Текст книги "Апология математики (сборник статей)"

И ещё об одном виде чисел – так называемых алгебраических числах. Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения. Всякое уравнение имеет две части, левую и правую, разделённые (или, если угодно, соединённые) знаком равенства. Алгебраическими называют уравнения особо простого вида: в правой части стоит число 0, а левая есть многочлен какой-то степени с одним неизвестным и целыми коэффициентами, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Частный вид алгебраических уравнений образуют те квадратные уравнения, у которых все коэффициенты (коэффициент при x², коэффициент при x, свободный член) суть целые числа. Всякое рациональное число есть число алгебраическое (вопрос к читателю: почему?), и алгебраические числа образуют как бы следующий за рациональными разряд чисел по шкале «от простого к сложному». Математиков долгое время интересовал вопрос, могут ли действительные числа не являться алгебраическими; такие числа называют трансцендентными. Существование трансцендентных чисел было установлено в 1844 г. путём приведения соответствующих достаточно сложных примеров; лишь в 1873 г. была доказана трансцендентность известного числа e и только в 1882-м – ещё более известного числа π. Однако, если не требовать указания конкретных примеров трансцендентных чисел, само существование таковых может быть установлено тем же методом, каким было установлено существование чисел иррациональных. А именно: в 1874 г. Кантор показал, что множество всех алгебраических уравнений счётно, из чего уже несложно вывести счётность множества алгебраических чисел. А мы знаем, что множество всех действительных чисел континуально, так что оно никак не может состоять из одних только алгебраических чисел.

Понятие эквивалентности служит основой для понятия количества элементов множества. Количество – это то общее, что имеется у всех эквивалентных друг другу множеств. Для каждого класса эквивалентных друг другу множеств это количество своё – одно и то же для всех множеств этого класса. Возьмём, например, множество чудес света, множество дней недели, множество нот гаммы, множество смертных грехов и множество цветов спектра (и радуги), зашифрованных во фразе «Каждый охотник желает знать, где сидит фазан». Все они эквивалентны. Просвещённый читатель добавит к ним множество городов, споривших за честь быть родиной Гомера, и множество земных душ «по», присутствующих, согласно верованиям китайцев, в каждом человеке. И множество столбов того дома мудрости, о котором говорится в Притчах Соломона. И множества печатей, рогов, очей и духов из пятой главы Апокалипсиса. А также множества ангелов и труб из его восьмой главы. И множество ворот древнегреческих Фив, и множество вождей похода аргивян на те же Фивы. И множество римских холмов. И множество тех нянек, у которых дитя без глаза. И множество невест ефрейтора Збруева[53]53
  Речь идет о знаменитом фильме 1970-х гг. «Семь невест ефрейтора Збруева».


[Закрыть]. И множество пядей во лбу. Если теперь рассмотреть наряду с перечисленными только что множествами и все мыслимые множества, эквивалентные перечисленным, мы обнаружим, что в них присутствует нечто общее. Это общее есть количество элементов в каждом из них. В данном конкретном случае количество называется, как всем известно, семь. А количество элементов, характерное для множества планет Солнечной системы и всех эквивалентных ему множеств, теперь (после разжалования Плутона) называется восемь.

Надеемся, читатель уже пришёл к выводу, что все счётные множества обладают одним и тем же количеством элементов. В частности, количество всех квадратов равно количеству всех натуральных чисел. Количество элементов какого-либо счётного множества (а у всех счётных множеств количество элементов одно и то же!) называется счётной мощностью и обозначается буквой áлеф с нижним индексом ноль (произносится áлеф-ноль) –  Вот и соответствующая цитата из одноимённого рассказа Борхеса (кстати, с довольно отчётливой формулировкой эффекта Кортасара): «В Mengenlehre Алеф – символ трансфинитных множеств, где целое не больше, чем какая-либо из частей».

