беспредельного, но беспредельное проявляет себя здесь не через бесконечную делимость, а через неограниченное возрастание.

Рассмотрим некоторые важные особенности пифагорейской арифметики, опираясь на только что цитированный источник – трактат Никомаха из Герасы. Прежде всего, заметим, что его автор настаивает на неравноправном положении наук, почитая арифметику более значимой, чем все остальные, и даже называя ее «матерью всех наук»[46]46
  [Никомах, 104].


[Закрыть]. Аргументирует он это тем, что «с ее уничтожением уничтожаются все науки, сама же она не уничтожается вместе с ними». Ни геометрия, ни астрономия, ни музыка не могут изучаться без знания чисел. Числа же, упорядочивая и организуя все остальное, не зависят ни от чего. О числах при этом достигается наиболее ясное знание.

Начнем с классификации чисел. Единица, заметим, числом не является. Она есть начало всякого числа. Числа же, прежде всего, разделяются на четные и нечетные. Первые делятся на два равных, вторые же не могут быть разделены на два.

Четные числа, в свою очередь, разделяются на три вида: четно-четные, четно-нечетные, нечетно-четные. Определения этих видов таковы.

Четно-четные числа, по определению Никомаха, делятся на две равные части так, что получившиеся доли, в свою очередь, делятся пополам и это деление пополам можно продолжать до тех пор, пока не получится единица. Иными словами, речь идет о степенях двойки, т. е. числах 2, 4, 8,16, 32, 64…

Четно-нечетное число таково, что его половины уже не делятся на два. Таковы, например, 6,10,14,18, 22, 30. Этот вид четных чисел Никомах называет противоположным первому.

Наконец третий вид, который Никомах считает средним между двумя противоположностями – нечетно-четные числа – это числа, половины которых делятся пополам, и даже у некоторых половины половин делятся надвое, а у некоторых это деление можно продолжить и далее. Однако, в отличие от четно-четных чисел, это деление невозможно продолжить до единицы. Его конечным итогом всегда будет какое-то нечетное число (напомним, что единицу пифагорейцы числом не считали, а потому не считали ее нечетной). Таковы, например, числа 24, 28, 36, 40, 44.

Далее Никомах описывает свойства каждого из трех видов, чем мы здесь заниматься уже не будем. Заметим, что такая классификация четных чисел для современной математики не очень интересна, тогда как пифагорейцы явно придают ей большое значение. Чем же она важна? Я думаю, что некоторую подсказку мы получим, если посмотрим, как определяет эти виды чисел Евклид.

Четно-четное число есть четным числом измеримое четное число раз.

Четно-нечетное число есть четным числом измеримое нечетное число раз.

Нечетно-четное число есть нечетным числом измеримое четное число раз (Евклид. Начала. VII. Опр. 8-10).

Получается, что речь здесь, как и при изучении геометрических фигур, идет об измеримости. На этот раз одно число оказывается мерой для других. Помимо того, что все числа измеримы единицей и, следовательно, соизмеримы, между числами определенного вида можно найти дополнительную соизмеримость, т. е. можно измерить их общей мерой, отличной от единицы. Измеримость же есть составленность целого из частей, более того, определенная организация частей, составляющих целое. У каждого из трех видов четных чисел эта организация разная.

Туже мысль можно увидеть и в классификации нечетных чисел. Здесь так же различаются три вида, причем так, что два из них противоположны, а третий – промежуточный. Числа первого из этих видов называются «первичными и несоставными», второго – вторичными и составными. Числа третьего вида Никомах определяет как «сами по себе вторичные и составные, но по отношению к другим – первичные и несоставные».

Первый из названных видов мы теперь называем простыми числами. Эти числа делятся лишь на себя и на единицу, т. е. измеримы лишь единицей.

Числа второго вида, противоположного первому, «могут быть измерены другим числом, помимо единицы»[47]47
  iy. [Никомах, 113].


[Закрыть]. Это составные числа, т. е. нечетные числа, имеющие отличные от единицы делители. Таковы, например, 9,15, 25.

Что касается третьего вида, то его описание у Никомаха весьма неясно и содержит явные логические неувязки. Например, он относит число 9 и ко второму, и к третьему виду.

Мы не будем, чтобы не затягивать наш рассказ, излагать все основы пифагорейской арифметики. Заметим лишь, что выявляемые в ней свойства чисел всегда будут определяться одной и той же указанной только что мыслью: очередное установленное свойство числа есть следствие некоторой организации частей внутри целого. При этом организация частей определяется их соразмерностью.

Обратим лишь еще раз внимание на различение четного и нечетного, принципиальное для всей пифагорейской арифметики.

Четные числа делимы на две равные части. Нечетные числа неделимы надвое «из-за присутствия единицы в середине»[48]48
  [Никомахюб].


[Закрыть].

Что означает «присутствие единицы в середине» легко понять из графического изображения четного и нечетного числа:

Рис. 3. Представление четных и нечетных чисел

Нечетное число имеет центр симметрии, а у четного в центре ничего нет. Эта пустота в центре делает четное число как бы неустойчивым, делимым и, как следствие, менее совершенным, чем нечетное. Нечетное число имеет начало, конец и середину и представляет собой замкнутое целое. Четному же числу свойственна разомкнутость. Оно как будто растекается в бесконечность. Во всяком случае, пифагорейцы полагали, что нечетному числу соответствует предел, а четному – беспредельное.

Обратим внимание, что и в этом случае все определяется организацией частей в пределах целого. Однако, говоря о числе, мы должны обратить внимание на другую пару понятий, более общих, чем часть и целое. Эти понятия – единство и множество. Число, как мы видели, было определено как множество, составленное из единиц. Такое множество, конечно, есть нечто целое, состоящее из частей. Но оно представляет собой предельный случай такого целого. В геометрии, космологии и музыке части были сложны и соразмерны. Здесь же они просты и неразличимы. Все сводится к многократному повторению одного и того же. При любой соразмерности мы имеем такое повторение. Но общая мера, воспроизводимая много раз в пределах целого, все же есть нечто сложное. Она также имеет собственное устройство. Число – идеальная модель целого, состоящего из соразмерных частей. Общая мера в нем предельно проста и уже не имеет никакой собственной организации. Всякая общая мера есть усложненная единица. Число, следовательно, лежит в основе всех других целостностей. Всякая организованная, упорядоченная сложность имеет в своей основе число. Оно являет эту сложность (сложенность) в самом чистом виде. Можно сказать и иначе: всякое целое, состоящее из частей, есть, по своей сути, число, усложненное, обремененное какими-то дополнительными, нечисловыми характеристиками. Поэтому истинное знание всякого сущего представляет собой знание его числовой структуры. Поэтому арифметика есть главная наука, без которой невозможна никакая другая.