Текст книги "Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса"

Глава 7
Логики: размышления о рассуждениях

Вывеска на деревенской цирюльне гласит[117]117
  Парадокс деревенского цирюльника описан в самых разных книгах. См., например, Quine 1966, Rescher 2001 и Sorensen 2003.


[Закрыть]: «Брею тех и только тех жителей деревни, кто не бреется сам». Казалось бы, резонно. Очевидно, что те, кто бреется сам, не нуждаются в услугах цирюльника, поэтому вполне естественно, что цирюльник бреет всех остальных. Но задайтесь другим вопросом – кто бреет цирюльника? Если он бреет сам себя, то, согласно вывеске, должен быть среди тех, кого не бреет. С другой стороны, если он сам себя не бреет, то должен, опять же согласно вывеске, быть среди тех, кого бреет! Так бреет или нет? История знает примеры, когда серьезные семейные склоки случались и по куда менее значительным вопросам. Об этом парадоксе первым написал Бертран Рассел (1872–1970), один из величайших логиков и философов ХХ века, – лишь для того чтобы показать, насколько часто логическая интуиция подводит человека. Парадоксы, они же антиномии, отражают ситуации, в которых вполне приемлемые на первый взгляд суждения приводят к неприемлемым следствиям. В вышеприведенном примере деревенский цирюльник и бреет, и не бреет себя самого. Можно ли разрешить этот парадокс? Одно из простейших решений парадокса – строго в том виде, в каком он приведен выше, – очень просто: цирюльник – женщина! С другой стороны, если бы нам сразу сказали, что цирюльник обязательно мужчина, то абсурдный вывод был бы результатом того, что мы приняли первоначальные суждения. Иначе говоря, такой цирюльник существовать не может. Но какое все это имеет отношение к математике? Оказывается, математика с логикой состоят в ближайшем родстве. Вот как описал эти узы сам Рассел[118]118
  Russell 1919. Здесь Рассел представляет свои идеи о логике в относительно популярном виде.


[Закрыть].

Исторически математика и логика были совершенно различными дисциплинами. Математика была связана с наукой, а логика с греками. Но обе стали развитыми дисциплинами только в последнее время: логика стала более математической, а математика стала более логической. Как следствие этого, сейчас [в 1919 году] невозможно провести между двумя дисциплинами разделительную линию. На самом деле обе представляют собой нечто единое. Они отличаются так же, как мальчик и мужчина: логика есть юность математики, а математика есть зрелость логики. (Здесь и далее цитаты из «Введения в философию математики» Б. Рассела даны в пер. В. Целищева.)

Здесь Рассел утверждает, что, в сущности, математику можно свести к логике. Иначе говоря, основные понятия математики, даже такие объекты, как, например, числа, можно на самом деле определить в терминах фундаментальных законов рассуждения. Более того, впоследствии Рассел утверждал, что можно сочетать такие определения с логическими принципами – и породить математические теоремы. Первоначально такое представление о природе математики (так называемый логицизм) пользовалось благосклонностью как тех, кто считал математику не более чем сложной игрой, целиком и полностью изобретенной людьми (то есть формалистов), так и обеспокоенных платоников. Первые поначалу обрадовались, когда увидели, как собрание не связанных друг с другом на первый взгляд «игр» объединяется в одну «праматерь всех игр». Последние увидели луч надежды в идее, что вся математика, вероятно, коренится в одном источнике, в котором можно не сомневаться. В глазах платоников это повышало шансы на существование единого метафизического источника. Нечего и говорить, что единый корень математики мог, по крайней мере, в принципе, подсказать, в чем причина ее могущества.

Для полноты картины отмечу, что была еще одна школа мысли под названием интуиционизм, которая всячески противостояла и логицизму, и формализму. Вдохновителем этой школы был голландский математик Лёйтзен Э. Я. Брауэр (1881–1966), отличавшийся некоторым фанатизмом[119]119
  Интуиционистская программа Брауэра прекрасно пересказана в van Stegt 1998. Превосходное популярное описание – Barrow 1992. Дебаты между формалистами и интуиционистами популярно описаны в Hellman 2006.