До сих пор мы применяли к множествам термин эквивалентные, опасаясь испугать читателя обилием новых непривычных слов. В наши дни этот термин – в указанном применении – следует признать устаревшим. И тому есть причины. Термин этот имеет слишком уж большую сферу использования – от логики, где говорят об эквивалентных суждениях, до наркологии, где определяют, какое количество пива эквивалентно такому-то количеству водки. Современная терминология такова: два множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются равномощными (иногда всё же уточняют «равномощными, или эквивалентными»). Так мы и будем теперь выражаться, считая того, кто дочитал до сюда, достаточно закалённым. Этот закалённый читатель уже, наверное, понял, что равномощные множества имеют одну и ту же мощность. Мощность (в теории множеств) – это то общее, что имеют между собой все равномощные множества. Мы видим, что слово «мощность» в данном его употреблении является синонимом словосочетания «количество элементов» (но не слова «количество», потому что можно, например, говорить о количестве воды в стакане). Мощность множества называют также его кардинальным числом. Все континуальные множества имеют одну и ту же мощность, называемую континуальной; она обозначается посредством строчной буквы из печатного готического алфавита.

Описанный выше способ, посредством которого существование иррациональных и трансцендентных чисел можно вывести из общих соображений, без предъявления конкретных примеров, мы вправе назвать количественным, ибо он основан на несовпадении количеств – счётного количества, присущего как множеству рациональных, так и множеству алгебраических чисел, и континуального количества, присущего множеству всех действительных чисел.

Теперь о сравнении количеств. Два количества могут быть равны или не равны. Давайте осознаем, чтó это означает. Каждое количество представлено классом всех мыслимых эквивалентных друг другу множеств. Равенство количеств означает совпадение соответствующих классов, а неравенство – их несовпадение. Семь потому не равно восьми, что класс всех множеств, эквивалентных множеству смертных грехов, не совпадает с классом всех множеств, эквивалентных множеству планет. Количество квадратов потому равно количеству натуральных чисел, что класс всех множеств, эквивалентных множеству квадратов, совпадает с классом всех множеств, эквивалентных натуральному ряду. Но хотелось бы иметь право говорить не только о равенстве или неравенстве двух количеств, но и о том, какое из них больше, а какое меньше. (Не запутайтесь: слова «больше» и «меньше» относятся к количествам, а не к представляющим их классам множеств!)

Спросим уже знакомых нам, не умеющих считать первобытных скотоводов, могут ли они определить, в каком из их стад больше элементов (в предположении, что стада различны по численности). Их ответ будет положительным. Если в стаде коз удастся выделить такую часть, не совпадающую со всем стадом, которая окажется эквивалентной множеству овец, то коз больше. Если же в стаде овец удастся выделить такую часть, не совпадающую со всем стадом, которая окажется эквивалентной множеству коз, то больше овец. (В математике каждое множество считается частью самого себя, поэтому оговорка о несовпадении существенна.) Однако, как мы видели, такой способ не годится в случае бесконечных множеств. Действительно, в натуральном ряду можно выделить часть, с ним не совпадающую (а именно: множество квадратов), которая эквивалентна множеству квадратов; тем не менее натуральный ряд и множество квадратов, как мы видели, эквивалентны. Что же делать? Надо придумать такой критерий, который применим к любым множествам. Гениальное решение, найденное Кантором, состоит в следующем: к предложенной нашими скотоводами формулировке надо всего лишь добавить некую клаузулу, излишнюю (хотя и ничему не мешающую) в конечном случае, но необходимую в случае бесконечном. Клаузула состоит в требовании неэквивалентности сравниваемых множеств. Полная формулировка того, что количество элементов первого множества больше количества элементов второго множества, такова: множества неэквивалентны, но в первом множестве имеется часть, эквивалентная второму множеству.

Вот теперь мы можем сказать, что континуальная мощность больше счётной. В самом деле, эти мощности различны, но в континуальном множестве действительных чисел можно выделить счётную часть, например натуральный ряд. Счётную часть можно выделить в любом бесконечном множестве, поэтому счётная мощность – наименьшая из всех бесконечных мощностей. Одна из замечательных теорем Кантора утверждает, что количество всевозможных частей какого-либо множества всегда больше, чем количество элементов в самом этом множестве. (Читатель легко проверит этот факт для конечных множеств; надо только не забыть учесть пустую часть и часть, совпадающую со всем множеством.) В частности, количество всех частей натурального ряда больше счётного количества натуральных чисел, оно несчётно. А количество всех частей прямой линии больше континуального количества точек на ней.

