Текст книги "Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса"

Метафизика, физика, психология познания

Те, кто считает, что математика существует во Вселенной, не зависимой от людей, также распадаются на два враждующих лагеря, поскольку по-разному понимают природу этой Вселенной[155]155
  Один из лучших обзоров диспутов о природе математики можно найти в Barrow 1992. Несколько более научный, но все же доступный очерк основных идей дан в Kline 1972.


[Закрыть]. Во-первых, есть «истинные» платоники, для которых математика существует в абстрактном вечном мире математических форм. Далее, есть и те, кто считает, что математические структуры – это на самом деле подлинная часть мира природы. Поскольку я уже довольно подробно писал о чистом платонизме и некоторых его философских недостатках, остановимся на второй точке зрения[156]156
  Многие темы этой книги прекрасно раскрыты в Barrow 1992.


[Закрыть].

Пожалуй, крайнюю и самую спекулятивную версию «математики как части физического мира» поддерживает мой коллега-астрофизик Макс Тегмарк из Массачусетского технологического института.

Тегмарк полагает, что «наша Вселенная не просто описывается математикой, она и есть математика (курсив мой. – М. Л.)» (Tegmark 2007 a, b). Свою аргументацию он начинает с утверждения, что существует внешняя физическая реальность, которая не зависит от человека. С этим, пожалуй, не поспоришь. Далее он рассуждает о том, какой могла бы быть природа универсальной теории, описывающей подобную реальность (физики называют ее «теорией всего»). Поскольку физический мир никак не зависит от людей, полагает Тегмарк, его описание должно быть свободно от любой человеческой «нагрузки» (в особенности – от человеческого языка). То есть окончательная теория не может включать в себя понятий вроде «субатомных частиц», «вибрирующих струн», «искривлений пространства-времени» и прочих конструкций, созданных человеческим разумом. На основании этого соображения Тегмарк делает вывод, что единственно возможное описание космоса предполагает исключительно абстрактные понятия и соотношения между ними, а это, как он полагает, и есть рабочее определение математики.

Аргументация Тегмарка в пользу математической реальности, безусловно, очень интересна, и если бы она оказалась верной, это был бы существенный шаг в сторону ответа на вопрос о «непостижимой эффективности» математики. Во Вселенной, которая тождественна математике, едва ли стоит удивляться, что математика идеально соответствует природе. К сожалению, мне не кажется, что доказательства Тегмарка убедительны. Переход от существования внешней реальности, независимой от человека, к выводу, что, по словам Тегмарка, «нужно поверить в так называемую гипотезу математической Вселенной – в то, что наша физическая реальность представляет собой математическую структуру», требует, как мне представляется, некоторой подтасовки. Когда Тегмарк пытается охарактеризовать математику как таковую, то говорит: «Для современного логика математическая структура в этом и заключается – она представляет собой набор абстрактных сущностей, между которыми есть какие-то отношения». Но ведь этот современный логик – человек! Иначе говоря, Тегмарк на самом деле вовсе не доказывает, что наша математика не изобретена людьми, он это попросту предполагает. Более того, французский нейробиолог Жан-Пьер Шанже в ответ на подобное утверждение указал (Changeux and Connes 1995): «Утверждать, будто математические объекты обладают физической реальностью – на том же уровне, что и природные явления, которые мы изучаем в биологии – приводит, по-моему, к досадной эпистемологической проблеме. Как физическое состояние, имеющее место внутри нашего мозга, может отражать другое физическое состояние, внешнее по отношению к нему?»

Большинство прочих попыток поместить математические объекты непосредственно во внешнюю физическую реальность опираются на эффективность математики в описании природы как на доказательство. Тогда получается, что нет никакого другого объяснения для эффективности математики, а это, как я покажу в дальнейшем, не так.

Если математика обитает не в платоновском мире, лишенном пространства и времени, и не в мире физическом, означает ли это, что математика целиком и полностью изобретена человеком? Совсем нет. Более того, в следующем разделе я покажу, что по большей части математика состоит из открытий, а не из изобретений. Однако, прежде чем двинуться дальше, стоит изучить мнения современных специалистов по психологии познания. Зачем? Очень просто: даже если математику целиком открыли, эти открытия все равно делали люди-математики при помощи своего мозга.

В последние годы психология познания достигла потрясающих успехов, поэтому было бы естественно ожидать, что нейробиологи и психологи обратят внимание на математику, в частности на поиски оснований математики в когнитивных способностях человека. Поверхностный обзор выводов, к которым пришло большинство психологов-когнитивистов, поначалу оставляет впечатление, будто перед тобой воплощение афоризма Марка Твена: «Для человека с молотком все на свете – гвозди». Практически все нейрофизиологи и биологи твердо считают, что математика есть человеческое изобретение – разница лишь в том, на какие аспекты познания они делают упор. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что, хотя интерпретация когнитивных данных далеко не однозначна, нет никаких сомнений, что усилия когнитивистов – это очередной новаторский этап поисков оснований математики. Приведу небольшую, но характерную подборку высказываний психологов-когнитивистов.

Французский нейробиолог Станислас Дехане, который интересуется в основном восприятием чисел и количеств, в своей книге «Чувство числа» («The Number Sense», Dehaene 1997) пришел к выводу, что «таким образом, числовая интуиция глубоко укоренена в нашем мозге». В сущности, эта позиция близка к позиции интуиционистов, которые хотели свести всю математику к интуитивному пониманию натуральных чисел в чистом виде. Дехане утверждает, что открытия в области психологии арифметики подтверждают, что «число принадлежит к “естественным объектам мысли”, врожденным категориям, согласно которым мы оцениваем мир». По результатам исследования племени мундуруку – изолированного сообщества амазонских аборигенов – Дехане и его коллеги в 2006 году обобщили это утверждение и на геометрию (Dehaene et al. 2006): «Спонтанное понимание геометрических понятий и схем этим изолированным человеческим сообществом – свидетельство того, что основные представления о геометрии, как и базовая арифметика, – это универсальная составляющая человеческого разума». С последними выводами были согласны не все когнитивисты (см., например, Holden 2006). В частности, некоторые ученые указывают на то, что успехи представителей мундуруку, участвовавших в геометрическом исследовании, когда им нужно было найти кривую среди прямых, прямоугольник среди квадратов, эллипс среди кругов и так далее, возможно, объясняются не врожденными знаниями в области геометрии, а лишь способностью зрительно выделять «лишний предмет».

Жан-Пьер Шанже в увлекательном диалоге о природе математики с математиком (платоновского толка) Аланом Конном (Changeux and Connes 1995) приводит следующее утверждение.

Причина, по которой математические объекты не имеют ничего общего с вещественным миром… в их генеративном характере, в способности порождать другие объекты. Здесь следует подчеркнуть, что в мозге существует своего рода «вместилище сознания», некое физическое пространство, предназначенное для моделирования и создания новых объектов… в некотором отношении эти новые математические объекты – как живые существа: подобно живым существам, они подобны физическим объектам, способным очень быстро эволюционировать; но в отличие от живых существ – за исключением вирусов – они эволюционируют в нашем мозге.

Наконец, самое категорическое суждение в споре «изобретение или открытие» сделали специалист по когнитивной лингвистике Джордж Лакофф и физиолог Рафаэль Нуньес в своей довольно спорной книге «Откуда взялась математика» (Lakoff and Núñez 2000). Как я уже отмечал в главе 1, они объявили следующее.

Математика – естественная составляющая человеческого бытия. Она возникает из нашего тела, нашего мозга, нашего повседневного опыта взаимодействия с миром [то есть Лакофф и Нуньес утверждают, что математика возникает из некоего «встроенного разума»] … Математика – это система человеческих понятий, которая находит невероятное применение обычным инструментам человеческого познания… Человеческие существа ответственны за создание математики – и мы продолжаем быть ответственными за ее разработку и расширение. У портрета математики человеческое лицо.

Ученые-когнитивисты основывают свои выводы на данных, накопленных в результате многочисленных экспериментов, и считают эти данные вполне убедительными. В ходе некоторых таких опытов изучалась функциональная визуализация мозговой деятельности во время решения математических задач. Иногда изучались математические познания младенцев или племен охотников-собирателей вроде мундуруку, не получавших никакого образования, а также людей с различными поражениями головного мозга. Большинство исследователей согласны, что некоторые математические способности, похоже, присущи нам от рождения. Например, все люди с первого взгляда различают группы из одного, двух и трех объектов (это называется субитизация). Вероятно, от рождения мы обладаем и некоторыми очень ограниченными арифметическими способностями – умением группировать, распределять попарно и решать очень простые задачи на сложение и вычитание, как, вероятно, и элементарными геометрическими понятиями, хотя второе утверждение более спорно. Нейрофизиологи выявили также особые отделы мозга – к ним относится, в частности, ангулярная извилина в левом полушарии, – отвечающие, судя по всему, за манипуляции с числами и математические выкладки, но при этом не имеющие отношения ни к языку, ни к рабочей памяти (см., например, Ramachandran and Blakeslee 1999).

