Текст книги "√Жизнь. Математика как способ стать счастливее и жить дольше"

30
Лгать как ни в чем не бывало

В этой главе автор сообщает, что даже цифры иногда лгут, и разъясняет, как понять, что это происходит.

Великобритания, 1995 год. Опубликованы результаты лонгитюдного исследования действия противозачаточных средств третьего поколения. Исследователи указывают: «Женщинам, принимавшим новую форму лекарственного средства вместо старой, угрожает 100-процентный риск возникновения опасных для жизни тромбов».

Драматичная фраза. Она появляется в срочных новостях в СМИ. Внизу экрана бежит набранная заглавными буквами строка. Министерство здравоохранения насторожилось. Выходит заявление для прессы. Дополнительно направлено уведомление 200 000 врачей.

Эффект: паника, многие женщины отказываются от приема противозачаточных таблеток. Последствия: в стране преломляется наметившаяся тенденция к снижению уровня нежелательных беременностей. Годом позднее статистика демонстрирует, что в стране сверх уровня предыдущего года сделано 10 000 абортов и случилось на 1000 больше беременностей в возрасте до 16 лет. А также родилось на 13 000 больше детей.

Давайте посмотрим на цифры, приведенные в исследовании. По данным исследования, у 2 из 7000 женщин, принимавших новые противозачаточные средства, было отмечено тромбообразование. Предыдущая форма противозачаточных таблеток связана с 1 случаем тромбообразования на 7000 женщин. Такой – двукратный – прирост и означает 100-процентное повышение уровня риска.

Если бы население было проинформировано таким образом, паники не случилась бы. Только одна из 7000 женщин дополнительно пострадала – так выглядит прирост в абсолютных цифрах. Величина же 100 % – это прирост относительный. Обратите внимание на то, как по-разному воспринимаются оба числа. Оба верны. Но относительное значение позволяет преподнести возросший риск как гораздо более серьезное явление, если сравнивать с эффектом от абсолютных цифр.

Безответственно было представлять населению результат исследования с такой формулировкой! Преступное использование чисел.

Это явление, не ставшее единичным случаем и в медицинской сфере: риски, данные о смертности, результаты лечения – сообщают по мере необходимости в абсолютных или относительных цифрах в зависимости от того, должно ли изменение быть представлено как мизерное или значительное.

Имейте в виду: самую честную картину шансов и рисков могут обрисовать только абсолютные цифры.

Особенно часто вводят в заблуждение факты, представленные в одной фразе в абсолютном, а в другой – в относительном выражении. В какой-то из попавших мне в руки брошюр можно было прочесть фразу: заместительная гормональная терапия для женщин снижает риск развития рака толстой кишки на 50 %, тогда как риск рака молочной железы – только на 0,6 %, в 6 случаях из 1000».

Что же здесь не было сказано? Величина 50 % – относительный риск. Он позволяет представить снижение уровня как значительное. И напротив, значение 0,6 % – это абсолютный риск. Это соотношение позволяет представить снижение незначительным. Таким образом читателя вводят в заблуждение. Это яркий пример правдивой лжи, так как абсолютные цифры демонстрируют, что гормональная терапия чаще способствует появлению рака, чем предотвращает его. То есть она скорее вредна, чем полезна. Но рекламный текст внушает обратное.

Еще один пример: с 2005 года в Германии работает программа раннего выявления рака молочной железы. В ней участвуют все женщины в возрасте от 50 до 69 лет. До настоящего времени в программе приняли участие 20 миллионов женщин. Более широкомасштабный скрининг обсуждается на государственном уровне. О чем говорят цифры? Сторонники скрининга апеллируют к тому, что масштабное раннее выявление снижает смертность от рака молочной железы на 25 %. Это верно.

Но что стоит за этим утверждением? По причине рака молочной железы из жизни уходит определенное количество женщин, принявших участие в скрининге, но 25 % меньше, чем в неохваченной обследованием группе. Звучит прекрасно, и на практике такая информация способствовала внедрению широкомасштабного скрининга. Более информативно, однако, представление данных следующим образом: из 1000 женщин, принимавших участие в скрининге, в течение следующих десяти лет от рака молочной железы ушли из жизни трое. В выборке не участвовавших в скрининге женщин таких было четверо. Итого: снижение с 4 до 3, то есть на 25 %. Это число и представлено в сводке, и это относительное снижение.