Противопоставление счётных и несчётных бесконечных множеств приводит к глубокому философскому последствию, лежащему на стыке семиотики и гносеологии. А именно: оказывается, что мыслимы сущности, которые нельзя назвать. Постараемся изложить ситуацию как можно более ясно. Когда мы что-то называем, мы снабжаем это что-то индивидуальным (присущим только ему, и ничему другому) именем. Всякое же имя есть конечная цепочка знаков из некоторого выбранного для данной системы имён конечного списка знаков. Любой конечный список знаков математики называют алфавитом, составляющие его знаки – буквами, а всякую конечную цепочку букв – словом в данном алфавите. [В отличие от слов естественных языков, в математическом языке слово может быть совершенно непроизносимым, как, например, имена альдебаранцев в рассказе Лема «Вторжение с Альдебарана» – Нгтркс и Пвгдрк. Возможно, скажем, и такое слово:))) =hgйъh=+ (.] Нетрудно убедиться, что, какой алфавит ни возьми, множество всех слов, основанных на этом алфавите, будет счётным. А значит, никак не больше счётной окажется любая система имён, созданная на основе этого алфавита; эта система может быть лишь конечной, или счётной. И если мы имеем дело с несчётным множеством объектов, то в этом множестве непременно встретятся объекты – и даже очень много таких объектов, – для которых в рассматриваемой системе имён не найдётся никакого имени. В частности, какую систему именований ни придумай, всегда окажется, что существуют не имеющие имени части натурального ряда, не имеющие имени точки прямой, не имеющие имени действительные числа.

Только что приведённые соображения можно использовать для доказательства счётности множества алгебраических чисел и, следовательно, для доказательства существования трансцендентных чисел. Известно, что для всякого алгебраического уравнения множество его действительных корней, т. е. таких действительных чисел, которые служат корнями этого уравнения, всегда конечно (оно может быть, в частности, и пустым). Расположим это множество в порядке возрастания, тогда каждый корень получит свой порядковый номер в этом расположении. Именем данного алгебраического числа объявим запись, состоящую из записи любого алгебраического уравнения, корнем которого данное число является (таких уравнений всегда много!), и записи порядкового номера этого корня среди всех корней этого уравнения. Общее количество всех введённых таким способом имён счётно. Отсюда легко выводятся два факта. Во-первых, оказывается счётным количество чисел, получивших имя, – а это как раз и есть алгебраические числа. Во-вторых, многие действительные числа не получат никакого имени – это и будут трансцендентные числа.

Возникает естественный вопрос, а бывают ли мощности, промежуточные между мощностями счётной и континуальной. Иначе говоря, вопрос состоит в том, какое из двух альтернативных утверждений справедливо:

(1) по количеству элементов континуум действительных чисел идёт сразу вслед за натуральным рядом

или же

(2) в указанном континууме можно выделить промежуточное множество, т. е. такую бесконечную часть, которая не равномощна ни всему континууму, ни натуральному ряду.

Гипотезу, предполагающую, что справедливо первое из этих утверждений, называют гипотезой континуума, или континуум-гипотезой, а требование доказать или опровергнуть эту гипотезу – проблемой континуума. В 1877 г. Кантор объявил, что континуум-гипотеза представляет собою математическую истину, и с 1879 г. начал отдельными частями публиковать трактат, имеющий целью эту истину доказать. Шестая часть была завершена 15 ноября 1883 г. Она содержала доказательство того факта, что промежуточное множество заведомо отсутствует в определённом классе множеств (а именно в классе замкнутых множеств), а также обещание в последующих статьях доказать, что такого множества вообще не существует, т. е. доказать гипотезу в её полном объёме. Однако обещанных статей не последовало. Кантор осознал, что не может доказать континуум-гипотезу, и в мае 1884 г. у него случился первый приступ нервной болезни. В середине XX в. было установлено, что ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу невозможно. Здесь мы остановимся из страха повторить судьбу Кантора.

