Текст книги "Математические головоломки профессора Стюарта"

RATS-последовательность

1, 2, 4, 8, 16, … Что дальше? Очень соблазнительно, особо не задумываясь, назвать в качестве следующего числа 32. Но что, если я скажу, что последовательность, которую я имел в виду, на самом деле выглядит так:

1 2 4 8 16 77 145 668.

Что теперь скажете про следующий член последовательности? Разумеется, единственного правильного ответа на этот вопрос не существует: придумав достаточно хитрые правила, можно подобрать формулу для любой конечной последовательности. Карл Линдерхольм в книге «Непростая математика» (Mathematics Made Difficult) посвятил целую главу объяснению того, почему на вопрос «Каков следующий член данной последовательности?» всегда можно отвечать: «19». Но вернемся к нашей последовательности: для нее существует простое правило. На него указывает название этой главки, но должен признать, что указание это слишком невнятно, чтобы из него можно было что-то извлечь.

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Дни рождения полезны

Статистика показывает, что люди, у которых больше всего дней рождения, живут дольше всех.

Ларри Лоренцони

Математические даты

В последние годы многие календарные даты оказались связаны с различными аспектами математики, в результате чего были объявлены особыми днями. Никто не придает таким дням никакого особого значения; все ограничивается исключительно численным сходством. Эти даты не предсказывают конца света или чего-то подобного – по крайней мере, насколько нам известно. В эти дни не происходит ничего особенного, их отмечают исключительно математики и иногда упоминают в СМИ. Но они забавны и дают средствам массовой информации лишний повод заинтересоваться серьезной математикой. Или хотя бы упомянуть математику в своих публикациях.

Можно назвать несколько таких дат. Многие из них связаны с американской системой датировки, где первым указывается не число, а месяц. Опять же, допускаются кое-какие календарные вольности: так, нули иногда можно опускать.

День числа π

14 марта, или, в американской системе датировки, 3/14 (π ~ 3,14). В Сан-Франциско это квазиофициальный день с 1988 г. Палата представителей США приняла необязывающую резолюцию, в которой признала этот день.

Минута π

14 марта, время 1:59. В американской системе это записывается как 3/14 1.59 (π ~ 3,14159). Можно и еще точнее: момент времени 1.59 и 26 секунд. 3/14 1:59:26 (π ~ 3,1415926).

День приближенного значения π

22 июля, в британской системе датировки записывается как 22/7 (π ~ 22/7).

День 123456789

Жаль, но вы его пропустили. Этот единственный момент наступил 7 августа 2009 г. (по британской системе), или 8 июля 2009 г. (по американской системе), вскоре после 12:34. Дату и время этого момента можно записать как 12:34:56 7/8/(0) 9. Но некоторые из вас, возможно, еще увидят «День 1234567890» в 2090 г.

День из единиц

Его вы тоже пропустили. Этот момент имел место 11 ноября 2011 г. (в любой системе) в 11 часов 11 минут 11 секунд. Дата и время в тот момент были 11:11:11 11/11/11.

День из двоек

Сегодня, когда я это пишу, до него еще несколько лет. У вас есть шанс! 2 февраля 2022 г.: 22:22:22 2/2/22.

День-палиндром

Палиндром, как известно, читается одинаково и слева направо, и справа налево – как фраза «А роза упала на лапу Азора». 22 февраля 2002 г. в 20:02 (британская система, 24-часовое обозначение времени): 20:02 20/02/2002.

Здесь один и тот же палиндром повторяется трижды. Когда можно ожидать следующий такой день в британской системе? Какая дата после названной, опять же в британской системе, представляла собой один цельный палиндром?

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

День Фибоначчи (короткий вариант)

2 мая 2008 г. (британская система), 5 марта 2008 г. (американская система): 3/5/(0) 8.

День Фибоначчи (длинный вариант)

5 августа 2013 г. (британская система), 2 минуты 3 секунды второго (8 мая 2013 г. в американской системе): 1:2:3 5/8/13.

День простых чисел

2 марта 2011 г. (британская система), 3 февраля 2011 г. (американская система): 2:3 5/7/11.

Собака Баскетболлов
Из мемуаров доктора Ватсапа

– К вам леди, мистер Сомс, – сказала миссис Сопсудс.

Мы с Сомсом вскочили на ноги. В комнату вошла женщина неопределенного возраста – неопределенного потому, что ее лицо было скрыто под темной вуалью.

– Вам нет нужды скрывать свое лицо, леди Иакинф, – сказал Сомс.

Женщина изумленно ахнула и стянула вуаль.