Предлагаю посмотреть на проблему под другим углом. Перейдем от ушедших из жизни к живущим. Это ведь и есть основная цель исследования: продлить жизнь. Обратимся к женщинам, которые не умерли от рака молочной железы. Это 997 из 1000 женщин, принявших участие в скрининге. И 996 из 1000 женщин, избежавших скрининга, соответственно. Одна из 1000 женщин, принявших участие в скрининге, будет спасена благодаря обследованию молочных желез. Так результаты выглядят с другой стороны, и такова польза – при пристальном рассмотрении довольно незначительная.

Обратная сторона такова: 999 женщин из 1000 получат нулевую пользу от участия в скрининге. Но, вполне вероятно, ущерб им будет нанесен. Во-первых, за счет того, что радиационная нагрузка при проведении маммографии повышает риск развития рака. Поскольку из 10 000 женщин одна умирает от обусловленного лучевой нагрузкой рака молочной железы.

Во-вторых, ущерб наносится ложноположительными результатами маммографии. Ложноположительные результаты встречаются чаще, чем можно было бы подумать. У женщин, которые приходят для раннего выявления рака в возрасте от 50 до 69 лет, каждая вторая маммограмма будет иметь ложноположительный результат. Последствия: резкое снижение качества жизни по причине необоснованного беспокойства из-за дополнительных обследований, излишних процедур и манипуляций.

Кроме того: женщины, участвующие в скрининге, живут в среднем не дольше остальных. Это, очевидно, свидетельствует о том, что скрининг позволяет отсрочить действие факторов, влияющих на смертность. 1 женщина из 1000, спасенная благодаря скринингу, проживет после агрессивного лечения в среднем немногим дольше, чем без участия в скрининге. Но продолжительность жизни женщин, получивших ложноположительные результаты, и женщин, опухоли которых не имели бы хоть сколько-нибудь негативного воздействия, сократится. Статистически и тот и другой эффект уравновешиваются.

Я не участвую!

Исследователь в области образования Герд Гигеренцер провел интервью с одним врачом. «Как у гинеколога, у меня есть опасения, что женщина, которой я не порекомендовала сделать маммографию, впоследствии вернется ко мне с раком молочной железы и спросит меня, почему я не направила ее на обследование. Поэтому я обычно даю им направление. Несмотря на то, что я не считаю это необходимым. У меня просто нет выбора». Тогда Гигеренцер спросил у гинеколога, проходит ли она сама скрининг, на что она ответила отрицательно.

У женщин – рак молочной железы, у мужчин – рак предстательной железы. Давид Шпигельхальтер, изучающий риски, приводит данные исследования, для участия в котором случайным образом из 182 000 мужчин были отобраны те, кто получил направление на профилактический скрининг и не получил его. Результат, сформулированный врачами: за 11-летний период наблюдения из группы обследованных ушло из жизни на 20 % меньше мужчин, чем из группы необследованных.

Опять же величина относительная. С определенной долей скептицизма уточним абсолютные цифры. Заявляя о 20 %, врачи имеют в виду лишь один смертельный случай на 1000 мужчин: они зафиксировали снижение с 5 до 4 смертей.

Большинство форм рака предстательной железы не несут в себе угрозы. Немецкие урологи называют их «домашним раком» (противопоставляя «дикому раку»). С ним можно жить, и он не убивает быстро. Удивительно, о скольких болезнях их носитель может ничего не подозревать! Потому что они не доставляют никакой головной боли, пока о них никто не знает.

Результаты вскрытия тел жертв несчастных случаев показали, что половина мужчин в возрасте от 50 до 60 лет имеет рак предстательной железы на начальной стадии. Среди тех, кто старше 80 лет, эта цифра составляет 80 %. Но лишь 4 % мужчин умирают от рака предстательной железы, успев пережить среднестатистического гражданина на несколько лет. Запомнить нужно следующее: мужчины уходят из жизни не от рака, а вместе с раком предстательной железы.

Случай из моей жизни

Для диагностики рака простаты используется тест на простатоспецифический антиген. Он неточен. В связи с этим у меня есть своя история. Мой уровень простатоспецифического антигена в последнее время был очень высоким. Мой домашний врач порекомендовала мне обратиться к урологу.

