Текст книги "√Жизнь. Математика как способ стать счастливее и жить дольше"

15
Практические советы по заполнению налоговой декларации

В этой главе автор рассказывает о том, как проверяют налоговые декларации и от каких уловок лучше отказаться.

Тобену нравятся ребусы и загадки, в которых есть цифры. Он пригласил своего брата поиграть, призовой фонд игры 10 евро. Брат может выбрать любой журнал и произвольно открыть страницу. Если в первой статье первое упомянутое число начинается с цифры 4, 5, 6, 7, 8 или 9, то выигрыш достанется брату. Только если первое число будет начинаться с цифр 1, 2, 3, выиграет Тобен.

Брат охотно согласился поиграть. Он оценил свои шансы как 2:1. Тем более удивительным стал для него ход игры. Из ста раундов игры он проиграл более половины. С огорчением ему пришлось признать, что мир ему не понятен. Было ли такой ход игры совпадением?

Нет! А чем же тогда он был?

Тобену известно, что частота встречаемости начальных цифр чисел значительно разнится. Из 100 произвольно выбранных чисел в среднем 30 (!) начинается с 1, а 18 с 2, и только 13 с 3 и 10 с 4. Последовательность можно продолжить вплоть до начальной цифры 9, которая встречается только пять раз.

Нет, вы не ослышались, и я вам ничего не обещал. Очень странно, но в мире встречается гораздо больше чисел с небольшими начальными цифрами. Это магическое свойство космического мира чисел называется законом Бенфорда.

Инженер Фрэнк Бенфорд впервые обратил внимание на такую несбалансированность более 100 лет назад. Она его так захватила, что он проверил тысячи данных: длины рек, площади озер, номера домов знаменитостей, физические постоянные и многое другое. Повсюду он встречал такое же неравномерное распределение начальных цифр.

Вы все еще не уверены, возможно ли такое явление на самом деле? Тогда попробуйте сами. Возьмите любое четырехзначное число, например 4837. Поставьте перед этим числом цифры от 1 до 9. В таком случае получаем числа от 14 837, 24 837 до 94 837. Задайте поисковый запрос в Google с каждым из чисел. За исключением незначительных случайных колебаний, распределение чисел по Бенфорду будет весьма неравномерным. Фантастика, не так ли? Тот, кому было поручено распределить цифры, видимо, крупно просчитался, выполняя свою работу.

Объяснить такую закономерность на самом деле проще, чем можно было бы подумать: путь от 1 до 2 самый долгий для всего, что можно измерить, взвесить, подсчитать. Единица должна удвоиться, чтобы стать двойкой.

Возьмем одну биржевую акцию стоимостью 100 евро. Начальное число ее стоимости равно 1. Чтобы выйти из зоны первой единицы стоимость акций должна вырасти вдвое. Она должна быть увеличена на 100 %, чтобы достичь 200 евро и перейти в область начальной двойки. Начиная с 200 евро стоимость должна измениться только на половину, то есть на 50 %, чтобы увеличиться до 300 евро, где начинается область начальной цифры три. Если стоимость акции составляет 900 евро, то ее рост должен быть равен только 11 %, чтобы достичь стоимости 1000 евро и снова вернуться в область начальной единицы. Таким образом, при случайном росте и падении срок пребывания акции в отдельных числовых диапазонах будет отличаться. Закономерность Бенфорда была известна авторам Библии задолго до его рождения.

Числа в Библии тоже подчиняются закону Бенфорда. Библия опережает свое время на два тысячелетия. Иначе обстоят дела с числом Пи = 3,14… Место в тексте 3-й Книги Царств 7:23 указывает на значительное округление числа Пи до 3. Авторы Библии уступают древним вавилонянам, которым было известно оптимальное соотношение – 22/7.

Может ли нам в чем-то помочь закон Бенфорда? Yes, it can.