Согласно Лакоффу и Нуньесу, главный инструмент, позволяющий продвинуться дальше врожденных способностей, – это конструирование концептуальных метафор, мыслительный процесс, переводящий абстрактные понятия в более конкретные. Например, концепция арифметики коренится в одной из самых фундаментальных метафор собирания предметов. С другой стороны, относительно абстрактная булева алгебра классов метафорически связывает классы с числами. Сложный сценарий, разработанный Лакоффом и Нуньесом, предлагает интересную точку зрения на то, почему одни математические понятия людям усвоить проще других. Некоторые исследователи, например нейрофизиолог-когнитивист Розмари Варли из Шеффилдского университета, предполагают, что по крайней мере некоторые математические структуры паразитируют на языковых способностях – то есть математические понятия развиваются благодаря заимствованию ментальных инструментов, которые отвечают за создание языка (Varley et al. 2005; Klessinger et al. 2007).

Когнитивисты подвели весьма солидную базу под ассоциацию нашей математики с человеческим разумом и против платонизма. Но вот что интересно: самый сильный, по моему мнению, довод против платонизма выдвигают не нейробиологи, а сэр Майкл Атья, один из величайших математиков ХХ века. Я уже упоминал вскользь о его аргументации в главе 1, но здесь хотелось бы остановиться на ней поподробнее.

Если бы пришлось выбирать одно-единственное понятие из нашей математики, которое с наибольшей вероятностью существует независимо от человеческого разума, на чем бы вы остановились? Большинство из нас, скорее всего, пришло бы к выводу, что это должны быть натуральные числа. Что может быть естественнее, «натуральнее», чем 1, 2, 3, …? Даже немецкий математик Леопольд Кронекер (1823–1891), склонный к интуиционизму, как известно, провозгласил: «Господь сотворил натуральные числа, все остальное – дело рук человека». Поэтому, если удастся доказать, что даже натуральные числа как понятие берут начало в человеческом разуме, это будет серьезный довод в пользу парадигмы «изобретения». Вот как это формулирует Атья (Atiyah 1995): «Представим себе, что разумом наделено не человечество, а какая-нибудь огромная одинокая медуза в глубинах Тихого океана. Все ее сенсорные данные определялись бы движением, температурой и давлением. Поскольку все это – чистейший континуум, в такой обстановке не может появиться ничего дискретного, и медузе нечего было бы считать». Иначе говоря, Атья убежден, что даже такое фундаментальное понятие, как натуральные числа, и то было создано человеком посредством абстрагирования элементов физического мира (как сказали бы когнитивисты, «посредством закладывания метафор»). Иначе говоря, число 12, например, отражает абстракцию качества, общего для всего, что объединяется по дюжине, точно так же как слово «мысль» отражает самые разные процессы, происходящие у нас в мозге.

Возможно, то, что Атья привлекает для доказательства гипотетическую вселенную медузы, читателю не понравится. Возможно, читатель возразит, что Вселенная только одна, деваться из нее некуда и любое предположение следует изучать в контексте этой Вселенной. Однако это, в сущности, все равно что признать, что понятие натуральных чисел каким-то образом зависит от Вселенной человеческого опыта! Обратите внимание, что именно это и имеют в виду Лакофф и Нуньес, когда говорят, что математика «встроена».

Итак, я только что приводил доводы за то, что понятия нашей математики коренятся в человеческом разуме. Вероятно, вы спросите, почему же я раньше так настаивал, что математика по большей части открыта – именно такой точки зрения придерживаются платоники.