На языке лингвистики то, чем мы занимались в этой главе, есть семантика количественных числительных. При этом выяснилось, что привычный бесконечный ряд «конечных» числительных: один, два, три, …, сорок восемь, …, две тысячи семь, … – может быть дополнен «бесконечным» числительным алеф-ноль –

Но ведь бывают и числительные порядковые: первый, второй, третий и т. д. Вкратце поговорим и о них. Как количественное числительное есть словесное выражение (имя) количественного числа (оно же кардинальное число, оно же мощность), так порядковое числительное есть словесное выражение (имя) порядкового числа. Чтобы отличать порядковые числа от количественных, будем обозначать их – в конечном случае (а про бесконечный мы пока ничего не знаем) – римскими цифрами. Порядковое число – это особая сущность, для которой сейчас будет предложено не определение (что перегрузило бы текст), а ассоциативная иллюстрация. С этой целью обращусь к своим детским ощущениям – ещё более ранним, чем кошмар, упомянутый в самом начале данной главы. В студенческие годы я с изумлением узнал, что эти ощущения знакомы не только мне.

Итак, раннее детство. Я размышляю о том, какой я плохой. Но тут же приходит в голову мысль: раз я это понял, значит, я хороший. Но если я считаю себя хорошим, значит, я плохой. Но тогда я хороший и т. д. Какая замечательная бесконечная лестница мною выстроена, хвалю я себя. Какой я плохой, что себя хвалю. И так далее. Здесь иллюстрация понятия порядкового числа. В самом деле, естественно называть ступени возникшей лестницы словами «первая», «вторая», «третья» и т. д. А можно сказать и так: со ступенями соотносятся порядковые числа I («Я плохой»), II («Я хороший, потому что осознал, что плохой»), III («Я плохой, потому что себя похвалил») и т. д. С лестницей же в целом («Я хороший, потому что смог увидеть всю лестницу») соотносится некоторое новое, бесконечное порядковое число ω (омега). Далее следуют ω + I («Я плохой, потому что себя похвалил»), ω + II, ω + III и т. д. А потом за ними всеми ω + ω. Здесь мы остановимся, однако читатель волен продолжить этот ряд и далее. Начиная с ω идут бесконечные порядковые числа. Их именами служат «омега», «омега плюс один», «омега плюс два», «омега плюс три» и т. д. По смыслу они представляют собою порядковые числительные и потому должны были бы быть на них похожи по форме. Следовало бы говорить поэтому «омеговый», «омега-плюс-первый» и т. д.; но так почему-то не говорят.

Читатель, желающий проверить, понял ли он, что такое бесконечные порядковые числа (удалось ли автору это внятно изложить), благоволит выполнить следующее упражнение. Возьмите множество, состоящее из числа 8, числа 3, всех чисел 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 и т. д. и всех чисел 2, 2 1/2, 2 2/3, 2 3/4, 2 4/5 и т. д. Пронумеруйте элементы этого множества в порядке их возрастания порядковыми числами. Какие номера они получат? Ответ: первым, наименьшим, элементом является здесь 0, и он получит номер I, элемент 1/2 получит номер II, элемент 2/3 – номер III и т. д.; далее элемент 2 получит номер ω, элемент 2 1/2 – номер ω + I, элемент 2 2/3 – номер ω + II и т. д.; наконец, элемент 3 получит номер ω + ω и элемент 8 – номер ω + ω + I.

Решение задачи об эквивалентности множеств точек, расположенных на двух отрезках.

Обозначаем концы отрезков буквами A, B, C, D, как указано на рисунке. Проводим прямые через A и C и через B и D до пересечения в точке F. (Предоставляем читателю самостоятельно разобраться в случае, когда прямые оказались непересекающимися.) Из F проводим лучи, пересекающие оба отрезка. Точки наших отрезков, лежащие на одном и том же луче (на рисунке они помечены крестиками и кружкáми), объявляем соответствующими друг другу. Возникает взаимно однозначное соответствие между рассматриваемыми множествами.