– Но как…

– Необычайные события в Баскет-холле всю неделю служили темой для газетных заголовков, – сказал Сомс. – Я внимательно следил за ходом дела и знаю, что мой соперник из дома напротив не добился никаких результатов в расследовании. Ясно было, что рано или поздно вы обратитесь ко мне за помощью. Это был всего лишь вопрос времени. Кроме того, я узнал шляпу вашего кучера, таких больше не найдешь у слуг нашей аристократии.

– Баске́, а не Бáскет, – поправила его леди Иакинф, презрительно фыркнув. Получившийся носовой звук придал слову явственно французское звучание.

– Вряд ли это существенно, мадам, – возразил Сомс. – Этот дом принадлежит семье Баскет уже семь поколений, с тех самых пор, как Гонория Тампингем-Мэддли вышла замуж за третьего эрла.

– Ну да, но это же было тогда. Написание и произношение за это время… э-э…

– Осовременились, – вмешался я, надеясь немного успокоить бушующие волны взаимной неприязни. Одновременно я бросил на Сомса острый взгляд, оставшийся незамеченным ее светлостью. К чести Сомса, он воспользовался моей подсказкой.

– Это был гигантский черный пес! – внезапно воскликнула ее светлость, и слова прозвучали так, будто их силой вырвали из ее горла. – С громадной слюнявой пастью, с которой капала кровь!

– Вы его видели?

– Вообще-то нет, но мальчишка, который присматривает за поросятами… Ники, вот как его зовут. Или, может быть, Рики? Во всяком случае, он сказал, что мельком видел это жуткое чудовище, когда оно убегало.

– В темноте, – заметил Сомс. – С расстояния в 150 метров. Майкл Дженкинс близорук. Но неважно, рано или поздно улики приведут нас к истине. Правильно ли я понял, что это животное не причинило вреда ни одному человеческому существу?

– Ну… нет, – неохотно согласилась она. – Непосредственно нет, хотя мой бедный муж… Понимаете, этот пес погубил традицию, которая восходит к глубокой древности и возникла еще до третьего эрла Бáск… Баске́.

Я запоздало вспомнил о приличиях.

– Доктор Джон Ватсап, к вашим услугам, мадам. Сожалею, но я, в отличие от моего компаньона, не следил за новостями. Не будете ли вы столь любезны, чтобы просветить меня?

– Ах. Да. Хм-м, – она подобрала юбки и собралась с мыслями. – Это было за несколько дней до праздника Середины зимы, и мой муж Эдмунд… то есть лорд Баске́, разумеется… расставил 12 старинных каменных шаров…

– Известных уже несколько столетий как шары Баскетов, – прервал ее Сомс.

– Ну да, но мы же не можем осовременить абсолютно все, мистер Сомс. Существуют традиции. Во всяком случае, мой муж расставил шары на лужайке возле нашего величественного особняка в виде древнего фамильного символа. Только наследник по мужской линии знает точно, что это за символ, и никому другому не разрешается наблюдать за этой церемонией, но информация потихоньку просачивалась, и сегодня все знают, что в этом символе шары расставлены в виде семи прямых рядов с четырьмя шарами в каждом ряду.

Мы с Сомсом внимательно слушали.

– Эдмунд репетировал церемонию, которую необходимо обязательно проводить накануне каждого праздника Середины зимы, то есть в канун дня зимнего солнцестояния. Но, проснувшись на следующее утро, мы с ужасом увидели, что некоторые шары сдвинуты со своих мест!

– Но ведь вы сказали, что никто, кроме лорда Баске́, не должен видеть расстановки шаров, – возразил Сомс.

– На этот раз сложились исключительные обстоятельства. Его светлость отправился собирать шары, но не вернулся. Через некоторое время за ним послали одну из горничных… Понимаете, Лавиния слепа, но очень надежна и старательна. Она вернулась в слезах с криками о том, что его светлость лежит на земле и не двигается. Опасаясь, что он мертв, мы, то есть остальные присутствующие, решились нарушить освященный временем запрет и бросились к месту происшествия. Я подбежала как раз вовремя, чтобы услышать, как Эдмунд воскликнул: «Сдвинуты!» – и замер. С тех пор он находится в ступоре и ни на что не реагирует, мистер Сомс. Это ужасно.

– Сдвинуты, – повторил я. – Каким образом, мадам?

– Не находятся больше на тех местах, где находились, доктор Ватсап.

– Я имею в виду, сдвинуты куда?

– Теперь они образуют звезду, доктор Ватсап.

