Текст книги "Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса"

Странные новые миры

Первым, кто опубликовал целый трактат о новом типе геометрии – геометрии, выстроенной на поверхности в форме выгнутого седла (рис. 41, а) – был русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792–1856; рис. 42). В геометрии такого рода (получившей название гиперболической геометрии) пятый постулат Евклида заменен утверждением, что если даны линия на плоскости и точка, лежащая на этой плоскости вне данной прямой, через эту точку параллельно данной прямой можно провести не менее двух прямых. Другое важное отличие геометрии Лобачевского от Евклидовой заключалось в том, что если у Евклида сумма углов треугольника всегда равна 180° (рис. 41, b), то у Лобачевского она всегда меньше 180°. Поскольку работа Лобачевского была напечатана в никому не известном журнале «Казанский вестник», она прошла практически незамеченной, пока в конце 1830 годов не стали появляться переводы на французский и немецкий. Молодой венгерский математик Янош Бойяи (1802–1860), ничего не знавший о работе Лобачевского, разработал похожую геометрию в 1820-е годы[103]103
  Жизнь и деятельность Яноша Бойяи описаны в Gray 2004. Портрет математика я не включил в эту книгу, поскольку есть сомнения в том, что на картине, которую обычно приводят, изображен именно он. Очевидно, единственное сколько-нибудь достоверное изображение – это рельеф на фасаде Дворца культуры в городе Тыргу-Муреш.


[Закрыть]. Полный юношеского энтузиазма, Янош писал в 1823 году своему отцу Фаркашу Бойяи (рис. 43): «Я открыл такое великолепие, что сам потрясен… я из ничего создал совершенно новый мир». К 1825 году Янош уже был готов показать старшему Бойяи первые черновики новой геометрии. Рукопись называлась «Наука о пространстве, абсолютно истинная»[104]104
  Факсимиле латинского оригинала и перевод на английский Джорджа Брюса Хальстеда см. в Gray 2004.


[Закрыть]. Несмотря на восторг молодого человека, его отец сильно сомневался в том, что в идеях Яноша есть здравое зерно. Тем не менее он решил опубликовать новую геометрию в виде приложения к собственному двухтомному трактату об основах геометрии, алгебры и анализа (которому дал завлекательное, по своему мнению, название «Рассуждение о началах математики для прилежной молодежи»). Экземпляр книги Фаркаш послал в июне 1831 года своему другу Карлу Фридриху Гауссу (1777–1855; рис. 44) – не просто самому выдающемуся математику того времени, но человеку, которого наряду с Архимедом и Ньютоном считают одним из трех величайших математиков всех времен. Однако из-за свирепствовавшей тогда холеры книга затерялась, и Фаркаш был вынужден послать второй экземпляр. Шестого марта 1832 года Гаусс написал ему ответ, и высказанные там замечания не оправдали надежд юного Яноша.

Рис. 41

Рис. 42

Рис. 43

Рис. 44

Если я начну с того, что скажу, что не могу похвалить эту работу, вы, разумеется, несколько удивитесь. Однако я не могу сказать иначе. Хвалить ее значило бы хвалить самого себя. Ведь все содержание работы, направление мысли, которое избрал ваш сын, результаты, к которым он пришел, практически полностью совпадают с моими размышлениями, которые отчасти занимают меня последние тридцать-тридцать пять лет. Вот почему я был в некотором замешательстве. Что касается моих собственных трудов, которые я до сей поры почти не поверял бумаге, в мои намерения не входит публиковать их при моей жизни.

Позвольте подчеркнуть, что Гаусс, очевидно, боялся, что последователи Канта, которых он называл «беотийцами» (для древних греков это было синонимом дураков), сочтут это философской ересью. Гаусс продолжал.

С другой стороны, я собирался когда-нибудь все это записать, чтобы эти идеи, по крайней мере, не умерли со мной. Поэтому для меня стало приятной неожиданностью, что мне можно не трудиться, и я очень рад, что опередил меня – причем так поразительно – не кто-нибудь, а сын моего старого друга.

Фаркаш был вполне удовлетворен похвалой Гаусса – он считал, что она «очень приятна», – зато Янош совершенно опустил руки. Почти десять лет он отказывался верить, что Гаусс по праву претендует на первенство, и его отношения с отцом, который, как он считал, поспешил рассказывать Гауссу о его результатах, сильно осложнились. Когда же Янош наконец обнаружил, что Гаусс и в самом деле начал работать над этой задачей еще в 1799 году, то очень озлобился – и все его последующие труды по математике, а он оставил по себе около двадцати тысяч рукописных страниц, по сравнению с юношескими достижениями были весьма посредственны.

Однако в том, что Гаусс и в самом деле много размышлял над неевклидовыми геометриями, сомневаться не приходится[105]105
  Прекрасный рассказ об этом случае с точки зрения жизни и деятельности Гаусса можно найти в Dunnington 1955. Сжатое, но точное описание притязаний Лобачевского и Бойяи на приоритет дано в Kline 1972. Выдержки из переписки Гаусса по поводу неевклидовой геометрии представлены в Ewald 1996.


[Закрыть]. В дневниковой записи за сентябрь 1799 года он писал: «In principiis geometriae egregios progressus fecimus» («Мы сделали энергичные шаги вперед в области основ геометрии»). В дальнейшем, в 1813 году, он отметил: «В теории параллельных прямых мы сейчас зашли не дальше Евклида. Это partie honteuse [позорная часть] математики, которая рано или поздно должна принять совсем другую форму». Спустя еще несколько лет, 28 апреля 1817 года, он утверждает: «Я все больше и больше прихожу к убеждению, что невозможно доказать, что наша [евклидова] геометрия единственна и неизбежна». Наконец – и в противоположность воззрениям Канта – Гаусс заключил, что евклидову геометрию нельзя считать вселенской истиной и что скорее «придется поставить [евклидову] геометрию не на одну ступень с арифметикой, положение которой априорно, а приблизительно на уровень механики». Подобные выводы сделал независимо и Фердинанд Швейкарт (1780–1859), профессор юриспруденции, о чем он позднее и сообщил Гауссу – примерно в 1818–19 годах. Поскольку ни Гаусс, ни Швейкарт своих результатов не публиковали, традиционно считают, что приоритет принадлежит либо Лобачевскому, либо Бойяи, хотя ни того ни другого нельзя, конечно, считать единственными «творцами» неевклидовых геометрий.

Гиперболическая геометрия поразила мир математики, будто молния, и нанесла сокрушительный удар по восприятию евклидовой геометрии как единственного безошибочного описания пространства. До работ Гаусса-Лобачевского-Бойяи евклидова геометрия и представляла собой, в сущности, мир природы. А когда стало ясно, что можно взять другой, произвольный набор аксиом и построить на нем другой тип геометрии, поначалу это вызвало подозрение, что математика все же плод человеческой изобретательности, а не открытие истин, существующих независимо от человеческого сознания. В то же время коллапс непосредственной связи между евклидовой геометрией и реальным физическим пространством выявил фатальные на первый взгляд недостатки самой идеи математики как языка Вселенной.

Новый удар по привилегированному положению евклидовой геометрии был нанесен, когда один из учеников Гаусса Бернхард Риман показал, что гиперболическая геометрия – не единственно возможная неевклидова геометрия. В блестящей речи, прочитанной в Геттингене 10 июня 1854 года (на рис. 45 показана первая страница опубликованной лекции) Риман представил свои представления «О гипотезе, лежащей в основе геометрии»[106]106
  Перевод на английский этой лекции наряду с другими основополагающими работами по неевклидовым геометриям с полезнейшими примечаниями можно найти в Pesic 2007.


[Закрыть]. Начинает он с того, что «геометрия предполагает концепцию пространства, а также задает основные принципы построений в пространстве. Она дает лишь номинальные определения этого, в то время как их сущностные характеристики появляются в виде аксиом». Однако Риман отмечает, что «отношения между этими исходными предпосылками остаются неясными, мы не видим, необходима ли связь между ними, и если да, то в какой степени, или даже возможна ли она a priori. Среди возможных геометрических теорий Риман говорил и об эллиптической геометрии – той, какую можно наблюдать на поверхности сферы (рис. 41, с). Отметим, что в такой геометрии кратчайшее расстояние между двумя точками – не прямая линия, а скорее сегмент окружности большого круга, центр которого совпадает с центром сферы. Этим обстоятельством пользуются авиакомпании: полеты из США в Европу следуют не по прямой линии на карте, а скорее по большой окружности, идущей на север. Легко убедиться, что две любые большие окружности пересекаются в диаметрально противоположных точках. Например, два земных меридиана, которые на экваторе кажутся параллельными, на полюсах пересекаются. Таким образом, в отличие от евклидовой геометрии, где через точку вне прямой можно провести лишь одну параллельную этой прямой линию, и гиперболической геометрии, где можно провести как минимум две параллели, в эллиптической геометрии на сфере параллельных линий нет вообще.

Риман сделал и следующий шаг в разработке неевклидовых концепций и представил геометрии в искривленных пространствах с тремя и четырьмя измерениями и даже больше. Одно из важнейших понятий, разработанных Риманом, – это понятие кривизны, скорости искривления кривой или поверхности. Например, поверхность яйца быстрее всего закругляется у заостренного конца. Риман дал и точное математическое определение кривизны в пространстве с любым количеством измерений. При этом он скрепил узы между алгеброй и геометрией, то есть продолжил дело Декарта. В трудах Римана уравнениям с любым числом переменных нашлись геометрические соответствия – и новые понятия из области новых геометрий стали партнерами алгебраических уравнений.

Рис. 45

Высокое положение евклидовой геометрии – не единственная жертва открытий, которые распахнули перед геометрией в XIX веке совершенно новые горизонты. Представления Канта о пространстве долго не продержались. Вспомним, что Кант утверждал, что данные органов чувств организуются исключительно по шаблонам, которые задал Евклид, еще до того, как регистрируются в нашем сознании. Геометры XIX столетия быстро выработали у себя интуитивное понимание неевклидовых геометрий и научились исследовать мир с этой точки зрения. Оказалось, что евклидово восприятие пространства все-таки не интуитивно, ему учатся. Все эти поразительные открытия натолкнули великого французского математика Анри Пуанкаре (1854–1912) на вывод, что аксиомы геометрии – это «не синтетические интуитивные априорные догадки и не экспериментальные факты. Это договоренности (курсив мой. – М. Л.). Какую именно договоренность из всех возможных мы выбираем, зависит от экспериментальных фактов, но это свободный выбор». Иначе говоря, Пуанкаре считал аксиомы и постулаты всего лишь «замаскированными определениями».

Представления Пуанкаре были вдохновлены не только неевклидовыми геометриями, о которых мы только что говорили, но и бурным ростом других новых геометрий, который к концу XIX века, похоже, совершенно вышел из-под контроля (Poincaré 1891). Скажем, в проективной геометрии (проекции получаются, например, если спроецировать на экран изображение на кинопленке) можно буквально менять местами роли точек и линий, так что теоремы о точках и линиях (в этом порядке) становятся теоремами о линиях и точках. В дифференциальной геометрии математики применяют дифференциальное исчисление для изучения локальных геометрических свойств различных математических пространств, например поверхности сферы или тора. По крайней мере, на первый взгляд все эти геометрии и им подобные казались порождением математического вдохновения и воображения, а не точными описаниями физического пространства. Ну и как прикажете в таких условиях отстаивать представление о Боге-математике? Ведь если «Бог всегда остается геометром (пер. Л. Сумм)» (эту фразу приписывал Платону историк Плутарх), которая из множества геометрий соответствует божественным практикам?

Недостатки классической евклидовой геометрии становились все очевиднее, и это вынудило математиков всерьез задуматься об основах математики в целом и об отношениях математики и логики в частности. К этой важной теме мы вернемся в главе 7. Здесь же позвольте лишь отметить, что поколебалось представление о самоочевидности аксиом и постулатов как таковых. А следовательно, именно революция в геометрии, вероятно, оказала самое сильное влияние на представление о природе математики – невзирая на то, что в XIX веке был достигнут значительный прогресс и в алгебре, и в анализе.

О людях, пространстве и числах

Однако математики не могли подступиться к всеохватной теме оснований математики, пока не были решены некоторые «мелкие» вопросы, требовавшие немедленного вмешательства. Во-первых, разработка и публикация неевклидовых геометрий сама по себе не означала, что это были законные отпрыски математики. Над математикой довлел непреодолимый страх перед логической непоследовательностью – перед тем, что если довести эти геометрии до логического конца, это приведет к неразрешимым противоречиям. К 1870 годам итальянец Эудженио Бельтрами (1835–1900) и немец Феликс Клейн (1849–1925) показали, что неевклидовы геометрии последовательны в той же мере, что и евклидова. Однако это не решало более масштабный вопрос о прочности оснований евклидовой геометрии. Кроме того, вставал и важный вопрос о релевантности. Большинство математиков считали новые геометрии в лучшем случае забавными курьезами. Исторически сложилось так, что своим огромным авторитетом евклидова геометрия была обязана именно тому, что считалась описанием реального пространства, а неевклидовы, как поначалу казалось, вообще не имели отношения к физической реальности. Поэтому в глазах большинства математиков неевклидовы геометрии были не более чем бедными родственницами евклидовой. Анри Пуанкаре оказался немного гибче прочих, но даже он утверждал, что если бы люди попали в мир, где общепринята какая-нибудь неевклидова геометрия, – и тогда было бы «ясно, что мы не сочли бы более удобным перейти» с евклидовой геометрии на неевклидову. Поэтому назрели два вопроса: (1) можно ли воздвигнуть геометрию в частности и другие математические дисциплины в целом на прочном аксиоматическом логическом основании и (2) каковы отношения между математикой и физическим миром и есть ли они вообще?

Некоторые математики предпочли прагматический подход к логическим основам геометрии. То, что они считали абсолютными истинами, как выяснилось, зиждется скорее на житейском опыте, чем на строгих доказательствах, поэтому они от огорчения обратились к арифметике – математике чисел. Оказалось, что нужными инструментами для восстановления оснований геометрии на базе чисел обладает аналитическая геометрия Декарта, в которой точки на плоскости определялись упорядоченными парами чисел, а окружности – парами, удовлетворяющими определенному уравнению (см. главу 4) и так далее. Считают, что тенденцию к этому сдвигу описал немецкий математик Якоб Якоби (1804–1851), когда переиначил фразу Платона «Бог всегда остается геометром» – и у него получилось «Бог всегда остается арифметиком». Однако все эти усилия, можно сказать, ни к чему не привели – только переместили проблему в другую область математики. Великий немецкий математик Давид Гильберт (1862–1943) все же сумел показать, что евклидова геометрия непротиворечива в той же степени, что и арифметика, – а непротиворечивость последней к тому времени была уже бесспорно установлена.

Теперь отношения математики с физическим миром понимали по-новому. Долгие века интерпретация математики как инструмента для чтения мироздания постоянно получала ярчайшие подтверждения. Галилей, Декарт, Ньютон, все Бернулли, Паскаль, Лагранж, Кетле и другие ученые подвели под естественные науки математический фундамент, и это считалось явным свидетельством того, что природа обладает математической структурой. Резонно спросить: если математика не служит языком мироздания, почему же ей удается так замечательно описывать все на свете – от основных законов природы до человеческих черт?

Разумеется, математики отдавали себе отчет, что математика имеет дело лишь с довольно-таки абстрактными платоновскими формами, однако полагали, что это разумная идеализация реальных физических предметов и явлений. В сущности, ощущение, что книга природы написана на языке математики, укоренилось так глубоко, что многие математики наотрез отказывались даже рассматривать математические структуры и понятия, если те не были прямо связаны с физическим миром. Так обстояло дело, например, с колоритным персонажем по имени Джероламо Кардано (1501–1576). Кардано был состоявшимся математиком, известным врачом и прожженным игроком. В 1545 году он опубликовал одну из самых влиятельных книг в истории алгебры – «Ars Magna» («Великое искусство»). В этом всеобъемлющем трактате Кардано подробнейшим образом изучил решения алгебраических уравнений, от простого квадратного уравнения, где неизвестное появляется во второй степени (x²), до кубических уравнений (x ³) и уравнений четвертой степени (x ⁴), чего до него никто не делал. Однако в классической математике количества часто интерпретировались как элементы геометрии. Например, значение неизвестной x определялось как отрезок данной длины, значение x ² – как площадь квадрата, третья степень – x³ – рассматривалась как объем куба со стороной данной длины. Поэтому в первой главе «Ars Magna» Кардано поясняет следующее (Cardano 1545).

Подробным образом мы рассмотрим лишь кубические уравнения, а об остальных лишь упомянем вскользь, хотя и в общем виде. Ведь поскольку positio [первая степень] относится к линии, quadratum [квадрат] к поверхности, а cubum [the cube] к объемному телу, с нашей стороны было бы очень глупо идти дальше этой точки. Природа такого не позволяет. Таким образом, будет показано, как решать все до куба включительно, но все остальное, что мы добавим, как по необходимости, так и из любопытства, будет лишь намечено и не более того.

Иначе говоря, Кардано утверждает, что поскольку физический мир в том виде, в каком мы его воспринимаем органами чувств, содержит всего три измерения, со стороны математиков было бы глупо заниматься более высокими измерениями или уравнениями более высокого порядка.

Похожие мнения высказывал английский математик Джон Валлис (1616–1703), по чьей работе «Arithmetica Infinitorum» («Арифметика бесконечных чисел») Ньютон учился методам анализа. В другой важной книге – «Treatise of Algebra» («Трактат по алгебре») – Валлис прежде всего делает следующую оговорку: «Природа, строго говоря, не допускает более трех (локальных) измерений»[107]107
  Wallis 1685. Краткое описание жизни и деятельности Валлиса можно найти в Rouse Ball 1908.


[Закрыть]. Затем Валлис уточнил.

Линия, пересеченная с другой линией, задаст плоскость или поверхность; если поверхность пересечется с линией, получится тело. Но если это тело пересечется с линией или эта плоскость с плоскостью, что тогда получится? Плоскостная плоскость? Это какой-то уродец, возможный даже в меньшей степени, чем химера [огнедышащее чудовище из греческой мифологии, помесь змея, льва и козла] либо кентавр [в греческой мифологии – существо с телом и ногами коня и торсом и головой человека]. Ведь длина, ширина и толщина полностью описывают пространство. Никакое воображение не способно представить себе четвертое локальное измерение помимо этих трех.

Опять же логика Валлиса понятна: нет никакого смысла даже воображать геометрию, которая не описывает реальное пространство.

В конце концов мнения начали меняться[108]108
  Краткая история вопроса дана в Cajori 1926.


[Закрыть]. Впервые представления о том, что потенциальным четвертым измерением может оказаться время, появились у математиков XVIII века. В статье, которая так и называлась – «Dimension» («Измерение») – опубликованной в 1754 году[109]109
  Статья вошла в «Энциклопедию» Дидро. Цит. по Archibald 1914.


[Закрыть], физик Жан Д’Аламбер (1717–1783) писал так.

Выше я указывал, что невозможно представить себе более трех измерений. Один талантливый человек, мой знакомый, полагает, что можно, однако, взирать на продолжительность как на четвертое измерение и что произведение времени на объем в некотором смысле четырехмерно. С этим представлением можно поспорить, однако мне представляется, что в нем помимо чистой новизны есть и здравое зерно.

Великий математик Жозеф Лагранж в 1797 году пошел еще на шаг дальше и сделал еще более смелое заявление (Lagrange 1797).

Поскольку положение точки в пространстве зависит от трех прямоугольных координат, эти координаты в задачах по механике понимаются как функции t [времени]. Таким образом, мы можем считать механику геометрией четырех измерений, а механический анализ – продолжением анализа геометрического.

Эти смелые идеи открыли дорогу расширению математики в области, которые раньше представлялись немыслимыми – в геометрии с любым количеством измерений, – и при этом вопрос о том, имеют ли эти геометрии какое бы то ни было отношение к физическому пространству, полностью игнорировался.

Может быть, Кант и заблуждался, когда полагал, что наше восприятие пространства следует исключительно евклидовым образцам, однако не приходится сомневаться, что мы в состоянии воспринимать естественно и интуитивно не более трех измерений. Мы можем относительно легко представить себе, как выглядел бы трехмерный мир в двумерной платоновской Вселенной теней, но выйти за пределы трех измерений способно лишь подлинно математическое воображение.

Некоторые революционные труды по разработке n-мерной геометрии – геометрии в произвольном числе измерений – принадлежат перу Германа Гюнтера Грассмана (1809–1877). Грассман, у которого было одиннадцать братьев и сестер и который и сам стал отцом одиннадцати сыновей и дочерей, был школьным учителем, не получившим университетского математического образования[110]110
  Прекрасную биографию с описанием научной деятельности Грассмана (на немецком языке) можно найти в Petsche 2006. Краткое изложение его открытий можно найти в O’Connor and Robertson 2005.


[Закрыть]. При жизни он больше прославился трудами по лингвистике (по большей части изучением санскрита и готского), нежели достижениями в математике. Один его биограф писал: «Похоже, Грассману суждено, чтобы его время от времени открывали заново – всякий раз так, словно бы он был практически полностью забыт». И все же именно Грассману принадлежит заслуга создания абстрактной науки о «пространствах», в которой привычная геометрия – всего лишь частный случай. Свои новаторские идеи (коренившиеся в отрасли математики под названием линейная алгебра) Грассман опубликовал в 1844 году в книге, которую специалисты знают как «Ausdehnungslehre» («Теория расширений», полное название – «Теория линейных расширений. Новая отрасль математики»). В предисловии к этой книге Грассман писал: «Геометрию ни в коем случае нельзя считать… отраслью математики; ведь геометрия изучает нечто, уже имеющееся в природе, а именно пространство. Кроме того, я обнаружил, что должна существовать отрасль математики, которая исключительно абстрактным способом выводит законы, подобные законам геометрии».

Рис. 46

Это радикально новое представление о природе математики. В глазах Грассмана традиционная геометрия, наследие древних греков, имеет дело с физическим пространством и поэтому не может считаться настоящей отраслью абстрактной математики. Для Грассмана математика была скорее абстрактной конструкцией человеческого разума, которая не обязательно находит себе применение в реальном мире.

Изучать тривиальную на первый взгляд цепочку логических рассуждений, которая вывела Грассмана на путь к теории геометрической алгебры, или, лучше сказать, аналитической геометрии, необычайно интересно[111]111
  Относительно доступное, хотя все же рассчитанное на специалистов описание его трудов по линейной алгебре можно найти в Fearnley-Sander 1979 и 1982.


[Закрыть]. Начал он с простой формулы АВ + ВС = АС, которая появляется в любом учебнике по геометрии при разговоре о длинах отрезков (рис. 46, а). Но тут Грассман заметил одну интересную подробность. Он обнаружил, что эта формула остается верной независимо от порядка точек А, В и С, если не просто толковать АВ, ВС и АС как длины, а приписывать им «направление», например, ВА = —АВ. Скажем, если С лежит между А и В (как на рис. 46, b), то АВ = АС + СВ, но поскольку СВ = —ВС, обнаруживаем, что АВ = АС – ВС и первоначальная формула АВ + ВС = АС восстанавливается, если просто прибавить к обеим частям ВС.

Это само по себе довольно занятно, однако расширение Грассмана таило в себе и новые сюрпризы. Обратите внимание, что если бы мы имели дело не с геометрией, а с алгеброй, то выражение вроде АВ обычно означало бы произведение А × В. В таком случае предположение Грассмана, что ВА = —АВ, нарушает один из священных законов арифметики – что от перемены мест множителей произведение не меняется. Грассман вполне отдавал себе отчет в такой неприятной вероятности и изобрел новую непротиворечивую алгебру – так называемую внешнюю алгебру, – которая позволяла существовать нескольким операциям умножения и одновременно могла иметь дело с геометрией с любым числом измерений.

К 1860 годам n-мерные геометрии плодились, как грибы после дождя[112]112
  Хороший ознакомительный текст – Sommerville 1929.


[Закрыть]. Мало того, что революционная лекция Римана сделала из пространств любой кривизны и с произвольным количеством измерений фундаментальную область исследований, в развитие этой области внесли существенный вклад и другие математики, например англичане Артур Кэли и Джеймс Сильвестр, а также швейцарец Людвиг Шлефли.

У математиков появилось ощущение свободы от многовековых оков, привязывавших их к понятиям числа и пространства. Исторически сложилось, что к этим оковам было принято относиться столь серьезно, что уже в XVIII веке весьма плодовитый швейцарско-российский математик Леонард Эйлер (1707–1783) заметил, что «математика в целом – наука о количестве или наука, которая изучает способы измерить количество». Ветер перемен повеял только в XIX веке.

Все началось с введения абстрактных геометрических пространств и понятия бесконечности (и в геометрии, и в теории множеств), которые до неузнаваемости размыли представление о «количестве» и «измерении». Затем стали стремительно множиться исследования математических абстракций, и это помогло математике еще сильнее дистанцироваться от физической реальности, вдохнув при этом жизнь и «существование» в сами абстракции.

Вот какой «декларацией независимости» описал новообретенную свободу математики Георг Кантор (1845–1918), создатель теории множеств[113]113
  Текст приведен в Ewald 1996.


[Закрыть]: «Математика совершенно свободна в своем развитии и связана лишь самоочевидными ограничениями – ее понятия должны соответствовать друг другу логически и при этом состоять в регулируемых определениями строгих отношениях с общепринятыми понятиями, которые были введены раньше и находятся в распоряжении исследователя». К этому алгебраист Рихард Дедекинд (1831–1916) шесть лет спустя добавил[114]114
  Высказывания Кантора и Дедекинда приведены в Ewald 1996.


[Закрыть]: «Полагаю, что понятие числа полностью независимо от идей или представлений о пространстве и времени… Числа – вольное творение человеческого разума». То есть и Кантор, и Дедекинд считали математику абстрактным концептуальным исследованием, которое ограничивается исключительно необходимостью соблюдать непротиворечивость безо всяких притязаний как на вычисления, так и на язык физической реальности. Как подытожил Кантор, «Суть математики целиком и полностью в ее свободе».

К концу XIX века большинство математиков уже придерживалось представлений Кантора и Дедекинда о свободе математики. Цель математики изменилась – теперь это был не поиск истин о природе, а конструирование абстрактных структур, систем аксиом и исследование всех логических следствий из этих аксиом.

Казалось бы, это должно было положить конец всем мучительным раздумьям над вопросом, изобретаем мы математику или же открываем. Если математика – не более чем игра, пусть и сколь угодно сложная, в которую играют по произвольно выдуманным правилам, нет никакого смысла верить в реальность математических концепций. Или все же есть?

Как ни странно, разрыв с физической реальностью вызвал у некоторых математиков прямо противоположные чувства. Вместо того чтобы раз и навсегда решить, что математика есть изобретение человека, они вернулись к первоначальной платоновской идее о математике как о независимом мире истин, чье существование столь же реально, сколь и существование физической Вселенной. Попытки связать математику с физикой эти «неоплатоники» прозвали прикладной математикой – в противоположность чистой математике, которая, как предполагалось, индифферентна ко всему физическому. Вот как об этом написал французский математик Шарль Эрмит (1822–1901) в письме голландскому математику Томасу Иоаннесу Стилтьесу (1856–1894) 13 мая 1894 года[115]115
  Первое письмо Стилтьеса Эрмиту датировано 8 ноября 1882 года. Переписка математиков состоит из 432 писем. Полностью она приведена в Hermite 1905.


[Закрыть].

Мой дорогой друг, я очень рад, что вы склонны превратить себя в натуралиста, чтобы наблюдать явления мира арифметики. Доктрина у вас та же, что и у меня, я полагаю, что числа и аналитические функции – не произвольные продукты нашего сознания, я думаю, что они существуют вне нас и обладают всеми необходимыми свойствами предметов и явлений объективной реальности и мы находим или открываем их и изучаем их точно так же, как физики, химики и зоологи.

Английский математик Г. Г. Харди, сам приверженец чистой математики, был одним из самых откровенных сторонников современного платонизма. В красноречивом обращении к Британской ассоциации содействия науки 7 сентября 1922 года он объявил следующее[116]116
  Полный текст лекции приводится в O’Connor and Robertson 2007.


[Закрыть].

Математики построили очень много разных геометрических систем – и евклидовых, и неевклидовых, для одного, двух, трех и любого другого количества измерений. Все эти системы совершенно и одинаково истинны. Они воплощают результаты наблюдений математиков над их реальностью – реальностью куда более насыщенной и куда более строгой, нежели сомнительная и неуловимая реальность физики… Поэтому функция математика – просто наблюдать факты его собственной суровой и сложной системы реальности, этот неимоверно прекрасный комплекс логических соотношений, который составляет субъект его науки, как будто он – исследователь, взирающий на далекий горный хребет, и регистрировать результаты своих наблюдений на серии карт, каждая из которых – это отрасль чистой математики.

Очевидно, несмотря на то, что все свидетельства того времени указывали на произвольную природу математики, особо упорные платоники не собирались так просто сдаваться. Напротив – они считали, что возможность углубиться, по словам Харди, в «свою реальность», гораздо интереснее, чем и дальше исследовать связи с реальностью физической. Однако независимо от представлений о метафизической реальности математики одно стало очевидно. Даже необузданная на первый взгляд свобода математики предполагала одно несокрушимое и неизменное ограничение – требование логической непротиворечивости. Математики и философы сильнее прежнего понимали, что перерезать пуповину между математикой и логикой ни в коем случае нельзя. Это породило другую идею: можно ли выстроить всю математику на едином логическом фундаменте? И если да, не в этом ли тайна ее эффективности? И наоборот – можно ли применять математические методы при изучении логических рассуждений в целом? Ведь тогда математика станет не только языком природы, но и языком человеческой мысли…