Мы можем проверить данные на подлинность. Аналитики данных целиком полагаются на закон Бенфорда. Данные, не вписывающиеся в рамки закона Бенфорда, ложные или были искажены. Многие финансовые ведомства в США и Европе ведут проверку наших финансовых сведений. Налоговые декларации, не соответствующие закону Бенфорда, под пристальным вниманием.

Финансовый исследователь Марк Нигрини понял это первым. Он разработал программное обеспечение, которое проверяет налоговые декларации на соответствие Бенфорду. Своеобразный детектор лжи бухгалтерского учета. Он пополнил базу данных налоговыми декларациями признанных налоговых мошенников. При проверке всех их программное обеспечение отправляло соответствующее уведомление.

Конечно, сигнал программного обеспечения еще не является убедительным доказательством того, что действительно обнаружен факт налогового мошенничества. Но это достаточное основание для того, чтобы запросить объяснение. Если набор данных не соответствует, хотя должен бы, закону Бенфорда, возникает вопрос, в чем причина.

Приведу пример: переводы дивидентов собственным клиентам, декларируемые американскими банками в налоговой инспекции, соответствуют закону Бенфорда, а суммы процентов, полученные непосредственно самими клиентами, нет. Значит, что-то не так. Аналогичным образом ученые недавно обнаружили, что несколько развивающихся стран систематически манипулируют своими экономическими данными.

Сведения о результатах выборов по избирательным округам при избрании Джорджа Буша президентом США в 2000 году не соответствуют закону Бенфорда. Такие результаты вызывают сомнения, поскольку нефальсифицированные результаты соответствуют закону Бенфорда. Сегодня широко распространены фейковые новости. Раньше это были фейковые числа?

Разбогатеть с помощью закона Бенфорда?

Бенфорд не поможет вам разбогатеть, играя в лотерею. Лотерейные номера не согласуются с законом Бенфорда. Но они не являются числами как таковыми: это всего лишь надписи на шариках, выпадающих из лотерейного барабана. Эти шары могли бы быть подписаны и словами, например «собака», «кошка», «бобр»…

Газетные числа представляют собой микс данных. Если составить большую таблицу и поместить в нее все, что не соответствует закону Бенфорда: цифры на номерных знаках автомобилей, лотерейные числа, размеры одежды и т. д., то даже этот цифровой винегрет подтвердит действие закона Бенфорда. Здесь место короля тоже займет 1.

С помощью закона Бенфорда можно даже проверить статистический прогноз. Например, результаты переписи населения. Для их проверки воспользуемся тестом «Анализ исходных данных и результатов по Бенфорду». Распределение данных о количестве народонаселения соответствует закону Бенфорда. Данные методики прогнозирования развития численности населения должны соответствовать закону Бенфорда в том числе. Если соответствие не установлено, то прогностическую модель нельзя назвать достоверной. Или лучше сразу отказаться от нее, так как ее конечный продукт – на 100 % мусорные данные.

К слову, несбалансированность не ограничивается начальной цифрой. Закон верен, но менее выражен и для других цифр. Он позволяет сделать вывод о том, что сфальсифицировать данные незаметно довольно сложно. Тот, кто манипулирует цифрами, вмешивается в структуру цифр. Меняет их повторяемость. При подтасовке данных очевидно становится не только изменение начальной цифры. Если фальсификация данных происходит точно в соответствии с ожиданиями, то это они приобретают неестественный характер. Случайный разброс также не стоит недооценивать, его выраженность не должна быть слишком низкой. Если ранее считалось, что случайность размывает любые закономерности, то сама суть случайности противоречила бы такому пониманию. Даже случайность не является абсолютно нерегулируемой. Она тоже обладает свойствами, содержит закономерности, и да, даже подчинена действию законов. И «технический осмотр» цифр позволяет все проверить это утверждение.

Представить искаженные данные как реальные – настоящее искусство. Выявить изящное налоговое мошенничество не так-то просто. Такое умение подвластно только настоящим профессионалам. Или профессионалкам. Поскольку обмануть гуру в сфере чисел очень сложно.