УЗИ не выявило патологии, но уровень антигена оставался высоким. Спустя четыре недели результат остался неизменным. Уролог направил на МРТ, то есть в трубу. Я пошел и на это. После чего радиолог сообщил, что вероятность рака в моем случае составляет 90 %, и порекомендовал сделать биопсию. Хорошо. Биопсия опровергает подозрения. Все отлично, рака нет. Позже это подтвердил и тест на простатоспецифический антиген. По мнению уролога, теперь я могу поставить галочку против этого обследования.

Выводы: даже наше здоровье подчиняется принципу неопределенности. Внезапно может проявиться симптом, болезнь, которая сулит смерть. Или всего этого не произойдет. Глубинные исследования помогают оценить степень риска, но при такой оценке всегда уточняйте абсолютные цифры. Спросите, в течение какого срока риски сохраняются. Спросите, для кого риск более актуален – для какой возрастной группы или группы риска. Используйте эти данные, чтобы принять решение в пользу или против того или иного исследования. Также подумайте о следующем: сколько результатов были ложноположительными? как часто диагностируются неопасные формы заболеваний, которые не причинят вреда?

31
Наконец доказать существование Бога

В этой главе автор расскажет случай из жизни одного математика и рассмотрит его доказательство существования Бога.

Вена, 1927 год. Тогда началась одна из наиболее курьезных историй любви прошлого века. Курт и Адель встретились на прогулке. Сейчас они вместе сидят в кофейне.

Он холостой и наивный, сын богатого предпринимателя, студент-математик. На вид он стеснителен, то молчалив, то угрюм и к тому же серьезен. Истощен: то ли просто бледный, то ли болезненный. Он весь, суть, воплощение отшельника, которому чужды окружающий мир и любовь к жизни.

Она – полная противоположность. Замужем, танцовщица и немногим старше его. Ее детство в семье мелкого буржуа не оставило времени, чтобы получить образование. Ее натура громкая и резкая. Ее образ жизни – гедонистический.

Он принес собственную еду: порцию детского пюре и простую воду. Она заказала пирог, сливочный рожок и сорбет. С бурбонской ванилью, конечно.

Его зовут Курт Гёдель. Позже он станет одним из самых известных математиков XX века. Самым влиятельным логиком со времен Аристотеля. Она – Адель Нимбурски. Красотка из ночного клуба, способная наслаждаться жизнью в полную силу, но оставляющая логике неприглядное место. Он разговаривает с ней о логике. Она пытается его соблазнить. Так я представляю себе их первое свидание.

Уже тогда Гёдель стоял на пути к одному из революционных открытий в математике – к своей теореме о неполноте, которой продемонстрировал, что математика безгранична. Согласно Гёделевым построениям, есть утверждения, которые не могут быть доказаны, причем неважно, истинны они или ложны. И не потому, что математики недостаточно умны, а в принципе.

Например, утверждение утверждения о самом себе, звучащее следующим образом: «Я не могу быть доказано».

Если это утверждение истинно, то оно, как оно само свидетельствует, не может быть доказано. Если же это утверждение ложно, то его можно доказать. Если сделать это, то окажется, что оно не может быть истинным. Во втором случае получаем логическое противоречие, ибо то, что ложно, ни одно доказательство не может сделать истинным. Таким образом, логически верным является только первый постулат: утверждение истинно только тогда, когда оно может быть доказано.

В этом суть теоремы о неполноте Гёделя. Даже Бог не смог бы сказать о некоторых утверждениях, истинны ли они или ложны.

Курт Гёдель женился на Адель Нимбурски в 1939 году. Вскоре после этого они покинули Австрию, ставшую частью Третьего рейха, и переехали в Принстон, небольшой американский университетский городок. Чуть позже там же окажется и Альберт Эйнштейн.

Гёдель – один из немногих, кто мог говорить с создателем теории относительности на равных. Эйнштейн позже скажет, что он остался в институте только для того, чтобы по дороге домой беседовать с Гёделем.

Смерть Эйнштейна выбила Гёделя из колеи. С тех пор он ничего не создал. Его человеконенавистничество стало маниакальным. Он принимал только ту пищу, которую для него готовила и приносила Адель. Когда у нее случился инсульт и она попала в лечебницу, он стал отказываться от пищи и постепенно терял вес. Гёдель умер 1970 году; на тот момент он весил около 30 килограммов.

Гёдель был фанатом порядка и во всем искал противоречия. Не случайно более всего его беспокоил вопрос о том, не противоречива ли математика сама по себе. А позже и вопрос о том, не содержат ли представления о высшем существе противоречий.

