Текст книги "Апология математики (сборник статей)"

Глава 6
Массовые задачи и алгоритмы

В который уже раз подчеркнем, задача – это всегда требование что-то найти, построить, указать. В школе это «что-то» обычно называют ответом, а систему рассуждений, приводящую к ответу, – решением. Во «взрослой» математике ответ чаще всего тоже называют решением. Таким образом, термин «решение» обозначает сразу и действие, и его результат. Ситуация эта отнюдь не уникальна: слово «пение», например, означает и процесс извлечения звуков, и сами звуки. К путанице подобная многозначность, как правило, не приводит. Всё расставляет по местам контекст. Так что договоримся употреблять «взрослую» терминологию.

В замечательной одноактной пьесе «Урок» Эжена Ионеско есть такой диалог, который мы приведём с купюрами.

Учитель. ‹…› Сколько будет, ну, скажем, если три миллиарда семьсот пятьдесят пять миллионов девятьсот девяносто восемь тысяч двести пятьдесят один умножить на пять миллиардов сто шестьдесят два миллиона триста три тысячи пятьсот восемь?

Ученица (отвечает немедленно). Это будет девятнадцать квинтиллионов триста девяносто квадриллионов два триллиона восемьсот сорок четыре миллиарда двести девятнадцать миллионов сто шестьдесят четыре тысячи пятьсот восемь. ‹…›

Учитель (сосчитав в уме, с нарастающим изумлением). Да… Вы правы… ответ действительно… (невнятно бормочет) квадриллионов… триллионов… миллиардов… миллионов… (разборчиво) сто шестьдесят четыре тысячи пятьсот восемь… (Ошеломлённо.) Но каким образом вы это вычислили, если вам недоступны простейшие приемы арифметического мышления?

Ученица. Очень просто. Поскольку я не могу положиться на своё арифметическое мышление, я взяла и выучила наизусть все результаты умножения, какие только возможны[46]46
  Пер. с фр. Н. Мавлевич.


[Закрыть].

Всех результатов умножения бесконечно много, так что выучить их наизусть нет никакой возможности. Да это и не нужно: Ионеско справедливо утверждает устами Учителя из своей миниатюры, что «математика – заклятый враг зубрёжки». (Кстати, теоретическая невозможность выучить все результаты получила в приведённом диалоге и экспериментальное подтверждение. Дело в том, что Ученица дала неправильный ответ: правильным ответом является число 19 389 602 947 179 164 508, а ею названо число 19 390 002 844 219 164 508. Не берусь судить, получил ли этот факт должное отражение в ионесковедении[47]47
  Сдержанность в этом вопросе российского ионесковедения объясняется, возможно, тем, что в некоторых русских переводах (например, вошедшем в книгу: Ионеско Э. Носорог: Пьесы и рассказы / Пер. с фр. – М., 1991. – C. 208) приведены иные цифры, нежели во французском оригинале. Мы сверили этот перевод с двумя изданиями, выпущенными в 1954 г. известным парижским издательством «Галлимар» (Gallimard): 1) Ionesco E. Théâtre. V. 1. P. 73 и 2) Ionesco E. La cantatrice chauve, suivi de La leçon. P. 114. Для полной ясности приведём французский текст. Вопрос Учителя звучит так: «‹…› Combien font, par exemple, trois milliards sept cent cinquante-cinq millions neuf cent quatre-vingt-dix-huit mille deux cent cinquante et un, multiplié par cinq milliards cent soixantedeux millions trois cent trois mille cinq cent huit?» На что Ученица сразу же отвечает: «Ça fait dix-neuf quintillions trois cent quatre-vingt-dix quadrillions deux trillions huit cent quarante-quatre milliards deux cent dix-neuf millions cent soixante-quatre mille cinq cent huit. ‹…›


[Закрыть].)