Обычные люди в общем и целом не самые умелые фальсификаторы данных. Они не справятся даже с представлением своих данных случайными. Поскольку случайными не значит произвольными. Быть случайным означает обладать определенными свойствами, но не иметь других свойств.

Приведу пример моей лекции. Я попросил моих студентов сделать следующее: если имя матери начинается с букв от А до М – подбросить монету 200 раз, записывая соответственно 1, если выпадет орел, и 0, если выпадет решка. Если имя начинается с буквы от Н до Ц, то записать случайную последовательность чисел из 0 и 1, не подбрасывая монетку. Через час я собрал числовые последовательности и, только взглянув на них, смог сказать, выдуманные они или настоящие.

Я внимательно отслеживал единственную особенность: встречается ли шесть раз подряд 0 или 1. Если подбросить монету 200 раз, с вероятностью 95 % в какой-то момент не менее шести раз подряд должны выпасть орел или решка. Тот, кто придумал свою последовательность, чаще предпочитал не использовать такие длинные повторы.

Сделаем вывод: не стоит манипулировать данными налоговой декларации. Если устоять невозможно, ни в коем случае не указывайте вместо фактически полученного дохода, равного 17 653 евро, доход 9956 евро. Такая игра руками значительно изменит структуру начальных цифр. Лучше «описаться» и «забыть» последнюю цифру суммы, указав 1765 евро. И в случае необходимости оправдание готово. Но я не хотел бы подбрасывать новые идеи. Лучше позабочусь о своей собственной налоговой декларации.

16
Сохраняем спокойствие, если наши друзья пользуются бо́льшим успехом

В этой главе автор успокоит читателя, если у него меньше друзей, чем у друзей, и продемонстрирует, как это поможет ему жить спокойнее.

Антонио зарегистрирован в социальной сети Facebook[2]2
  Осенью в Великобритании переводят время назад в 2 часа ночи. – Прим. изд.


[Закрыть], [3]3
  Соцсеть Фейсбук принадлежит компании Мета, которая признана экстремистской организацией. Её деятельность запрещена в России.


[Закрыть], и у него 245 друзей. Но этот факт не слишком его радует, так как у 80 % его друзей в этой социальной сети больше друзей, чем у него самого. В среднем у каждого из них по 359 друзей. И тем не менее если бы существовал типичный Отто, стандартный пользователь Facebook, то им был бы Антонио. Указанные цифры точно соответствуют цифрам, характерным для нормотипического пользователя социальной сети.

Забавно, но тем не менее факт. И эта закономерность не ограничивается только друзьями в социальной сети. К настоящим друзьям в реальной жизни данная закономерность тоже применима: в среднем у наших друзей больше друзей, чем у нас самих! Такое открытие сделал в 1991 году социолог Скотт Фельд. Он назвал его парадоксом дружбы. Но он не имеет никакого отношения к социологии, это исключительно математическое свойство сетей.

Мы все застряли в сети. В ее субъективно воспринимаемом центре находитесь непосредственно вы сами. Но в сеть включены ваши друзья, а также друзья ваших друзей, то есть друзья друзей. И друзья друзей ваших друзей. Очевидно, что сеть быстро растет и расширяется. Возможно, мы с вами, разделенные семью звеньями в сети, тоже дружим.

Мои подписчики, твои подписчики

У макак вожаком становится тот, у кого больше друзей. Орда макак приводится в движение по инициативе одного из ее участников. Макак встает, проходит несколько метров и наблюдает за тем, что делают остальные. Может так случиться, что какой-то второй макак тоже встанет и сделает несколько шагов в противоположном направлении. Он предложит альтернативный вариант. Затем за каждым из двух особей последует некая часть стаи. Лидером станет тот макак, у которого будет больше последователей. Обезьянья демократия.

Почему у ваших друзей в среднем больше друзей, чем у вас? Объяснение находится в плоскости простого искажения: если у кого-то много друзей, то гораздо больше шансов, что этот кто-то тоже будет дружить с вами, чем вероятность того, что у него будет мало друзей.

