Текст книги "Апология математики (сборник статей)"

Особое положение аксиомы о параллельных вызвано тем, что она не столь очевидна, как другие аксиомы геометрии. Возьмём, например, аксиому о том, что через две любые различные точки проходит одна и только одна прямая. Её можно проверить экспериментально. Надо выбрать плоский участок, вбить два колышка и туго натянуть между ними нить – вот вам наглядное подтверждение существования прямой, проходящей через две точки. Если же мы возьмём другую натянутую нить, соединяющую те же колышки, то обе нити сольются в одну линию – на глаз, конечно, но вся наша проверка и производится «на глаз»; так подтверждается единственность прямой. А вот убедиться столь же просто, что проходящая через точку параллельная всегда только одна, невозможно. Представим себе, что мы провели параллельную и, кроме того, через ту же точку какую-то другую прямую под очень маленьким углом к этой параллельной. По евклидовой аксиоме эта другая прямая обязана пересечь ту исходную прямую, к которой и была проведена наша параллельная. Но где она, точка пересечения? Она ведь может оказаться не только вне выбранного участка, доступного нашему обозрению, но и астрономически далеко, вне нашей Галактики. И может не найтись иного способа убедиться в том, что такая точка существует, как просто поверить в евклидову аксиому о параллельных. Но такой, основанный на чистой вере, способ подтверждения того факта (а лучше сказать того предположения, той гипотезы), что аксиома о параллельных выполняется в реальном физическом пространстве, был не по душе математикам.

Поэтому в течение долгого времени предпринимались попытки доказать содержащееся в аксиоме о параллельных утверждение и тем самым как бы понизить её статус, переведя её из аксиом в теоремы. До нас дошли сведения о таких попытках, относящихся ко II в. н. э. Желание доказать аксиому о параллельных подогревалось, помимо всего прочего, громоздкостью её первоначальной формулировки, которая содержится в составленных в III в. до н. э. «Началах» Евклида. В «Началах» она значилась по одним манускриптам 11-й аксиомой, а по другим – 5-м постулатом. В качестве 5-го постулата она так изложена в последнем, наиболее авторитетном русском издании «Начал» 1948 г.:

И если прямая, падающая на [пересекающая] две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, [в сумме] меньшие двух прямых [углов], то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где [в сумме] углы меньше двух прямых [углов].

Слова в квадратных скобках добавлены нами для ясности. Список всех пяти постулатов Евклида приведен в настоящем сборнике в § 2. Аксиомы Евклида. При взгляде на этот список бросаются в глаза отличия 5-го постулата от других. Во-первых, его не так легко понять при беглом чтении. А во-вторых, когда понимание наконец приходит, обнаруживается, что истинность этого постулата не столь очевидна, как других. Была ещё одна причина, побуждавшая доказывать 5-й постулат: выяснилось, что 4-й постулат, провозглашающий равенство всех прямых углов, можно доказать, а значит, изъять его из списка постулатов.

Однако все попытки доказать 5-й постулат неуклонно проваливались. Нельзя сказать, что эти попытки были бесполезны, они способствовали развитию геометрии. Более того, тот общепринятый ныне «школьный» вариант аксиомы о параллельных, который мы привели выше (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную этой прямой), принадлежит античному философу и математику V в. Проклу Диадоху, руководителю Платоновой Академии. Прокл пришёл к этой современной формулировке, комментируя Евклида и пытаясь доказать 5-й постулат. Формулировка Прокла равносильна 5-му постулату (он же 11-я аксиома) Евклида.

Вообще, в каждое рассуждение, объявляемое доказательством аксиомы о параллельных, незаметно вкрадывалось какое-нибудь геометрическое утверждение, не вызывающее, казалось бы, никаких сомнений, но на самом деле равносильное этой аксиоме. Например, в «доказательстве» знаменитого французского математика XVIII–XIX вв. Лежандра использовалось такое вроде бы невинное предложение: через любую точку внутри угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла. Оказалось, что это предложение равносильно аксиоме о параллельных: мало того, что оно опирается на эту аксиому, её можно из этого предложения вывести.

Известно много других равносильных формулировок аксиомы о параллельных. Многие из них выглядят совершенно очевидными – гораздо более очевидными, чем те, что были предложены Евклидом и Проклом. Вот некоторые из них.

1. Существует хотя бы один прямоугольник, т. е. такой четырёхугольник, у которого все углы прямые.

