Текст книги "√Жизнь. Математика как способ стать счастливее и жить дольше"

9
Не теряем времени, ожидая

В этой главе автор делится мнением о том, почему мы всегда занимаем не ту очередь, и дает совет, как выбрать очередь с более быстрым обслуживанием.

Добро пожаловать в эту главу. Благодарим вас за проявленный интерес. Автор сейчас занят поисками оптимального начала разговора на эту тему. Пожалуйста, наберитесь терпения. Он свяжется с вами как можно быстрее.

Подобное мы слышим часто. Эти слова означают начало ожидания. Жизнь заставляет нас ждать. Ожидание в зале ожидания. Ожидание Христа. И снова и снова ожидание в очереди к кассе супермаркета. Даже чаще, чем Homo sapiens, мы чувствуем себя Homo expectans, то есть человеком ожидающим. Исследователи состояния ожидания обнаружили, что 374 дня нашей жизни мы проводим в ожидании. Наша повседневная жизнь снова и снова прерывается ожиданием.

Необходимость ожидания нам мешает. Принуждение к ожиданию – инструмент силы. Тот, кто может заставить нас ждать, демонстрирует свое превосходство. Он властелин нашего времени. Или властительница.

Ожидание не пришлось изобретать. То, что следовало бы изобрести, – умение ждать. Антропологи сходятся во мнении, что очередь была изобретена англичанами. В ней проявляется английская концепция эгалитаризма. Перед лицом цели ожидания все равны. В очереди царит дисциплина: несоблюдение дисциплины в ходе ожидания всячески осуждается. В очереди царит справедливость: кто пришел раньше, тот уйдет раньше.

Возражение

Я вынужден возразить антропологам. Очередь была изобретена не англичанами, а раками-отшельниками. Эти раки захватывали дома улиток. Поскольку эти животные постоянно растут, им вновь и вновь требуются новые дома. Если на берег вымывался пустой дом улитки, который оказывался слишком велик для рака, ему приходилось ждать, когда он дорастет до этого дома. Позже появлялись другие раки, которые ожидали точь-в-точь таким же образом. Раки выстраивались по убыванию роста в одну очередь. В какой-то момент появлялся рак, которому дом улитки приходился впору. Когда он в него вселялся, смена дома вызывала цепную реакцию. Все ожидающие раки перемещались друг за другом в следующий по величине освободившийся дом. Данное явление было обнаружено группой исследователей из Гарвардского университета.

Несоблюдение принципов справедливого ожидания вызывает недовольство. Продавщица у мясного прилавка в супермаркете, где я предпочитаю делать покупки, рассказала, что однажды один из клиентов бросил в нее кусок сыра. Она случайно обслужила первым кого-то другого. С ее слов, многие из ожидающих в очереди закипают с пол-оборота.

Кто из нас не злился, когда в супермаркете приходится в очередной раз стоять в медленно движущейся очереди? А кто-то другой, кто пришел позже, свободно проходит в соседнюю свободную кассу. Многие в таком случае думают, что они неудачники, которые всегда встают не в ту очередь. Но в этом случае просто срабатывают механизмы психологии выбора. Ситуации, в которых мы сами становимся счастливчиками, забываются. В памяти же остаются все 62 случая, когда ожидание завершилось менее удачно.

Психологи установили, что если ожидание не сопровождается какой-либо деятельностью, субъективные ощущения от ожидания намного выше фактически проведенного в ожидании времени. Ожидание растягивает время.

Существует даже математика ожидания – теория массового обслуживания. Одним из результатов исследований, проведенных в этой области, стал следующий факт: американская очередь – самая лучшая. Ее можно увидеть в почтовых отделениях. Там все выстраиваются в очередь. Она может быть очень длинной, но быстро движется. Тот, кто стоит в голове очереди, направляется к ближайшему свободному оператору. Этот принцип построения очереди имеет смысл применять в супермаркетах: при одинаковой скорости работы операторов американская очередь позволяет обслужить большее количество людей. В среднем она сокращает время ожидания. Еще один ее плюс – полное соблюдение принципа справедливости ожидания.

Дожидаться правильно

Новый пациент спрашивает у медсестры в кабинете терапевта: «Какую систему ожидания вы используете? Американскую очередь или принцип «кто громче крикнет».