Это понятно?

Особенно иллюстративные случаи позволяют отследить такую закономерность на зависть хорошо: существуют отдельные участники сети, не имеющие друзей, вероятность существования дружбы с которыми у вас равна 0. А тот, у кого много друзей, с вероятностью 100 % тоже дружит с вами. Таким образом, чем больше друзей у человека, тем больше вероятность того, что и вы окажетесь в его кругу друзей. Вот почему мы все воспринимаем сеть как довольно искаженное явление.

Плохо ли это? Да!

Исследования показывают, что мы склонны сравнивать себя с нашими друзьями. Во многом: в профессии, доходе, партнере по жизни и в том числе по популярности и количеству друзей. Существует даже исследование, продемонстрировавшее, что фактором риска депрессии является меньшее количество друзей, чем у собственных друзей. Если вам неприятно это знать, имейте в виду: объяснить такой факт можно не вашей непопулярностью, а математическими свойствами любой сети. Вас это успокоило?

Если нет, то подумайте об обратном – о парадоксе вражды. У ваших врагов в среднем больше врагов, чем у вас лично. Теперь вы чувствуете себя лучше?

Фейковые друзья

В 2012 году на биржах рухнули акции компании Facebook.

Как сказал по телевидению один психолог: друзья Facebook – ненастоящие друзья.

Заметим: только один тот факт, что вы представлены в сети, искажает ваше восприятие. Ведь наблюдать за сетью можно только с перспективы собственного положения, а не сверху, с высоты птичьего полета. Наблюдение в любом случае предполагает искажение.

Такова мудрость жизни. Она относится не только ко взаимоотношениям друзей и врагов, но и к другим явлениям. Только воспринимая действительность, мы искажаем ее. Если она кажется нам неприглядной и покосившейся, то это и есть ловушка, в которую попал наблюдатель. Она может появиться везде.

Приведем пример с ситуацией ожидания: рядом с вами расположена автобусная остановка, и вам известно, что в среднем каждые 10 минут с остановки отправляется автобус. Можно ли рассчитывать, что половина этого промежутка, то есть 5 минут, станут временем ожидания, если появиться на остановке в произвольное время?

Я слышу ваше «нет». И вы правы, снова став жертвой искажения. Промежуток времени между прибытиями автобусов не фиксированный. Иногда он меньше 10 минут, иногда больше. Чем больше промежуток, тем выше вероятность того, что вы в него попадете. И чем он больше, тем больше времени в среднем вы проведете в ожидании. Более длительные периоды ожидания в вашей жизни представлены шире.

Другой пример. Гюнтер, учитель, спросил своих учеников, сколько детей есть в семьях. Среднее значение он принимает за суждение о среднем количестве детей в семье. Гюнтер тоже попадает в ловушку наблюдателя: семьи с небольшим количеством детей реже представлены в его наблюдении. Семей без детей в нем, например, вообще нет. Вот почему средний уровень в данных Гюнтера завышен.

Или возьмем Тину, проходящую курс обучения в колледже. В рекламной брошюре сказано, что на потоке в среднем 50 слушателей. Но слушатели говорили другое: ощущаемое ими среднее количество казалось гораздо выше. Удивительно, но верно и то, и другое. Предположим, что есть два курса; количество участников одного из них составляет 90 человек, а другого – 10. Среднее арифметическое количество участников каждого из курсов составляет 50 человек. Так выглядит точка зрения учебного заведения. Но если спросить всех слушателей о количестве участников курса, который они слушают, то 90 из них буду утверждать – 90, а 10–10. Медианное значение для массива этих чисел, суммарно составляющих 100, составит 82, что намного выше ранее указанного уровня.