Изобретение и открытие

В повседневной жизни разница между открытием и изобретением иногда совершенно очевидна, а иногда несколько размыта. Никто не станет утверждать, будто Шекспир открыл Гамлета, а мадам Кюри изобрела радий. Однако же новые лекарства от некоторых болезней обычно принято называть открытиями, хотя на самом деле они зачастую появляются в результате тщательного синтеза новых химических соединений. Давайте остановимся на вполне конкретном примере из математики, который, думается мне, не только поможет прояснить, чем открытие отличается от изобретения, но и позволит взглянуть по-новому на процесс развития и прогресса математики.

В книге VI фундаментальных «Начал» Евклида мы обнаруживаем определение деления отрезка на две неравные части неким заданным способом (оно же применительно к площади приводится и раньше, в книге II). Согласно Евклиду, если отрезок АВ делится точкой С (рис. 62) таким образом, что соотношение длин сегментов (AC/CB) равно отношению длины всего отрезка к более длинному сегменту (AB/AC), говорят, что отрезок делится «в крайнем и среднем отношении». Иначе говоря, если AC/CB = AB/AC, то каждое из этих отношений называется «крайним и средним отношением». С XIX века это отношение известно широкой публике как золотое сечение[157]157
  Подробнейшее описание понятия золотого сечения, его истории и свойств см. в Livio 2002, а также в Herz-Fischler 1998.


[Закрыть]. В результате несложных алгебраических вычислений получается, что золотое сечение равно

Прежде всего, вы вправе поинтересоваться, почему Евклида вообще заинтересовало определение именно такого деления отрезка и зачем было давать этому соотношению особое название? Ведь разных способов поделить отрезок бесконечно много. Ответ на этот вопрос можно найти в культурно-мистическом наследии Пифагора и Платона. Вспомним, что пифагорейцы были одержимы числами. Они считали, что нечетные числа – это мужское начало и добро, а четные, соответственно, – женское начало и зло. Особое родство они ощущали с числом 5: ведь это союз 2 и 3, первого четного (женского) числа с первым нечетным (мужским). (Число 1 вообще считалось не числом, а генератором остальных чисел.) Поэтому для пифагорейцев число 5 представляло собой воплощение любви и брака, и пентаграмму – пятиконечную звезду – они сделали символом своего братства (рис. 63). И вот тут-то на сцену впервые вышло золотое сечение. Если взять правильную пентаграмму, то отношение боковой стороны любого треугольника к его основанию (a/b на рис. 63) в точности равно золотому сечению. Подобным же образом отношение любой диагонали правильного пятиугольника к его стороне (c/d на рис. 64) также равно золотому сечению. А значит, чтобы построить пятиконечную звезду или пятиугольник при помощи циркуля и линейки (именно так проделывали геометрические построения древние греки), требуется разделить отрезок в золотом сечении.

Рис. 62

Рис. 63

Рис. 64

Платон обогатил мистический смысл золотого сечения дополнительными обертонами. Древние греки полагали, что все во Вселенной состоит из четырех стихий – земли, воды, воздуха и огня. В «Тимее» Платон попытался объяснить структуру вещества на основании пяти правильных многогранников, которые впоследствии были названы в его честь платоновыми телами (рис. 65). Это выпуклые тела – тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр – единственные, у которых все грани (у каждого многогранника по отдельности) одинаковы и представляют собой правильные многоугольники, а все вершины лежат на сфере. Каждое из первых четырех тел Платон связывал с определенной стихией: земля ассоциировалась с устойчивым кубом, всепроникающий огонь – с острым тетраэдром, воздух – с октаэдром, а вода – с икосаэдром. А о додекаэдре (рис. 65, d) Платон в «Тимее» писал: «В запасе оставалось еще пятое многогранное построение, его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца» (пер. С. Аверинцева). Итак, додекаэдр отражал вселенную в целом. Обратите внимание, что додекаэдр, обладающий двенадцатью пятиугольными гранями, прямо-таки воплощает в себе золотое сечение. И его объем, и площадь поверхности можно выразить в виде простых равенств с участием золотого сечения (так же обстоят дела и с икосаэдром).

