Текст книги "Математические головоломки профессора Стюарта"

Хозяин всего, что за оградой

Один фермер хотел огородить как можно больший участок поля как можно более короткой оградой. Не слишком, может быть, хорошо подумав, он обратился с этим в местный университет, который прислал ему для консультации инженера, физика и математика.

Инженер построил круглую ограду и сказал, что в данном случае окружность – самая эффективная фигура.

Физик построил прямую ограду такой длины, что ее концы невозможно было разглядеть, и сказал фермеру, что фактически эта ограда идет вокруг Земли, так что он огородил ровно половину планеты.

Математик построил тесную круглую ограду вокруг себя и сказал, что он, математик, находится снаружи.

Еще одна любопытная числовая закономерность

1 × 8 + 1 = 9;

12 × 8 + 2 = 98;

123 × 8 + 3 = 987;

1234 × 8 + 4 = 9876;

12345 × 8 + 5 = 98765.

Итак, вопросы для начинающих Хемлоков Сомсов: что дальше и когда эта закономерность прекратится?

Ответы см. в главе «Загадки разгаданные».

Задача о непрозрачном квадрате

Кстати, об оградах… Что представляет собой ограда наименьшей длины, перекрывающая все линии зрения, проходящие через квадратное поле? Имеется в виду такая ограда, которая пересекалась бы с любой прямой, проходящей через поле. Это и есть «Задача о непрозрачном квадрате»; название указывает, что нужно сделать квадрат полностью непрозрачным для взгляда. Вопрос этот первым задал Стефан Мазуркевич в 1916 г., причем для произвольной фигуры, не только для квадрата. Ответа на него до сих пор нет, хотя некоторый прогресс достигнут.

Предположим, что сторона квадратного поля равна единице. Тогда ограды вдоль всех четырех сторон квадрата наверняка будет достаточно, и ее длина будет равна 4. Однако можно убрать одну из сторон, и квадрат при этом останется непрозрачным, а ответ уменьшится до 3. Это и есть ограда наименьшей длины, образованная одной ломаной линией. Но если мы разрешим строить ограды из нескольких отдельных отрезков прямых, то на ум быстро придет более короткий вариант: две диагонали поля суммарной длиной 2√2 = 2,828 (приближенно).

Можно ли добиться лучшего результата? Один общий факт очевиден: непрозрачная ограда, полностью умещающаяся в пределах поля, обязательно должна содержать все четыре угла квадрата. Если хотя бы один из углов не будет включен в нее, найдется прямая, которая пересечет квадрат в этой единственной точке (она пройдет снаружи по диагонали через угол) и минует нашу ограду. Но даже одна такая прямая станет нарушением условия задачи.

Любая ограда, включающая в себя все четыре угла и соединяющая их, должна быть непрозрачной, потому что любая прямая, рассекающая квадрат, должна либо проходить через угол, либо разделять два угла, а значит, любая линия, соединяющая углы, непременно с ней пересечется. Но является ли пара диагоналей наименее протяженной из подобных оград? Нет, не является. Самая короткая ограда, соединяющая все четыре угла квадрата, называется деревом Штейнера и имеет длину 1 + √3 = 2,732 (приближенно). Линии, составляющие это дерево, встречаются под углами 120°.

Однако оказывается, что даже эта ограда – не самая короткая. Существует разомкнутая ограда, в которой одна из частей блокирует линии прямой геометрической видимости через прореху в другой. Длина ее равна √2 + √(3/2) = 2,639. Считается, хотя пока и не доказано, что это и есть непрозрачная ограда наименьшей длины. Бернд Каволь доказал, что это самая короткая ограда, состоящая ровно из двух несвязанных кусков. Один из этих кусков – дерево Штейнера, связывающее три угла, то есть три отрезка, которые исходят из углов и встречаются под углами 120°. Второй – кратчайший отрезок прямой, соединяющий центр квадрата и четвертый угол.

Мы не можем даже сказать наверняка, что именно этот вариант представляет кратчайшую непрозрачную ограду. Или, скажем, что если существует ограда еще короче, то она непременно целиком укладывается внутрь квадрата. Вэнс Фэйбер и Ян Мысельски доказали, что для любого заданного конечного числа кусков существует по крайней мере одна кратчайшая непрозрачная ограда. (В принципе их вполне может быть и несколько.) Технически возможен следующий вариант: чем больше составных частей ограды вы допускаете, тем короче получается ограда. Эта проблема до сих пор не решена, и мы не можем с полной уверенностью сказать, что это не так. Если же это так, то существует последовательность все более коротких оград, но не существует ограды, которая была бы короче всех. Иначе говоря, самой короткой оградой является та, что состоит из бесконечного множества не связанных между собой частей.

Непрозрачные многоугольники и круги

Существует стандартный математический трюк: если не можешь решить задачу, обобщи ее, то есть рассмотри некоторое множество аналогичных, но более сложных задач. Эта мысль может показаться глупой: как рассмотрение более сложной задачи поможет справиться с менее сложной? Но чем больше у вас примеров для обдумывания, тем выше шансы заметить какую-нибудь интересную общую черту, которая и послужит ключом к задаче. Этот прием не всегда срабатывает, и здесь мы пока не видели подобных примеров, но иногда помогает.

Один из способов генерализации, или обобщения, задачи о непрозрачном квадрате состоит в том, чтобы изменить форму поля. Замените квадрат на прямоугольник или многоугольник с бо́льшим числом сторон, круг или эллипс – здесь открывается широчайшее поле для фантазии.

Математики сосредоточились в основном на двух генерализациях: на правильных многоугольниках и кругах. Самая короткая известная непрозрачная ограда для правильного треугольника – это дерево Штейнера, соединяющее каждый из углов с центром треугольника. Существует общая конструкция, которая позволяет получить ограды наименьшей длины для правильных многоугольников с нечетным числом сторон, и похожая на нее конструкция для четного числа сторон.

А как насчет непрозрачного круга? Если вся ограда должна располагаться в пределах фигуры, то очевидный ответ – это длина окружности. Для единичного круга это 2π = 6,282. Если часть окружности отсутствует, вам потребуются дополнительные участки ограды внутри круга, которые блокировали бы прямые, проходящие через отсутствующий сегмент, и все сильно усложняется. Интуитивно круг можно представить как правильный многоугольник с бесконечным числом бесконечно коротких сторон. На основании этой идеи Каволь доказал, что построение, аналогичное построению для правильных многоугольников, но с бесконечным числом сторон, дает непрозрачную ограду полной длины π + 2 = 5,141, что меньше 2π. Но если мы разрешим вынос части ограды за пределы круга, то выяснится, что существует более короткая непрозрачная ограда в форме буквы U. Ее длина также равна π + 2. Предполагается, что это самая короткая из возможных оград; пока это доказано для оград, представляющих собой единую кривую без ветвления.

Кроме того, задача была расширена на трехмерное пространство: здесь ограда превращается в сложную поверхность. Самая известная непрозрачная ограда для куба образована из нескольких искривленных кусков.

πr²?

No, pie are round. Chocolate are squared[14]14
  Математическая шутка. По-английски формула πr2 звучит очень похоже на фразу «Пирог квадратный». На что собеседник возражает: «Нет, пирог круглый. А вот шоколадка квадратная». – Прим. пер.


[Закрыть].

Знак одного
Из мемуаров доктора Ватсапа

– Сомс! Вот симпатичная головоломка. Она могла бы заинтересовать вас.

Хемлок Сомс положил кларнет, на котором только что исполнял боливийскую погребальную мелодию.

– Я в этом сомневаюсь, Ватсап.

Меланхоличное настроение преследовало моего друга уже несколько недель, и я намеревался во что бы то ни стало встряхнуть его.

– Задача в том, чтобы выразить целые числа 1, 2, 3 и т. д. с использованием не более чем…

– Четырех четверок, – сказал Сомс. – Я хорошо знаю эту задачу, Ватсап[15]15
  W.W. Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays (11th edition), Macmillan, London 1939.


[Закрыть].

Я решил, что не позволю отсутствию интереса с его стороны смутить меня.

– Основные арифметические символы позволяют таким образом добраться до 22. Знак квадратного корня повышает этот предел до 30. Знак факториала – до 112; знак возведения в степень – до 156…

– А субфакториала – до 877, – закончил за меня Сомс. – Это старая задачка, и ее уже давно выжали досуха.

– Что такое субфакториал, Сомс? – спросил я, но он уже уткнулся носом во вчерашний выпуск Daily Wail[16]16
  Здесь обыгрывается название британской газеты Daily Mail. Daily Wail можно перевести как «Ежедневные вопли». – Прим. ред.


[Закрыть].

Однако не прошло и минуты, как он вновь показался из-за газетного листа.

– Имейте в виду, Ватсап, существует множество возможных вариантов. Использование именно четверки дает нам значительную свободу, к тому же всего из одной четверки можно получить несколько весьма полезных чисел. К примеру, √4 = 2 и 4! = 24.

– А что означает здесь восклицательный знак? – поинтересовался я.

– Факториал. К примеру, 4! = 4 × 3 × 2 × 1. Что, как я уже сказал, равно 24.

– О-о.

– Эти дополнительные числа достаются нам бесплатно и существенно облегчают задачу. Но вот интересно… – его голос почти затих.

– Что интересно, Сомс?

– Интересно, как далеко можно продвинуться, если использовать четыре единицы.

Внутренне я ликовал, поскольку в нем явно пробудился интерес. А вслух сказал:

– Да, я понимаю. Теперь √1 = 1 и 1! = 1, так что «бесплатно» ничего не возникает. Это усложняет задачу, но делает ее, возможно, более достойной нашего внимания.

Он хмыкнул, и я поспешил реализовать свое крохотное преимущество. Лучший способ заинтересовать Сомса состоит в том, чтобы попробовать решить задачу самостоятельно и потерпеть неудачу.

– Понятно, что 1 = 1 × 1 × 1 × 1,

а также

2 = (1 + 1) × 1 × 1,

3 = (1 + 1 + 1) × 1,

4 = 1 + 1 + 1 + 1,

но выражение для 5 мне уже не дается.

Сомс поднял одну бровь.

– Вы могли бы рассмотреть выражение

5 = (1/0,1)/(1 + 1).

– Хм, хитро! – воскликнул я, но Сомс только фыркнул. – Но как насчет 6? – продолжал я. – Я вижу, как получить шестерку с использованием факториала:

6 = (1 + 1 + 1)! × 1.

На самом деле мне нужны только три единицы, но от всех лишних легко избавиться посредством умножения на них.

– Элементарно, – пробормотал он. – А рассматривали ли вы такой вариант, Ватсап?

если вы настаиваете на использовании факториалов. Разумеется, чтобы использовать все четыре единицы, вы можете умножить на 1 × 1, или на 1/1, или прибавить 1–1.

Я непонимающе воззрился на формулу.

– Я узнаю десятичную точку, Сомс, но что означают скобки вокруг 1?

– Период, – ответил Сомс устало. – Нуль запятая 1 в периоде соответствует 0,11111… до бесконечности. Единица в периоде дает число, равное в точности 1/9. Разделив на это единицу, получим 9, корень из 9 равен 3…

– А дальше 3 + 3 = 6, – возбужденно вскричал я. – И еще, конечно,

7 = (1 + 1 + 1)! + 1

обходится без всяких корней. Но 8 – совсем другое дело…

– Обратите внимание, пожалуйста, – сказал Сомс.

8 = 1/0,(1) – 1 × 1

9 = 1/0,(1) + 1 – 1

– Ага! Вот это да! И дальше

10 = 1/0,(1) + 1 – 1

11 = 1/0,(1) + 1 + 1

и…

– Вы щедро тратите свои единицы, – заметил Сомс. – Лучше приберечь их для дальнейшего.

Он написал:

10 = 1/0,1

11 = 11

и добавил:

– Обратите внимание на отсутствие символа периода, Ватсап. На этот раз это обычная десятичная дробь 0,1. А-а, и вам следует домножить то и другое на 1 × 1, чтобы не оставлять лишних единиц или потратить их еще каким-то способом из тех, о которых я упоминал. Но вообще-то можно опускать эти лишние единицы, ведь позже мы найдем, куда их можно употребить.

– Да! Вы имеете в виду что-то вроде

и т. д.?

По губам Сомса промелькнула тень улыбки.

– Вы точно все схватили, Ватсап!

– Но как насчет 15? – спросил я.

– Тривиально, – вздохнул он и написал:

К этому я триумфально добавил:

и Сомс одобрительно кивнул.

– Вот теперь задача начинает становиться интересной, – заметил он. – Как насчет 23? Справитесь?

– Есть, Сомс! – воскликнул я.

– Мы помним, – пояснил я, – что 4! = 24, как вы столь мудро заметили. Здорово, Сомс! Хотя 26 я не смог бы выразить, даже если бы на кону была моя жизнь.

– Ну… – начал он и остановился.

– Ага, застряли, не так ли?

– Ни в малейшей степени. Я просто думал о том, есть ли необходимость вводить новый символ. Конечно, он немало облегчит нам жизнь. Ватсап, слышали ли вы когда-нибудь о функциях округления, которые еще называют «пол» и «потолок»?

Мой взгляд против моей воли метнулся за подсказкой вниз, к ногам, а затем вверх, поверх головы Сомса, но вдохновение меня не осенило.

– Вижу, что не слышали, – сказал Сомс. «Откуда он знает, что я думаю? – подумал я. – Это даже…»

– Жутковато… да, разве не так? Я читаю вас, как открытую книгу, Ватсап. И эта книга, вероятно, «Сказки матушки Гусыни». Так вот эти функции выглядят так:

= наибольшему целому числу, меньшему или равному x (пол, или округление вниз);

= наименьшему целому числу, большему или равному x (потолок, или округление вверх), и вы скоро поймете, что они незаменимы в задачах вроде этой.

– Прекрасно, Сомс. Хотя я, признаюсь, не понимаю…

– Идея, Ватсап, в том, что посредством этих функций мы можем выразить полезные небольшие числа при помощи только двух единиц. К примеру,

 – еще один способ выразить 3, использовав всего две единицы, а

– новый способ. – Видя мое недоумение, он добавил: – Обратите внимание,√1/ 0.1 = √10 = 3.162. Пол от этого числа равен 3, а потолок – 4.

– Ну да… – с сомнением проговорил я.

– Тогда мы идем дальше, потому что

Не говоря уже о других возможных вариантах.

Тысячи разрозненных мыслей метались в моей голове. Одна в конце концов выступила перед.

– Но, Сомс, я только сейчас понял, что

потому что √24 = 4,89, а потолок этого числа равен 5. Поэтому я смогу теперь представить 29 и 30!

Говоря это, я имел в виду просто 30, а не факториал 30, вы понимаете. Пунктуация в математике – такая морока.

Ватсап и Сомс прошли в этой задаче гораздо дальше, и позже мы увидим, чего они в конце концов достигли. Но, прежде чем продолжить эту историю, вы, может быть, захотите проверить, как далеко удастся пройти вам самостоятельно.

«Знак одного» продолжается в главе «Знак одного: часть вторая».

Промежутки между простыми числами

Вспомним, что натуральное число считается составным, если оно может быть получено перемножением двух меньших натуральных чисел, и простым, если оно не может быть получено перемножением двух меньших натуральных чисел и при этом больше 1. Число 1 является исключением: несколько веков назад оно считалось простым, но при таком соглашении разложение числа на простые множители перестает быть единственным. Так, 6 =2 × 3 = 1 × 2 × 3 = 1 × 1 × 2 × 3 и т. д. В наши дни, по этой и другим причинам, 1 считается особым числом. Это число не простое и не составное, это просто единица: натуральное число x, такое, что 1/x также является натуральным числом. Собственно, 1 – это единственная положительная единица счета.

Вот первые несколько простых чисел:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37.

Вообще, простых чисел бесконечно много, и они неравномерно распределены по всему множеству натуральных чисел. На протяжении долгого времени простые числа были гигантским источником вдохновения для математиков, и многие их загадки этих чисел с течением времени были решены. А многие другие по-прежнему сохраняют тайну.

В 2013 г. специалисты по теории чисел добились неожиданного прогресса в отношении двух великих загадок, связанных с простыми числами. Первая из них относится к промежуткам между последовательными простыми числами, и я расскажу о ней сейчас. Вторая последует чуть позже.

Все простые числа, за исключением числа 2, нечетные (поскольку все четные числа по определению кратны двум), поэтому два последовательных числа (за исключением пары 2, 3) не могут оба быть простыми. Однако два числа, различающиеся на 2, могут: например, пары (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19); несложно найти и еще варианты. Такие пары простых чисел называются простыми числами-близнецами.

Предположение о том, что существует бесконечное число пар простых чисел-близнецов, высказано давно, но до сих пор не доказано. До недавнего времени прогресс в этом вопросе был минимальным, но в 2013 г. Чжан Итан поразил математический мир заявлением о том, что он мог бы доказать, что существует бесконечное число пар простых чисел, которые различаются между собой не более чем на 70 млн. После этого его статья была принята к публикации ведущим журналом теоретической математики Annals of Mathematics. Возможно, это утверждение звучит слабовато по сравнению с гипотезой о простых числах-близнецах, но впервые кому-то удалось показать, что бесконечное число простых чисел различается между собой не более чем на некоторую фиксированную величину. Если бы 70 млн можно было как-нибудь ужать до 2, это решило бы проблему гипотезы о простых числах-близнецах.

Сегодня математики все чаще пользуются Интернетом, чтобы объединить силы в работе над какой-нибудь задачей, и Теренс Тао организовал коллаборацию, целью которой стало снижение числа 70 млн до чего-нибудь поменьше. Он сделал это в рамках проекта Polymath – системы, созданной для содействия работам такого рода. По мере того как математики лучше понимали методы Чжана, число сдавалось. Джеймс Мэйнард снизил число 70 млн до 600 (и даже до 12, если принять еще одно предположение, известное как гипотеза Эллиота – Халберстама). К концу 2013 г. новые идеи Мэйнарда снизили это число до 270.

Это пока не 2, но намного ближе к делу, чем 70 млн.

Проблема Гольдбаха для нечетных

Вторая загадка, связанная с простыми числами и нашедшая, наконец, решение (вероятно!), восходит к 1742 г., когда немецкий математик-любитель Христиан Гольдбах написал Леонарду Эйлеру письмо, содержавшее несколько наблюдений над простыми числами. Одно из них выглядело так: «Любое целое число, большее 2, можно записать как сумму трех простых чисел». Эйлер тогда вспомнил предыдущую беседу, в которой Гольдбах сделал родственное предположение: «Любое четное целое число есть сумма двух простых чисел».

При господствовавшем на тот момент представлении, что 1 – целое число, из второго заявления следует первое, поскольку любое число может быть записано либо как n + 1, либо как n + 2, где n – четное. Если n есть сумма двух простых чисел, то число, о котором идет речь, есть сумма трех простых чисел. Эйлер сказал: «Я рассматриваю это [второе утверждение] как полностью верную теорему, хотя и не могу доказать ее». Надо сказать, что эти слова довольно точно характеризуют состояние проблемы на сегодняшний день.

Однако мы уже не считаем 1 простым числом, о чем говорилось выше. Потому мы сегодня разбиваем задачу Гольдбаха на две отдельные гипотезы.

Бинарная проблема Гольдбаха утверждает:

«Всякое четное число, большее 2, есть сумма двух простых чисел».

Тернарная проблема Гольдбаха (или проблема Гольдбаха для нечетных) гласит:

«Всякое нечетное число, большее 5, есть сумма трех простых чисел».

Из бинарной гипотезы следует тернарная, но не наоборот.

С годами нескольким математикам удалось добиться прогресса в этих вопросах. Самым сильным результатом по бинарной гипотезе, возможно, является результат Чэнь Цзинжуня, который доказал в 1973 г., что всякое достаточно большое четное целое число есть сумма простого и полупростого чисел (полупростое число – это либо простое число, либо произведение двух простых чисел).

В 1995 г. французский математик Оливье Рамаре доказал, что всякое четное число есть сумма не более шести простых чисел, а всякое нечетное число – сумма не более семи простых чисел. Среди специалистов стало крепнуть мнение, что проблема Гольдбаха для нечетных близка к решению, и они оказались правы: в 2013 г. Харальд Хельфготт объявил о доказательстве с применением связанных методов. Математики до сих пор проверяют его результат, но он, кажется, до сих пор держится. Из доказанной (будем надеяться) тернарной проблемы следует, что любое четное число есть сумма не более чем четырех простых чисел (если n – четное, то n – 3 – нечетное, а значит, сумма трех простых – q + r + s, поэтому n = 3 + q + r + s, то есть сумма четырех простых чисел). Это близко к бинарной проблеме Гольдбаха, но маловероятно, что ее удастся доказать полностью при помощи нынешних методов. Так что развиваться еще есть куда.

Загадки простого числа

В математике есть свои тайны и загадки, и ученые, которые пытаются их разгадать, зачастую похожи на детективов. Они ищут зацепки, занимаются логической дедукцией, делают выводы и ищут доказательства собственной правоты. Как в делах Сомса, важнейший шаг в исследовании – это понять, как и с какого конца начать и какая линия рассуждений может привести к успеху. Во многих случаях мы до сих пор этого не знаем. Возможно, такое заявление звучит как признание собственного невежества, и в какой-то степени это действительно так. Но это заявление означает также, что новая математика до сих пор ждет своего открытия, а значит, эта область науки не вычерпана досуха. Простые числа – богатый источник правдоподобных предположений, о верности или ошибочности которых мы ничего не знаем. Вот некоторые из них. Во всех случаях pn обозначает n-е простое число.

Гипотеза Аго-Джуги

Число p является простым в том, и только том случае, если pB_{p − 1} + 1 делится на p, где B_k – это k-е число Бернулли (Takashi Agoh, 1990 г.). Если вам по-настоящему интересно, информацию об этих числах можно посмотреть в Интернете. Приведем первые несколько вариантов:

А вот другое, эквивалентное утверждение: число p является простым в том, и только том случае, если

[1^{p − 1} + 2^{p − 1} + 3^{p − 1} + … + (p − 1)^{p − 1}] + 1

делится на p (Guiseppe Giuca, 1950).

Контрпример, если таковой существует, должен иметь по крайней мере 13 800 знаков (David Borwein, Jonathan Borwein, Peter Borwein and Roland Girgensohn, 1996).

Гипотеза Андрики

Если p_n – это n-е простое число, то

(Dorin Andrica, 1986).

Имран Гори использовал данные о наибольших промежутках между простыми числами, чтобы подтвердить эту гипотезу для n вплоть до 1,3002 × 10¹⁶. На рисунке вы можете видеть зависимость √(p_n+1) – √p_n от n для первых 200 простых чисел. Число 1 располагается в самом верху вертикальной оси, а все остальные пики, показанные на графике, – ниже. Они явно уменьшаются с увеличением n, но мы не можем быть уверены, что на каком-то очень большом n не наблюдается гигантский пик, превосходящий 1. Чтобы данная гипотеза оказалась ошибочной, где-то должен существовать особенно большой промежуток между двумя очень большими последовательными простыми числами. Это представляется весьма маловероятным, но и полностью исключить такой вариант пока невозможно.

Гипотеза Артина о первообразных корнях

Любое целое число a, не равное −1 и не являющееся полным квадратом, есть первообразный корень по модулю бесконечного числа простых чисел. То есть всякое число от 1 до p − 1 есть некая степень a минус некое число, кратное p. Существуют конкретные формулы для количественного соотношения таких простых чисел по мере их увеличения (Emil Artin, 1927).

Гипотеза Брокара

При n > 1 существует по крайней мере четыре простых числа между p² и p²_n+1 (Henri Brocard, 1904). Ожидается, что это верно; более того, по идее должны быть верны куда более сильные утверждения.

Гипотеза Крамера

Промежуток p_n+1 − p_n между последовательными простыми числами для больших n не превосходит (ln p_n)² с постоянным коэффициентом (Harald Cramér, 1936).

Крамер доказал аналогичное утверждение, в котором вместо (ln p_n)² фигурирует при условии что верна гипотеза Римана – возможно, самая важная нерешенная проблема математики (см. «Кабинет…»).

Гипотеза Фирузбахта

Величина строго уменьшается (Farideh Firoozbakht, 1982 г.). Это означает, что для любого n. Это утверждение верно для всех целых чисел вплоть до 4 × 1018.

Первая гипотеза Харди – Литтлвуда

Пусть π2 (x) обозначает число простых чисел p ≤ x, таких, что p + 2 также простое число. Определим постоянную простых чисел-близнецов

(где символ П указывает на произведение по всем простым числам p ≥ 3). Тогда гипотеза заключается в том, что

где знак ~ означает, что данное отношение стремится к 1 по мере того, как n становится сколь угодно большим (Godfrey Harold Hardy and John Edensor Littlewood, 1923).

Существует также вторая гипотеза Харди – Литтлвуда (см. ниже).

Гипотеза Гилбрейта

Начнем с простых чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

и вычислим разницу между соседними членами последовательности:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …

Повторим те же вычисления для новой последовательности, не обращая внимания на знак, и продолжим в том же духе. Пять первых последовательностей будут выглядеть следующим образом:

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 2, …

Гилбрейт и Прот предположили, что первым членом каждой из этих последовательностей всегда будет 1, сколько бы раз мы ни повторяли процедуру (Norman Gilbreath, 1958, François Proth, 1978).

В 1993 г. Эндрю Одлизко проверил эту гипотезу для первых 3,4 × 1011 последовательностей.

Гипотеза Гольдбаха для четных чисел

Всякое четное целое число, большее 2, можно выразить как сумму двух простых чисел (Christian Goldbach, 1742).

Т. Оливейра-и-Силва проверил эту гипотезу на компьютере для n ≤ 1,609 × 10¹⁸.

Гипотеза Гримма

Каждому элементу множества последовательных составных чисел можно поставить в соответствие отдельное простое число, которое является его делителем (C. A. Grimm, 1969).

К примеру, если взять составные числа 32, 33, 34, 35, 36, то им можно поставить в соответствие простые числа 2, 11, 17, 5, 3.

Четвертая проблема Ландау

В 1912 г. Эдмунд Ландау перечислил четыре фундаментальные проблемы, связанные с простыми числами и известные в настоящее время как проблемы Ландау. Первые три – это гипотеза Гольдбаха (см. выше), гипотеза о простых числах-близнецах (см. ниже) и гипотеза Лежандра (см. ниже). Четвертая проблема выглядит так: существует ли бесконечно много простых чисел p, таких что p − 1 является полным квадратом? То есть p = x² + 1 для целого x.

Вот первые несколько таких чисел: 2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12 101, 13 457, 14 401 и 15 377. А вот пример побольше (но ни в коем случае не самый большой):

p = 1, 524, 157, 875, 323, 883, 675, 049, 535, 156, 256, 668, 194, 500, 533, 455, 762, 536, 198, 787, 501, 905, 199, 875, 019, 052, 101

x = 1, 234, 567, 890, 123, 456, 789, 012, 345, 678, 901, 234, 567, 890.

В 1997 г. Джон Фридлендер и Хенрик Иванец доказали, что существует бесконечно много простых чисел вида x² + y⁴ для целых x, y. Первые из этого ряда: 2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401 и 457. Иванец доказал, что существует бесконечно много чисел вида x² + 1, имеющих не более двух простых множителей.

Близко, но не то.

Гипотеза Лежандра

Адриан-Мари Лежандр предположил, что для любого положительного n существует простое число, лежащее между n² и (n + 1)². Это утверждение могло бы быть следствием из гипотезы Андрики (см. выше) и гипотезы Опперманна (см. ниже). Из гипотезы Крамера (см. выше) следует, что гипотеза Лежандра верна для всех достаточно больших чисел. Известно, что она верна вплоть до 1018.

Гипотеза Лемуана, или гипотеза Леви

Все нечетные целые числа, большие 5, могут быть представлены как сумма нечетного простого числа и удвоенного простого числа (Émile Lemoine, 1894, Hyman Levy, 1963).

Д. Корбитт подтвердил эту гипотезу вплоть до 10⁹.

Гипотезы Мерсенна

В 1644 г. Марен Мерсенн объявил, что числа 2ⁿ – 1 являются простыми для n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257 и составными для всех остальных положительных целых n<257. Позже было показано, что Мерсенн допустил пять ошибок: n = 67 и 257 дают составные числа, а n = 61, 89, 107 дают простые. Гипотеза Мерсенна привела к созданию новой гипотезы Мерсенна и гипотезы Ленстры – Померанца – Вагстаффа, которые значатся в нашем перечне следующими.

Новая гипотеза Мерсенна, или гипотеза Бейтмана– Селфриджа – Вагстаффа

Для любого нечетного p если выполняются любые два из следующих условий, то выполняется и третье:

1. p = 2^k ± 1 или p = 4^k ± 3 для некоторого натурального числа k;

2. число 2^p − 1 – простое (простое Мерсенна);

3. число (2^p + 1)/3 – простое (простое Вагстаффа).

(Paul Bateman, John Selfridge and Samuel Wagstaff Jr., 1989)

Гипотеза Ленстры – Померанца – Вагстаффа

Существует бесконечное число простых Мерсенна, причем число простых Мерсенна, меньших x, приблизительно равно eγ ln ln x/ln 2, где γ – постоянная Эйлера, приблизительно равная 0,577 (Hendrik Lenstra, Carl Pomerance and Samuel Wagstaff Jr., не опубликовано).

Гипотеза Опперманна

Для любого целого числа n>1 существует по крайней мере одно простое число между n (n – 1) и n² и по крайней мере еще одно простое число между n² и n (n + 1) (Ludvig Henrik Ferdinand Oppermann, 1882).

Гипотеза Полиньяка

Для любого положительного четного n существует бесконечное число пар последовательных простых чисел с разницей в n (Alphonsede Polignac, 1849).

Для n = 2 это утверждение соответствует гипотезе о простых числах-близнецах (см. ниже). Для n = 4 она означает, что существует бесконечно много пар «двоюродных простых чисел» (p, p + 4). Для n = 6 она означает, что существует бесконечно много пар простых чисел (p, p + 6), известных как sexy (от латинского названия числа 6); при этом между числами p и p + 6 простых чисел нет.

Гипотеза Редмонда – Суня

Всякий интервал [x^m, yⁿ] (то есть любое множество чисел от x^m до yⁿ) содержит по крайней мере одно простое число, за исключением [2³, 3²], [5², 3³], [2⁵, 6²], [11², 5³], [3⁷, 13³], [5⁵, 56²], [181², 21⁵], [43³, 282²], [46³, 312²], [22434², 55⁵] (Stephen Redmond and Zhi-Wei Sun, 2006).

Эта гипотеза подтверждена для всех интервалов [x^m, yⁿ] до 10¹².

Вторая гипотеза Харди – Литтлвуда

Если π (x) есть число простых чисел вплоть до x, включая x, то π (x + y) ≤ π (x) + π (y) для x, y ≥ 2 (Godfry Harold Hardy and John Littlewood, 1923).

Существуют технические соображения, согласно которым можно ожидать, что это предположение окажется ложным, но первое нарушение возникнет, скорее всего, при очень больших величинах x, вероятно, больших, чем 1,5 × 10¹⁷⁴, но меньших, чем 2,2 × 10¹¹⁹⁸.

Гипотеза о простых числах-близнецах

Существует бесконечно много простых чисел p, таких, что число p + 2 тоже простое.

25 декабря 2011 г. PrimeGrid – «проект распределенных вычислений», в котором используются свободные ресурсы на компьютерах добровольцев, пожелавших принять в нем участие, объявил наибольшую известную на сегодняшний день пару простых чисел-близнецов:

3 756 801 695 685 × 2^{666 669} ± 1.

Каждое из этих чисел содержит 200 700 знаков.

В интервале до 10¹⁸ содержится 808 675 888 577 436 пар простых чисел-близнецов.