2. Существуют подобные, но не равные[59]59
  Мы предпочли бы сказать «не конгруэнтные».


[Закрыть] треугольники.

3. Любую фигуру можно пропорционально увеличить.

4. Существует треугольник сколь угодно большой площади.

5. Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую – сближаются.

6. Сумма углов одинакова у всех треугольников.

7. Существует хотя бы один треугольник, сумма углов которого равна двум прямым.

8. Существуют параллельные прямые, причём две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу.

9. Существуют параллельные прямые, при этом всякая прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.

10. Через любые три точки можно провести либо прямую, либо окружность.

11. Справедлива теорема Пифагора.

12. Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся.

13. Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться.

Последние две формулировки принадлежат знаменитому персидскому математику и философу XI–XII вв. Омару Хайяму, в России более известному в качестве поэта.

С большим трудом в сознание математиков проникало убеждение, что, скорее всего, утверждение, сформулированное в аксиоме о параллельных, вообще нельзя доказать. Осознать это было трудно ещё и потому, что вплоть до самого конца XIX в. какой-либо чёткой системы аксиом геометрии вообще не существовало. Для аксиомы о параллельных решающим оказалось третье десятилетие XIX в. В этот период два великих геометра – российский математик Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) и венгерский математик Янош Бóйаи[60]60
  По-русски эту фамилию часто пишут как Больяй, хотя наиболее близким к венгерскому произношению является написание Бояи.


[Закрыть] (Bolyai János, 1802–1860) – совершенно независимо друг от друга построили геометрическую теорию, основанную на отрицании аксиомы о параллельных. Эту теорию за рубежом, как правило, называют геометрией Лобачевского – Бойаи (по-английски Bolyai – Lobachevskian geometry), а в России – геометрией Лобачевского (предполагаю, что в Венгрии она называется геометрией Бойаи). У неё есть и «обезличенное» название – гиперболическая геометрия.

Надо сказать, что гениальность Лобачевского и Бойаи была признана только после их смерти, после признания созданной ими неевклидовой геометрии, отрицающей ту общепринятую евклидову аксиому о параллельных, которая была сформулирована выше. Свершившись, это признание произвело переворот не только в математике, но и в философии. Во-первых, была признана возможность развития гиперболической геометрии в качестве теории столь же содержательной и непротиворечивой, как и геометрия Евклида; и это развитие уже произошло. Во-вторых, признали теоретическую возможность того, что гиперболическая геометрия реализуется в окружающем нас физическом пространстве.

Первые публикации по гиперболической геометрии принадлежат её авторам: в 1829–1830 гг. обнародовал результаты своих изысканий Лобачевский, в 1832 г. – Бойаи. Их предшественником можно считать упомянутого в главе 1 немецкого юриста Швейкарта, который пришёл к идее неевклидовой геометрии в 1818 г., а также, может быть, его племянника Тауринуса[61]61
  Юрист и математик Франц Адольф Тауринус (Franz Adolf Taurinus, 1794–1874) допускал под влиянием дяди возможность существования неевклидовой геометрии, но свою брошюру 1826 г., содержащую это допущение, сжёг. Труды Тауринуса были обнаружены только после его смерти.


[Закрыть]. В начале 1819 г. принадлежащее Швейкарту описание новой «астральной» (звёздной) геометрии, уместившееся на одной странице, было переслано Гауссу одним из учеников последнего (кстати, астрономом). Гаусс ответил: «Почти всё списано с моей души». Дело в том, что «король математиков», великий Гаусс, о котором уже заходила речь в главе 5, пришёл к неевклидовой геометрии ещё раньше. В письме к Тауринусу от 8 ноября 1824 г. Гаусс называл эту геометрию странной и сообщал: «Я настолько разработал [её], к моему полному удовлетворению, что могу решить в ней любую проблему». Однако Гаусс ничего на эту тему не публиковал, справедливо полагая, что научная общественность ещё не готова воспринять столь смелые мысли. Работы Гаусса по неевклидовой геометрии стали известны лишь после посмертной публикации его архива. Вот какое признание он сделал в 1829 г. в частном письме: «Вероятно, я ещё не скоро смогу обработать свои пространные исследования по этому вопросу, чтобы их можно было опубликовать. Возможно даже, я не решусь на это во всю свою жизнь, потому что боюсь крика беотийцев, который поднимется, если я выскажу свои воззрения целиком». А упомянутого ученика-астронома, намеревающегося публично допустить ложность евклидовой аксиомы о параллельных, Гаусс в 1818 г. предостерегает: «Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как если бы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых вы потревожите, полетят вам на голову».