Глава 8
Параллельные прямые в мифологии, реальности и математике

Общественное сознание отчасти мифологично, и это давно не новость. Все знают, что во время Второй мировой войны, в период германской оккупации Дании, датский король надел жёлтую звезду. На самом деле этого не было. Всем известны слова Ленина, что искусство должно быть понятно массам, и сетования Пушкина на то, что он родился в России с умом и талантом. На самом деле Ленин (в беседе с Кларой Цеткин) говорил не «понятно массам», а «понято массами», а Пушкин (в письме к жене) писал не «с умом», а «с душою». Замена понятности на необходимость понимания и ума на душу в корне меняет смысл привычных формулировок. Если искажение слов Ленина можно списать на неправильный перевод с немецкого (а подлинник текста Цеткин был доступен в России единицам), то случай с Пушкиным требует более глубокого анализа. Объяснение состоит здесь, по-видимому, в том, что наше сознание готово допустить неуместность в России ума (которым, как известно, Россию не понять), но никак не души (это в России-то, заповеднике духовности и душевности!). Сила предубеждённости в этом вопросе поистине замечательна, ведь тираж изданий писем Пушкина исчисляется сотнями тысяч! Тем не менее ошибку в цитате делают даже филологи весьма известные. Вот ещё распространённый миф – формула «Клянусь говорить правду, только правду и ничего, кроме правды», якобы применяемая в американском судопроизводстве (и довольно странная, поскольку обороты «только правду» и «ничего, кроме правды» имеют один и тот же смысл). На самом деле в Америке говорят по-другому: «Клянусь говорить правду, всю правду и ничего, кроме правды, и да поможет мне Бог» («I swear to tell the truth, the whole truth, and nothing but the truth, so help me God»).

Математики могут чувствовать себя польщёнными тем, что среди деталей, в которых мифологическая картина мира отличается от картины реальной, есть и такие, которые относятся к их дисциплине. Например, большинство людей убеждено, что в математике все понятия определяются и все утверждения доказываются. Но ведь каждое понятие определяют через другие понятия, а каждое утверждение доказывают, опираясь на другие утверждения. Вспоминается риторический вопрос г-жи Простаковой: «Портной учился у другого, другой у третьего, да первоет[54]54
  Так в оригинале.


[Закрыть] портной у кого же учился?» Автору этих строк приходилось слышать и такое определение площади поверхности шара: «Площадь поверхности шара есть предел площадей поверхностей правильных многогранников, вписанных в этот шар, при неограниченном возрастании числа граней этих многогранников». Подобное представление о площади поверхности явно возникло по аналогии с тем фактом, что длина окружности действительно есть предел периметров правильных многоугольников, вписанных в эту окружность, при неограниченном возрастании числа сторон этих многоугольников. Но всё дело в том, что в правильном многоугольнике может быть сколько угодно сторон, в правильном же многограннике количество граней может выражаться лишь одним из следующих пяти чисел: 4 (у тетраэдра), 6 (у куба, он же гексаэдр), 8 (у октаэдра), 12 (у додекаэдра) или 20 (у икосаэдра), так что ни о каком неограниченном возрастании числа граней не может быть речи.

Самое же замечательное – это то, как преломляется в мифологическом сознании учение о параллельных прямых.

Что такое параллельные прямые, знают практически все. Практически все слышали про аксиому о параллельных прямых, ведь её проходят в школе. Никто из так называемых людей с улицы, которых я спрашивал, в чём состоит аксиома о параллельных, не отговорился незнанием. Абсолютное большинство опрошенных отвечали так: аксиома о параллельных состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. Рекомендуем читателю самому произвести опрос и убедиться, что именно такая формулировка аксиомы о параллельных бытует в массовом сознании.

Получив указанный выше ответ, следует немедленно задать следующий вопрос: а что такое параллельные прямые? Скорее всего, вам ответят, что параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются. (Если даже клаузула «и лежат в одной плоскости» не будет произнесена, этому не следует придавать значения: её необходимость понимают все.) Многие сразу же осознают: тут что-то не так, ибо не может же аксиома заключаться в том, что непересекающиеся прямые не пересекаются. Многих из тех, кто не поймёт этого сразу сам, удастся в этом убедить. Останется незначительное меньшинство, считающее, что аксиома о непересекаемости непересекающихся прямых имеет право на существование. С представителями этого меньшинства договориться трудно: разговор происходит на разных языках. (Ведь параллельные прямые и в самом деле не пересекаются. «А как насчёт такой аксиомы: всякий зелёный предмет является зелёным?» – спрашивал я. «Аксиома как аксиома, – отвечали мне представители меньшинства. – Вот если б вы сказали, что всякий зелёный предмет является красным, тогда другое дело».)