Возникает вопрос, почему американская очередь не введена в супермаркетах? Потому что операторы супермаркетов не заинтересованы в том, чтобы их клиенты как можно быстрее уходили из торгового центра. Наоборот. Чем дольше вы стоите в очереди, тем больше товаров купите, тем больше денег потратите.

Пространство у касс организовано таким образом, чтобы максимально привлечь внимание покупателей. Стоя в очереди, покупатели рассматривают полки. Где еще ближе к посетителю можно разместить рекламу? И установить боксы с определенными товарами, которые психологически привлекательны в ситуации ожидания.

Организация пространства в таких зонах – целая наука. Психология ожидания идет рука об руку с покупательской психологией. Чем дольше время ожидания в очереди у кассы, тем дольше покупатель подвергается воздействию соблазнов. Тем больше шансов, что он поддастся их влиянию. И быстро забросит в корзинку еще одну шоколадку.

На этапе совершения покупки покупатель особенно уязвим. Его видоискатель опущен, он мысленно уже завершил покупки. Своими мыслями он уже находится далеко за пределами супермаркета, где продолжится его день. И тут появляется этот заманчивый батончик, который можно быстро уничтожить прямо в машине.

Несколько советов в связи с очередями в супермаркетах. Стандартная происходящая со мной ситуация такова: я завершил свой путь по супермаркету и нахожусь на финишной прямой в направлении кассы. Открыто несколько касс. Перед одной из них – очередь. Как правило, очереди все примерно одинаковой длины. Если одна из очередей оказывается намного короче остальных, то она остается такой недолго. Она быстро пополняется колоннами покупателей из других очередей и прибывающих клиентов.

Но если все очереди примерно одинаковой длины, то, в сущности, все равно, в какую из них встать. Так думают многие и отправляются наугад в одну из очередей. Или в очередь, которая оказывается чуть короче остальных. Но это не означает, что попасть в кассу удастся быстрее. Динамика очередей в математическом понимании непроста. Она в значительной степени неравномерна, и скорость ее движения заметно отличается.

У холостяка в корзинке будут находиться три предмета, а мама будет делать еженедельную закупку питания для всей семьи. Кто-то забудет взвесить бананы. Многие из этих каждодневных ситуаций непредсказуемы, другие вполне.

Мой совет таков. Прежде чем занять место в очереди, посмотрите на кассира: производит она впечатление нетерпеливого и динамичного человека или она выглядит сонной, вялой, медлительной? Скорость, с которой она обслуживает покупателей, очень сильно влияет на скорость движения очереди. Также взгляните на тележки. Если некоторые из них загружены доверху, то этого достаточно, чтобы пройти мимо.

Когда я спешу, я также стараюсь избегать очередей с более медленными, по моему опыту, покупателями: одинокие папы или мамы с малышом, которым приходится тратить больше времени на успокаивание потомка, чем на оплату. Пожилых джентльменов, которые сначала ищут свои очки или болтают с кассиром.

Кстати, одна касса и 10 человек в очереди – это не то же самое, что 10 касс и 100 человек. Второе лучше для тех, кто стоит в очереди. Если скорость персонала на кассах в среднем одинакова, время ожидания во втором случае окажется короче.

Если бы мы могли посмотреть на мир сверху и охватить взглядом все происходящее, то мы смогли бы увидеть все мимолетное и долговечное с реальной частотой их проявлений. Тот, кто находится в центре происходящего, воспринимает события под другим углом зрения. Он видит только то, с чем вступает в непосредственный контакт. Поскольку в большинстве случаев мы случайно сталкиваемся с событиями, мы склонны игнорировать короткодействующие ситуации, и наоборот. Например, пробки. Если пробка небольшая, то она слишком незначительна, чтобы мы могли ее прочувствовать. Если пробка больше, вероятность ее встретить тоже возрастает. То есть, как правило, нам придется дольше простоять в пробке.

Или на автобусной остановке. Если мы попадем туда в случайный отрезок времени, то, скорее всего, это будет перерыв между двумя автобусами, едва ли нужный транспорт придет сразу. Поэтому нам придется дольше ожидать следующего автобуса.

