Текст книги "История с узелками"

Узелок X. Пирожки

Пирожки, пирожки, горячие пирожки!

– Ох как грустно! – воскликнула Клара, и глаза ее наполнились слезами.

– Грустно, но с точки зрения арифметики весьма любопытно, – последовал менее романтический ответ ее тетушки. – Одни из них потеряли на службе родине руку, другие – ногу, третьи – ухо, четвертые – глаз…

– А некоторые лишились всего сразу! – задумчиво прошептала Клара, когда они с тетушкой проходили мимо длинных рядов нежившихся на солнце загорелых и обветренных ветеранов. – Тетя, вы видите того старика с красным лицом? Он что-то чертит на песке своей деревянной ногой, а остальные внимательно его слушают. Должно быть, он чертит схему какого-нибудь сражения…

– Сражения при Трафальгаре! Ясно, как дважды два – четыре! – тотчас же перебила Клару тетушка.

– Вряд ли, – робко возразила племянница. – Если бы он принимал участие в сражении при Трафальгаре, его бы давно уже не было в живых.

– Не было бы в живых! – презрительно повторила тетушка. – Да он живее нас с тобой, вместе взятых! По-твоему, рисовать на песке да еще деревянной ногой не значит быть в живых? Хотела бы я знать, что тогда по-твоему означает быть в живых!

Клара растерянно промолчала: она никогда не была особенно сильна в логике.

– Вернемся-ка мы лучше к арифметике, – продолжала Безумная Математильда. Эксцентричная старая леди не упускала случая дать своей племяннице какую-нибудь задачку. – Как ты думаешь, какая часть ветеранов потеряла и ногу, и руку, и глаз, и ухо?

– Я… я не знаю. Откуда я могу знать? – с трудом произнесла оробевшая девочка: кому-кому, а ей хорошо было известно, что последует дальше.

– Разумеется, без необходимых исходных данных ты ничего узнать не сможешь, но я сейчас дам тебе…

– Дайте ей пирожок, миссис! Только у нас в Челси умеют печь такие пирожки. Девочки их очень любят, – раздался вдруг приятный голос, и разносчик пирожков, проворно приподняв край белоснежной салфетки, показал аккуратно уложенные в корзине пирожки, выглядевшие весьма соблазнительно. Пирожки были квадратной формы, щедро смазаны яйцом, румяны и блестели на солнце.

– Нет, сэр! Я не имею обыкновения давать своей племяннице такую гадость. Убирайтесь прочь! – и старая леди угрожающе взмахнула зонтиком. На добродушного разносчика эта гневная тирада, казалось, не произвела ни малейшего впечатления. Прикрыв пирожки салфеткой, он удалился, напевая.

– Пирожки эти – просто яд! – сказала старая леди. – То ли дело арифметика. Уж она-то всегда полезна!

Клара, вздохнув, проводила голодным взглядом быстро уменьшавшуюся вдали корзину с пирожками и стала послушно внимать своей неутомимой тетушке, которая тут же начала излагать условие задачи, производя все вспомогательные подсчеты на пальцах.

– Скажем, так: 70 % ветеранов лишились глаза, 75 – уха, 80 – руки и 85 – ноги. Просто великолепно! Спрашивается, чему равна наименьшая часть ветеранов, лишившихся одновременно глаза, уха, руки и ноги?

Больше ни тетушка, ни племянница не произнесли ни слова, если не считать восклицания «Пирожки!», вырвавшегося у Клары, когда разносчик со своей корзиной скрылся за углом. В полном молчании обе леди – старая и молодая – дошли до старинного особняка, в котором остановился вместе с тремя сыновьями и их почтенным наставником отец Клары.

Бальбус, Хью и Ламберт опередили тетушку и племянницу лишь на несколько минут. Они вернулись с прогулки, во время которой Хью умудрился задать головоломку, не только безнадежно испортившую настроение Ламберту, но и поставившую в тупик самого Бальбуса.

– Если я не ошибаюсь, четверг наступает после среды ровно в полночь? – начал Хью.