Обоснованность опасений Гаусса вскоре была подтверждена реакцией современников на сочинения Лобачевского. Что касается единственной публикации Бойаи, то она, кажется, не привлекла особого внимании и оставила современников равнодушными, исключая Гаусса. Он высоко оценил заслуги обоих коллег. Получив в 1832 г. от знакомого ему по Гёттингену Фаркаша Бойаи работу его сына Яноша, он написал отцу автора: «Все содержание работы, путь, по которому твой сын пошёл, и результаты, к которым он пришёл, почти сплошь совпадают с моими, которые я частично получил уже 30–35 лет тому назад. Я действительно этим крайне поражён. Я имел намерение о своей собственной работе, кое-что из которой я теперь перенес на бумагу, при жизни ничего не публиковать… Я хотел… чтобы эти мысли по крайней мере не погибли со мной. Я поэтому чрезвычайно поражён случившимся – оно освобождает меня от этой необходимости; и меня радует, что именно сын моего старого друга таким удивительным образом меня предвосхитил». А вот что сообщал Гаусс в письме к другому своему корреспонденту: «Я нашёл все мои собственные идеи и результаты, развитые с большим изяществом, хотя вследствие сжатости изложения в форме труднодоступной тому, кому чужда эта область… я считаю, что этот юный геометр Бойаи – гений первой величины».

Первое знакомство Гаусса с трудами Лобачевского состоялось в 1841 г., на следующий год после того, как в Берлине вышла небольшая (всего 61 с.) книжка Лобачевского Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien (её первый русский перевод, опубликованный под названием «Геометрические изыскания о теории параллельных линий», появился лишь в 1868 г. в российском математическом журнале[62]62
  Другой русский перевод, озаглавленный «Геометрические исследования по теории параллельных линий», который выполнил, прокомментировал и снабдил вступительной статьёй Вениамин Фёдорович Каган (1869–1953), известный специалист в области оснований геометрии, вышел в 1945 г. отдельным изданием, а также в составе полного собрания сочинений Лобачевского.


[Закрыть]). В 1842 г. Гаусс предложил избрать Лобачевского как «одного из превосходнейших математиков Российского государства» в члены-корреспонденты Гёттингенского научного общества и лично известил его об избрании. Однако ни в этом письме, ни в представлении Гаусса, ни в выданном Лобачевскому дипломе не говорилось ни слова о том, чтó послужило поводом для лестного отличия. Янош же Бойаи и вовсе не получил от Гаусса никакой поддержки.

Открытие неевклидовой геометрии не принесло прижизненной славы двум смельчакам, решившимся обнародовать своё открытие. Их исследования были выше понимания современников. И если для Лобачевского, который стал жертвой глумления, его открытие обернулось драмой, то Бойаи оно привело к трагедии – расстройству психики.

Труды Лобачевского не просто не были признаны современниками, но подверглись прямому поношению. Упомянутая выше первая публикация Лобачевского 1829–1830 гг. называлась «О началах геометрии» и была напечатана в виде пяти статей в журнале «Казанский вестник, издаваемый при Императорском Казанском университете», в частях XXV, XXVII, XXVIII. К заглавию публикации была сделана примечательная ссылка:

Извлечено самим Сочинителем из рассуждения под названием: «Exposition des principles de la Géometrie etc.», читанного им в заседании Отделения физико-математических наук 11 февраля 1826 года.

В 1832 г. совет Казанского университета представил эту работу в Академию наук. Академик Остроградский написал в своём отзыве: «Всё, что я понял в геометрии г-на Лобачевского, ниже посредственного. ‹…› Книга г-на ректора[63]63
  Лобачевский был ректором Казанского университета с 1827 по 1846 г. Именно на его имя как ректора Лев Толстой писал прошение о приёме в число студентов.