Многие вещи в нашей жизни трансформированы подобным образом: наша стиральная машина будет работать дольше, чем это предусмотрено. Равно как и наши дружеские отношения. Наши родители, как правило, будут жить дольше среднего. И мы тоже. Поскольку тот, кто умирает молодыми и тянет за собой средние значения вниз теперь, когда я пишу эти строки, тогда, когда их прочитают, уже будет не вместе с нами.

10
Находим истину в неопределенности

В этой главе автор демонстрирует, как можно приблизиться к пониманию неизвестной истины в ситуации неопределенности.

Земля. Родная планета для 7,3 миллиарда человек. Человечество продолжает расти. В последние десятилетия прирост в течение пяти лет составлял 6 %. Куда нас приведет этот рост? Этим вопросом мы и займемся. Например, Антони ван Левенгук изобрел в 1679 году микроскоп. Его оценка: 13,4 миллиарда.

Исследователь населения планеты Джоэл Коэн проанализировал сведения, полученные 66 экспертами в течение последних четырех столетий. У всех них своя собственная истина. Она зависит от исходных предположений. Некоторые из них трудны для понимания. Один эксперт предположил, что вся площадь Земли может быть использована для земледелия, что растения будут высажены максимально плотно, вся растительная продукция будет использоваться только для питания людей, а все люди станут вегетарианцами. Таким образом, он пришел к выводу о населении численностью 1000 миллиардов человек.

Этот пример даже не самый радикальный. Наиболее успешным стал сошедший с ума физик, который назвал величину в 60 000 раз больше. Он предложил окружить всю поверхность Земли до самых высоких уровней конструкциями с воздушными баллонами и поселить там людей.

Эти 66 оценочных суждений не являются не только big data, но и small big data. Тем не менее этих цифр достаточно для того, чтобы понять, что оценить их поверхностно не получится.

Приблизимся к истине

Правда стала предметом рассмотрения не только в мире чисел, но и во многих других сферах. Например, в ходе интерпретации литературного произведения. Кому правда могла быть известна лучше, чем человеку, который написал книгу? Знаменитая польская поэтесса Вислава Шимборская получила Нобелевскую премию по литературе в 1996 году. Вскоре после этого она анонимно приняла участие в экзамене, где речь шла об интерпретации ее наиболее известного стихотворения. Она набрала такое малое количество баллов, что едва не провалила испытание.

«Большие данные» типичны для нашего времени. Жизнь сегодня выглядит примерно таким образом: мы находимся на пляже и подвергаемся беспрецедентному цифровому излучению. Огромные массивы данных влияют на нашу жизнь. В мире больше массивов данных, чем словосочетаний, больше чисел, чем слов. Даже в обычной повседневной жизни: спортивные результаты, лабораторные данные, котировки акций, движение по счетам. Мы постоянно получаем информацию, но ее слишком много. Большую часть мы можем опустить, но не всю. Тот, кто принимает решения, нуждается в надежной базе, то есть в данных. Данные должны быть интерпретированы. Потому как истина, которую они в себе заключают, не может быть воспринята непосредственно. И поэтому их количество сбивает с толку. Например, Интернет, содержащий не меньше 20 миллиардов страниц. Предположим, вас интересует, когда определенные страницы обновлялись в последний раз. В этом случае вам будет предоставлено 20 миллиардов отдельных цифр.

Невозможно прочувствовать этот массив данных. Но без понимания истина не имеет смысла. Именно поэтому мы благодарны за информацию о том, что типичный сайт в сети Интернет в среднем обновляется раз в 58 дней. Лишь одно число, среднее, представляет целый массив данных. Оно становится эквивалентом, который позволяет начать анализировать информацию.

Благодарим того, кто изобрел среднее арифметическое. Наряду с колесом среднее арифметическое – одна из главных находок человечества. Совершенно определенно! Представим себе мир без средних величин. Числа за числами. Такой мир существовал еще сравнительно недавно. А точнее, до того, как в 1831 году бельгийский ученый Адольф Кетле воскресил из небытия понятие среднего арифметического.

Точнее, Кетле вычислил, кто такой средний человек. Назовем его Макс. Как Макса Мустермана, Ивана Иванова. Это герой вымышленный. Создадим Франкенштейна, которого Кетле лишил любых особенностей отдельного человека, его индивидуальности, и всего, что относится не ко всем, а только к меньшинствам. Такой усредненный типаж призван представить образ всего населения, который является физическим центром системы объектов: центральная точка, вокруг которой распределено все индивидуальное.