В завещании Гёделя содержится интригующая запись: рукописное доказательство существования Бога. Гёдель не опубликовал его при жизни из опасения, что это может быть истолковано как его кредо.

Не забота Бога

Если Бог создал мир, то его главной заботой было, конечно, не то, чтобы сделать его познаваемым для нас.

Альберт Эйнштейн

В первой части записи Богу дается определение: Гёдель называет так сущность, обладающую всеми положительными качествами. Гёдель не имеет в виду оценку с точки зрения морали. Он, например, ничего не говорит о готовности помочь. Для него положительными качествами являются такие, которые логически не противоречат ни одному другому свойству, а следовательно, лишены противоречий. Округлость квадрата, например, является противоречием и, следовательно, не является положительным свойством. Каждое свойство либо непротиворечиво, либо не существует. Таким образом, Бог – это существо, обладающее свойствами, которые являются непротиворечивыми.

Во вторую очередь Гёдель задается вопросом, не содержит ли божественность сама по себе противоречий. Ведь она представляет собой совокупность множества свойств. И несмотря на то, что все они непротиворечивы, они могут быть несовместимы друг с другом.

Гёдель проверяет это предположение следующим образом: любое свойство, не содержащее противоречий, само по себе тоже должно быть непротиворечивым. Из непротиворечивого может следовать только непротиворечивое. Таким образом, божественность тоже является непротиворечивым свойством, поскольку все свойства в его составе непротиворечивы.

Далее Гёдель делает вывод о том, что любому непротиворечивому свойству может соответстовать сущность, обладающая этим свойством. Внимание! Он не утверждает, что такая сущность определенно существует, а утверждает только, что такая сущность, вероятно, может существовать. Поскольку ее существование не исключено логически. А так как божественность непротиворечива, Бог может существовать.

В завершение Гёдель удостоверяется в том, что Бог должен существовать. Он рассуждает следующим образом: Бог либо однозначно существует, либо однозначно не существует. Но средствами логики доказать то, что Бог однозначно не существует, невозможно. Поскольку существование Бога возможно, как было установлено только что, остается небольшая вероятность того, что он существует действительно. Поэтому невозможно доказать, что Бог однозначно не существует. Из двух возможностей, однозначного существования Бога и однозначного несуществования Бога, мы, соответственно, логически исключили вторую, доказав тем самым, что Бог существует!

В последнем абзаце приводятся рассуждения, позволяющие перейти от возможного существования Бога к существованию Бога в действительности. Чтобы реализовать такой переход, Гёдель прибег к одному замечательному логическому ходу, аналогичному следующему: если мы попадем в огонь, мы сгорим. Из этого следует, что, если мы можем попасть в огонь, мы можем и сгореть.

Существование Бога по Гёделю, таким образом, доказано. Не так давно двое программистов создали алгоритм доказательства на одном компьютере. С помощью компьютера было получено подтверждение того, что доказательство по Гёделю логически верно.

Значит ли это, что компьютер может успешно вести миссионерскую деятельность?

Гольф по-взрослому

Моисей, Иисус и старый еврей играли в гольф.

Моисей выполнил удар, и мяч попадал в пруд. Он воздевает к небу руки, воды расступаются, и волна приносит мяч на берег.

После удар выполнил Иисус, и мяч снова угодил в пруд. Он невозмутимо пошел по воде и достал мяч.

Удар старика тоже из рук вон плох. Он подошел к пруду, и оттуда вдруг выпрыгнула лягушка с мячом во рту. Внезапно появился орел, камнем упал вниз, схватил лягушку и полетел с ней через поле. Лягушка выплюнула мяч, тот упал близ лунки, его подхватил порыв ветра и опустил прямо в лунку. «Теперь ты знаешь, почему я ненавижу, – сказал Моисей Иисусу, – когда с нами играет Твой Отец».

Старик, победивший в игре в гольф, это и есть Бог, который способен на все. Но Бог, который способен на все, это не тот Бог, о котором рассуждал Гёдель. У Бога Гёделя имеются только непротиворечивые свойства. Является ли одним из них умение играть в гольф? Трудно сказать. Однако одно можно сказать совершенно определенно: Бог Гёделя не есть всемогущий Бог, поскольку всемогущество не является непротиворечивым свойством. Чтобы поставить под сомнение всемогущество Бога, нам нужно только порассуждать о том, способен ли Он создать настолько тяжелый мяч для гольфа, который Сам не сможет сдвинуть с места. Если такой мяч существует, то Он не всемогущ, потому что не может сыграть им в гольф. Если же Он не может создать такого мяча, Он также не всемогущ.

Бог Гёделя не имеет ничего общего с «Богом Авраама, Исаака и Иакова», о Котором мы знаем из Библии. Это был всемогущий и всезнающий Творец неба и земли, существование которого Гёдель не доказал. В Бога Гёделя может верить и просвещенный человек, не попадая в логические ловушки. Мой же вопрос к вам следующий: что дает вера в Бога Гёделя?

Библиография

Abrahams, Marc (2003): The Ig Nobel Prizes. The Annals of Improbable Research. Dutton

Agostino, Patricia V., Plano, Santiago A. & Golombek, Diego A. (2007): ildenafil accelerates reentrainment of circadian rhythms after advancing light schedules. Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, 104, 23, 9834–9839

Ajdacic-Gross, Vladeta u. a. (2012): Death has a preference for birthdays – an analysis of death time series. Annals of Epidemiology, 22, 8, 603–606

Alexander, Christopher (1975): The Oregon Experiment. Oxford University Press

Andersen, Martin (2002): Composer in interview: Per Norgard recent and early. Tempo, 222, 10, 9–15

Apesteguia, Jose & Palacios-Huerta, Ignacio (2010): Psychological pressure in competitive environments: evidence from a randomized natural experiment. American Economic Review, 100, 5, 2548–2564

Aristoteles (2006): Politik. Übersetzt und herausgegeben von Olof Gigon. Dtv Verlagsgesellschaft

Axelrod, Robert (2005): Die Evolution der Kooperation. 6. Auflage. Oldenbourg Verlag

Azis, Haris & Mackenzie, Simon (2016): A discrete and bounded envy-free cake-cutting protocol for any number of agents. arXiv: 1604.03655v12

Barrow, John D. (2016): Rowing and the same-sum problem have their moments. arXiv:0911.3551v1

BBC News (13.12.2002): Golden Double for US Lottery Couple. news.bbc.co.uk/2/hi/americas/2571951.stm

Becker, Claudia (6.5.2013): Das kann doch kein Zufall sein. DIE WELT-Online. https://www.welt.de/lifestyle/article115844904/ Das-kann-doch-kein-Zufall-sein.html

Blastland, Michael & Spiegelhalter, David (2015): Wirst du nicht vom Blitz erschlagen, lebst du noch in tausend Jahren: was wirklich gefährlich ist. Bastei-Lübbe

Borges, Jorge Luis (1952): Fiktionen: Erzählungen 1939–1944. 14. Auflage. Fischer Taschenbuch

Brams, Steven & Taylor, Alan (1996): Fair division: From Cake Сutting to Dispute Resolution. Cambridge University Press

Bromand, Joachim & Kreis, Guido; Herausgeber (2011): Gottesbeweise: von Anselm bis Gödel. Suhrkamp Verlag

Bruss, F. Thomas (Mai 2004): Strategien der besten Wahl. Spektrum der Wissenschaft, 102–104

Christakis, Nicholas A. & Fowler, James H. (2009): Connected: The Surprising Power of our Social Networks and how They Shape our Lives. Little Brown & Company

Christian, Brian & Griffiths, Tom (2016): Algorithms to Live by. Harper Collins Publishers

Cohen, Joel E. (1995): How Many People can the Earth Support? Norton, New York

Eichler, Alex (29.11.2010): Was April 11, 1954 the most boring day in history? The Atlantic

Fehr, Benedikt (2007): Zweitpreis-Auktionen: Von Goethe erdacht, von ebay genutzt. FAZ.net

Forger, Daniel B. (2017): Biological Clocks, Rhythms, and Oscillations. The Theory of Biological Timekeeping. MIT Press, Cambridge (USA)

Friedl, Birgit (2017): General Management. 2. Auflage. Utb Taschenbücher

Fröbe, Stephanie & Wassermann, Alfred (2003): Die bedeutendsten Mathematiker. Neuauflage. Matrix Verlag

Galinsky, Adam D., Todd, Andrew R. u. a. (17.11.2015): Maximizing the gains and minimizing the pains of diversity. Perspectives on Psychological Sciences, 10, 6, 742–748

Gigerenzer, Gerd, Todd, Peter M. & The ABC Research Group (1999): Simple Heuristics that Make us Smart. Oxford University Press

Gigerenzer, Gerd (2004): Das Einmaleins der Skepsis. Über den richtigen Umgang mit Zahlen und Risiken. Berliner Taschenbuch Verlag

Gigerenzer, Gerd u. a. (2007): Helping doctors and patients make sense of health statistics. Psychological Science in the Public Interest, 8, 2, 53–96

Gigerenzer, Gerd (2008): Bauchentscheidungen: Die Intelligenz des Unbewussten und die Macht der Intuition. Goldmann Verlag

Gigerenzer, Gerd; Gaissmaier, Wolfgang u. a. (September 2009): Glaub keiner Statistik, die du nicht verstanden hast. Spektrum der Wissenschaft, 34–39

Gigerenzer, Gerd & Gaissmaier, Wolfgang (2011): Heuristic decision making. The Annual Review of Psychology, 62, 451–482

Gott III, J. Richard (27.5.1993): Implications of the Copernican principle for our future prospects. Nature, 363, 315–319 Hand, David J. (2015): Die Macht des Unwahrscheinlichen: Warum Zufälle, Wunder und unglaubliche Dinge jeden Tag passieren. Verlag C.H. Beck, München

Henze, Norbert & Riedwyl, Hans (1998): How to Win More – Strategies for Increasing a Lottery Win. A.K. Peters (USA)

Hesse, Christian (2006): Expeditionen in die Schachwelt. Chessgate AG, Nettetal

Hesse, Christian (2009): Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung mit Beispielen und Anwendungen, 2. Auflage, Vieweg und Teubner Verlag

Hesse, Christian (2012): Christian Hesses mathematisches Sammelsurium. Verlag C. H. Beck, München

Hesse, Christian (2015): Damenopfer. Erstaunliche Geschichten aus der Welt des Schachs. Verlag C. H. Beck, München Hesse, Christian (2016): Math Up Your Life. Verlag C. H. Beck, München

Höfner, Eleonore & Schachtner, Hans-Ulrich (1997): Das wäre doch gelacht. Humor und Provokation in der Therapie. 4. Auflage. Rowohlt Taschenbuch Verlag

Ingraham, Christopher (6.10.2017): We have a pretty good idea of when humans will go extinct. The Washington Post

Josten, Gerhard (2014): Auf der Seidenstraße zur Quelle des Schachs. Diplomica Verlag, Hamburg

Knuth, Donald (1998): Sorting and Searching. The Art of Computer Programming. Volume 3. 2nd edition. AddisonWesley

Koch, Richard (2008): Das 80/20 Prinzip: Mehr Erfolg mit weniger Aufwand. 3. Auflage. Campus Verlag

Kondo, Marie (2013): Magic Cleaning: Wie richtiges Aufräumen Ihr Leben verändert. 35. Auflage. Rowohlt Taschenbuch Verlag

Krishna, Vijay (2010): Auction Theory. 2nd edition. Academic Press, San Diego

Kwak, Byung-Jae; Song, Nah-Oak & Miller, Leonard E. (2005): Performance analysis of exponential backoff. IEEE/ACM Transactions on Networking, 13, 2, 343–355

Littlewood, John E. (1960): A Mathematician’s Miscellany. Methuen

Lorenz, Jan u. a. (31.5.2011): How social influence can undermine the wisdom of crowd effect. Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, 108, 22, 9020–9025

Martin, David (27.11.2008): Most untranslatable word. Todaytranslations. https://www.todaytranslations.com/news/most-untranslatable-word

Minton, Roland & Pennings, Timothy J. (2007): Do dogs know bifurcations? The College Mathematics Journal, 38, 5, 356–361

Morgan, James (2.5.2014): How to win at rock-paper-scissors. BBC News. www.bbc.com/news/science-environment-27228416

Murray, James, Gottman, John u. a. (2005): The Mathematics of Marriage: Dynamic Nonlinear Models. MIT Press, Cambridge (USA)

Nigrini, Marc (2012): Benford’s law: Applications for Forensic Accounting, Auditing and Fraud Detection. John Wiley & Sons Nowak, Martin A. & Highfield, Roger (2011): Supercooperators – Altruism, Evolution, and Why we Need Each Other to Succeed. Free Press, New York

Pauli, Wolfgang & Jung, Carl G. (1992): Wolfgang Pauli und C. G. Jung: Ein Briefwechsel 1932–1958. Springer

Pennings, Timothy J. (2003): Do dogs know calculus? The College Mathematics Journal, 34, 3, 178–182

Philipps, David P., van Voorhees, Camilla A. & Ruth, Todd E. (1992): The Birthday: Lifeline or Deadline? Psychosomatic Medicine, 54, 532–542

Plimmer, Martin & King, Brian (2007): Unglaublich aber wahr: 290 Zufälle und andere unglaubliche Geschichten. Bastei Lübbe

Plüss, Mathias (13.1.2008): Das Genie & der Wahnsinn. Der Tagesspiegel. https://www.tagesspiegel.de/wissen/mathematik-das-genie-und-der-wahnsinn/1139308.html

Prelec, Drazen; Seung, H. Sebastian & McCoy, John (26.1.2017): A solution to the single-question crowd wisdom problem. Nature, 541, 532–535

Prescott, James W. (1975): Body pleasure and the origins of violence. Bulletin of the Atomic Scientists, 31, 9, 10–20

Proctor, Robert N. & Schiebinger, Londa; Herausgeber (2008): The Making and Unmaking of Ignorance. Stanford University Press

Rapoport, Anatol (1976): Kämpfe, Spiele und Debatten. Drei Konfliktmodelle. Verlag Darmstädter Blätter

Reuter, Bernhard Maria; Kurthen, Martin & Linke, Detlef Bernhard (1990): Kausalität und Synchronizität. Analytische Psychologie, 21, 286–308

Riechmann, Thomas (2013): Spieltheorie. 4. Auflage. Vahlen

Robbins, Herbert (1952): Some aspects of the sequential design of experiments. Bulletin of the American Mathematical Society, 58, 5, 527–535

Robertson, Jack & Web, William (1998): Cake-Cutting Algorithms: Be Fair if You Can. A. K. Peters (USA)

Rotjan, Randi D.; Chabot, Jeffrey R. & Lewis, Sara M. (2010): Social context of shell acquisition in coenobita clypeatus hermitcrabs. Behavioral Ecology, 21, 3, 639–646

Sagan, Carl (1997): Der Drache in meiner Garage. Oder die Kunst der Wissenschaft, Unsinn zu entlarven. Droemer Knauer

Sarasvathy, Saras D. (2009): Effectuation: Elements of Entrepreneurial Expertise. Edward Elgar Publishing

Schnabel, Ulrich (9.2.2006): Linguistik. Bnuter Bchutsabensalat. ZEIT-Online. www.zeit.de/2006/07/S_36_Kleintext

Schneider, Martin (2006): Teflon, Post-it and Viagra. Wiley-VCH

Serkh, Kirill & Forger, Daniel B. (10.4.2014): Optimal schedules of light exposure for rapidly correcting circadian misalignment. PLOS Computational Biology, 10, 4: e1003523

Spiegelhalter, David: Understanding Uncertainty. Blog. https://understandinguncertainty.org/blog

Statistisches Bundesamt: Statistische Jahrbücher 2000–2017, Wiesbaden

Steinhaus, Hugo (1948): The problem of fair division. Econometrica, 16, 101–104

Surowiecki, James (2017): Die Weisheit der Vielen. Börsenbuchverlag

Tanenbaum, Andrew S. & Bos, Herbert (2016): Moderne Betriebssysteme. 4. Auflage. Pearson Studium

Tuk, Mirjam; Trampe, Debra & Warlop, Luk (2011): Inhibitory spillover: increased urination urgency facilitates impulse control in unrelated domains. Psychological Science, 22, 5, 627–633

Usher, Ian (2010): A Life Sold – What Ever Happened to That Guy Who Sold His Whole Life on Ebay. Widsor Vision Publishing

Vohs, Kathleen D.; Redden, Joseph P. & Rahinel, Ryan (2013): Physical order produces healthy choices, generosity, and conventionality, whereas disorder produces creativity. Psychological Science, 24, 9, 2013

Waal, Frans de (2009): Der Affe in uns. Dtv Verlagsgesellschaft

Wegner, Daniel M. & Schneider, David J. (2003): The white bear story. Psychological Inquiry, 14, 326–329

Wewetzer, Hartmut (1.6.2005): Der Nutzen ist fraglich. Der Psychologe Gerd Gigerenzer über Sinn und Unsinn der BrustkrebsReihenuntersuchung. Interview. Der Tagesspiegel