– Иногда наступает, – осторожно заметил Бальбус.

– Не иногда, а всегда! – решительно заявил Ламберт.

– Иногда, – мягко настаивал Бальбус. – В шести случаях из семи в полночь наступает не четверг, а какой-нибудь другой день недели.

– Я хочу лишь сказать, – пояснил Хью, – что когда вслед за средой наступает четверг, то происходит это в полночь и только в полночь.

– Безусловно, – подтвердил Бальбус. Ламберт счел за лучшее промолчать.

– Прекрасно. Предположим теперь, что здесь, в Челси, сейчас как раз полночь. Тогда к западу от Челси (например, в Ирландии или в Америке), где полночь еще не наступила, на календаре среда, а к востоку от Челси (например, в Германии или в России), где полночь наступила раньше, – четверг. Я рассуждаю правильно?

– Да, вполне, – вновь подтвердил Бальбус, и даже Ламберт соизволил кивнуть головой.

– Но если в Челси сейчас полночь, то к востоку и к западу от него смена дат происходить, казалось бы, не может. Тем не менее на земном шаре непременно найдется место, по одну сторону от которого будет среда, а по другую – четверг. И что хуже всего: люди, живущие в этом месте, считают дни недели в обратном порядке! Да и как им считать иначе, если к востоку от того места на календарях стоит «среда», а к западу – «четверг». Ведь это означает, что после четверга наступает среда!

– А я знаю! А я знаю! – закричал Ламберт. – Эту головоломку мне задавали и раньше, только формулировали ее иначе. – Моряки уходят в кругосветное плавание, огибают земной шар с востока на запад, возвращаются домой и тут обнаруживают, что у них пропал один день. Им кажется, что они вернулись домой в среду, а все вокруг говорят, что это четверг, и все потому, что у тех, кто оставался дома, полночь наступала на один раз больше, чем у тех, кто плавал. А если бы моряки плыли с запада на восток, то один день у них оказался бы лишним.

– Все это мне известно, – возразил Хью в ответ на несколько сумбурное объяснение Ламберта, – но к делу не относится. Ведь сутки для корабля имеют неодинаковую продолжительность. Когда корабль плывет в одну сторону, сутки на нем продолжаются более 24 часов, когда же он плывет в другую сторону – менее 24 часов. Отсюда и происходит путаница с днями недели: ведь у людей, живущих на суше на одном и том же месте, сутки длятся ровно 24 часа.

– Мне кажется, – задумчиво проговорил Бальбус, – что место, о котором говорит Хью, на земном шаре действительно существует, хотя мне и не приходилось слышать о нем раньше. Людям, живущим там, должно быть странным видеть вчерашний день к востоку от себя, а завтрашний – к западу. Особенно трудно понять, что происходит, когда наступает полночь: ведь в этом странном месте на смену «сегодня» приходит не «завтра», а «вчера». Тут есть над чем задуматься!

О том, как подействовал этот обмен мнениями на наших друзей, мы уже говорили: входя в дом, Бальбус усиленно размышлял над головоломкой, а Ламберт был погружен в мрачное раздумье.

– Добро пожаловать, м’м, милости просим! – приветствовал тетушку представительный дворецкий. (Заметим кстати, что произнести подряд три «м», не вставив между ними ни единого гласного, может далеко не всякий. Это под силу лишь дворецкому, искушенному во всех тонкостях своей профессии.) – Вас уже ожидают в библиотеке. Полный аншлаг!

– Как он смеет говорить о твоем отце «дуршлаг», да к тому же «полный»! – негодующе прошипела на ухо племяннице Безумная Математильда, когда они пересекали просторную гостиную.

– Да нет же, тетя, он просто хотел сказать, что все в сборе, – едва успела прошептать в ответ Клара, как дворецкий ввел их в библиотеку. При виде открывшегося перед ней зрелища Клара лишилась дара речи. За столом в торжественном молчании сидели пять человек: отец, Хью, Ламберт, Норман и Бальбус.