Немецкая средняя величина

Средний немец выглядит следующим образом: 44 года, по фамилии Мюллер, по имени Михаэль или Сабина. Этот человек трудоспособен, работает в сфере услуг и зарабатывает 3000 евро до вычета налога в месяц. Вечером он ложится спать в 23:04 и просыпается в 6:18. У немцев в среднем есть один яичник и одно яичко. Человек с двумя яичниками, как правило, достигает возраста 82 лет, с двумя яичками – только 77.

Существуют и другие Максы, не только Макс Среднеарифметический. В криминалистике существует Макс Террорист. Он получен в компьютерной лаборатории на основании всех данных о преступниках, а затем на основании интеллектуального анализа данных его поиск ведут в реальности. Еще до того, как он сможет причинить вред, полиция уже держит его под прицелом. Такая работа называется профилактической работой полиции. Задачи органов безопасности охватывают не только раскрытие преступлений. Их предотвращение гораздо важнее действий постфактум. Борьба с преступностью со знаком плюс.

Средний человек Кетле очень важен. Как представитель всех, он предоставляет гораздо больше информации о коллективе в целом, чем любой отдельно взятый человек. А коллектив обязательно должен быть равным сумме его участников.

Возьмем данные из вводной части. В среднем в ходе 66 исследований было охвачено 900 000 миллиардов человек. Странноватый физик, экстремально обращающийся с числами, не счел среднюю величину пригодной для использования. 65 исследований дают оценки гораздо ниже высокого полета физика.

В математике средние величины применяются с давних пор. Средние величины еще называются средним арифметическим и получаются следующим образом: все числа суммируются, а сумма делится на количество чисел. Среднее арифметическое максимально приближено ко всем числам массива данных. Казалось бы, достойный показатель. Тем не менее и у него есть слабые стороны. Этот усредненный показатель не учитывает весомый вклад крайних значений.

Когда я нахожусь в офисе с другими коллегами, которые тоже пишут книги, вместе мы продаем в среднем 50 000 экземпляров наших книг. Но если к нам присоединится автор Гарри Поттера, мировые продажи книг которой достигают нескольких сотен миллионов экземпляров, то среднее значение улетит в космос. В среднем мы продали бы в таком случае 10 миллионов книг. Такой расчет несправедлив по отношению к миссис Роулинг. И несправедлив по отношению ни к одному из нас, обычных писателей. Такая величина будет находиться где-то на ничейной земле. Ввиду сильного разброса чисел и чувствительности арифметического метода мы получаем нечто совершенно бесполезное.

Разброс данных является скорее правилом, чем исключением. Зачастую встречаются значения, выходящие за стандартные рамки, отправленные в мир фантазерами. Среднее арифметическое дает представление о размахе вашей фантазии. Не самый оптимальный подход. Лучше было бы, если бы фантазеры «нейтрализовали» друг друга или их влияние оставалось ограниченным. Но поскольку среднее арифметическое не может учесть данный фактор, мы не можем считать такой подход оптимальным.

Математика может сделать более выигрышное предложение. «Давайте возьмем медианную величину», – советует математика. «Что же это такое?» – спросим мы. Давайте отсортируем все числа по возрастанию от самых малых до больших. Затем возьмем число, расположенное в самой середине. Это и есть медиана. На это число не влияют величины, предлагаемые фантазерами. Оно остается неизменным даже в том случае, когда крайние величины становятся еще более резко очерченными.

По сравнению со средним арифметическим, медианная величина гораздо более демократична: любое другое число отвергается коллективным большинством чисел, которое как бы противостоит ему, указывая на то, что оно слишком мало либо слишком велико. В медианном значении обе фракции уравновешивают друг друга. Поэтому медиана является ультимативным кандидатом, позволяющим достичь консенсуса, на который может согласиться сообщество чисел.

У него есть еще один плюс: нам не обязательно иметь дело с числами для вычисления медианы. До тех пор, пока мы можем выстроить объекты по какому-либо их свойству, например людей по привлекательности, мы в состоянии определить находящийся в самом центре объект и получить медиану.

В качестве альтернативы среднему человеку Кетле мы можем воскресить из небытия медианного человека. В нашем первоначальном примере он сразу же мог бы зарекомендовать себя. Медианная величина от всех 66 экспертных мнений находится в диапазоне 12 миллиардов. Примечательно, что эта медиана близка к оценке Левенгука, которую он сделал в 1679 году, когда мировое население достигало лишь 650 миллионов человек. И она правдоподобна.

11
Наоборот

В этой главе автор объяснит, почему иногда просто направляться к цели – не самый верный путь и почему иногда лучше делать что-то прямо противоположное.

Даниэль проходит терапию расстройства сна в течение нескольких месяцев. Безуспешно. Уже днем у него появляется страх перед моментом, когда ему придется идти в кровать. Вечерами он часами не может заснуть, думает о чем-то и злится на свое бодрствование. Днем он чувствует себя измотанным, раздраженным и отчаивается все больше и больше. В какой-то момент его тревога становится настолько велика, что он оказывается в лаборатории сна.

Он ложится на лабораторную койку, приходит врач и говорит: «Мы подготовили вас к ночному сну. Но предварительно необходимо провести еще одно обследование. Я ненадолго отлучусь к соседнему пациенту, после чего займусь вами. Но ни в коем случае не засыпайте до моего прихода!»

Доктор уходит. Через несколько минут Дэниель засыпает. По возвращении доктор увидит его мирно сопящим. Того же человека, который часами лежал не смыкая глаз, не в силах заснуть.

То, что было якобы случайно сказано врачом, является признанным методом лечения расстройств сна: парадоксальное вмешательство. Люди, которые не могут заснуть, засыпают, когда кто-то говорит им не делать этого. В этом случае срабатывают психологические механизмы инверсии.

К слову, Фрэнк Фаррелли прослыл бесконечно терпеливым психиатром. В течение ста сеансов он многократно давал больному шизофренией положительное подкрепление, утверждая, что тот ценен, обладает большими способностями, является хорошим человеком, имеет большой потенциал. Больной не соглашался, чувствовал себя неполноценным, впадал в депрессию.

На 101-й консультации Фаррелли сделал противоположный ход. Без предупреждения он начал соглашаться с самооценкой пациента: «Вы правы, вы ни на что не способны, вы бездарны, у вас нет талантов, ужасны. Ничтожество, тряпка, неудачник». С невиданной энергией пациент начал защищаться: он умел и то и это, не был ни слабым, ни неудачником. Подсчитывал свои успехи. Спустя еще несколько сеансов пациент вышел из своего шизоидного состояния.

В этих примерах есть одно общее: когда кто-то хочет отнять нашу автономию, ограничивает или критикует, наше «я» начинает протестовать. Оно чувствует вызов и идет в контрнаступление.

Эффект Ромео и Джульетты

Чем сильнее родители обесценивают любовь своих детей, тем сильнее крепнут их чувства и влюбленность друг в друга.

То же происходит и у животных: упрямый осел остановился перед открытым стойлом и не заходит внутрь. Его можно потянуть спереди за повод или подтолкнуть сзади. В любом случае осел противится, и сдвинуть его не получается. Но стоит потянуть осла за хвост, он бегом отправляется в стойло.

Аналогично ведут себя дети. Если мать скажет: «Ты уже такой большой, убери свою комнату», эффекта, как правило, не последует. Но если она скажет: «Ты, конечно, еще слишком мал и, вероятно, не сумеешь убраться в своей комнате за полчаса», ребенок почувствует вызов. Он поймет, что его способности под сомнением. Вероятнее всего, он захочет доказать обратное.

Движение в обратном направлении зачастую влечет за собой получение преимуществ. О том, что бунтарское мышление может быть эффективным, знали еще древние греки. Они называли это принципом парашюта одуванчика, или паппуса. Принцип распространен в математике и других науках. Уже более 2000 лет назад Евклид виртуозно использовал его в работе с простыми числами. Это натуральные числа, которые делятся только на 1 и сами на себя. Такими числами являются, например, 5 или 37.

Евклид отметил, что отрезки между простыми числами в среднем становятся больше и больше. Поэтому задал себе вопрос, существует ли самое большое простое число или же мы обречены встречать все большее. Он предположил, что существует бесконечное множество простых чисел, но доказать это предположение путем непротиворечивых умозаключений не смог.

Затем он пошел от противного: что произойдет, если я попытаюсь предположить, что существует конечное множество простых чисел? Исходя из такого предположения, он провел мыслительный эксперимент: если такое конечное множество простых чисел существует, то я могу зафиксировать их в списке, который в какой-то момент окончится. Несмотря на то что этот список может быть очень длинным, в какой-то момент конец его будет достигнут. Затем я создам большое число, являющееся произведением всех простых чисел из списка, и добавлю 1. Получив настолько большое число, я смогу предположить, что должно существовать еще одно простое число, которое не входит в список. Поскольку большое число само по себе должно быть еще одним простым числом, либо оно должно быть делимо на еще одно простое число. На все простые числа списка оно не делится, так как при всех подобных операциях в остатке всегда получим 1.

Таким образом, начальное предположение столкнулось с противоречием: к любому конечному списку простых чисел можно добавить еще одно число, которого нет в списке. Таким образом, первоначальное предположение не может быть верным. Верно противоположное: существует бесконечное количество простых чисел.

То, что было продемонстрировано выше, и есть доказательство от противного. Доказательство Евклида – вневременная жемчужина элегантности и проницательности. Оно входит в число объектов духовного всемирного наследия человечества. И является одним из самых красивых доказательств всей математики. К тому же оно является лакмусовой бумажкой. Так как тому, кто не считает его красивым, лучше отказаться от изучения математики.

В случае удачного доказательства от противного изначально в жертву приносят всю истину. Только отказавшись от нее вначале и заменив ее на заведомую ложь, можно рассчитывать на победу. Только противоречие, возникающее из неистины, позволяет узнать истину. Как феникс из пепла, она в конце концов возрождается.

Так было и в XVI веке, когда жил Галилей. У него возникли сложности с пониманием утверждения Аристотеля о том, что тяжелые предметы падают быстрее, чем легкие. Галилей не верил этому, но доказать иного не мог. Тогда ему помог гениальный мыслительный эксперимент: он представил себе тяжелый и легкий предметы, соединенные между собой нитью, практически лишенной веса. Что произойдет, если эта мысленная конструкция упадет вниз?

Если Аристотель прав, то сначала тяжелый предмет будет падать быстрее, а легкий – медленнее. Но очень скоро нить натянется, и легкий предмет притормозит тяжелый. Тяжелый станет тогда падать медленнее, не как если бы он падал сам по себе.

Но, с другой стороны, такая система состоит из двух предметов и нити. То есть она тяжелее тяжелого предмета самого по себе. Следовательно, по Аристотелю, такая система должна падать быстрее, чем любой предмет по отдельности. Но здесь обнаруживается противоречие. Утверждение Аристотеля становится логически неверным. Противоречие исчезает только тогда, когда все предметы падают с одинаковой скоростью.

Еще один пример. Что произойдет, если встряхнуть стакан, в котором лежат большие бразильские орехи и маленькие арахисовые, перемешанные друг с другом? Нет, большие бразильские орехи не опустятся вниз, как вы подумали. Наоборот, они поднимутся. Маневренный, занимающий небольшое пространство арахис проскользнет в промежутки между бразильскими орехами, соберутся в нижней части стакана и подтолкнут вверх бразильские орехи.

Эффект бумеранга

Психолог Даниэль Вегнер установил в исследовании, что усилия, направленные на подавление мысли, приводят к противоположному эффекту. Он попросил группу испытуемых ни в коем случае не думать о белом медведе. Каждый раз, когда возникали мысли о животном, они должны были нажимать на кнопку. Спустя пять минут испытуемые думали о белых медведях в два раза чаще, чем другие участники, от которых на самом деле требовалась интенсивно думать о белых медведях. Трактовка психолога: если мы пытаемся подавлять мысли, мозг начинает поиск воспоминаний о табуированных мыслях. За счет этого процесса запрещенная мысль активируется и становится все более навязчивой. Если мы попробуем отказаться от таких мыслей, то мысли, которых мы стремимся избежать, устремятся к нам с новой силой и будут навязчиво возникать в нашем сознании. Как бумеранг.

Вывод: если вам не удается продвинуться в намеченном направлении, будь то попытки убедить кого-то в правильности какого-либо утверждения или стремление к чему-то, сделайте шаг назад, попробуйте двигаться в противоположном направлении. Уже Карл Валентин считал, что конец – это начало с обратной стороны.