Но мы ведь умеем умножать. Это потому, что ещё в начальной школе нас учат некоторому общему способу умножения любых целых чисел, а именно умножению столбиком. Любой человек, им овладевший, имеет право заявить, что теперь готов умножить друг на друга любые два натуральных числа – и не потому, что выучил все результаты (что, повторим, невозможно), а именно потому, что указанный способ позволяет найти требуемый результат для любой пары сомножителей.

Пример с умножением даёт представление о массовых задачах. Массовая задача образуется в результате совместного рассмотрения серии однотипных единичных задач. В случае умножения каждая единичная задача состоит в указании пары конкретных чисел (например, тех, которые были названы Ученице Учителем) и требовании найти их произведение. Это произведение является решением предложенной единичной задачи. Массовая же задача состоит здесь в требовании указать некий метод, позволяющий найти произведение для каждой отдельной пары чисел.

Другой простой пример. Требуется решить квадратное уравнение x2 − 13x + 30 = 0. Это единичная задача, и её решением служит пара чисел 3 и 10. А вот изучаемая в средней школе задача решения произвольного квадратного уравнения является массовой, и её решением служит всем известная (по крайней мере она должна быть всем известна) формула, дающая решение для любого конкретного квадратного уравнения.

Остановим свой взгляд на какой-нибудь массовой задаче и посмотрим, чем различаются составляющие её единичные задачи. Мы видим, что они различаются своими исходными данными. Для каждой единичной задачи умножения исходным данным служит конкретная пара чисел. А для каждой единичной задачи на решение квадратного уравнения исходное данное – это конкретное квадратное уравнение. Решением же массовой задачи является общий метод, дающий решение для каждой из составляющих её единичных задач. Если предложенный общий метод состоит в последовательности строго детерминированных операций, ведущих от исходных данных к результату, он называется конструктивным, или эффективным, или алгоритмическим, или, ещё короче, алгоритмом. Таким образом, можно говорить об алгоритме сложения столбиком, об алгоритме умножения столбиком, об алгоритме решения квадратных уравнений и т. п. Алгоритмы играют в математике – да и во всей нашей жизни – большую роль, особенно в связи с развитием компьютерной технологии.

Само слово «алгоритм» достаточно интересно: это, возможно, единственный математический термин, произошедший от географического названия – Хорезм. Это название носили историческая область и древнее государство в Средней Азии в низовьях реки Амударьи. В конце VIII – первой половине IX в. здесь жил замечательный ученый Мухаммед бен Муса аль-Хорезми (аль-Хорезми буквально означает «из Хорезма»). Он предложил некоторые методы решения арифметических задач, и на его авторитет ссылались средневековые европейские авторы, писавшие, как это было принято, на латыни. Начиная с XII в. его имя транслитерировалось как Algoritmi. Отсюда и пошёл термин «алгоритм». Поиски общего метода для решения массовой задачи велись со времён Античности. Однако впервые ясное понимание алгоритма в качестве самостоятельной сущности встречается лишь в 1912 г. в трудах великого французского математика Эмиля Бореля.

Понятие алгоритма – одно из центральных в математике. Программа для компьютера есть не что иное, как запись алгоритма на одном из так называемых языков программирования. Прорыв в осмыслении этого важнейшего понятия произошёл в 1936 г., когда независимо друг от друга Алонзо Чёрч в Америке и Алан Тьюринг в Великобритании предложили математические уточнения понятия алгоритма (каждый своё) и на основе этих уточнений предъявили первые примеры массовых проблем, неразрешимых алгоритмически, в числе которых оказалась и очень знаменитая, стоявшая с 1915 г. так называемая проблема разрешения (das Entscheidungsproblem), считавшаяся главной в математической логике. Поясним, что термины «проблема» и «задача» для нас синонимы и что массовая проблема считается алгоритмически неразрешимой, если не существует решающего её алгоритма, т. е. такого единого алгоритма, который позволял бы находить решение для каждой из тех единичных проблем, которые и составляют рассматриваемую массовую проблему.