Замечательно, что ложная формулировка аксиомы о параллельных (параллельные прямые не пересекаются) получила интернациональное распространение. В этом несколько неожиданном обстоятельстве автор убедился следующим образом. В марте 2006 г. на симпозиуме в Пекине, посвящённом проблемам математического образования, я рассказал о своих наблюдениях относительно аксиомы о параллельных – наблюдениях, сделанных на русскоязычном материале. Среди присутствовавших был американский профессор математики Веллеман (Daniel J. Velleman) из довольно известного Амхерст-колледжа (Amherst College), что в штате Массачусетс. В тот же день он спросил свою жену Шелли (Shelley L. Velleman), бакалавра и магистра нескольких гуманитарных наук, приехавшую вместе с ним в Пекин, в чём состоит аксиома о параллельных прямых. И получил ответ: «В том, что параллельные прямые не пересекаются». Тогда он спросил, а что такое параллельные прямые. Ответом ему был хохот: супруга профессора сразу же поняла бессмысленность своего ответа. Итак, хотя бы в этой детали русская и американская мифологические картины мира оказались одинаковы.

Но сюжет с параллельными прямыми на этом не заканчивается. Респондента, осознавшего абсурдность его ответа, можно спросить, в чём же всё-таки состоит аксиома о параллельных. На этом этапе вы, скорее всего, получите такой ответ: «Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести прямую, параллельную этой заданной прямой». Это уже значительно лучше, потому что такой ответ всего лишь неверен, но уже не абсурден. Неверен же ответ потому, что представляет собою не аксиому, а теорему. (Теорема эта доказывается чрезвычайно просто: надо сперва из точки опустить перпендикуляр на заданную прямую, а затем из той же точки восставить перпендикуляр к опущенному перпендикуляру; тогда заданная прямая и восставленный перпендикуляр будут перпендикулярны к одной и той же прямой, а именно к опущенному перпендикуляру, и потому параллельны.) Подлинный же смысл аксиомы о параллельных не разрешительный, а запретительный: она утверждает не то, что нечто сделать можно, а то, что чего-то сделать нельзя, что чего-то не существует. Вот её правильная формулировка: через точку, не лежащую на заданной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой. (Проницательный читатель усмотрит здесь аналогию с восемью из первых десяти поправок к американской конституции, известных в своей совокупности под названием «Билль о правах». В этих восьми поправках свободы формулируются в терминах запретов: «конгресс не должен…» – в первой поправке, «ни один солдат не должен…» – в третьей поправке и т. п.) Причина искаженного восприятия аксиомы о параллельных, на наш взгляд, заключается в следующем. В средней школе для простоты обычно вдалбливают формулировку «можно провести одну и только одну прямую», не заостряя внимания на том, что оборот «можно провести» выражает здесь теорему, а «можно провести одну и только одну» – аксиому. В результате в сознании остаётся более простая идея о возможности, а более сложная (и более глубокая) идея о единственности теряется.

Учение о параллельных – основа геометрии Лобачевского. Чем эта геометрия отличается от обычной, евклидовой, будет сказано несколькими абзацами ниже. А пока констатируем, что Лобачевский, возможно, единственный российский математик, присутствующий в общественном сознании (а если брать всех математиков, а не только российских, то, скорее всего, один из двух; другой – Пифагор). Его место закреплено в поэзии: «Пусть Лобачевского кривые / Украсят города / Дугою…», «И пусть пространство Лобачевского / Летит с знамён ночного Невского», – призывает Хлебников в поэме «Ладомир». Бродский в стихотворении «Конец прекрасной эпохи» не призывает, но констатирует:

 
Жить в эпоху свершений, имея возвышенный нрав,
к сожалению, трудно. Красавице платье задрав,
видишь то, что искал, а не новые дивные дивы.
И не то чтобы здесь Лобачевского твёрдо блюдут,
но раздвинутый мир должен где-то сужаться, и тут –
тут конец перспективы.
 

Если спросить «человека с улицы», в чём состоит вклад Лобачевского в науку, в подавляющем большинстве случаев ответ будет таким: «Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются» (в более редком и изысканном варианте: «Лобачевский открыл, что параллельные прямые могут и пересечься»). Тогда надо немедленно задать второй вопрос: «А что такое параллельные прямые?» – и получить ответ «Параллельные – это такие прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются». После чего можно пытаться (с успехом или без оного) убедить собеседника в несовместимости двух его ответов. Намёк на схождение параллельных в точку содержится уже в приведённой цитате из Бродского о сужении мира до финального «конца перспективы». Более раннее свидетельство встречаем в романе В. А. Каверина «Скандалист, или Вечера на Васильевском острове»[55]55
  Благодарю В. И. Беликова, подсказавшего мне это свидетельство.