Во главе стола восседал отец. Не нарушая тишины, он молча указал Кларе и Безумной Математильде на пустые кресла справа и слева от него. Стол был сервирован, как для банкета, с той лишь разницей, что вместо привычных приборов на нем были разложены письменные принадлежности. По всему было видно, что дворецкий вложил много выдумки в эту злую шутку. Вместо тарелок перед каждым из присутствовавших был положен лист бумаги, вместо ложки и вилки слева и справа от каждого прибора лежали ручка с пером и карандаш. Роль ломтика хлеба исполняла перочистка, а там, где обычно стоит бокал для вина, красовалась чернильница. Украшением стола – главным блюдом – служила обтянутая зеленым сукном шкатулка. Когда пожилой джентльмен, сидевший во главе стола, встряхивал ее, а делал он это беспрерывно, она издавала мелодичный звон, словно внутри ее находилось бесчисленное множество золотых гиней.

– Сестра! Дочь моя! Сыновья! И… и Бальбус! – начал пожилой джентльмен столь неуверенно, что Бальбус счел необходимым заявить о полном согласии со сказанным, а Хью – забарабанить кулаками по столу. Столь лестные знаки внимания окончательно сбили с толку неопытного оратора.

– Сестра! – начал он снова, затем помолчал и, встряхнув шкатулку, продолжил с лихорадочной поспешностью:

– Сегодня я… некоторым образом… э… собрал вас… э… по поводу знаменательного события… В этом году… одному из моих сыновей исполняется… – тут он снова умолк в полном замешательстве, ибо достиг середины речи намного раньше намеченного времени, но возвращаться было уже поздно.

– Совершенно верно! – воскликнул Бальбус.

– Вот именно! – ответствовал пожилой джентльмен, который понемногу начал приходить в себя.

– Мысль о том, чтобы ежегодно дарить каждому из сыновей столько гиней, сколько ему лет исполняется в текущем году, пришла мне в голову в весьма знаменательное время. Надеюсь, мой друг Бальбус поправит меня (– Еще как поправит! Ремнем! – прошептал Хью, но его никто не услышал, кроме Ламберта, который нахмурился и укоризненно покачал головой.), если я ошибаюсь. Так вот, эта мысль, повторяю, пришла мне в голову именно в тот год, когда, как сообщил мне Бальбус, сумма возрастов двух из вас была равна возрасту третьего. По этому случаю, как вы все, конечно, помните, я произнес речь…

Бальбус счел, что настал подходящий момент для того, чтобы вставить несколько слов, и начал:

– Это была самая…

– Произнес речь, – уколол его предостерегающим взглядом пожилой джентльмен. – Несколько лет назад Бальбус сообщил мне…

– Совершенно верно, – подтвердил Бальбус.

– Вот именно, – ответил благодарный оратор и продолжал:

– Я говорю, сообщил мне о другом не менее знаменательном событии: сумма возрастов двух из вас в тот год оказалась вдвое больше возраста третьего. По этому поводу я тоже произнес речь, – разумеется, не ту, что в первом случае.

В этом году – как утверждает Бальбус – мы присутствуем при третьем знаменательном событии, и я… (тут Безумная Математильда многозначительно посмотрела на часы) …я тороплюсь изо всех сил, – воскликнул пожилой джентльмен, демонстрируя ясность духа и полное самообладание, – и перехожу к существу дела. Число лет, протекших со времени первого знаменательного события, составляет ровно две третьих от числа гиней, которые я вам тогда подарил. Мальчики! Пользуясь этими данными, вычислите свой возраст, и вы получите от меня ежегодный подарок!

– Но мы и так знаем свой возраст! – воскликнул Хью.

– Замолчите, сэр! – вне себя от негодования вскричал отец, выпрямляясь во весь рост (составлявший ровно пять футов и пять дюймов). – Я сказал, что при решении вы имеете право пользоваться только данными задачи, а не гадать о том, сколько кому лет.

Он захлопнул шкатулку и удалился, ступая неверными шагами и сгибаясь под ее тяжестью.

– Ты также получишь от меня такой же подарок, как мальчики, если сумеешь решить задачу, – шепнула Безумная Математильда племяннице и вышла вслед за братом.

Перо бессильно передать, с какой торжественностью встали из-за стола брат и сестра. Мог ли, спрашиваем мы, отец хитро улыбнуться в такую минуту при виде своих удрученных сыновей? Могла ли, спрашиваем мы, тетушка лукаво подмигнуть своей приунывшей племяннице? Были ли похожи на сдавленный смех те звуки, которые раздались, когда Бальбус, выйдя из комнаты вслед за хозяином дома и его сестрой, прикрывал за собой дверь? Нет, нет и нет! И все же дворецкий рассказал потом кухарке, что… Впрочем, не станем же мы повторять всякие сплетни.

Ночные тени сжалились над молчаливой мольбой несчастных и «не сомкнулись над ними» (поскольку дворецкий внес лампу). «Во тьме ночной» (те же услужливые тени, но в концентрированном виде) «было слышно порой, как где-то залает собака» (на заднем дворе всю ночь напролет пес выл на луну). Но ни «когда утро настало», ни позже сестра и трое братьев «не воспрянули духом» – они так и не смогли обрести былое душевное спокойствие, навсегда покинувшее их после того, как все эти задачи обрушились на них и увлекли на путь нескончаемых страданий.

– Вряд ли честно, – пробормотал Хью, – задавать нам такие головоломные задачи.

– Нечего сказать – честно! – с горечью подхватила Клара.

Всем моим читателям я могу лишь повторить слова Клары и честно признаться:

– Больше мне сказать нечего! До свиданья!

Ответы

– Узелок, – сказала Алиса.

– Позвольте, я помогу вам развязать его!

Узелок I

Задача. Два путешественника выходят из гостиницы в 3 часа дня и возвращаются в нее в 9 часов вечера. Маршрут их проходит то по ровному месту, то в гору, то под гору. По ровному месту путешественники идут со скоростью 4 мили в час, в гору – со скоростью 3 мили в час и под гору – со скоростью 6 миль в час. Найти расстояние, пройденное путешественниками с момента выхода из гостиницы до момента возвращения, а также (с точностью до получаса) момент восхождения на вершину горы.

Ответ: 24 мили; 6 часов 30 минут вечера.

Решение. Одну милю пути по ровной местности путешественники проходят за ¼ часа. Поднимаясь в гору, они преодолевают одну милю за ⅓ часа, а спускаясь с горы, – за ¹/₆ часа. Следовательно, на то, чтобы пройти туда и обратно одну милю, независимо от того, пролегает ли их путь по долине или по склону горы, у наших путешественников всегда уходит ½ часа. Таким образом, за 6 часов (с 3 до 9) они прошли 12 миль в одну сторону и 12 миль – в другую. Если бы 12 миль почти целиком проходили по местности без подъемов и спусков, то у наших путешественников на преодоление их ушло немногим больше 3 часов. Если путь в 12 миль почти все время шел в гору, на него ушло бы немногим меньше 4 часов. Следовательно, 3½ часа – это время, которое не больше чем на ½ часа отличается от времени, прошедшего с момента выхода из гостиницы до подъема на вершину. Поскольку путешественники вышли из гостиницы в 3 часа дня, они достигли вершины горы в 6 часов 30 минут (время дано с точностью до получаса).

Я получил много ответов на эту задачу, среди них особенно любопытны одно дополнение и одно решение в стихах.

В присланном дополнении я изменил одно или два слова. Надеюсь, автор его не будет за это в обиде, поскольку в исправленных местах он допустил некоторые неточности.

– Постой, постой! – сказал молодой рыцарь, и слабый отблеск вдохновенья озарил черты его лица, с которого начало исчезать выражение глубокого отчаяния. – Когда мы взошли на вершину горы и тем самым достойно увенчали тяготы нашего пути, как мне кажется, роли не играет. В самом деле, за то время, пока мы взбираемся на одну милю по склону горы и проходим ее на обратном пути, мы по ровному месту могли бы пройти вдвое больше. Отсюда неопровержимо следует, что за битых 6 часов, которые мы находимся в пути, нигде не останавливаясь, чтобы перевести дух или полюбоваться природой, будет пройдено 24 мили.

– Великолепно! – воскликнул пожилой рыцарь. – Двенадцать миль туда и двенадцать миль обратно. На вершину горы мы взобрались где-то между 6 и 7 часами. А теперь послушай, что говорят старшие! Сколько раз по 5 минут прошло с 6 часов до того момента, когда мы достигли вершины горы, столько миль мы взбирались по ее мрачному склону!

Молодой рыцарь застонал и со всех ног бросился бежать в гостиницу.

Читательницы, скрывшиеся за псевдонимами Простушка Сюзанна и Добрая примета, изложили ход своих рассуждений в следующих стихах.

 
Лишь три пробило на часах,
Пустились в путь тернистый
Те, кто не ведал слова «страх», —
Два рыцаря-туриста.
Один был молод и силен,
Другой был стар и сед.
Один был прям, другой – согбен
Под грузом лат и лет.
Сначала по равнине шли,
Шагая в ногу дружно,
Но сколько миль они прошли —
Об этом знать не нужно.
Известна лишь скорость,
С которой брели
Они по равнинной
Дороге в пыли:
Хоть миля длинна,
Каждый час проходили
Герои-туристы
По дважды две мили.
Но то по равнине.
По склонам же горным
Туристы взбирались
Не столь уж проворно,
Но все же неплохо:
Три мили за час
Они проходили в горах
Всякий раз.
И вдвое быстрее
Спускались с горы,
Желая успеть
До вечерней зари.
В три вышли,
А в девять вернулись назад,
Преодолев
Сто препон и преград.
Длину маршрута даже дети
Сумеют вычислить, заметив,
Что милю любую всего в полчаса
Туристы успеют пройти до конца,
Затем повернуть и дойти до начала.
Хоть сказано этим, казалось бы, мало,
Но можно задачу решенной считать
И наш узелок до конца развязать.
 

Узелок II

Задача 1. Званый обед у губернатора. Губернатор Кговджни хочет пригласить гостей на обед в узком кругу и приглашает шурина своего отца, тестя своего брата, брата своего тестя и отца своего шурина. Найти число гостей на званом обеде.

Ответ. Один гость.

На этом генеалогическом древе мужчины обозначены заглавными, а женщины – строчными буквами. Губернатор обозначен буквой Е, а его гость – буквой С.

Задача 2. Комнаты с удобствами. В каждой стороне квадрата находится по 20 дверей, делящих ее на 21 равную часть. Все двери перенумерованы по кругу, начиная с некоторой вершины квадрата. Какая из четырех дверей – № 9, 25, 52 или 73 – обладает тем свойством, что сумма расстояний от нее до трех остальных дверей наименьшая?

Ответ. Дверь № 9.

Обозначим девятую дверь через А, двадцать пятую – через В, пятьдесят вторую – через С и семьдесят третью – через D.

Тогда

(12, … означает «между 12 и 13»);

Таким образом, сумма расстояний до 3 других дверей для А заключена между 46 и 47, для В – между 54 и 55, для С – между 56 и 57 и для D – между 48 и 51. (Почему не «между 48 и 49»? Постарайтесь разобраться сами.) Следовательно, сумма расстояний минимальна для двери А.

В задаче 2 я молчаливо предполагал, что нумерация домов начинается с одной из вершин квадрата. Подавляющее большинство читателей в своих решениях исходили из того же предположения. Однако один из читателей в своем письме сообщает иное: «Если предположить, что в середине каждой из сторон квадрата на площадь выходит некая улица (такое предположение не противоречит условиям задачи!), то вполне допустимо, что нумерация домов на площади начинается где-то на улицах и лишь продолжается на площади». Возможно, бывает и так, но не естественнее ли встать на точку зрения, разделяемую автором и большинством читателей?

Узелок III

Задача 1. Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, – через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?

Задача 2. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше, но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретится каждому путешественнику?

Ответы. 1) 19 поездов. 2) Путешественник, следующий восточным поездом, встретит 12 поездов, его напарник – 8.