Искажения заметны в том числе при рассмотрении процесса старения. Женщины в Германии уходят из жизни в среднем в 82,2 года. Но если женщина достигает возраста 80 лет, то, вероятно, она достигнет возраста, превышающего возраст среднестатистической женщины. В действительности, согласно статистике, стоит ожидать, что она проживет еще 9,3 года. Просто потому, что 80-летний человек не может умереть до достижения им 80 лет, что повышает среднее арифметическое. Возрастная перспектива 80-летнего человека искажена значительным возрастом, который уже достигнут.

Коварство оценки с позиции наблюдателя наглядно прослеживается при рассмотрении многих других явлений: парадокса дружбы, ожидания, старения. В конце концов, существует и так называемый парадокс парадокса: большинство явлений, называемых парадоксальными, таковыми не являются, а по сути являются лишь математическим фактом, удивительным для всех тех, кому неизвестны математические закономерности.

Парадокс дружбы может быть замечательным образом применен: с его помощью можно предсказать эпидемию гриппа. Эту закономерность обнаружили врачи Николас Кристакис и Джеймс Фаулер. За основу взят тот факт, что люди, у которых много друзей, подвергаются большему риску заражения гриппом. Одними из первых они заболевают на начальном этапе эпидемии гриппа. Кристакис и Фаулер отправились на поиски людей с большим количеством друзей. Установить их путем опроса сложно. А вооружившись парадоксом дружбы – легко.

Сначала отбирается репрезентативная выборка из всех претендентов. Затем респондентов просят назвать трех друзей. После чего ход эпидемии отслеживается в рамках группы друзей. Группа друзей заболевает в среднем на две недели раньше, чем участники выборки в целом. Группа друзей формирует систему раннего предупреждения о вспышке эпидемии за две недели до нее самой. Для официальных органов такое наблюдение, безусловно, может быть полезным, например при планировании объемов производства и распределения противопростудных средств.

До настоящего времени органы здравоохранения для выявления эпидемии гриппа прибегали к отслеживанию поисковых запросов Google, среди десятков миллионов которых неожиданно появлялось множество запросов, связанных с гриппом. Но такие сведения позволяют получить информацию только о текущем уровне эпидемии. Данная система раннего предупреждения гриппа не может предоставить сведения о развитии событий в будущем.

Если вас не интересуют эпидемии, воспользоваться парадоксом дружбы можно, чтобы получить от жизни чуть больше удовольствия. Например, отслеживая модные заведения. Ультрапопулярные локации, которые первыми находят модники, оказываются уже пустыми/закрытыми/деградировавшими, когда о них узнает большинство.

Чтобы найти такие места, не доверяйте тому, что услышите сами. Обратитесь к своему кругу друзей с просьбой подключиться к поиску актуальных тенденций. Ведь вам известно, что социальные контакты ваших друзей шире ваших. И потому в них пульсирует больше сигналов о возникающих тенденциях.

О друзьях пока все. Надеюсь, все сказанное не было настолько длинным или скучным, что я потерял несколько друзей.

17
Лучше, чем чередование

В этой главе автор объясняет, почему чередование – не лучшее решение, и показывает, какой выход подойдет всем.

Дорота – мама двух мальчиков-близнецов. Они довольно похожи, носят одинаковую одежду, одинаково пострижены. И внимательно следят за тем, чтобы мама вела себя с ними одинаково.

Дорота испекла для них кексы. Восемь штук, все оформлены по-разному. Попросим близнецов поделить их между собой. Спор начинается сразу же. Предложение Дороты: «Обменяйтесь выбранными кексами». Предложение хорошее, но едва оно было произнесено, как последовал крик близнецов: «Я первый!» Чтобы решить, кто будет первым, подбросим монету. Затем обмен. Все довольны. До определенного времени.

Жребий с обменом: что может быть справедливее? С давних времен люди пользуются жребием и обменом, чтобы установить справедливость.

Например, розыгрыш серии пенальти в футболе. Право принятия решения о том, будет ли его команда выполнять удар первой, получает тот, кому выпадет брошенная рефери монетка. Команды по очереди выполняют пять одиннадцатиметровых. Если необходимо, серия ударов повторяется в том же порядке до решающего гола, пока не победит одна сторона и не проиграет вторая. Долгое время справедливость порядка выполнения пенальти не подвергалась сомнению.