[Закрыть]. Брауэр был убежден, что натуральные числа выведены из интуитивных представлений человека о времени и дискретных моментах нашего опыта. С его точки зрения вопрос о том, что математика есть результат человеческой мысли, решался однозначно, поэтому он не видел никакой необходимости в универсальных логических законах наподобие тех, которые представлял себе Рассел. Однако Брауэр пошел гораздо дальше и объявил, что единственные осмысленные математические сущности – это те, которые можно эксплицитно построить на основе натуральных чисел посредством конечного числа шагов. Поэтому он отвергал огромные области математики, для которых были невозможны конструктивные доказательства. Брауэр отвергал и другое логическое понятие – принцип исключенного третьего, согласно которому любое утверждение либо истинно, либо ложно. По Брауэру, напротив, допускались утверждения, которые пребывают в каком-то третьем, лимбическом состоянии, в котором они «остаются нерешенными». Из-за подобных ограничений интуиционистская школа мысли оказалась несколько маргинальной. Тем не менее интуиционистские идеи предвосхищали некоторые открытия в когнитивной психологии, касавшиеся вопроса о том, как люди приобретают математические знания (об этом мы поговорим в главе 9), а кроме того, повлияли на рассуждения некоторых современных философов математики, в частности Майкла Даммита. Даммит придерживался в основном лингвистического подхода и настаивал, что «значение математического утверждения определяет его применение и в то же время полностью определяется этим применением».[120]120
  Даммит добавляет, что «индивидуум не может коммуницировать то, что невозможно коммуницировать так, чтобы эту коммуникацию нельзя было пронаблюдать: если индивидуум ассоциирует с математическим символом или формулой какое-то ментальное содержание, то в случае, если ассоциация не лежит в области применения, которое он находит этому символу или формуле, он не может передать содержание средством этого символа или формулы, поскольку его аудитория не будет ничего знать об этой ассоциации, и у нее не будет никакой возможности узнать о ней» (Dummett 1978).


[Закрыть]

Но как же возникло такое тесное партнерство между математикой и логикой? И жизнеспособна ли вообще программа логицизма? Позволю себе дать краткий обзор основных вех за последние четыре столетия.

Логика и математика

Традиционно предметом логики были отношения между понятиями и суждениями и процессы, которые позволяли выделить из этих отношений обоснованные следствия.[121]121
  Необычайно простое и доступное введение в логику см. в Bennett 2004. Более специализированное, но все же блистательное – Quine 1982. Хороший обзор истории логики можно найти в 15-м издании «Encyclopaedia Britannica» (его написал Чеслав Леевский).


[Закрыть] Приведу простой пример: силлогизмы общего вида «всякий икс – игрек; некоторые зеты – иксы; следовательно, некоторые зеты – игреки» построены таким образом, что автоматически обеспечивают истинность заключения, если верны посылки. Например, «Любой биограф – писатель; некоторые политики – биографы; следовательно, некоторые политики – писатели» приводит к истинному заключению. С другой стороны, силлогизмы общего вида «всякий икс – игрек; некоторые зеты – игреки; следовательно, некоторые зеты – иксы» ложны, поскольку можно привести примеры, когда заключение, несмотря на истинность посылок, окажется ложным. Например, «Любой человек – млекопитающее, некоторые рогатые животные – млекопитающие; следовательно, некоторые рогатые животные – люди».

Если соблюдаются некоторые правила, истинность вывода не зависит от темы утверждений. Рассмотрим следующий силлогизм.

– Убийца миллиардера – либо дворецкий, либо его собственная дочь.

– Дочь не убивала миллиардера.

– Следовательно, убийца – дворецкий.

Он позволяет получить истинный вывод. Обоснованность этого вывода никак не зависит ни от нашего мнения о дворецком, ни от отношений миллионера с дочерью. Обоснованность обеспечена тем, что посылки общего вида «если или p, или q, но при этом не q, следовательно, p» приводят к логически истинному утверждению.