То есть исторический опыт показывает, что методом многочисленных проб и ошибок пифагорейцы и их последователи открыли способы строить определенные геометрические фигуры, которые для них воплощали важные понятия вроде любви и космоса. Тогда неудивительно, что и они, и Евклид, задокументировавший эту традицию, изобрели понятие золотого сечения, необходимого для этих построений, и дали ему название. В отличие от любого другого произвольного соотношения, число 1,618… стало предметом пристального изучения с богатой и интересной историей и даже в наши дни то и дело заявляет о себе в самых неожиданных местах. Например, спустя две тысячи лет после Евклида немецкий астроном Иоганн Кеплер открыл, что это число – чудесным образом – имеет отношение к последовательности чисел под названием числа Фибоначчи. Последовательность Фибоначчи – 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… – характерна тем, что каждый ее член, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих (2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 5 = 2 + 3 и так далее). А если поделить любой член последовательности на непосредственно предшествующий (например, 144 ÷ 89; 233 ÷ 144 и так далее), окажется, что отношения колеблются в окрестности золотого сечения, причем чем больше члены последовательности, тем ближе их отношения к золотому сечению. Например, при округлении до шестого знака после запятой у нас получатся следующие числа: 144 ÷ 89 = 1,617978; 233 ÷ 144 = 1,618056; 377 ÷ 233 = 1,618026 и так далее.

Рис. 65

В новое время выяснилось, что числа Фибоначчи и, соответственно, золотое сечение описывают расположение листьев на стеблях некоторых растений – это явление называется филлотаксис – и структуру кристаллов некоторых алюминиевых сплавов.

Почему я считаю определение золотого сечения, которое дал Евклид, изобретением? Потому что изобретательство Евклида выделило это соотношение из общей массы и привлекло к нему внимание математиков. С другой стороны, в Китае, где понятие золотого сечения не было изобретено, в математической литературе нет никаких упоминаний ни о чем похожем. В Индии, где его опять же не изобрели, оно вскользь затронуто лишь в нескольких второстепенных тригонометрических теоремах.

Примеров, которые показывают, что вопрос «Что есть математика – изобретение или открытие?» некорректно сформулирован, можно найти множество. Наша математика – это сочетание изобретений и открытий. Аксиомы евклидовой геометрии как понятия были изобретением, как и, скажем, правила игры в шахматы. Кроме того, аксиомы были дополнены различными изобретенными понятиями – треугольниками, параллелограммами, эллипсами, золотым сечением и тому подобным. А теоремы евклидовой геометрии, напротив, по большей части представляют собой открытия: это пути, связывающие разные понятия. В некоторых случаях доказательства приводили к формулировке новых теорем – математики изучали, что можно доказать, и из этого выводили теоремы. В других, как описано в «Методе» Архимеда, они сначала находили ответ на заинтересовавший их вопрос, а потом уже работали над доказательством.

Понятия – это, как правило, изобретения. Простые числа как понятие были изобретены, однако все теоремы о простых числах – открытия[158]158
  Интересные идеи по этому поводу изложены в статье Иегуды Рава в Hersh 2000.


[Закрыть]. Математики древнего Вавилона, Египта и Китая не изобрели понятие простых чисел, хотя их математика достигла огромных успехов. Можно ли сказать, что они просто не «открыли» простые числа? Не в большей степени, чем заявить, что в Великобритании не «открыли» единую кодифицированную конституцию. Государство способно выжить и без конституции – и математика способна развиваться без понятия простых чисел. Так и получилось!

А известно ли нам, почему греки изобрели понятия вроде аксиом и простых чисел? Конечно, наверняка сказать нельзя, но можно предположить, что это произошло в ходе неустанных попыток исследовать самые фундаментальные составляющие Вселенной. Простые числа – это строительный материал чисел, точно так же как атомы – это строительный материал вещества. Подобным же образом аксиомы были источником, из которого должны вытекать все геометрические истины. Додекаэдр символизировал Вселенную в целом, а золотое сечение послужило понятием, благодаря которому этот символ был воплощен.

Все это говорит еще об одном интересном аспекте математики: она часть человеческой культуры. Стоило грекам изобрести аксиоматический метод, как все их последователи, европейские математики, тут же взяли с них пример и переняли у них эту систему представлений и практических приемов. Антрополог Лесли А. Уайт (1900–1975) как-то раз лаконично охарактеризовал этот культурный аспект (White 1947): «Если бы Ньютон вырос среди готтентотов [южноафриканское племя], он и считал бы по-готтентотски». Культурная составляющая математики, скорее всего, отвечает и за то, что многие математические открытия (например, инварианты узла) и даже некоторые крупные изобретения (например, математический анализ) были сделаны одновременно несколькими независимыми учеными.