Исследователь пенальти Паласиос-Уэрта проанализировал тысячи решений по результатам серии пенальти. И сделал следующий вывод: команда, выполняющая удар первой, побеждает в 60 % случаев. Это несправедливо! В спорте немного ситуаций, когда неравенство при равной силе в игре имеет столь вопиющие последствия.

На первый взгляд настолько большая разница в шансах по пенальти удивляет. Но объяснить это просто: в долгосрочном рассмотрении три четверти всех пенальти реализуются успешно. Поэтому второй команде чаще всего приходится компенсировать отставание. Этот факт оказывает на нее психологическое давление. Бомбардиры второй команды реализуют примерно на 4 % меньше ударов, чем бомбардиры первой команды. В этих цифрах отражается влияние психологического давления. 4 % в ходе пяти раундов выливаются в 20-процентные потери.

Главное правило в серии пенальти: если право выбора первого удара за вами, то этим правом стоит воспользоваться. 95 % игроков по результатам опроса подтвердили, что предпочли бы действовать подобным образом. На просьбу объяснить такой выбор они ответили, что тем самым на соперника было бы оказано давление. Именно в этом заключается психологический смысл пенальти.

Только иногда удавалось получить другой результат: в финале ЧМ-2006, в игре сборных Италии и Франции счет после дополнительного времени составил 1:1. Судья Орасио Элисондо подбросил монету, жребий выпал Джанлуиджи Буффону. На телеэкранах было видно, насколько он был ошарашен. Колебался, держался за голову. Наконец сказал: «Первый бросок за мной». Но Буффо – вратарь команды Италии. Если он начнет игру, то французы завладеют мячом первыми. Только поэтому у них на 20 % шансов больше, чем у команды Буффона. Его оплошность в тот момент, к счастью, не сказалась на ходе игры. Италия преодолела статистику и победила со счетом 5:3.

У близнецов Дороты по-прежнему царит мир и спокойствие. Монета выпала Тиму, и он взял кекс первым. Затем взял Ким, и снова Тим, и опять Ким. В этом случае психологическая составляющая пенальти, конечно, отсутствует. Но появляется другая проблема: Ким замечает, что на каждом ходу ему приходится предоставить преимущество Тиму. На каждом отдельном этапе в паре Тима и Кима Тим выбирает первым, а только после этого выбор делает Ким. Если бы предметом выбора были не восемь кексов, а восемь различных денежных сумм, Тим мог бы оставлять себе на каждом этапе бо́льшую сумму, а Ким постоянно оказывался бы в невыгодном положении. Честным решением было бы меняться ролями.

Что предпринять в таком случае?

Выполнение серии пенальти претерпело некоторые изменения. Например, на каждом этапе игрокам обеих команд было предоставлено право бить по мячу одновременно. В конце концов, на стадионе две пары ворот. Такой ход помогает выровнять психологическую нагрузку, но не так привлекателен для зрителей. Болельщики вынуждены рассеивать внимание.

Другим предложением стало применение так называемого правила догоняющего. В этом случае жребий снова решает порядок ударов в первой серии пенальти. Если в первой серии один игрок забьет гол, а другой нет, то в следующем раунде мяч получит команда, которая не забила гол. Если обе команды забивают или обе не забивают, в следующей серии первой выполняет удар команда, получившая в текущей серии право второго удара. С точки зрения математического анализа правило догоняющего выглядит справедливым.

Иначе обстоят дела в теннисе, когда объявляют тай-брейк. Если счет в игре 6:6, то тай-брейк начинается с подачи игрока, который начал бы 13-й гейм. Затем право двух подач переходит противнику, и такое чередование права подачи каждой из сторон реализуется после двух подач одной из сторон. Победителем становится тот, кто первым получит не менее 10 очков с преимуществом 2 очка. Такой порядок обеспечивает равные шансы при равном уровне игры. Статистика подтверждает такую возможность.