[Закрыть] Лобачевского опорочена ошибкой… она небрежно изложена и… следовательно, она не заслуживает внимания Академии». Михаил Васильевич Остроградский был математик хотя и несколько приземлённый, но знаменитый (и даже заслуженно знаменитый), и его мнение пользовалось высоким авторитетом. Провинциала же Лобачевского в столицах никто не знал. К отзыву Остроградского прислушались. И в 1834 г. в журнале Ф. В. Булгарина «Сын отечества» появился издевательский пасквиль, подписанный двумя буквами «С. С». Вот цитата из него:

Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какой-нибудь серьёзной целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю! Если не учёность, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего.

Слава «Коперника геометрии» пришла к Лобачевскому посмертно, накануне столетнего юбилея. Уважение вызывает его преданность научной истине, бесстрашие в её отстаивании и стойкость в перенесении невзгод.

В июне 1981 г. я посетил могилу Лобачевского на церковной аллее Арского кладбища в Казани и обнаружил её в довольно запущенном состоянии. Поставленный в своё время крест был похищен или разрушен, от него сохранился только постамент, и на нём стоял стандартный дешёвый крест из металлических труб и прутьев, такие кресты и ныне можно видеть на наших кладбищах.

Лесков в «Левше» описал судьбу русского гения. Именно усилиями Лобачевского Казанский университет стал одним из лучших учебных заведений России. Двадцатого ноября 1845 г. Лобачевский был в шестой раз утверждён в должности ректора на новое четырёхлетие. Тем не менее летом 1846 г. Лобачевского уволили с должности ректора, а весной 1847 г. – с должности профессора. Он тяжело переживал этот страшный удар. Формально Лобачевский получил даже повышение – был назначен помощником попечителя учебного округа, однако жалованья ему не назначили. Наступили годы увядания. Вскоре Лобачевский разорён, имение его жены продаётся за долги. В 1852 г. умирает старший сын Лобачевского. Здоровье его самого подорвано, он сильно одряхлел, стал слепнуть и к концу жизни ослеп совершенно. Но и лишённый зрения, Лобачевский не переставал приходить на экзамены, на собрания и учёные диспуты и не прекращал заниматься наукой. За год до смерти он закончил свой последний труд «Пангеометрия», диктуя его ученикам. Разбитый жизнью и больной, он умер в феврале 1856 г., не дожив совсем немного до признания его теории.

Толчок к признанию дала публикация дневников и писем Гаусса, последовавшая за его кончиной в 1855 г. Рассыпанные в них восторженные отзывы о Лобачевском всколыхнули математический мир. О Лобачевском заговорили, стали искать его работы. В Казань из университетов Европы полетели просьбы прислать его сочинения. Потребовалось срочное переиздание всех его геометрических трудов, а позже из журналов были извлечены статьи Лобачевского и по другим математическим темам. «Чем Коперник был для Птолемея, тем был Лобачевский для Евклида. Между Коперником и Лобачевским существует поучительная параллель. Коперник и Лобачевский – оба славяне по происхождению. Каждый из них произвёл революцию в научных идеях. Величие каждой из этих революций настолько огромно, что оно может быть сравнено лишь с величием другой. Причина чрезвычайной важности этих революций заключается в том, что они изменили наше понимание космоса», – писал знаменитый английский геометр и философ Уильям Клиффорд[64]64
  Уильям Клиффорд (William Kingdon Clifford, 1845–1879) – один из основоположников векторного исчисления, автор терминов «ротор» и «дивергенция», предвосхитивший Эйнштейна в предположении, что гравитация имеет геометрическую природу.


[Закрыть].

Что касается Бойаи, то открытие им неевклидовой геометрии привело его к повреждению в психике. Судя по всему, он был довольно амбициозен. Янош с детства был весьма одарён и рос вундеркиндом. В 13 лет он овладел дифференциальным и интегральным исчислением и аналитической механикой. Он играл на скрипке и говорил на девяти иностранных языках, в том числе на китайском и на тибетском. Окончив в 1822 г. обучение в венской Инженерной академии (пройдя за четыре года семилетний курс), он в сентябре 1823 г. поступил в инженерные войска; на военной службе пробыл 11 лет и имел славу лучшего фехтовальщика и танцора во всей австро-венгерской армии. При этом он никогда не курил и не пил ничего крепкого, даже кофе. Ни одного достоверного портрета Яноша Бойаи до нас не дошло.