Вероятно, вы заметили, что в первых двух примерах иксы, игреки и зеты играли роли, очень похожие на роли переменных в математических уравнениях: они отмечают места, куда можно вставлять выражения, точно так же, как вместо переменных в алгебре можно подставлять их численные значения. Подобным же образом истинность силлогизма «если или p, или q, но при этом не q, следовательно, p» напоминает аксиомы евклидовой геометрии. И все же нужно было провести в размышлениях о логике почти два тысячелетия, прежде чем математики отнеслись к этой аналогии с должной серьезностью.

Первым, кто сделал попытку свести эти две дисциплины – логику и математику – в одну «универсальную математику», был немецкий математик и философ-рационалист Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716). Лейбниц получил юридическое образование и математикой, физикой и философией занимался по большей части в свободное время. При жизни он был известен в основном тем, что независимо и почти одновременно с Ньютоном вывел основы дифференциального и интегрального исчисления (что привело к жарким спорам за право первенства). В статье, которую Лейбниц практически целиком продумал еще в шестнадцать лет, он исследовал универсальный логический язык – так называемую «универсальную характеристику» (characteristica universalis), – по его мнению, идеальный инструмент мышления. План Лейбница состоял в том, чтобы выражать простые идеи и понятия символами, а более сложные – сочетаниями основных символов. Лейбниц рассчитывал, что сможет буквально вычислить истинность любого утверждения и любой научной дисциплины при помощи одних лишь алгебраических операций. Он предсказывал, что при наличии адекватных логических вычислительных методов философские споры будут решаться подсчетом. К сожалению, в полной мере разработать свою алгебру логики Лейбниц так и не сумел. Помимо общего принципа «алфавита мыслей», ему принадлежат две заслуги: он четко сформулировал, когда надо считать, что две вещи равны, и признал очевидный на первый взгляд факт, что никакое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным. Поэтому при всей своей занимательности идеи Лейбница прошли по большей части незамеченными.

К середине XIX века логика снова вошла в моду, и внезапно вспыхнувший интерес к ней привел к созданию значительных научных трудов. Первые работы такого рода опубликовал Огастес де Морган (1806–1871), а затем – Джордж Буль (1815–1864), Готлоб Фреге (1848–1925) и Джузеппе Пеано (1858–1932).

Де Морган был необычайно плодовитым автором, опубликовавшим буквально тысячи статей и книг на самые разные темы, касающиеся математики, истории математики и философии[122]122
  Сжатое, но глубокое описание жизни и деятельности де Моргана дано в Ewald 1996.


[Закрыть]. Были среди них и довольно экзотические работы – альманах полнолуний (за тысячи лет) и сборник занимательных задач по математике. Когда его как-то раз спросили, сколько ему лет, он ответил: «Мне было х лет в х 2 году». Можете сами убедиться, что единственное число, квадрат которого попадает в промежуток от 1806 до 1871 года (годы рождения и смерти де Моргана), – это 43. Однако самые оригинальные достижения де Моргана лежат, пожалуй, в области логики, где он, во-первых, значительно расширил диапазон аристотелевских силлогизмов, а во-вторых, упражнялся в алгебраическом подходе к рассуждениям. Де Морган взирал на логику глазами алгебраиста, а на алгебру – глазами логика. Вот как он описывал свои пророческие воззрения в одной статье: «Именно в алгебре нам следует искать самое привычное применение логических форм… алгебраист обретался в высших сферах силлогизма, постоянного построения соотношений, еще до того, как признали, что подобные сферы существуют».