Конечно, правило тай-брейка не совсем применимо к ситуации с Дороти и кексами. Но справедливость может быть достигнута иным путем. Право первого выбора решает жребий. Тим получает право выбирать первым и хватает кекс. Затем кекс выбирает Ким. Состоялся первый раунд. Теперь в каждом новом раунде происходит чередование. Вместо того чтобы просто чередовать близнецов, получающих право выбирать первыми, мы меняем последовательность: ТК КТ ТК КТ ТК КТ… Это уже шаг вперед. Чередование второго порядка. Но чередование в принципе несправедливо независимо от того, каким образом выполняется.

Нам нужен более совершенный подход. И следующий метод работает в любой ситуации – не только в серии пенальти и с выбором кекса. Последовательность первого раунда TK установлена по жребию, который выпал Тиму. Если такая последовательность предполагает преимущество первого или второго игрока, то это преимущество будет переходить из рук в руки, например когда в следующем раунде произойдет переход права первого выбора. Таким образом, получим последовательность ТК КТ.

Если эта последовательность по-прежнему предоставляет преимущество одной из сторон, то в следующих четырех раундах произойдет ее изменение на противоположную последовательность KT TK. В итоге получим очередность ТК КТ КТ ТК. И продолжим по образцу далее. В ходе следующих восьми ходов добавляется обратная последовательность, и снова противоположная последовательность в следующих 16 ходах, и так далее. В результате получим TK KT TK KT TK TK KT…

Такой подход нельзя назвать ни чередованием последовательности, ни чередованием чередования последовательности. Но чередованием чередования чередования назвать можно. И далее аналогичным образом. Такой подход получил название «сбалансированное чередование», и он не является собственно чередованием.

Для полного раскрытия потенциала справедливости должно пройти два, или четыре, или восемь и т. д. циклов чередования. Данный принцип замещения – одна из самых известных математических закономерностей, так называемая последовательность Морсе – Туэ. Она характеризуется любопытными свойствами и вариантами применения.

Тим, Ким и Вим

Как быть, если детей трое? Тим, Ким и Вим. Жребий устанавливает последовательность 1, 2, 3: предположим, сначала Тим, потом Ким, затем Вим. Сбалансированное чередование, если участников трое, выглядит следующим образом: Тим, Ким, Вим, Вим, Ким, Тим, Вим, Ким, Тим, Вим, Ким, Тим, Тим, Тим, Ким, Вим…

Важным свойством является ее самоподобие: если последовательность Морсе – Туэ продлить до бесконечности, а затем вычеркнуть каждый второй символ, то оставшиеся символы образуют ту самую последовательность Морсе – Туэ.

Кроме того, последовательность букв Т и К ни разу не повторяется подряд трижды. Повторений, таким образом, можно избежать, придерживаясь определенной системы. Поэтому неудивительно, что последовательность используют композиторы для достижения идеального порядка повторения и чередования.

Один из таких композиторов – Пер Норгард. Он сочинил музыку для ансамбля перкуссионистов, в котором музыканты проигрывают последовательность Морсе – Туэ с разной скоростью. Причем так, что самоподобная цепочка символов проявляется наиболее гармоничным образом.

Лучше, чем беспорядочно махать веслами

При рассадке гребцов в восьмиместной лодке возникает вопрос, как расположить весла слева и справа. Лодка должна оставаться в воде как можно в более устойчивом положении. В частности, чтобы не допустить так называемого крена, или наклона лодки, при ударе весел лодка должна вернуться в равновесное положение. Поочередное расположение весел – не лучшее решение. Оптимальным расположением уключин считается «итальянский» способ: слева и справа точно в соответствии с последовательностью Морсе – Туэ.

Вывод: не следует применять принцип чередования, если вас восемь. Он несправедлив, лучше от него отказаться. Принцип сбалансированного чередования был бы куда оптимальнее.