Решение. С момента отправления до возвращения в исходный пункт у одних поездов проходит 180 минут, у других – 120. Возьмем наименьшее общее кратное 180 и 120 (оно равно 360) и разделим весь маршрут на 360 частей (будем называть каждую часть просто единицей). Тогда поезда, идущие в одном направлении, будут следовать со скоростью 2 единицы в минуту, а интервал между ними будет составлять 30 единиц. Поезда, идущие в другом направлении, будут следовать со скоростью 3 единицы в минуту, а интервал между ними будет равен 45 единицам. В момент отправления восточного поезда расстояние между ним и первым встречным поездом составляет 45 единиц. Восточный поезд проходит ²/₅ этого расстояния, встречный – остальные ³/₅, после чего они встречаются в 18 единицах от станции отправления. Все последующие поезда восточный поезд встречает на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. В момент отправления западного поезда первый встречный поезд находится от него на расстоянии 30 единиц. Западный поезд проходит ³/₅ этого расстояния, встречный – остальные ²/₅, после чего они встречаются на расстоянии 18 единиц от станции отправления. Каждая последующая встреча западного поезда с восточными происходит на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. Следовательно, если вдоль всего замкнутого маршрута мы расставим 19 столбов, разделив его тем самым на 20 частей по 18 единиц в каждой, то поезда будут встречаться у каждого столба. При этом в первом случае (задача 1) каждый путешественник, вернувшись на станцию отправления, проедет мимо 19 столбов, а значит, встретит 19 поездов. Во втором случае (задача 2) путешественник, едущий на восток, начинает считать поезда лишь после того, как он проедет ²/₅ всего пути, то есть доедет до восьмого столба, и таким образом успевает сосчитать лишь 12 столбов (или, что то же самое, поездов). Его конкурент сосчитает лишь 8. Встреча их поездов происходит в конце ²/₅ от 3 часов, или ³/₅ от 2 часов, то есть спустя 72 минуты после отправления.

Узелок IV

Задача. Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13½ фунтов, третий и четвертый – 11½ фунтов, четвертый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.

Ответ. 5½, 6½, 7, 4½ и 3½ фунта.

Решение. Сумма результатов всех пяти взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес всех остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес третьего мешка равен 21 фунту. Следовательно, третий мешок весит 7 фунтов. Из результатов второго и третьего взвешиваний (с учетом того, что вес третьего мешка нам уже известен) находим вес второго и четвертого мешков: второй мешок весит 6½ фунтов, четвертый – 4½. Наконец, из результатов первого и четвертого взвешиваний получаем для первого и пятого мешков 5½ фунтов и 3½ фунта.

Задача об определении веса мешков, как ясно с первого взгляда любому алгебраисту, сводится к решению системы линейных уравнений. Однако она без труда решается и с помощью одной лишь арифметики, и поэтому использование более сложных методов я считаю дурным тоном.

Узелок V

Задача. Требуется поставить 3 крестика двум или трем картинам, 2 крестика четырем или пяти картинам и один крестик – девяти или десяти картинам, отмечая одновременно тремя ноликами 1 или 2 картины, двумя ноликами 3 или 4 картины и одним ноликом 8 или 9 картин так, чтобы число картин, получивших оценки, было наименьшим из возможных, а отмеченные картины получили как можно большее число оценок.

Ответ. 10 картин получают 29 оценок, распределенных следующим образом:

Решение. Расставив все крестики и заключив в скобки те из них, которые по условиям задачи необязательны, мы получим 10 картин, оценки которых распределены так:

Расставив все нули (но не от начала к концу, как крестики, а в обратном направлении – от конца к началу), мы получим 9 картин с оценками, распределенными так:

Единственное, что еще необходимо сделать после этого, – вдвинуть оба клина как можно плотнее друг в друга, чтобы число отмеченных картин было минимальным. Если та или иная необязательная оценка мешает нам загонять клин в клин, мы ее стираем, если же не мешает – оставляем в целости и сохранности. В первом и третьем рядах оказывается по 10 обязательных оценок, а в середине – лишь 7. Следовательно, необходимо стереть все необязательные оценки в первом и третьем рядах обоих клиньев и оставить все необязательные оценки, стоящие в середине.