Создавать неевклидову геометрию Бойаи начал в 17 лет, а 3 ноября 1823 г. написал отцу, что открыл удивительные вещи, сотворил другой, новый мир. Но лишь в 1832 г. результаты исследований Бойаи были опубликованы – как тогда было принято, на латыни. Полное название единственного (!) опубликованного сочинения Бойаи таково: «Appendix. Scientiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI Euclidei (a priori haud unquam decidenda) independentem; adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica» [ «Приложение. Содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности и ложности XI аксиомы Евклида[65]65
  Напомним, что в 11-й аксиоме (чаще называемой 5-м постулатом) Евклида говорится о свойстве параллельности в евклидовой геометрии.


[Закрыть] (что априори никогда решено быть не может); с прибавлением к случаю ложности геометрической квадратуры круга»]. «Математический энциклопедический словарь» (М., 1988, с. 669) отмечает, что изложение «отличается крайней сложностью и схематичностью, но по продуманности каждого слова и обозначения принадлежит к числу наиболее совершенных произведений математической литературы». Указанные сложность и схематичность, а также чрезвычайная сжатость (изложение занимало 24 с.) явно не способствовали популяризации идей Бойаи: надо было быть Гауссом, чтобы их понять. Кроме того, трактат не вышел отдельным изданием, а был опубликован в качестве приложения к книге Бойаи-старшего (отсюда и общепринятое краткое название – Appendix, т. е. «Приложение»). Не получив публичной поддержки Гаусса да ещё и узнав о его заявлении, что сообщённое ему открытие он сделал раньше, младший Бойаи впал в полное отчаяние. Он заподозрил Гаусса в попытке украсть его результаты и присвоить приоритет. Но сильнейший удар ждал его впереди. В 1848 г. Бойаи ознакомился с упомянутым выше сочинением Лобачевского Geometrische Untersuchungen, из первых же строк которого явствовало, что русский математик обнародовал неевклидову теорию раньше, в 1829 г. Это доконало Яноша. Он даже заподозрил, что Лобачевский – вымышленное лицо, выдумка хитроумного интригана Гаусса. Это уже был явный симптом психического нездоровья, на которое сдержанно намекает «Математический энциклопедический словарь»: «Открытия Бойаи при жизни признания не получили, что отразилось на его психике».

В геометрии Лобачевского – Бойаи много непривычного для нас, воспитанных на учении Евклида. Например, сумма углов своя у каждого треугольника, и притом она всегда меньше 180°. Достаточно взглянуть на утверждение, использованное Лежандром, и другие приведённые выше равносильные формулировки аксиомы о параллельных, чтобы осознать: ни одно из них не имеет места в гиперболической геометрии (хотя все другие аксиомы евклидовой геометрии выполняются). Вот какое суждение высказал Гаусс в упомянутом письме Тауринусу от 8 ноября 1824 г.:

Предположение, что сумма углов треугольника меньше чем 180°, приводит к странной геометрии, совершенно отличной от нашей, но совершенно непротиворечивой. ‹…› Три угла треугольника становятся сколь угодно малыми, если только стороны взять достаточно большими, хотя площадь треугольника никогда не может превзойти и даже достигнуть некоторого предела, сколько бы большими ни были стороны.

Кажется естественным вопрос, какая же из аксиом всё-таки истинна – Евклида или Лобачевского. Тот раздел труда Лобачевского «О началах геометрии», который был опубликован в 1830 г. в части XVIII «Казанского вестника» (с. 251–283), начинается такими словами, в которых мы изменили лишь орфографию и пунктуацию:

Изложенная нами теория параллельных предполагает линии с углами в такой зависимости, которая, как после увидим, находится или нет в природе, доказать никто не в состоянии. По крайней мере наблюдения астрономические убеждают в том, что все линии, которые подлежат нашему измерению, даже расстояния между небесными телами, столько малы, что в сравнении с линиею, принятою в данной теории за единицу, употребительные до сих пор уравнения прямолинейной Тригонометрии без чувствительной погрешности должны быть справедливы.