Алгоритмически неразрешимые проблемы, указанные Чёрчем и Тьюрингом, слишком сложны, чтобы их здесь формулировать. Сейчас мы приведём достаточно простой пример такой проблемы. Разумеется, мы вынуждены ограничиться её формулировкой и не приводить ни доказательства её неразрешимости, ни даже намёка на него. Пример этот покажет, что массовые проблемы, для решения которых алгоритма нет, лежат совсем близко к повседневной жизни.

Для большей наглядности изложим наш пример в терминах некой игры. Любезный читатель согласится, что такая игра вполне мыслима в нашу эпоху пиара, рекламных акций, казино и игровых автоматов.

Игровыми принадлежностями будут служить пластинки, похожие на костяшки, что используются при игре в домино. Как и костяшка домино, каждая пластинка разделена пополам чертой. В каждой половине что-то написано. Отличие от домино заключается в том, чтó именно написано. В случае домино в каждой из половин точками фиксируется число очков от 0 до 6. В нашем случае в каждой из половин записывается цепочка из букв x и z. Вот примеры таких цепочек. Цепочки длины один: x, z. Цепочки длины два: xx, xz, zx, zz. Цепочки длины три: xxx, xxz, xzx, xzz, zxx, zxz, zzx, zzz. Возможна и цепочка длины ноль, в этом случае не записано ничего. А вот одна из 128 цепочек длины семь: zxzxxxz. Возможный вид пластинок изображён на рис. 1.

Изображённые на рис. 1 четыре пластинки, в том порядке, как они показаны, обозначим – для дальнейших ссылок – буквами A, B, C, D. Если приложить одну пластинку к другой, но не торцами, как при игре в домино, а боками, то в результате получим две строчки букв: одну сверху, другую снизу. Так, прикладывая A к D (слева D, справа A), получаем zzzx сверху и zzx снизу. Если приложить в другом порядке, получим xzzz сверху, zxz снизу. Аналогично можно прикладывать друг к другу несколько пластинок и считывать верхнюю и нижнюю строчки букв. Более того, каждую пластинку разрешается воспроизводить в неограниченном количестве и создавать сочетания из повторяющихся пластинок, такие, например, как AACA. В этом примере верхней строчкой будет xxxzx, а нижней – zxzxzzzx. Прошу у читателя прощение за долгое вступление, но хотелось бы, чтобы всё было предельно ясно.

Теперь – сама игра. Она состоит в следующем. В средствах массовой информации объявляется некоторый конкретный набор пластинок. Далее предлагается, воспроизводя каждую из пластинок набора в необходимом количестве, приложить пластинки друг к другу так, чтобы верхняя и нижняя строчки совпали друг с другом. Первым пяти приславшим решения будет выплачен внушительный приз.

Поясним сказанное на примерах. Пусть объявленный набор содержит всего только одну пластинку A из приведённого выше перечня. Ясно, что решение невозможно, потому что, сколько раз ни прикладывай пластинку A саму к себе, нижняя строка всегда окажется длиннее верхней. По сходной причине решения не существует, если объявленный набор состоит из одной только пластинки D, только тут длиннее будет верхняя строка. Желающие могут попытаться доказать, что решения не существует и в том случае, когда объявленный набор состоит из двух пластинок A и D. А вот если объявить набор из всех наших четырёх пластинок A, B, C и D, то решение существует. Действительно, если сложить пластинки в таком порядке: DBCDA, – то и верхняя, и нижняя строка окажутся одинаковы: zzzxxzzzzx.

Итак, набор объявлен. Все хотят получить приз. Но, прежде чем пытаться найти такое расположение пластинок, при котором верхняя и нижняя строки окажутся одинаковыми, желательно узнать, возможно ли такое расположение в принципе. Ведь если оно невозможно, то бесперспективно его искать, это будет пустой потерей времени. Так вот, оказывается, что не существует никакого эффективного способа это узнать. Не существует такого алгоритма (он не просто неизвестен – его нет), который позволял бы для любого объявленного набора пластинок узнать, имеется ли решение, т. е. можно или нельзя сложить пластинки требуемым образом. Узнать, к какой из двух категорий относится каждый отдельно взятый набор пластинок – к той, для которой решения имеются, или же к той, для которой решений нет, – это сугубо творческая задача, своя для каждого набора, а общий метод нахождения ответа для всех таких задач отсутствует.

Глава 7
Парадокс Галилея, эффект Кортасара и понятие количества

 
Мне áлеф-ноль сияет в вышине,
Как лишь песцы сияют голубые,
И я ищу спасения от змия
В теории Георга, как в вине.
 

Из студенческого фольклора

В детстве меня иногда посещал кошмар. Мне представлялось большое число стульев (наглядно – в виде рядов в партере летнего театра). И вот их начинают пересчитывать. Получают некоторое число. Затем пересчитывают в другом порядке и получают другое число. Кошмар заключался в том, что оба числа верны.

Только в университете я узнал, что невозможность описанного составляет предмет особой и притом не слишком просто доказываемой теоремы. А потом прочёл «Записи в блокноте» Хулио Кортасара. Там говорилось о произведённой в 1946-м или 1947 г. операции по учёту пассажиров на одной из линий метро Буэнос-Айреса:

‹…› Было установлено точное количество пассажиров, в течение недели ежедневно пользующихся метро. ‹…› Учёт производился с максимальной строгостью у каждого входа и выхода. ‹…› В среду результаты исследований были неожиданными: из вошедших в метро 113 987 человек на поверхность вышли 113 983. Здравый смысл подсказывал, что в расчётах произошла ошибка, поэтому ответственные за проведение операции объехали все места учёта, выискивая возможные упущения. ‹…› Нет необходимости добавлять, что никто не обнаружил мнимой ошибки, из-за которой предполагались (и одновременно исключались) четверо исчезнувших пассажиров.

В четверг всё было в порядке: сто семь тысяч триста двадцать восемь жителей Буэнос-Айреса, как обычно, появились, готовые к временному погружению в подземелье. В пятницу (теперь, после принятых мер, считалось, что учёт ведется безошибочно) число людей, вышедших из метро, превышало на единицу число вошедших[48]48
  Пер. с исп. А. Борисовой.


[Закрыть].

При дальнейшем чтении я, к сожалению, обнаружил, что Кортасар предлагает некое рациональное объяснение изложенного им парадокса; в этом очевидное отличие Кортасара от его старшего соотечественника Борхеса (влияние коего Кортасар, несомненно, испытал): Борхес не стал бы искать рационального оправдания. «К сожалению» сказано потому, что поначалу мне показалось, будто в рассказе выражена глубокая идея о возможности, хотя бы в фантазии, следующего эффекта: при очень большом количестве предметов это количество не меняется при добавлении или убавлении сравнительно небольшого их числа. И хотя, повторяю, я ошибался, когда приписывал Кортасару открытие и опубликование этого воображаемого эффекта, давайте всё же будем называть его для краткости эффектом Кортасара, следуя принципу, установленному нашим выдающимся математиком Владимиром Игоревичем Арнольдом: если какое-либо явление или утверждение носит чьё-либо имя, то это означает, что оно не имеет своим автором носителя этого имени. Предположение, что эффект Кортасара имеет отношение не только к фантазиям, но и к реальности, может показаться бредом, но, как будет показано ниже, скрывающееся за этим названием явление действительно имеет место, если очень большое становится бесконечным.

Бесконечное вообще следует – в понятийном аспекте – трактовать как упрощённое представление о конечном, но очень большом. А бывает ли вообще бесконечное количество предметов? Бывает ли оно в физической реальности, никто не знает. Количество звёзд во Вселенной – конечно оно или бесконечно? Мнения расходятся, и проверить, кто прав, довольно затруднительно. В реальности же идеальной – да, бывает. Например, бесконечен натуральный ряд, т. е. ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, …. Предуведомим для ясности, что в этой главе, вплоть до особого предупреждения, никаких других чисел мы рассматривать не будем, а потому натуральные числа будут именоваться просто числами.

Натуральный ряд представляет собой, пожалуй, наиболее простой пример бесконечной совокупности, или, как говорят математики, бесконечного множества. И уже в нём можно наблюдать некоторые парадоксальные явления: в частности, нарушение древней философемы «Целое больше части». На это обратил внимание Галилей, описавший ситуацию с полной отчётливостью и наглядностью. В 1638 г. вышла его книга «Беседы и математические доказательства…». Изложение в духе того времени выглядело как запись бесед, которые в течение нескольких дней вели между собою вымышленные персонажи. В первый же день была затронута тема бесконечности, в том числе применительно к натуральному ряду. Послушаем, чтó говорят участники беседы.

Сальвиати. ‹…› Мне пришёл в голову пример, который я для большей ясности изложу в форме вопросов, обращённых к синьору Симпличио, указавшему на затруднения. Я полагаю, что вы прекрасно знаете, какие числа являются квадратами и какие нет.

Симпличио. Я прекрасно знаю, что квадратами являются такие числа, которые получаются от умножения какого-либо числа на само себя; таким образом, числа четыре, девять и т. д. суть квадраты, так как они получаются от умножения двух и соответственно трёх на самих себя.

Сальвиати. Великолепно. Вы знаете, конечно, и то, что как произведения чисел называются квадратами, так и образующие их, т. е. перемножаемые, числа носят название сторон, или корней; другие числа, не являющиеся произведениями двух равных множителей, не суть квадраты. Теперь если я скажу, что количество всех чисел вместе – квадратов и неквадратов – больше, нежели одних только квадратов, то такое утверждение будет правильным, не так ли?

Симпличио. Ничего не могу возразить против этого.

Сальвиати. Если я теперь спрошу вас, каково число квадратов, то можно по справедливости ответить, что их столько же числом, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень – свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня и ни один корень – более одного квадрата.

Симпличио. Совершенно верно.

Сальвиати. Но если я спрошу далее, каково число корней, то вы не станете отрицать, что оно равно количеству всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какого-либо квадрата; установив это, приходится сказать, что число квадратов равняется общему количеству всех чисел, так как именно таково количество корней, каковыми являются все числа. А между тем ранее мы сказали, что общее количество всех чисел превышает число квадратов, так как бόльшая часть их не является квадратами.

«Что же нужно сделать, чтобы найти выход из такого положения?» – в растерянности спрашивает ещё один участник беседы, Сагредо. Возможны два выхода. Первый состоит в том, чтобы отказаться от сравнения бесконечных количеств по их величине и признать, что, рассматривая два таких количества, не следует даже и спрашивать, равны ли они, первое ли больше второго, второе ли больше первого, – и то и другое бесконечно, и этим всё сказано. Такой выход и предлагает Галилей устами Сальвиати. Но возможен и другой выход. Можно предложить общую схему сравнения любых количеств по их величине. В случае конечных количеств эта схема не будет расходиться с привычными для нас представлениями. Для количеств бесконечных она тоже, если вдуматься, не будет им противоречить, хотя бы потому, что каких-либо привычных схем оперирования с бесконечностями у нас нет. Именно этот второй выход и принят в математике. Забегая вперёд, укажем, что если к квадратам добавить сколько угодно неквадратов, то полученная расширенная совокупность чисел будет равна по количеству исходной совокупности квадратов (эффект Кортасара). Можно, в частности, добавить все неквадраты и получить таким образом совокупность всех чисел. Оказывается, количество всех чисел действительно равно количеству квадратов, хотя квадраты составляют только часть чисел. Это явление – равенство по количеству совокупности и её собственной части – для конечных совокупностей невозможно, для совокупностей же бесконечных возможно, и сама эта возможность может служить одним из определений бесконечности.

Только что изложенное свойство бесконечных совокупностей не столь трудно для понимания, как может показаться. И сейчас мы попытаемся его объяснить. Сама логическая конструкция проста, изящна и поучительна. Мы надеемся, что читатель согласится включить её в свой интеллектуальный багаж, причём в качестве носимой с собой ручной клади, а не тяжеловесного предмета, сдаваемого в багажное отделение.

Для начала перестанем избегать принятого в математике термина «множество», как мы делали до сих пор, стыдливо заменяя его синонимом «совокупность».

Первая глава знаменитой книги Хаусдорфа[49]49
  [Феликс] Хаусдорф (Felix Hausdorff, 1868–1942) – выдающийся немецкий математик, заложивший основы современной общей топологии. Покончил жизнь самоубийством в Бонне, узнав о предстоящей отправке его с семьей в гитлеровский концлагерь.


[Закрыть] «Теория множеств» (Mengenlehre)[50]50
  Её русское издание, выпущенное в 1937 г. Гостехиздатом тиражом 4000 экземпляров, до определённой степени является новой книгой. Оно было не только отредактировано П. С. Александровым и А. Н. Колмогоровым, но и существенно ими дополнено. В середине XX в. для многих российских математиков это издание было настольным руководством.


[Закрыть] открывается такими словами: «Множество возникает путём объединения отдельных предметов (вещей) в одно целое. Оно есть множественность, мыслимая как единство» («Eine Menge entsteht durch Zusammenfassung von Einzeldingen zu einem Ganzen. Eine Menge ist eine Vielheit, als Einheit gedacht»). Далее Хаусдорф замечает, что подобное определение можно по праву назвать определением через самоё себя (idem per idem) или даже определением тёмного через темнейшее (obscurer per obscurium) и что это не столько определение, сколько иллюстрация и указание на первичный характер понятия, которое не сводится ни к чему более простому. «Однако, – пишет он о цитированных нами словах, – мы можем трактовать их просто как указания на некоторый первоначальный, всем свойственный акт мышления, который, быть может, и нельзя, а может быть, и не нужно [курсив мой. – В. У.] разлагать на другие, более простые акты». Дать точное определение всем понятиям невозможно, поскольку одни понятия определяются через другие, другие – через третьи и т. д., и мы неизбежно приходим либо к порочному кругу, либо к тупику. Поэтому необходимо должны существовать понятия неопределимые, познаваемые непосредственно материальным или ментальным опытом. В математике к числу их принадлежат понятия натурального числа и множества.

Заметим, что здесь, как и в ряде других случаев, математики используют слово естественного (русского, английского и т. п.) языка не в его обыденном значении, привычном для тех, кто в математике не искушён, а в особом, терминологическом. (В современной алгебре, например, термины «кольцо» и «поле» означают математические структуры с определёнными свойствами.) В обычном понимании русское слово «множество» употребляется, когда чего-то много. Математическое же понятие множества не предполагает, что элементов в множестве много. Множество может состоять из одного-единственного элемента и даже быть пустым, вовсе не имеющим элементов. «Зачем же рассматривать такие патологические образования, как пустое множество?» – спросит читатель. И мы ему ответим: «Это удобно». Мы можем, например, говорить о множестве слонов в зоопарке города N, не зная заранее, есть ли в этом зоопарке хотя бы один слон. Какое множество ни возьми, оно включает в себя и пустое множество: так, среди частей множества всех слонов земного шара присутствует не только множество слонов Московского зоопарка, но и множество слонов любого зоопарка, этих животных не имеющего. Во избежание недоразумений заметим, что пустое множество одно: пустое множество слонов и пустое множество мух представляют собою одно и то же множество. (Совершенно так же, как стакан газировки без вишневого сиропа не отличается от стакана газировки без апельсинового сиропа; сравнение понятно старшему поколению, которое ещё помнит, как газированной водой торговали на улицах советских городов.)

Учение о множествах создал великий немецкий математик и философ Георг Кантор в 1874–1897 гг. О Канторе мы ещё расскажем несколькими строками ниже, а пока заметим, что именно ему принадлежит идея обозначить понятие множества словом со смысловым оттенком 'много'. А именно: он предложил обозначить это понятие немецким словом Menge (имеющим значения 'масса', 'множество', 'большое количество', 'куча', 'груда', а также 'толпа', 'рой', 'стая'), которое стало общепринятым в немецкой математической терминологии. К этому слову Кантор пришёл не сразу, вначале он использовал, причём как синонимы, слова Inbegriff (со значениями 'воплощение', 'олицетворение', 'высшее проявление') и Mannigfaltigkeit (со значениями 'разнообразие', 'разносторонность', 'многосторонность', 'множественность'[51]51
  Сейчас для немецкого Mannigfaltigkeit стандартным русским переводом в математическом контексте служит термин «многообразие».


[Закрыть]). Наконец он остановился на Menge и в 1895 г. так разъяснил своё понимание этого термина: «Под множеством мы понимаем соединение M определенных и вполне различимых объектов m нашего созерцания или мышления (каковые называются элементами M) в одно целое» («Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die «Elemente» von M genannt werden) zu einem Ganzen»[52]52
  Cantor G. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre // Matematische Annalen. 1885. Bd. 46. S. 481. Русские переводы этой и других статей Кантора можно найти в издании: Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985.


[Закрыть]).

Назвав Кантора выше немцем, мы всего лишь последовали укоренившейся традиции. Не вполне ясно, как его надо называть. Отец Кантора родился в Дании, мать – в России. Сам он также появился на свет на русской земле, а именно 3 марта в Санкт-Петербурге (где на календаре в тот день было 19 февраля); в этом городе он провел первые 11 лет своей жизни, о которых вспоминал с ностальгией. Вот, скажем, Пьера Ферма, о котором говорилось выше, в главе 2, можно, не испытывая сомнений, назвать французом: он всегда жил во Франции, ей служил и говорил по-французски; трудно представить, чтобы Ферма ощущал себя кем-то иным, нежели французом. Кем ощущал себя Кантор, загадка. Его биографы указывают, что, хотя свою взрослую жизнь он и прожил в Германии, уютно ему там не было.

Выдающийся российский математик Павел Сергеевич Александров (1896–1982) писал: «Думаю, что во второй половине XIX в. не существовало математика, оказавшего большее влияние на развитие математической науки, чем создатель абстрактной теории множеств Георг Кантор».

Учение о бесконечном далось его автору настолько трудно, что привело его к тяжёлой нервной болезни. В 1884 г. у Кантора начались приступы депрессии, а с 1897 г. он уже не публиковал научных работ. С 1899 г. Кантор становится пациентом неврологических санаториев, а потом и клиник, проводя в них всё больше и больше времени. В одной из таких клиник он и скончался 6 января 1918 г. Любезному читателю это не грозит, поскольку мы ограничимся началами.

Построения Кантора основаны на чрезвычайно простой мысли (которая, как и всякая гениальная мысль, после её осознания кажется очевидной): понятие количества является вторичным по отношению к понятию равенства количеств. Не нужно смущаться тем, что в выражении «равенство количеств» слово «количество» уже присутствует: нас должна интересовать не лингвистическая этимология терминов, а логическая генеалогия понятий. Совершенно так же образованию понятия 'цвет' предшествует формирование представления об одноцветности, хотя слово «одноцветный» происходит от слова «цвет». Можно сказать, что цвет – это то общее, что есть у всех одноцветных предметов, а количество – это то общее, что есть у всех равноколичественных множеств.

Для установления равноколичественности двух множеств вовсе не нужно пересчитывать их элементы, можно вообще не уметь считать. Для примера представим себе двух первобытных людей, один из которых владеет стадом коз, а другой – стадом овец. Они хотят обменяться стадами, но при условии, что те равноколичественны. Счёта они не знают. Но это им и не нужно. Нужно просто связать попарно овец и коз, так чтобы каждая коза была связана ровно с одной овцой, а каждая овца – ровно с одной козой. Успех процедуры и означает равенство количеств. Аналогично нет нужды пересчитывать людей и стулья, чтобы убедиться в одинаковости их количеств. Надо просто посадить людей на стулья, причём так, чтобы на каждом стуле сидел один человек и чтобы никто не занимал двух или более стульев.

Пример из первобытной жизни и пример со стульями приводят нас к важнейшему понятию эквивалентности множеств. Говорят, что два множества эквивалентны, если можно так сопоставить друг с другом их элементы, что каждый элемент первого множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом второго множества и каждый элемент второго множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом первого множества. Такое сопоставление выявляет взаимно однозначное соответствие между рассматриваемыми множествами. Наши скотоводы как раз и осуществили подобное сопоставление, установив тем самым взаимно однозначное соответствие между своими стадами. А синьор Сальвиати установил взаимно однозначное соответствие между множеством всех квадратов и множеством всех чисел. Это соответствие можно наглядно показать посредством следующей бесконечной таблицы:

Чтобы продемонстрировать эффект Кортасара на простом примере, добавим к множеству квадратов какие-нибудь три числа, квадратами не являющиеся: скажем, 7, 23 и 111. Следующая бесконечная таблица демонстрирует взаимно однозначное соответствие между множеством квадратов и расширенным множеством, состоящим из всех квадратов и трёх указанных неквадратов:

Читатель да благоволит изобразить на листе бумаги любые два отрезка и в качестве несложного упражнения убедиться, что множество точек, расположенных на первом отрезке, и множество точек, расположенных на втором отрезке, являются эквивалентными. Решение будет приведено в конце главы.

Но не окажутся ли вообще все бесконечные множества эквивалентны друг другу? Великое открытие Кантора состояло в том, что он обнаружил неэквивалентные бесконечности. Так, одна из его замечательных теорем гласила, что множество всех точек прямой и множество всех натуральных чисел неэквивалентны. Оказалось, что наиболее знакомые нам бесконечные множества подразделяются на два основных рода, причём множества первого рода эквивалентны друг другу, как и множества второго рода, а множества разных родов друг другу неэквивалентны. Множества первого рода называются счётными, к ним относятся: натуральный ряд, любая бесконечная часть натурального ряда (например, множество всех квадратов), множество всех дробей, множество всех мыслимых комбинаций (как ведущих к выигрышу, так и проигрышных) пластинок из четырёхчленного набора, заявленного в игре из предыдущей главы. Множества второго рода именуются континуальными; таковы множество всех точек прямой, множество всех точек плоскости, множество всех окружностей, множество всех частей натурального ряда. Некоторые бесконечные множества не являются ни счётными, ни континуальными, но в «математическом быту» они почти не встречаются.

Позволим себе теперь рассматривать и другие числа помимо натуральных – те, о которых говорилось в главе 4. Хотя каждое рациональное число может быть записано посредством многих дробей, а более точно – бесконечного их количества, множество рациональных чисел оказывается эквивалентным множеству дробей, т. е. счётным. С другой стороны, как известно из курса средней школы, каждому действительному числу можно поставить в соответствие некоторую точку на прямой, и при этом каждая точка будет сопоставлена ровно с одним числом – своей координатой; таким образом, множество точек прямой и множество действительных чисел эквивалентны, и, следовательно, множество действительных чисел континуально. Как указывалось в предыдущем абзаце, континуальность и счётность не могут сочетаться в одном и том же множестве. Поэтому множество рациональных чисел не может совпасть с множеством всех действительных чисел, а отсюда следует, что существуют такие действительные числа, которые не являются рациональными; их называют иррациональными. Стало быть, сам факт существования иррациональных чисел, без указания какого-либо конкретного иррационального числа, может быть выведен из общих рассуждений.