– Да! Звезду, в которой всего лишь шесть прямых рядов с четырьмя шарами в каждом, – сказал Сомс, быстро рисуя что-то на листе бумаги. – Об этом много говорили, и, похоже, говорили правду, потому что такое представители желтой прессы вряд ли придумали бы – слишком сложно для их мозгов. Это доказывает также, что мы и сами могли бы догадаться, что шары сдвинуты, не полагаясь при этом на последнее восклицание его светлости… для этого достаточно и дедукции.

– Последнее восклицание на настоящий момент, – торопливо добавил я, пока неосторожное замечание Сомса не послужило спусковым крючком для новой серии причитаний.

– А разве вы не могли вернуть шары на место? – поинтересовался я, когда ее светлость немного успокоилась.

– Нет! – почти крикнула она. Я давно заметил, что своим поведением английская аристократия во многих ситуациях заметно напоминает лошадей.

– Почему нет?

– Я уже говорила вам, что только его светлость точно знает правильное расположение шаров, предписанное традицией, а теперь врачи говорят, что он, возможно, никогда уже не оправится!

– Разве на земле не было отметок в тех местах, где первоначально лежали шары?

– Возможно, но их затоптала эта ужасная собака! Там всюду ее следы!

– Тогда я возьму с собой самое мощное увеличительное стекло, – сказал Сомс, с трудом сохраняя невозмутимое выражение лица. В этот момент его, должно быть, осенила какая-то мысль, потому что он внезапно застыл:

– Вы сказали «необходимо».

– Я так сказала? Когда именно?

– Несколько минут назад вы сказали, что церемонию необходимо проводить в определенное время каждый год. Мне только что пришло в голову, что слова в этой фразе выбраны вами не случайно. Поясните, пожалуйста.

– Согласно древнему трансильванскому пророчеству, если 12 шаров Баскетов не будут правильным образом разложены на лужайке в канун праздника Середины зимы, то дом Бáс… э-э, Баске́… падет и будет полностью разрушен! У нас осталось всего три дня, чтобы сделать это! О горе! – она зарыдала в голос.

– Успокойтесь, мадам, – произнес я, проводя открытой склянкой с нюхательной солью у нее под носом. – Пожалуйста, примите мои соболезнования в связи с прискорбным состоянием его светлости и мои заверения как медика, что, как бы он ни был слаб, некоторый шанс существует и в его состоянии со временем могут произойти буквально волшебные перемены…

Следует заметить, что я всегда гордился своим безупречным умением разговаривать с больными и их родственниками, и навыки моего друга Сомса в этом важном деле не идут ни в какое сравнение с моими, но в данном случае, что совершенно необъяснимо, ее светлость в ответ на мои слова зарыдала вдвое сильнее.

Сомс с вытянутым лицом вышагивал по комнате.

– Правильно ли я понял, ваша светлость, что значение имеет только форма, фигура, которую образуют выложенные шары? Или ориентация тоже имеет существенное значение?

– Простите? – переспросила она и потрясла головой, как будто пытаясь восстановить ясность рассудка.

– Если бы расположение шаров было верным с точностью до поворота, не меняющего их относительное расположение, то как, по-вашему, это запустило бы страшные события, предсказанные пророчеством? – попросил пояснить Сомс.

Леди Баскет немного помолчала, что-то обдумывая.

– Нет. Определенно нет. Я помню, что Вилли Вилликинс – наш старший садовник – предлагал мужу время от времени менять ориентацию фигуры и направлять ее в разные стороны, чтобы не повредить дерн на лужайке. И Эдмунд не возражал.

– Прекрасная новость! – воскликнул Сомс.

– Да, прекрасная, – подхватил и я, хотя не имел ни малейшего понятия, чему так радовался мой друг-детектив. Или хотя бы что означал его вопрос.

– Были ли там какие-либо следы человеческого вмешательства? – спросил Сомс.

– Нет. Старший садовник клялся и божился, что никакое человеческое существо, кроме Эдмунда, не ступало на эту лужайку. Юный Дики…

– Мики.

– Вики видел ужасного пса, но даже он видел его только мельком, когда тот перепрыгивал через садовую ограду. В нашем саду есть чудесные пионы, мистер Сомс, хотя они и не цветут в это вре…

– Я возьмусь за это дело, – сказал Сомс. – Если ваша светлость не против, вам лучше сейчас вернуться в Баскет-холл, а мы с коллегой приедем в четверг первым же медленным поездом.

– Только в четверг, не раньше, мистер Сомс? Но ведь четверг и есть канун дня зимнего солнцестояния! Шары должны быть расставлены правильно в этот день до заката солнца!