Узелок VI

Задача 1. В начале года у каждого из братьев А и В было по 1000 фунтов стерлингов. Через год братья в своем письме губернатору Кговджни уведомляют его, что в день отправления письма они, как никогда, близки к 60 000 фунтов стерлингов. Каким образом им это удалось?

Решение. В день отправления письма братья впервые решили прогуляться близ Английского банка, в подвалах которого хранилась указанная сумма.

На эту задачу было получено 2 в высшей степени замечательных ответа. Читатель, у которого Сумбур в голове (это его псевдоним), заставил братьев занять 0 пенсов и украсть 0 пенсов, а затем приписать обе «добытые» цифры справа от 1000 фунтов. В результате столь невинной операции у братьев оказывается 100 000 фунтов, что значительно превышает те 60 000, о которых идет речь в задаче. At Spes Infracta[7]7
  Надежде вопреки (лат.).


[Закрыть] нашел еще более остроумное решение: пользуясь взятым взаймы нулем, этот читатель превращает 1, с которой начинается 1000 фунтов одного брата, в 9, прибавляет «добычу» к исходной 1000 фунтов другого брата, получая в результате 10 000 фунтов. С помощью «украденного» нуля At Spes Infracta превращает 1 в 6 и тем самым достигает требуемой в условии задачи суммы в 60 000 фунтов.

Задача 2. Лоло (Л) успевает связать 5 шарфов за то время, пока Мими (М) вяжет 2. Зузу (З) успевает связать 4 шарфа за то время, пока Лоло вяжет 3. Пять шарфов Зузу весят столько же, сколько один шарф Лоло. Пять шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу. Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу, а один шарф Лоло – как 3 шарфа Мими. Какая из трех вязальщиц лучше, если быстроту вязки, легкость шарфа и его способность сохранять тепло оценивать одинаково?

Ответ. Места на конкурсе вязальщиц шарфов распределились следующим образом: 1) М, 2) Л, 3) З.

Решение. При прочих равных условиях Л превосходит М по быстроте вязки в ⁵/₂ раза, а З превосходит Л в ⁴/₃ раза. Чтобы найти 3 числа, удовлетворяющих этим условиям, проще всего принять скорость, с которой вяжет Л (ибо Л непосредственно связана и с М, и с З), за 1, а скорость, с которой вяжут ее конкурентки, выразить в виде дробей. В этих единицах качество работы Л, М и З оценивается числами 1, ²/₃ и ⁴/₃.

Для оценки легкости шарфа следует иметь в виду, что, чем больше вес, тем менее искусной следует считать вязальщицу. Следовательно, качество шарфов З относится к качеству шарфов Л, как 5 к 1. Таким образом, при оценке легкости шарфов Л, М и З получают оценки ¹/₅ , ⁵/₃ и 1. Аналогичным образом оценивается и умение Л, М и З вязать теплые шарфы: 3, 1 и ¹/₄. Чтобы получить окончательный результат, необходимо перемножить три оценки, полученные Л, и проделать ту же операцию с оценками М и З. В итоге мы получим: 1 × ¹/₅ × 3, ²/₅ × ⁵/₃ × 1, ⁴/₃ × 1 × ¹/₄ , то есть ³/₅ , ²/₃ и ¹/₃. Умножив все три числа на 15 (отчего отношение любых из них не изменится), мы получим оценки 9, 10 и 5. Следовательно, лучшей вязальщицей необходимо признать М, затем идет Л и, наконец, З.

Почему оценки претенденток надлежит именно перемножать, а не складывать, подробно объясняется во многих учебниках, и я не буду занимать здесь место повторением избитых истин. Однако проиллюстрировать необходимость умножения можно очень легко на примере длины, ширины и глубины. Представим себе, что два землекопа А и В пожелали узнать, кто из них более искусен в своем ремесле. Оба копают ямы в форме прямоугольного параллелепипеда. Количество проделанной работы измеряется числом кубических футов вынутой земли. Предположим, что А выкопал яму длиной 10, шириной 10 и глубиной 2 фута, а В выкопал яму длиной 6, шириной 5 и глубиной 10 футов. Объем первой ямы равен 200, а второй – 300 кубическим футам. Следовательно, В справляется со своим делом в ³/₂ раза лучше, чем А. А теперь попробуйте оценить по десятибалльной системе длину, ширину и глубину каждой из ям, а затем сложить оценки. Что у вас получится?

Некоторые письма, полученные в связи с узелком VI, навели меня на мысль о желательности дополнительных объяснений.

Первая задача, разумеется, не более чем шутка, основанная на игре слов. Я считал, что подобная вольность вполне допустима в серии задач, призванной не столько поучать, сколько развлекать. Однако двое моих корреспондентов, полагающих, что Аполлон должен всегда быть начеку и не ослаблять тетивы своего разящего лука, обрушились на задачку о 60 000 фунтов стерлингов с уничтожающей критикой. Кстати сказать, ни один из них не смог решить задачу, но такова уж человеческая натура.

Как-то раз (для желающих я могу назвать точную дату: 31 сентября) я встретил своего старого друга Брауна и загадал ему только что услышанную загадку. Мощным усилием своего колоссального интеллекта Браун разгадал ее. «Правильно!» – сказал я, услышав ответ. «Очень хорошая загадка, – похвалил меня Браун, – не всякий ее разгадает. Нет, что и говорить, загадка – просто прелесть!» Не успел я распрощаться с Брауном, как через несколько шагов налетел на Смита и задал ему ту же загадку. Тот на минуту наморщил лоб, а потом махнул рукой. Дрожащим голосом я робко пролепетал ответ. «Дурацкая загадка, сэр! – недовольно проворчал Смит на прощание. – Глупее не придумаешь! Удивляюсь, как вы решаетесь повторять подобную чепуху!» Тем не менее есть все основания считать, что Смит по уму не только не уступает Брауну, но и, быть может, даже превосходит его!

Вторая задача представляет собой пример на обычное тройное правило. Сущность его сводится к следующему. Результат зависит от нескольких изменяющихся параметров, которые связаны между собой так, что если бы все параметры, кроме одного, имели постоянные значения, то результат изменялся бы пропорционально параметру, оставшемуся свободным; поскольку же варьируются все параметры, то результат изменяется пропорционально их произведению. Так, например, объем ямы, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда при постоянной длине и ширине, изменяется пропорционально глубине ямы, а при переменной длине, ширине и глубине – пропорционально произведению всех трех измерений.

При иной связи результата с исходными данными тройное правило перестает действовать, и задача нередко становится чрезвычайно сложной.

Приведем несколько примеров. Предположим, что на конкурсном экзамене по французскому, немецкому и итальянскому языку за право получать некую стипендию борются два кандидата: А и В.

а. Согласно правилам, которыми руководствуется экзаменационная комиссия, результат экзамена зависит от относительного уровня знаний кандидатов по каждому языку. Это означает, что независимо от того, получит ли А по французскому языку 1, а В – 2 или же А получит 100, а В – 200, результат экзамена будет одним и тем же. Кроме того, правилами предусмотрено, что если по двум языкам оба кандидата получат одинаковые оценки, то их общие оценки должны находиться одна к другой в таком же отношении, в каком находятся оценки, полученные кандидатами по третьему языку. При этих условиях исход экзамена удовлетворяет тройному правилу. Дабы получить окончательное представление о шансах кандидатов на стипендию, мы должны перемножить 3 оценки, полученные А, и сравнить произведение с произведением очков, набранных В. Обратите внимание на то, что если А получит хоть один «нуль», то его итоговой оценкой также будет «нуль», даже если по двум остальным языкам он получит наивысший балл, а В выйдет в победители, набрав всего лишь по одному очку за каждый язык. Разумеется, А оказывается в очень невыгодном положении, хотя решение комиссии будет абсолютно правильным с точки зрения существующих правил.