Здесь мы вынуждены обратиться к проблемам философским. Прежде всего надо понять, что значит «истинна». Казалось бы, ясно: истинна – значит соответствует реальному положению вещей. Как там, в реальном мире, одна параллельная прямая или много? А никак, потому что в реальном мире вообще нет прямых, как нет и других объектов геометрии. Геометрических шаров, например, в природе не бывает, а бывают лишь предметы, приближающиеся по форме к геометрическому шару; при этом арбуз в меньшей степени шар, чем волейбольный мяч, а мяч – в меньшей степени, чем бильярдный шар или шарик подшипника. С прямыми дело обстоит ещё сложнее: ведь прямая бесконечна, а все примеры, которые мы можем предъявить, будь то линия, начерченная на песке либо на бумаге, или натянутая нить, или граница между стеной и потолком, – все они демонстрируют нам (опять-таки, разумеется, приблизительно) лишь ограниченные, конечные участки прямых линий, т. е. то, что на языке современной геометрии называется отрезками. Да и отрезков в точном геометрическом смысле в природе не существует: самая тонкая нить имеет толщину, самая гладкая поверхность лишь приближается к идеально ровной, а под электронным микроскопом выглядит как рябь. Луч света и тот искривляется в реальном пространстве. Для формирования же представления о бесконечной прямой одного только наглядного способа недостаточно – требуется ещё и воображение. От зарождения геометрии прошли тысячелетия, пока люди осознали, что мы не можем непосредственно наблюдать точки, прямые, отрезки, плоскости, углы, шары и прочие геометрические объекты и потому предметом геометрии служит не реальный мир, а мир воображаемый, населённый этими идеальными геометрическими объектами, всего лишь похожий на мир реальный (по терминологии некоторых философских школ, являющийся отражением реального мира).

«Поверхности, линии, точки, как их определяет Геометрия, существуют только в нашем воображении», – писал в 1835 г. Лобачевский во вступлении к своему сочинению «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (впервые оно было опубликовано в четырёх номерах «Учёных записок Казанского университета» за 1835, 1836, 1837 и 1838 гг.). Аксиомы геометрии как раз и уточняют свойства этих существующих в нашем воображении понятий. Значит ли это, что мы можем сформулировать какие угодно аксиомы? Нет, если мы хотим, чтобы геометрические понятия отражали наши представления о реальном физическом пространстве. Потому что, хотя точки, прямые, поверхности не существуют реально, некие физические объекты и явления, приводящие к этим понятиям, безусловно, существуют (если вообще признавать реальное существование окружающего нас мира). Поэтому вопрос надо ставить так: какая из аксиом, Евклида или Лобачевского, точнее описывает те представления о структуре реального физического пространства, которые отражаются в геометрических образах? Строгий ответ на этот вопрос таков: неизвестно. Однако можно с уверенностью утверждать, что в доступных нашему наблюдению областях пространства евклидова геометрия соблюдается с высокой степенью точности. Так что, говоря о неизвестности, мы имеем в виду очень большие области пространства. Дело в том, что в геометрии Лобачевского отличие суммы углов треугольника от 180° тем больше, чем длиннее стороны этого треугольника; поэтому, чем больше треугольник, тем больше надежды заметить данное отличие – и тем самым подтвердить на практике аксиому Лобачевского. Отсюда возникает мысль измерять треугольники с вершинами в звёздах (недаром упомянутый выше Швейкарт называл звёздной геометрию, впоследствии предложенную Лобачевским). Такими измерениями занимался сам казанский ректор («И он вгляделся пристальней в безоблачную высь…»), но точность измерительных приборов оказалась недостаточной, чтобы уловить отклонение суммы углов треугольника от суммы двух прямых углов, даже если таковое отклонение и существует.

Чтобы пояснить, как это может быть, что для меньших участков пространства действует одна геометрия, а для бóльших – другая, воспользуемся следующей аналогией. При составлении плана местности нет нужды учитывать шарообразность Земли – именно потому, что участок, план которого снимается, невелик. Поэтому, когда имеешь дело со сравнительно небольшими участками, разумно исходить из того, что Земля – плоская, оттого это заблуждение так долго держалось. При составлении же карты России шарообразность Земли не брать в расчёт нельзя, а при тонких расчётах приходится иметь в виду, что Земля есть эллипсоид (а точнее, геоид). При ружейной стрельбе можно проследить на карте местности траекторию пули, приложив линейку к двум точкам, отмечающим положение стрелка и цели. Но маршрут самолёта, совершающего дальний перелёт по кратчайшей линии, на плоской карте выглядит как дуга. Аналогично евклидова геометрия хорошо работает в малых масштабах, т. е. на доступных нам участках пространства. Мы не знаем, что происходит в масштабах очень больших. В рассказе Уэллса «История Платтнера» его герой Готфрид Платтнер проделывает некое фантастическое путешествие, после чего возвращается зеркально перевёрнутым. Уэллс объясняет это явление выходом в другой мир, в четвёртое измерение. Теоретические представления о возможной геометрической структуре Вселенной не исключают того, что путешествие, приводящее к зеркальному отражению путешественника, может быть совершено и без выхода из нашего трёхмерного мира. Мы вернёмся к этому в главе 12.