[Закрыть]. Открываем изданный в 1963 г. первый том шеститомного собрания сочинений на с. 447–448. Герой романа Нагин[56]56
  В восьмитомнике В. А. Каверина (1980) этот персонаж носит фамилию Ногин.


[Закрыть] просматривает читанную ранее «книгу по логике», и вот «он внезапно наткнулся на вопросительный знак, который был поставлен на полях книги его рукою. Одна страница осталась непонятой при первом чтении курса. Вопросительный знак стоял над теорией Лобачевского о скрещении параллельных линий в пространстве». Нагин собирается писать рассказ на эту тему: «Он кусал себе ногти. „Параллели, параллели“, – написал он здесь и там на листе…" Нужно заставить их встретиться", – начертал он крупно…» Наконец, прямое указание находим в фольклоре (а ведь буквальное значение слова folklore – народная мудрость):

 
Однажды Лобачевский думал, кутаясь в пальто:
Как мир прямолинеен, видно, что-то здесь не то!
И он вгляделся пристальней в безоблачную высь,
И там все параллельные его пересеклись[57]57
  Сообщено Н. М. Якубовой.


[Закрыть].
 

Имеются и более современные свидетельства. Примером может служить диалог из книги Александра Гольдштейна «Спокойные поля», выпущенной издательским домом «НЛО» в 2006 г. Приводимая ниже цитата из этой книги взята из интернета с двух сайтов: сайта журнала «Зеркало» за 2005 г. (http://magazines.russ.ru/zerkalo/2005/25/go1-pr.html) и сайта журнала «Критическая масса» за тот же 2005 г. (http://magazines.russ.ru/km/2005/2/alg5-pr.html): «"Крайности сходятся", – буркнул я. „Сомневаюсь, – сказал Торговецкий, – это не лобачевские параллели“».

Некогда каждое утро по будням, между 9 и 11 часами, на «Эхе Москвы» шла интерактивная программа «Разворот». Пятнадцатого февраля 2006 г. в рамках этой программы слушателям предлагалось выразить своё отношение к идее провести в Москве парад геев. Ведущий Алексей Венедиктов, беседуя с очередным слушателем, призывал его к толерантности и к признанию права каждого иметь собственную точку зрения. Происходил такой диалог (я записал его тогда со слуха):

Венедиктов. Вот вы скажите, параллельные прямые пересекаются?

Слушатель. Нет.

Венедиктов. А вот у Лобачевского пересекаются, там другая система отсчёта.

В следующем, 2007 г., на «Эхе Москвы» та же точка зрения была высказана ещё раз, теперь уже в рамках программы «Особое мнение», с каковым мнением 18 октября выступил Леонид Радзиховский. Он сказал: «Вот когда Лобачевский придумал свою неевклидову геометрию, что две параллельные прямые могут пересечься, – это был действительно переворот в области геометрии и физики»[58]58
  Cписано с сайта «Эха Москвы». Этот пример указан мне Г. М. Полотовским.


[Закрыть].

Правда, как известно, у каждого своя, но истина одна. Истина состоит в том, что параллельные друг другу прямые не пересекаются даже у Лобачевского.

Природа мифологического представления об открытии Лобачевского понятна: все знают, что в его геометрии происходит что-то необычное с параллельными прямыми; а что может быть необычнее их пересечения?! Поражает всё же степень распространённости этого представления. Впрочем, апологет математики вправе испытать и чувство законного удовлетворения: хоть какие-то серьёзные математические представления, пусть даже ложные, в массовом сознании присутствуют!

Не в интересах правды, а в интересах истины сообщим, что же происходит в геометрии Лобачевского. Отличие геометрии Лобачевского от привычной, известной со школы евклидовой геометрии в следующем. В евклидовой геометрии через точку проходит только одна прямая, параллельная заранее указанной прямой, а в геометрии Лобачевского – много таких прямых. В аксиоме о параллельных, сформулированной выше, надо заменить слово «нельзя» на слово «можно», и аксиома о параллельных в версии Евклида превратится в аксиому о параллельных в версии Лобачевского: через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой.