Текст книги "Математические головоломки профессора Стюарта"

Без улик
Из мемуаров доктора Ватсапа

Листая потрепанные страницы своих записных книжек, я вспоминаю бесчисленные загадки, которые Сомс решал, обращая внимание на улики столь тонкие, что они успешно ускользали от внимания менее острых умов. В памяти всплывают такие дела, как приключение суссекского эмпайра (замечательная таинственная история спортивной раздевалки, решающую роль в разгадке которой сыграл слишком быстро истершийся мяч для крикета), история коровы со сломанным рогом, покушение на тройное убийство подсвинка и дело о пропавшем пироге. Однако среди этих дел одно стоит особняком: это загадка, единственным ключом к которой служило полное отсутствие каких бы то ни было зацепок и улик.

Дело происходило в мокрый пасмурный вторник, когда улицы Центрального Лондона были заполнены густой смесью дыма и тумана. Мы отказались на некоторое время от активного преследования преступников ради раздумий у теплого огня в компании объемистых бокалов вездесущего и даже немного надоевшего кларета.

– Послушайте, Сомс, – заметил я.

Мой коллега перебирал толстую стопку фотографических пластинок, запечатлевших отпечатки копыт в грязи и полученных с использованием нового, улучшенного Истманом желатинового процесса Мэддокса. Его единственной реакцией на мое восклицание стало раздраженное:

– Вы нигде не видели моей коллекции фотографий упряжных лошадей, Ватсап?

Однако я человек упрямый.

– В этом деле нет ни одной зацепки, Сомс.

– Оно такое не одно, – мрачно пробормотал он.

– Нет, я имею в виду… вообще никаких указаний, ни одной улики.

Вот теперь мои слова его наконец заинтересовали, я ясно это видел. Он взял газету из моей протянутой руки и взглянул на диаграмму.

– В данном случае правила очевидны, Ватсап, хотя их здесь и нет.

– Почему?

– Они должны быть достаточно простыми, чтобы мотивировать читателя к разгадыванию загадки, но создавать при этом достаточно сложную задачу, способную удержать интерес.

– Несомненно. Так какие же здесь правила, Сомс?

– Ясно, что в каждой строке и в каждом столбце должны содержаться числа 1, 2, 3 и 4 ровно по одному разу каждое.

– Ах! Так это комбинаторная задачка, разновидность латинского квадрата.

– Да, но этого мало. Очевидно, что важны также две области, разграниченные жирной черной линией. Я предполагаю, что числа в той и другой области при сложении должны давать одинаковую сумму… Да, тогда решение будет единственным.

– Ага! Интересно, какое это решение.

– Вы же знаете мои методы, Ватсап. Воспользуйтесь ими, – и он вернулся к рассматриванию фотографических пластинок.

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные». Если вас заинтересовали задачи без указаний, то их дополнительные примеры вы найдете в главе «Дверца страха».

Краткая история судоку

Современные читатели узнают в головоломке Ватсапа один из вариантов судоку. (На случай, если вы только что вернулись из сорокалетней экспедиции на Проксиму Центавра, поясню: это квадрат 9 × 9, разделенный на 9 блоков 3 × 3, причем в некоторых клетках заранее проставлены цифры. Нужно заполнить остальные клетки таким образом, чтобы в каждой строке, каждом столбце и каждом блоке содержались все цифры от 1 до 9.)

Похожие, но существенно различающиеся головоломки известны давно и имеют долгую историю, восходящую к китайцу Ло Шу и его магическому квадрату, который он будто бы увидел на спине черепахи примерно в 2100 г. до н. э. Книга «Математические и физические развлечения» Жака Озанама, написанная в 1725 г., включала в себя головоломку на тему карточной игры, чуть более близкую к судоку. Возьмите 16 фигурных карт (это туз, король, дама и валет) и выложите их квадратом так, чтобы в каждом ряду и каждом столбце содержались карты всех мастей и достоинств. Кэтлин Оллереншоу показала, что существует 1152 решения этой задачи, которые сводятся всего лишь к двум принципиально разным вариантам, если считать, что два решения совпадают, если одно может быть получено из другого перестановкой мастей или достоинств. Существует 24 × 24 = 576 способов сделать это с любым заданным решением, а 1152/576 = 2.

Сможете ли вы найти эти два принципиально разных решения? Ответ см. «Загадки разгаданные».

В 1782 г. Эйлер опубликовал задачу о 36 офицерах: можно ли построить офицеров шести полков, в каждом из которых по шесть офицеров разных рангов, в каре (то есть квадратом) 6 × 6 таким образом, чтобы в каждой шеренге и в каждой колонне присутствовали офицеры всех рангов из всех полков? Подобные расстановки получили название греко-латинских квадратов, потому что латинские (A, B, C, …) и греческие (α, β, γ, …) буквы можно использовать для обозначения рангов и полковой принадлежности. Эйлер нашел методы построения греко-латинских квадратов, порядок которых (то есть размер квадрата) является нечетным числом или имеет двойную четность, то есть кратен четырем.

Эйлер предположил, что для порядка, выражаемого удвоенным нечетным числом, таких квадратов не существует. Для порядка 2 это очевидно, а в 1901 г. Гастон Тарри доказал это для порядка 6. Однако в 1959 г. Радж Чандра Бозе и Шарадчандра Шанкар Шриханде сумели при помощи компьютера отыскать греко-латинский квадрат порядка 22, а Эрнест Паркер нашел такой квадрат порядка 10. После этого все трое доказали, что гипотеза Эйлера неверна для всех удвоенных нечетных чисел, больших или равных 10.

Квадратные таблицы размером n × n, такие, что каждая строка и каждый столбец содержит все числа от 1 до n (каждое, понятно, по одному разу), получили известность как латинские квадраты, а греко-латинские квадраты были переименованы в ортогональные латинские квадраты. Эти темы входят в область математики, которую называют комбинаторикой, и применяются в области коммуникаций, в экспериментальном дизайне и при составлении расписаний всевозможных соревнований.

Полный шаблон судоку – это латинский квадрат, но в головоломке присутствуют и дополнительные условия по отношению к внутренним блокам 3 × 3. В 1892 г. французская газета Le Siècle напечатала на своих страницах головоломку, в которой из магического квадрата были удалены некоторые числа, и читатели должны были их восстановить. La France вплотную подошла к изобретению судоку, так как в ее магических квадратах использовались только цифры от 1 до 9. В решениях, кстати говоря, каждый из блоков 3 × 3 тоже содержал все девять цифр, но явно об этом нигде не говорилось.

Судоку в его современной форме предложил, вероятно, Говард Гарнс, а опубликована первая головоломка была анонимно в Dell Magazines в 1979 г. под названием «числовая площадь». В 1986 г. японская компания Nikoli публиковала такие головоломки в Японии под не слишком удобоваримым и заметным названием suji wa dokushin ni kagiru («все цифры по одному разу»). Позже название сократили до su doku. Газета The Times начала публиковать головоломки судоку в Великобритании в 2004 г., после того как Уэйн Гулд, написавший компьютерную программу, способную отыскивать решения практически мгновенно, обратился в редакцию с предложением о сотрудничестве. В 2005 г. судоку во всем мире стали модным увлечением.

Гексакосиойгексеконтагексафобия

Этим страшным словом обозначается боязнь числа 666.

В 1989 г. президент США Рональд Рейган и его жена Нэнси при переезде поменяли прежний адрес своего нового дома, 666 по Сен-Клу-роуд, на 668 по той же улице. Однако вряд ли этот случай можно приводить в качестве примера гексакосиойгексеконтагексафобии, поскольку вполне возможно, что Рейганы не боялись этого числа как такового, а просто хотели подстраховаться и избежать в будущем очевидных обвинений и возможных неловкостей.

С другой стороны… Когда Дональд Риган, шеф президентской администрации при Рейгане, опубликовал в 1988 г. свои мемуары «Под запись. От Уолл-стрит до Вашингтона», он написал, что Нэнси Рейган регулярно советовалась с астрологами, сначала с Джейн Диксон, а позже с Джоан Куигли. «Практически любое серьезное действие или решение Рейганов во время моего пребывания на посту главы администрации Белого дома заранее согласовывалось с какой-то женщиной в Сан-Франциско, которая рисовала гороскопы, чтобы убедиться в благоприятном расположении планет».

Число 666 обладает оккультным смыслом, потому что именно оно объявлено числом зверя в Откровении Иоанна Богослова (13:17–18): «И что никому нельзя будет ни покупать, ни продавать, кроме того, кто имеет это начертание, или имя зверя, или число имени его. Здесь мудрость. Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо это число человеческое; число его шестьсот шестьдесят шесть».

Считается, что это число отсылает нас к нумерологической системе, которая на иврите называется «гематрия», а по-гречески – «изопсефия» и в которой числа обозначаются буквами алфавита. При этом возможно несколько вариантов обозначения: буквы алфавита можно пронумеровать последовательно, а можно сначала обозначить цифры 1–9, затем десятки 10–90, затем сотни 100–900 и т. д., сколько нужно (именно так записывали числа древние греки). Тогда сумма чисел, обозначаемых буквами имени человека, и будет численным значением этого имени.

За прошедшие века предпринимались бесчисленные попытки вычислить, кто такой зверь, упоминаемый в Откровении. Среди предположений фигурируют и Антихрист (написанный в подобных обвинениях на латыни как Antichristum), и Римско-католическая церковь (обозначенная одним из вариантов титулования римского папы: Vicarius Filii Dei), и Эллен Гулд Уайт (Ellen Gould White), одна из организаторов Церкви адвентистов седьмого дня. С чего бы вдруг? Ну, если считать только латинские числительные в ее имени, то получится:

что в сумме дает 666. Если вы считаете, что зверем был Адольф Гитлер, вы можете «доказать» это, начав нумерацию с A = 100:

В сущности, процесс «доказывания» сводится к следующему: выбираете ненавистную фигуру на основании собственных политических или религиозных взглядов, а затем подгоняете нумерацию и, если необходимо, имя, чтобы получить нужный результат.

Однако не исключено, что все эти глубокомысленные рассуждения и далеко идущие выводы основаны на простом недопонимании – не говоря уже о сомнительности веры в то, что подобные вещи в принципе могут что-то значить; сегодня уже очевидно, что число 666, возможно, возникло в результате ошибки. Около 200 г. н. э. священник Ириней знал, что в нескольких ранних рукописях называется другое число, но приписывал это ошибкам писцов и утверждал, что именно 666 можно найти «во всех самых достоверных и древних списках». Но в 2005 г. ученые Оксфордского университета применили компьютерные технологии обработки изображений и попытались прочесть с их помощью нечитаемые прежде части самого раннего известного списка «Откровения» – экспоната № 115 из числа папирусов, обнаруженных при раскопках древнего Оксиринха. Этот документ, датируемый примерно 300 г. н. э., считается самой достоверной и определяющей версией канонического текста. Числом зверя в нем названо 616.

Раз, два, три

В квадратной табличке

присутствует каждая из девяти цифр от 1 до 9. Второй ряд (384) вдвое больше первого (192), а третий (576) – втрое больше.

Существует еще три способа добиться того же результата. Сможете их найти?

Ответ в главе «Загадки разгаданные».

Как сберечь удачу

– Один мой приятель выиграл в лотерею Lotto 7 млн, – сказал мой сосед по спортивной раздевалке. – Конец всем моим шансам. Невозможно выиграть самому, если ты знаком с кем-то, кто выиграл.

Городских легенд и мифов о Национальной лотерее Великобритании насчитывается, наверное, не меньше, чем число ног у многоножки, но с таким вариантом я прежде не сталкивался. Мне стало интересно: почему люди с такой готовностью верят в подобные вещи?

Подумайте сами. Чтобы сказанное моим приятелем соответствовало действительности, необходимо, чтобы на работу лотерейного автомата влиял каким-то образом круг его общения, его друзья и знакомые. Автомат должен сначала узнать, не случалось ли прежде кому-то из них выиграть, а потом принять меры к тому, чтобы выбранные лично им числа не попадали в тираж; это значит, что он должен также знать, какие именно числа он выбрал. Более того, об этом должны знать все 11 лотерейных автоматов, которые используются в тиражах Национальной лотереи, потому что тот из них, который будет использован на текущей неделе, также выбирается случайно.

Принимая во внимание, что лотерейный автомат – это неодушевленное механическое устройство, приведенные выше построения не выглядят сколько-нибудь разумными.

Каждую неделю шанс того, что любой отдельно взятый набор из шести чисел выиграет джекпот, равен 1 из 13 983 816. Именно столько существует различных комбинаций разрешенных чисел, и любая из них может выпасть с равной вероятностью. Если нет, это значит, что машина отдает предпочтение каким-то определенным числам, а она специально сконструирована так, чтобы избежать этого. Ваши шансы на выигрыш определяются только тем, какие числа вы выбрали на этой неделе, а не тем, что когда-то сделал человек, с которым вы знакомы. А вот сумма, которую вы можете выиграть, действительно зависит от действий других людей: если вы угадали, но угадали не один, вам придется разделить сумму выигрыша на всех. Но моего приятеля беспокоило не это.

Причина, по которой некоторые из нас верят в подобные мифы, относится скорее к области человеческой психологии, нежели к теории вероятностей. Возможно, из-за подсознательной веры в волшебство, которая в данном случае проявляет себя как удача. Если вы уверены, что удача – это реальное качество, которым может обладать человек, и что это качество увеличивает шансы на выигрыш, а также если вы считаете, что запасы удачи в ближайшей окрестности ограниченны, то очень может быть, что ваш знакомый уже использовал всю имеющуюся поблизости удачу. «Поблизости» в данном случае означает ваш круг общения. О господи! Скажите, можно ли разместить свою удачу в «Твиттере»? Или в «Фейсбуке», где ее могут стащить так называемые друзья? Это же бред какой-то!

А может быть, в основе всего этого лежит примерно та же идея, согласно которой человек всякий раз, куда бы ни отправлялся, берет с собой на борт самолета бомбу, рассчитывая на то, что вероятность нахождения двух бомб на одном самолете пренебрежимо мала. (Ошибка здесь в том, что вы сознательно проносите бомбу на борт самолета и это никак не влияет на вероятность того, что то же самое втайне от вас сделает кто-то другой.)

Действительно, у большинства людей, выигравших в лотерею, нет друзей, которые тоже выиграли бы значительную сумму. Из этого легко сделать вывод, что всякому, кто хочет выиграть, следует избегать дружбы с такими людьми. На самом же деле у победителей Lotto нет друзей-победителей ровно по той же причине, по которой их нет у большинства проигравших: победителей вообще очень мало, а проигравших – огромное количество.

Согласен, чтобы выиграть, необходимо участвовать. Одна моя знакомая выиграла полмиллиона фунтов; вероятно, она очень обиделась бы на меня, если бы я отсоветовал ей играть, а в следующем тираже выпали бы те числа, которые она обычно выбирала.

Я лично никогда не играю в Lotto. С одной стороны, я твердо знаю, что шансы на выигрыш очень малы, а с другой – мне не кажется, что возбуждение азарта, которое вроде бы должен испытывать игрок, стоит того, чтобы практически наверняка выбрасывать на ветер заработанные честным трудом деньги. Но я также уже много лет участвую в своеобразной лотерее: пытаюсь написать бестселлер. Джекпот мне пока не выпал, но я определенно продвинулся в этом деле. Несколько лет назад Дж. К. Роулинг (вы знаете, что она написала) стала первой в Британии женщиной-миллиардером, самостоятельно заработавшей свое состояние. Кстати говоря, оно в 500 раз больше типичного лотерейного джекпота. А писателей в Британии куда меньше, чем 14 млн.

Забудьте о лотерее. Напишите лучше книгу.

Дело о четырех тузах
Из мемуаров доктора Ватсапа

Мой друг-детектив внезапно прекратил расстреливать из револьвера короб каминного дымохода; теперь на штукатурке, выбитые следами от пуль, красовались буквы VIGTO.

– В чем дело, Ватсап? – вопросил он раздраженным тоном.

Я очнулся от раздумий.

– Простите, Сомс. Я вас потревожил?

– Я вижу, как вы думаете, Ватсап. Вы очень характерно поджимаете губы и дергаете себя за мочку уха, когда вам кажется, что никто вас не видит. Это очень отвлекает. Одна пуля ушла в сторону, и буква C больше похожа на G.

– Я думал об этом новом фокуснике, он только что начал выступать, – сказал я. – Э-э, как же его…

– Великий Гудунни.

– Да, это его псевдоним. Умный парень. Я был на его выступлении на той неделе. Он проделывал самый поразительный карточный фокус из всех, какие мне приходилось видеть, и я не могу теперь избавиться от мыслей о нем. Сначала он взял колоду карт и выложил 16 верхних в четыре ряда по четыре карты, рубашками кверху. Затем перевернул четыре из них лицом кверху. Он пригласил добровольца из числа зрителей, так что я, конечно, поднял руку, но он почему-то выбрал не меня, а симпатичную юную леди. Зовут Еленой… Ну ладно, в любом случае он велел ей раз за разом «складывать» карточный квадрат, как складывают лист почтовых марок по линиям перфорации, до тех пор пока все 16 карт не собрались в одну стопку.

– Это была его сообщница, – пробормотал Сомс. – Элементарно.

– Я так не думаю, Сомс. Да это и не помогло бы. По каким линиям складывать, решали зрители. К примеру, в первый раз можно было сложить по любой из трех горизонтальных линий между картами или по любой из трех вертикальных – а по какой именно, называли зрители.

– Значит, зрители ему подыгрывали.

Я видел, что у него начинается очередной приступ дурного настроения.

– Я сам выбрал одну из линий, Сомс.

Великий человек отрешенно кивнул.

– Тогда, может быть, фокус настоящий. В таком случае… Ах да, сразу вспоминается дело о припрятанных кексах… Скажите, Ватсап: когда все карты были сложены в одну стопку, не попросил ли он Елену разложить снова их по столу? Не переворачивая?

– Да.

– И не оказалось ли чудесным образом, что либо 12 карт лежали лицом книзу, а четыре – лицом кверху, либо наоборот, четыре – лицом книзу, а 12 – лицом кверху?

– Да. Первый вариант. И лицом кверху лежали…

– Четыре туза. Что же еще? Весь фокус абсолютно прозрачен.

– Но ведь могло оказаться и наоборот, Сомс, – запротестовал я.

– В этом случае фокусник велел бы Елене перевернуть те четыре карты, которые оказались лицом книзу, и открыть…

– А! Четыре туза. Понятно. Но даже так, это поразительно, настоящее волшебство. Представьте себе, на скольких разных местах могли оказаться тузы и сколькими разными способами зрители могли сложить карточный квадрат…

– Поразительный пример надувательства, Ватсап.

Я не стал скрывать свое изумление.

– Вы хотите сказать, что он заранее знал, какие ходы выберут зрители? Какой-нибудь хитроумный психологический трюк?

– Нет, Ватсап, он просто подтасовал карты. Подайте мне ту колоду, которую миссис Сопсудс держит под стойкой для шляп в прихожей для вечеров с бриджем, и я вам покажу.

Я поспешил выполнить его указания.

Когда я вновь появился в гостиной, слегка задыхаясь после подъема по лестнице (я тогда был не в форме), Сомс взял у меня карты. Он выбрал из колоды все четыре туза и вставил их обратно, на первый взгляд случайным образом. После этого он выложил четыре ряда по четыре карты и перевернул четыре из них, вот так:

После этого он велел мне сложить все карты в стопку согласно тем инструкциям, которые Гудунни на представлении давал Елене. По окончании процедуры я вновь разложил карты – и кто бы мог подумать! Четыре из них оказались лежащими не так, как остальные 12. И все четыре были… тузами!

– Сомс! – воскликнул я. – Воистину, это самый поразительный карточный фокус, какой мне только доводилось видеть! Я не заметил, что вы умудрились заранее разложить тузы нужным образом, хотя вы наверняка это сделали, но даже если это так, число разных способов, которыми я мог сложить карты, громадно!

Сомс вновь зарядил револьвер.

– Мой дорогой Ватсап, сколько раз я просил вас не спешить с необоснованными выводами.

– Но ведь способов на самом деле тысячи, Сомс!

Детектив коротко кивнул.

– Я имел в виду не эти выводы, Ватсап. Неужели вы правда думаете, что выбор порядка складывания имеет хоть малейшее значение?

Я хлопнул ладонью по лбу.

– Вы хотите сказать… что порядок безразличен? – но Сомс в ответ лишь возобновил прерванную атаку на дымоход.

Как работает фокус Гудунни? Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».