Но что же представляют собой идеальные геометрические объекты: точки, прямые, углы, плоскости и т. п., отражающие наши представления о физической реальности? И в каком смысле они подчиняются аксиомам? Проще всего объяснить это с помощью хотя и искусственной, но поучительной аналогии. Выпишем следующие четыре утверждения:

(1) Для каждых двух куздр существует бокр, которого они будлают.

(2) Две различные куздры не могут будлать вместе более одного бокра.

(3) Существуют три куздры, для которых нет такого бокра, которого все они будлают.

(4) Каж дого бокра будлают по меньшей мере две куздры.

Что такое куздры, бокры, будлать, оставляется неразъяснённым. Оказывается, однако, что разъяснения и не требуются для выведения из этих утверждений определённых заключений, т. е. таких, которые непременно являются истинными при условии истинности всех четырёх исходных посылок. Убедимся, например, что (5) два различных бокра не могут одновременно быть будлаемы более чем одной куздрой. В самом деле, если бы таких куздр было две, то они совместно будлали бы двух наших бокров, что запрещено утверждением (2). Для собственного развлечения читатель может доказать, например, такой факт: (6) для каждых двух куздр найдётся такая третья куздра, что нет бокра, которого будлали бы все эти три куздры.

Итак, что мы имеем? Мы имеем какие-то объекты (в данном случае – куздры и бокры) и отношения между ними (в данном случае – отношение будлания). Относительно этих объектов и отношений нам не известно ничего, кроме некоторых их свойств, сформулированных в заявленных утверждениях, в данном случае – в утверждениях (1) – (4). Эти заявленные утверждения суть не что иное, как аксиомы (в данном случае – аксиомы куздроведения). Они используются для того, чтобы, принимая их в качестве истин, выводить из них теоремы, т. е. дальнейшие утверждения о наших объектах и отношениях (одну теорему куздроведения мы доказали, другую предложили доказать читателю). Так строится любая аксиоматическая теория, в частности геометрия. Ограничимся для простоты планиметрией, т. е. геометрией плоскости, не выходя в трёхмерное пространство. Основные объекты планиметрии суть точки и прямые. Основных отношений четыре:

(1) отношение инцидентности между точками и прямыми – точка и прямая могут быть или не быть инцидентны друг другу (в школьной геометрии употребляется более приземлённая терминология: когда точка и прямая инцидентны, говорят, что «точка лежит на прямой» или же «прямая проходит через точку»);

(2) отношение «между», связывающее тройки точек, – из трёх точек, лежащих на одной прямой, одна, произвольно выбранная, может находиться или не находиться между двумя другими;

(3) – (4) отношение конгруэнтности отрезков и отношение конгруэнтности углов – два отрезка или два угла могут быть или не быть конгруэнтны друг другу. (Когда-то в наших школах не боялись слова «конгруэнтны»; сейчас, к сожалению, это слово велено заменить на «равны». Почему к сожалению? А потому, что в виду имеется не отношение между длинами отрезков или величинами углов (и те и другие действительно равны, если соответствующие отрезки или углы конгруэнтны), а отношение между отрезками и между углами как геометрическими фигурами. А каждая сущность, геометрическая фигура в частности, может быть равна только самой себе.)

Аксиоматическое построение геометрии не предполагает разъяснения того, что такое точки, прямые и названные отношения. Вместо этого формулируются аксиомы, в которых указывается, каким законам подчиняются точки, прямые, инцидентность, отношение «между», конгруэнтность отрезков и конгруэнтность углов. Из этих аксиом и выводятся теоремы геометрии. Говоря формально, аксиомы могут быть какими угодно, лишь бы они не противоречили друг другу. Но ежели мы желаем, чтобы теория описывала реальность, то, как уже отмечалось, и аксиомы, связывающие идеальные объекты и отношения теории, должны отражать свойства тех сущностей реального физического мира, отражением каковых служат указанные идеальные объекты и отношения, положенные в основу теории. В частности, отношение конгруэнтности геометрических фигур должно отражать возможность совмещения одной фигуры с другой посредством перемещения.