Одно из важнейших достижений де Моргана в логике – так называемая квантификация предиката. Это несколько помпезное название дано понятию, которое, можно сказать, странным образом ускользало от глаз части логиков классического периода. Последователи Аристотеля вполне справедливо заметили, что из посылок вроде «некоторые зеты – иксы» и «некоторые зеты – игреки» невозможно сделать никаких строгих выводов об отношениях между иксами и игреками. Например, из фраз «некоторые люди любят хлеб» и «некоторые люди любят яблоки» нельзя заключить ничего определенного относительно отношений между любителями яблок и любителями хлеба. До XIX века логики также предполагали, что для того, чтобы из силлогизма следовали какие-то определенные отношения между иксами и игреками, средний термин (зет из вышеприведенного примера) должен быть «универсальным» в одной из посылок. То есть фраза должна включать «все зеты». Де Морган доказал, что это предположение ошибочно. В своей книге «Formal Logic» («Формальная логика»), опубликованной в 1847 году, он указал, что из посылок наподобие «большинство зетов – иксы» и «большинство зетов – игреки» с необходимостью следует, что «некоторые иксы – игреки». Например, фразы «большинство людей любят хлеб» и «большинство людей любят яблоки» заставляют сделать неопровержимый вывод, что «некоторые люди любят и хлеб, и яблоки».

На этом де Морган не остановился и облек свой новый силлогизм в точную количественную форму. Представьте себе, что общее число зетов – z, число зетов, которые одновременно еще и иксы, – х, а число зетов, которые одновременно еще и игреки – у. Пусть в вышеприведенном примере будет всего 100 человек (z = 100), из которых 57 любят хлеб (x = 57) и 69 любят яблоки (y = 69). Тогда, как заметил де Морган, должно быть как минимум (x + y – z) иксов, которые еще и игреки. Как минимум 26 человек (57 + 69 – 100 = 26) любят одновременно и хлеб, и яблоки.

К сожалению, из-за этого хитроумного метода квантификации предиката де Морган оказался вовлечен в неприятный публичный спор. Шотландский философ Уильям Гамильтон (1788–1856) – не путайте с ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном – обвинил де Моргана в плагиате, поскольку Гамильтон за несколько лет до де Моргана обнародовал в чем-то схожие, но гораздо менее проработанные идеи.

В нападках Гамильтона не было ничего удивительного, если учесть, как он относился к математикам и математике. Как-то раз он заявил: «Излишне прилежное изучение математики совершенно лишает мозг интеллектуальной энергии, необходимой для жизни и философии». Лавина едких писем, которые последовали за обвинением Гамильтона, привела к одному положительному результату – хотя этого уж наверняка никто не имел в виду: она подтолкнула к изучению логики алгебраиста Джорджа Буля. Впоследствии в статье «The Mathematical Analysis of Logic» («Математический анализ логики») Буль делился воспоминаниями (Boole 1847).

Весной нынешнего года мое внимание привлек спор, произошедший между сэром У. Гамильтоном и профессором де Морганом, и интерес, который он вызвал, вдохновил меня возобновить уже почти забытые исследования, которые я начал было в прошлом. Мне показалось, что хотя логику можно рассматривать с точки зрения идеи количества, она обладает и другой, более глубокой системой отношений. Если правомерно рассматривать ее извне, в том виде, в каком она посредством числа связана с понятиями пространства и времени, то правомерно и рассматривать ее изнутри, как основанную на фактах иного порядка, которые находят обиталище в устройстве разума.

Эти скромные слова знаменовали зарождение работы, которая совершила переворот в символической логике.

Законы мышления

Джордж Буль (рис. 47) родился 2 ноября 1815 года в промышленном английском городе Линкольн[123]123
  Подробная биография Буля – MacHale 1985.


[Закрыть]. Его отец Джон Буль был в Линкольне сапожником, однако очень интересовался математикой и с большим мастерством изготавливал самые разные оптические инструменты. Мать Буля Мэри Энн Джойс работала горничной. Поскольку отец относился к своему ремеслу довольно прохладно, семья была небогатой. До семи лет Джордж ходил в частную школу, а затем – в начальную, где его учителем был некто Джон Уолтер Ривс. В детстве Буль интересовался в основном латынью, которой его учил местный книготорговец, и древнегреческим, который выучил сам. В четырнадцать лет он даже перевел стихотворение Мелеагра – греческого поэта I века до н. э. Гордый отец опубликовал перевод в «Линкольн Геральд», на что один местный учитель напечатал заметку, где выражал сомнение, что такой перевод мог сделать подросток. Бедность семьи вынудила Джорджа Буля в шестнадцать лет начать работать помощником учителя. В последующие годы он посвятил свободное время изучению французского, итальянского и немецкого. Знание современных языков оказалось ему очень кстати, поскольку позволило обратить внимание на работы великих математиков – Сильвестра Лакруа, Лапласа, Лагранжа, Якоби и других. Но и тогда Булю не удалось получить систематическое математическое образование, и он продолжал заниматься самостоятельно – продолжая зарабатывать преподаванием на жизнь и на поддержку родителей, братьев и сестер. Тем не менее математические таланты этого самородка стали понемногу проявляться, и он начал печатать статьи в «Кембриджском математическом журнале».

В 1842 году Буль вступил в регулярную переписку с де Морганом, которому отправлял на отзыв свои статьи по математике. Поскольку у Буля уже складывалась репутация независимого, оригинально мыслящего математика и к тому же он заручился рекомендацией де Моргана, в 1849 году ему предложили место преподавателя математики в Королевском колледже в Ирландии, в городе Корк. Там он и трудился до конца своих дней. В 1855 году Буль женился на Мэри Эверест (в честь ее дяди, географа Джорджа Эвереста, была названа гора), которая была моложе его на семнадцать лет, и у них было пять дочерей. Скончался Буль безвременно в возрасте всего сорока девяти лет. В 1864 году холодным зимним днем он по дороге в колледж попал под ледяной ливень, но настоял на том, чтобы все-таки прочитать все лекции, хотя одежда у него промокла до нитки. А дома жена, по всей видимости, лишь усугубила его состояние, поскольку пыталась «лечить подобное подобным» и ведрами лила воду в его постель. Буль заболел воспалением легких и 8 декабря 1864 года умер. Бертран Рассел искренне восхищался этим гениальным самоучкой: «Чистую математику открыл Буль в работе, которую назвал “Законы мышления” (1854)… На самом деле его книга посвящена формальной логике, а это – то же самое, что математика». Интересно, что и Мэри Буль (1832–1916), и все пять их дочерей сумели прославиться в самых разных областях, от химии до педагогики, что для того времени было весьма необычно.

Рис. 47

«Математический анализ логики» Буль опубликовал в 1847 году, а трактат «Законы мышления», полное название которого звучит как «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей» («An Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities») – в 1854 году. Это подлинные шедевры, благодаря которым был сделан огромный шаг вперед в прослеживании параллелей между логическими и арифметическими операциями. Буль буквально превратил логику в разновидность алгебры (которая получила название булева алгебра) и расширил логический анализ до вероятностных рассуждений. Вот что говорил сам Буль (Boole 1854).

Цель следующего трактата [ «Законов мышления»] – исследовать фундаментальные законы тех операций разума, посредством которых выполняется рассуждение, выразить их на символическом языке исчисления и на этом фундаменте основать логику как науку и выстроить ее метод, чтобы сделать сам этот метод основой обобщенного метода для применения к математической доктрине вероятностей и, наконец, собрать, возможно, из различных элементов истины, которые будут выявлены в ходе этих исследований, какие-то сведения о природе и устройстве человеческого сознания.

Булево исчисление можно толковать как применительно к отношениям между классами (собраниями предметов или членов), так и в логике утверждений. Например, если x и y – классы, то отношение x = y означает, что члены у этих двух классов одни и те же, даже если они определены по-разному. Скажем, если все ученики какой-то школы ниже двух метров ростом, то два класса, определенные как x = «все ученики этой школы» и y = «все ученики этой школы, которые ниже двух метров ростом» равны. Если x и y – суждения, то x = y означает, что два утверждения эквивалентны (то есть одно истинно тогда и только тогда, когда второе тоже истинно). Например, утверждения x = «Джон Бэрримор – брат Этель Берримор» и y = «Этель Бэрримор – сестра Джона Бэрримора» эквивалентны (равны). Обозначение «x · y» отражает общую часть двух классов x и y (члены которой принадлежат одновременно x и y) или конъюнкцию (пересечение) суждений x и y (то есть «x и y»). Например, если x – класс всех деревенских дурачков, а y — класс всех существ с черными волосами, то x · y — класс черноволосых деревенских дурачков. Для утверждений x и y конъюнкция x · y (или слово «и») означает, что должны быть верны оба утверждения. Например, если Управление дорожного движения говорит, что «вы должны пройти проверку периферического зрения и сдать экзамен на права», это значит, что нужно исполнить оба требования. По Булю, если два класса не имеют общих членов, то символ «x + y» отражает класс, состоящий из всех членов как класса х, так и класса у. В этом случае утверждение «x + y» соответствует «или x, или y, но не то и другое сразу». Например, если x – это утверждение «колышки квадратные», а у – утверждение «колышки круглые», то x + y означает «колышки или круглые, или квадратные». Подобным же образом «x – y» отражает класс тех членов х, которые при этом не члены у, или утверждение «х, но не у». Буль обозначил универсальный класс (содержащий все возможные рассматриваемые члены) как 1, а пустой или нулевой класс (в котором вообще нет членов) как 0. Обратите внимание, что нулевой класс (множество) определенно не то же самое, что число 0: число 0 – это количество членов в нулевом классе. А еще обратите внимание, что нулевой класс – не то же самое, что ничего, потому что класс без ничего – все равно класс. Например, если все газеты в Албании печатаются на албанском, то класс всех албаноязычных газет в Албании по идее Буля обозначается 1, а класс всех испаноязычных газет в Албании – 0. С точки зрения утверждений 1 означает стандартную истину (например, «люди смертны»), а 0, соответственно, – стандартную ложь (например, «люди бессмертны»).

Исходя из этих договоренностей, Буль сумел сформулировать набор аксиом, определяющий алгебру логики. Например, можете сами убедиться, что при помощи вышеприведенных определений очевидно истинное суждение «Все или х, или не х» в булевой алгебре может быть записано как x + (1 – x) = 1, что верно и в обычной алгебре. Подобным же образом и утверждение об общей части между любым классом и нулевым классом выражается как 0 · x = 0, что также означает, что конъюнкция любого утверждения с ложным утверждением ложна. Например, конъюнкция «сахар сладкий и люди бессмертны» порождает ложное утверждение, несмотря на то, что первая часть истинна. Обратите внимание, что опять же это «равенство» в булевой алгебре остается истинным, даже если воспринимать его как нормальное алгебраическое выражение.

Чтобы показать все возможности своих методов, Буль попытался применить логические символы ко всему, что казалось ему важным. В частности, он проанализировал даже доводы философов Сэмюэля Кларка и Баруха Спинозы в пользу существования Бога и относительно его качеств. Однако пришел он при этом к довольно-таки пессимистическому выводу: «Думаю, после изучения доводов Кларка и Спинозы невозможно не прийти к глубочайшему убеждению о тщетности всех попыток доказать – целиком и полностью a priori – существование Беспредельного Существа и судить о Его качествах и Его отношениях со Вселенной». Несмотря на резонность вывода Буля, не все, очевидно, были так уж убеждены в тщетности подобных попыток, поскольку обновленные версии онтологических доводов в пользу существования Бога появляются и по сию пору[124]124
  Буль пришел к заключению, что если речь идет о вере в существование Бога, то основанные исключительно на вере нелогичные «тщетные шаги разума, ограниченного и в средствах, и в материалах познания, не более целесообразны, чем честолюбивые попытки добиться определенности, на почве естественной религии недостижимой».


[Закрыть].

В целом Буль сумел математически обуздать логические связки «и», «или», «если… то» и «не», которые сейчас лежат в самой основе компьютерных операций и самых разных коммутационных схем. Поэтому многие считают его одним из «провозвестников», приблизивших эру цифровых технологий. И все же булева алгебра была новой и неслыханной, а потому несовершенной. Во-первых, у Буля получалось писать несколько нестрого и не вполне понятно, поскольку он прибегал к системе обозначений, слишком похожей на обычную алгебру. Во-вторых, Буль путал утверждения («Аристотель смертен»), предикаты («х смертен») и утверждения с квантором всеобщности («х смертен для любого х»). Наконец, впоследствии Фреге и Рассел утверждали, что алгебра коренится в логике. Поэтому можно возразить, что следует строить алгебру на логике, а не наоборот.

Однако в книге Буля содержалась одна идея, которой предстояло стать очень плодотворной. Речь идет о понимании тесной связи логики с понятием классов или множеств. Вспомним, что булева алгебра в равной степени применима к классам и к логическим утверждениям. В самом деле, когда все члены одного множества X – еще и члены другого множества Y (X — подмножество Y), это можно выразить в виде логической импликации в виде «если X, то Y». Например, то, что все кони – подмножество множества всех четвероногих животных, можно написать в виде логического утверждения «Если X – конь, то он четвероногое животное».

В дальнейшем усовершенствованием и расширением булевой алгебры логики занимались многие ученые, однако полностью исследовал подобие между логикой и множествами и вывел всю эту концепцию на принципиально новый уровень Готлоб Фреге (рис. 48).

Рис. 48

Фридрих Людвиг Готлоб Фреге родился в Германии, в городе Висмаре, где и его отец, и мать в разное время были директорами старшей школы для девочек. Он изучал математику, физику, химию и философию, сначала в Йенском университете, потом еще два года в Геттингенском университете. Получив образование, он в 1874 году начал читать в Йене лекции и на протяжении всей своей профессиональной карьеры преподавал там математику. Несмотря на солидную педагогическую нагрузку, Фреге в 1879 году сумел напечатать свою первую революционную работу по логике[125]125
  Frege 1879. Это одна из самых важных работ в истории логики.


[Закрыть]. Небольшая книга называлась «Исчисление понятий, или Подражающий арифметике формальный язык чистого мышления» (в научном обиходе ее обычно называют «Begriffsschrift»). В ней Фреге разработал оригинальный логический язык, который затем развил в двухтомном труде «Основные законы арифметики» («Grundgesetze der Arithmetic»). Задачи, которые ставил перед собой Фреге, были, с одной стороны, очень узкими, но с другой – необычайно честолюбивыми. Первоначально он сосредоточился на арифметике и хотел показать, что даже такие знакомые понятия, как натуральные числа 1, 2, 3…, можно свести к логическим конструкциям. Таким образом, Фреге полагал, что можно доказать все истины арифметики при помощи нескольких логических аксиом. Иными словами, по Фреге даже утверждения вроде 1 + 1 = 2 – не эмпирические истины, основанные на наблюдении: они выводятся из логических аксиом. Книга «Begriffsschrift» Фреге оказала такое влияние, что современный гарвардский логик Уиллард Ван Орман Куайн (1908–2000) однажды написал: «Логика – наука очень старая, а с 1879 года еще и великая».

Стержневым понятием философии Фреге было представление о том, что истина не зависит от человеческого суждения. В «Основных законах арифметики» он пишет (Frege 1893, 1903): «Быть истинным – не то же самое, что считаться истинным в глазах одного человека или даже всех, и одно ни в коем случае не сводится к другому. Нет никакого противоречия в том, что истинно что-то, что все считают ложным. Под “законами логики” я подразумеваю не психологические законы, по которым люди считают что-то истинным, а законы истины… они [законы истины] – краевые камни, заложенные в фундамент вечности, и наше мышление может перелиться через них, но не сдвинуть их с места».

Логические аксиомы Фреге имеют общий вид «для всех… если… то». Например, одна из аксиом выглядит так: «для всех p, если не (не-р), то р»[126]126
  Общее изложение идей и языка Фреге см. в Resnik 1980, Demopoulos and Clark 2005, Zalta 2005 и 2007 и Boolos 1985. Прекрасный общий обзор математической логики – DeLong 1970.


[Закрыть]. В целом эта аксиома гласит, что если утверждение, противоречащее рассматриваемому, ложно, то само утверждение истинно. Например, если утверждение, что вам не надо останавливать машину на красный сигнал светофора, ложно, то вам совершенно точно надо останавливать машину на красный сигнал светофора. Чтобы в полной мере развить логический «язык», Фреге дополнил набор аксиом очень важным новым инструментом. Он заменил традиционный «субъектно-предикатный» стиль классической логики понятиями, позаимствованными у математической теории функций. Позволю себе краткое объяснение. Когда математическое выражение записывают как f (x) = 3x + 1, это означает, что f – это функция переменной x, а значение этой функции можно получить, умножив значение переменной на 3 и прибавив к результату 1. Фреге определил свои так называемые концепты как функции. Например, предположим, что вы хотите обсудить концепт «ест мясо». Этот концепт будет символически описан функцией F (x), и значение этой функции будет «истина», если x – лев, и «ложь», если x – олень. Если речь идет о числах, то концепт (функция) «меньше 7» пометит все числа, равные и больше 7, как «ложь», а все числа меньше 7 – как «истину». Фреге называл объекты, для которых тот или иной концепт принимал значение «истина», «подпадающими под» этот концепт.

Как я уже отметил, Фреге был убежден, что любое утверждение, имеющее отношение к натуральным числам, можно познать и вывести исключительно на основе логических определений и законов. Подобным же образом он начал свое описание темы натуральных чисел, не требуя никакого априорного понимания идеи «числа». Например, на логическом языке Фреге два концепта равномощны (то есть с ними ассоциируется одно и то же число), если есть взаимно однозначное соответствие между объектами, «подпадающими под» один концепт, и объектами, «подпадающими под» другой. То есть крышки от мусорных баков равномощны самим мусорным бакам (если у каждого бака есть крышка), и это определение не требует никакого упоминания о числах. Затем Фреге предлагает интереснейшее логическое определение числа 0. Представьте себе концепт F, который по определению «не тождествен самому себе». Поскольку любой объект должен быть тождествен самому себе, то под концепт F не подпадают никакие объекты. Иначе говоря, F (x) – ложь для любого объекта x. Привычное всем нам число нуль Фреге определил как «мощность концепта F». Затем он определил все натуральные числа в терминах сущностей, которые назвал объемами (Frege 1884). Объем концепта – это класс всех объектов, подпадающих под этот концепт. Человеку, далекому от логики как науки, переварить такое определение, пожалуй, сложновато, но на самом деле все очень просто. Например, объем концепта «женщина» – это класс всех женщин. Обратите внимание, что объем класса «женщина» сам по себе не женщина.

Вероятно, вам интересно, как это абстрактное логическое определение помогает определить, скажем, число 4. По Фреге, число 4 – это объем (или класс) всех концептов, под которые подпадают четыре объекта. Так что к этому классу, а следовательно, к числу 4, принадлежит и концепт «быть лапкой песика по имени Снупи», и концепт «прабабушка Готлоба Фреге».

Программа Фреге произвела настоящую сенсацию, однако были у нее и серьезные недостатки. С одной стороны, идея применять концепты – самую суть мышления – к построению арифметики была просто гениальной. С другой – Фреге не разглядел в собственной системе понятий весьма существенные противоречия. В частности, доказано, что одна из его аксиом, так называемый «Основной закон V», ведет к противоречию и поэтому безнадежно ошибочна. Сам по себе закон довольно невинен: он гласит, что объем концепта F идентичен объему концепта G тогда и только тогда, когда под концепты F и G подпадают одни и те же объекты. Однако 16 июня 1902 года разорвалась бомба: Бертран Рассел (рис. 49) написал Фреге письмо, где привел некий парадокс, доказывавший, что Основной закон V приводит к противоречию. Судьба распорядилась так, что письмо Рассела пришло как раз тогда, когда второй том «Основных законов арифметики» готовился к печати. Потрясенный Фреге поспешил сделать к рукописи откровенное примечание: «Едва ли для ученого что-то может быть неприятнее, чем обнаружить, что самые основы его рассуждений рухнули, когда работа уже завершена. Именно в такое положение поставило меня письмо мистера Бертрана Рассела, когда книга была уже практически в печати». Самому же Расселу Фреге, как человек благородный, написал: «Открытое Вами противоречие стало для меня величайшей неожиданностью – и вынужден признаться, что я даже испугался, поскольку оно сотрясло самые основы, на которых я намеревался выстроить арифметику».