– Я очень сожалею, но до той поры меня задержит в Лондоне небольшое дело, касающееся трех восточных владык; речь идет о 600 000 вооруженных воинов, двух спорных границах и украденной шкатулке с изумрудами и сапфирами, принадлежавшей тайному древнему религиозному ордену. И о расплющенном медном наперстке, в котором, я уверен, и кроется ключ ко всему делу. Однако заверяю вас: я убежден, что ваше дело может быть разрешено, ко всеобщему удовлетворению, еще до заката солнца в четверг.

Никакие протесты не помогли. Сомс был непоколебим, и в конце концов леди Иакинф Баске́ отбыла из нашего дома, сморкаясь потихоньку в уголок кружевного платочка.

После ее ухода я поинтересовался, на какое именно дело ссылался Сомс в разговоре, поскольку сам я ничего подобного не слышал.

– Небольшая выдумка с моей стороны, Ватсап, – признался он. – У меня билеты в оперу на сегодняшний вечер.

Мы прибыли на место в середине дня в четверг. На станции нас встретил грум с легкой двуколкой, которую часто называют «кабриолетом для гувернантки» (а может быть, там была гувернантка с повозкой для грума, мои записи в этом месте несколько неразборчивы). Встречающий сообщил нам, что лорд Баск по-прежнему находится в коме. Через каких-то полчаса мы были уже в Баскет-холле, и Сомс вовсю ползал по обширным лужайкам вокруг господского дома с необычайно большим увеличительным стеклом, щеткой для волос и угломером.

– Прекрасная возможность для вас потренироваться в дедукции, Ватсап, – сказал он мне.

– Я вижу, что трава в этом месте потревожена, Сомс.

– Правильно, Ватсап. Следы весьма сложные, но в основном это многочисленные перекрывающиеся отпечатки лап… – он понизил голос, так что слышать его мог только я один, – карликового пуделя.

Дальше он вновь заговорил своим обычным голосом:

– Я не в состоянии разглядеть здесь места, где первоначально были положены шары, но, если я не ошибаюсь – а я этого никогда не делаю, – по следам ясно, что животное сдвинуло ровно четыре шара.

– Это существенно, мистер Сомс? – нервно спросила леди Баске́, держа на руках карликового пуделя.

Сомс посмотрел в мою сторону.

– Да… возможно… – начал я и увидел, что Сомс незаметно кивнул. Ну конечно, кивнул он не совершенно незаметно, вы понимаете, поскольку если бы кивок действительно был незаметен, я бы его не увидел. Поняв кивок Сомса как завуалированное одобрение, я рискнул сказать наугад: – Благодаря этому обстоятельству можно вычислить первоначальное расположение шаров.

– И что, правда можно? – спросила она с полным надежды взглядом.

Каким же было первоначальное расположение шаров? Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Цифровые кубы

Это старая история, но она может послужить нам прелюдией к менее известному вопросу. Число 153 равно сумме кубов составляющих его цифр:

1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27 = 153.

Существуют еще три трехзначных числа, обладающих таким же свойством, если не принимать во внимание такие числа, как 001, с начальными нулями. Сможете найти их?

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Самовлюбленные числа

Загадка с кубами приобрела некоторую известность потому, что в 1940 г. знаменитый математик Годфри Харолд Харди написал в книге «Апология математика»[6]6
  Харди Г. Апология математика. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.


[Закрыть], что подобные головоломки не имеют никакой математической ценности, поскольку зависят от используемой нотации (в данном случае десятичной) и представляют собой всего лишь случайные совпадения. Однако, разгадывая такие загадки, можно почерпнуть немало полезных знаний в области математики, а обобщения (к примеру, расширение задачи на другие системы счисления, помимо десятичной) позволяют обойти вопрос нотации.

Один из вариантов этой головоломки – концепция самовлюбленного числа, которое определяется как число, равное сумме n-х степеней составляющих его десятичных цифр для некоторого n. Если речь идет о явно заданном n, используется термин n-совершенное число.

Четвертые степени цифр (4-самовлюбленные числа)

Будем записывать число, составленное из цифр a, b, c, d, как [abcd], чтобы отличать его от соответствующего произведения abcd. То есть [abcd] = 1000a + 100b + 10c + d. Мы должны решить уравнение:

[abcd] = a⁴ +b⁴ +c⁴ + d⁴,

где все неизвестные являются целыми числами и лежат в диапазоне от 0 до 9. Эту задачу никак нельзя называть тривиальной. Попробуйте!

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Пятые степени цифр (5-самовлюбленные числа)

На этот раз задача состоит в том, чтобы решить уравнение:

[abcde] = a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵+ e⁵,

что, как несложно догадаться, еще труднее.

Ответ в главе «Загадки разгаданные».

Более высокие степени цифр (n-самовлюбленные числа для n ≥ 6)

Несложно доказать, что n-самовлюбленные числа существуют только для n ≤ 60, поскольку при любом n > 60 мы имеем n·9ⁿ < 10^n–1. В 1985 г. Дик Уинтер доказал, что существует ровно 88 самовлюбленных чисел с ненулевой первой цифрой. Для n = 1 в этой роли выступают все десять цифр (мы включаем сюда 0, потому что в данном случае это единственная цифра числа). Для n = 2 самовлюбленных чисел не существует. Для n = 3, 4, 5 см. ответы к разделу о цифровых кубах и две предыдущие задачи. Для n ≥ 6 получаем следующие числа:

Пифилология, пиэмы и пиллиш

Now, I wish I could recollect pi.

«Eureka», cried the great inventor.

Christmas pudding; Christmas pie

is the problem's very centre.

See, I have a rhyme assisting

my feeble brain,

its tasks sometimes resisting.

How I wish I could enumerate pi easily, since all these horrible mnemonics prevent recalling any of pi's sequence more simply.

Последняя фраза выдает нас с головой: все приведенные фразы – это мнемонические правила – тексты, помогающие запомнить часть числа π. Придумано даже слово для подобных вещей: пифилология. Чтобы воспользоваться таким мнемоническим правилом, нужно сосчитать буквы в последовательных словах: 3, 1, 4, 1, 5, …

Некоторые из многочисленных запоминалок для π обсуждались в книге «Кабинет…»; здесь мы вспомним одну из них (приведенную ниже запоминалку на французском языке) и посмотрим еще несколько. Вообще, таких запоминалок существует множество, см., к примеру, сайты:

http://en.wikipedia.org/wiki/Piphilology

http://uzweb.uz.ac.zw/science/maths/zimaths/pimnem.htm

Одно из самых известных мнемонических правил для π – александрийский стих (поэтический размер), который начинается так:

 
Que j'aime à faire apprendre
Un nombre utile aux sages!
Glorieux Archimède, artiste ingenieux,
Toi, de qui Syracuse loue encore le mérite! –
 

и продолжается до 126 знаков. Я особенно рекомендую следующую португальскую запоминалку:

Sou o medo e temor constante do menino vadio. (Я – постоянный страх и ужас для ленивых мальчиков.)

А вот румынский вариант:

Asa e bine a scrie renumitul si utilul numar. (Это правильный способ писать знаменитое и полезное число.)

Он обладает несомненным достоинством понятности и простоты[7]7
  На русском языке также есть аналогичные мнемонические формулы, например такие:
Это я знаю и помню прекрасно:Пи многие знаки мне лишни, напрасны.Доверимся знаньям громаднымТех, пи кто сосчитал, цифр армаду.   «Как я хочу и желаю надраться до чертей после сих тупых докладов, наводящих тяжелую депрессию».
  «Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать».
  Приведенные автором примеры на английском и других языках оставлены нами без перевода. – Прим. пер.


[Закрыть].

Стихи, посвященные числу π, называют пиэмами. 32-й знак π равен 0, а слово нулевой длины вставить невозможно. Однако существуют способы обойти это препятствие. В пилише – кодовой системе, обычно используемой для π-мнемоники, за 0 считается десятибуквенное слово. Майк Кейт в «Автореферентной истории»[8]8
  Mike Keith, The Mathematical Intelligencer 8 (No.4) (1986) 56–57.


[Закрыть] использовал другой набор правил. Это, насколько мне известно, самый длинный образец на сегодняшний день («Книга рекордов Гиннесса» мне свидетель) – это «Cadaeiccadenza» (3834 знака) и книга «NotAWake» (10 000 знаков) того же Кейта. Книга начинается так:

 
Now I fall, a tired suburbian in liquid under the trees
Drifting alongside forests simmering red in the twilight over Europe.
So scream with the old mischief, ask me another conundrum
About bitterness of possible fortunes near a landscape Italian.
A little happiness may sometimes intervene but usually fades.
A missionary cries, striving to understand worthless, tedious life.
Monotony's lost amid ocean movements
As the bewildered sailors hesitate. I become salt,
Submerging people in dazzling oceans of enshrouded unbelief.
Christmas ornaments conspire.
Beauty is, somewhat inevitably now, both
Feelings of faith and eyes of rationalism.
 

Здесь десятибуквенные слова считаются за 0, а более длинные – за два знака; к примеру, 13-буквенное слово обозначает 13.

На сайте Кейта вы сможете найти огромное количество дополнительной информации и примеров.

http://cadaeic.net