Текст книги "Апология математики (сборник статей)"

На примере куздр, бокров и будлания мы попытались вкратце изложить суть аксиоматического метода. Несколько заключительных замечаний относительно этого примера. Заменим в вышеприведённых аксиомах (1) – (4) слово «куздра» на «точка», слово «бокр» – на «прямая», слово «будлать» – на выражение «лежать на». Аксиома (4) превратится тогда в такое утверждение (4*): на каждой прямой лежат по меньшей мере две точки. Аналогично аксиомы (1), (2) и (3) превратятся в утверждения (1*), (2*) и (3*), которые мы просим любезного читателя образовать самостоятельно. Утверждения (1*) – (4*) составляют в совокупности группу так называемых аксиом связи планиметрии, регулирующих то, как точки связаны с прямыми. Читатель может теперь перевести аксиому о параллельных на язык куздр: для куздры, не будлающей заданного бокра, существует не более одного бокра… (благоволите продолжить). И последнее: странные эти слова мы заимствовали у выдающегося отечественного языковеда Льва Владимировича Щербы, который в 1920-х гг. учил студентов извлекать максимум лингвистической информации из фразы «Глокая куздра штеко будланула бокра и курдячит бокрёнка».

Глава 9
Проблема на миллион долларов

Давно известна классическая формула репортёров: если собака укусила человека, это не новость; другое дело, если человек укусил собаку. (От себя замечу, что иные из репортёров дают сообщение, что человек укусил собаку, и тогда, когда в действительности этого не было.) Сведения о том, что петербургский математик Григорий Перельман решил великую математическую проблему, 100 лет не поддававшуюся решению, начали появляться в российских средствах массовой информации с 2003 г. Но это была ещё не новость. Подлинной новостью, сенсацией – в согласии с приведённой формулой – стало облетевшее СМИ летом 2006 г. и заметное время не сходившее с экранов и страниц известие: Перельман отказался от всех присуждённых ему наград, в частности от миллиона долларов. Корреспондентам, пытавшимся взять у него интервью, Перельман вежливо, но решительно отказал во встрече, сославшись на неуместность шумихи, но прежде всего на то, что должен идти в лес по грибы, – эти причины были названы им в оглашённой по телевидению записи телефонного разговора с домогающимися корреспондентами. Одновременно сообщалось, что проблема не только знаменитая и очень трудная, но и существенная для теоретической физики, а именно для понимания устройства окружающего нас физического пространства.

Пожалуй, со времени вхождения в общекультурный оборот проблемы Ферма ни одна математическая проблема с тянущимся за ней шлейфом обстоятельств не приобретала ни в какой стране такой массовой известности. Математическая проблематика вторглась в общественное сознание. Не следует ли нам утвердить величие великой проблемы, оставив её окружённой ореолом тайны, открытой лишь для посвящённых и полностью недоступной пониманию широкой публики? Не знаю; может быть, и стоит. Тем не менее в следующих главах мы попытаемся в самых общих чертах объяснить читателю-нематематику, в чём состоит проблема.

Но сперва о «шлейфе обстоятельств». Григорию Яковлевичу Перельману, кандидату физико-математических наук, ныне безработному, который, в отличие от якобы доказавших теорему Ферма «академиков» (см. главу 2), в самом деле решил так называемую проблему Пуанкаре, ещё только предстоит отказаться (или не отказаться) от миллиона долларов. До тех пор пока премия не будет ему предложена, Перельман, по его собственным словам, не намерен заниматься решением вопроса, принимать её или нет. Что касается самой этой премии, то расположенный в Массачусетсе частный Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) действительно включил проблему Пуанкаре в список из семи математических «проблем тысячелетия» и за решение каждой из них обещает выплатить миллион. Но выплата происходит по прошествии определённого срока и после специальной экспертизы. В случае проблемы Пуанкаре ни о том, ни о другом, кажется, ещё говорить не приходится. И неясно, придётся ли когда-либо. Дело в том, что к рассмотрению, как правило, принимаются лишь решения, опубликованные в авторитетных изданиях, реферируемых в специальных реферативных журналах. Ни одно из бумажных изданий Перельман публикацией не удостоил и своё решение обнародовал лишь в интернете.

Предыдущий текст был написан до 2010 г. 18 марта 2010 г. институт Клэя присудил Григорию Перельману свой приз[66]66
  См. http://www.claymath.org/sites/default/files/milleniumprizefull.pdf


[Закрыть], от которого Перельман отказался.

Перельман отказался и от медали Филдса.

Математика, как известно, не входит в число наук, за достижения в которых присуждают Нобелевские премии. Неоднократно предпринимались попытки, иногда презабавные, выяснить, почему же Нобель обошёл математиков в своём завещании. Наиболее популярное объяснение сводится к Сherchez la femme. Якобы Нобель не поделил женщину с неким знаменитым шведским математиком, коему, существуй премия по математике, пришлось бы её дать. Однако такие объяснения хоть и привлекательны, но не слишком достоверны.

Медаль Филдса (Fields Medal) в мире математиков считается примерно такой же престижной наградой, как Нобелевская премия – в мире физиков, например. Она как бы заменяет собою эту премию. На лицевой стороне золотого диска изображён рельефный профиль Архимеда, обрамлённый приписываемым ему девизом: «Transire suum pectus mundoque potiri» («Превзойти себя и овладеть миром»), на оборотной – надпись: «Congregati ex toto orbe mathematici ob scripta insignia tribuere» («Математики, собравшиеся со всего света, отдают должное замечательным работам»).

Между медалью Филдса и Нобелевской премией имеются по меньшей мере три различия. Премия присуждается ежегодно, медаль – раз в четыре года, зато награждённых бывает больше – от двух до четырёх. Возраст нобелевских лауреатов не ограничен, и премию зачастую присуждают за достижения весьма и весьма давние. Возраст филдсовских лауреатов лимитирован 40 годами, а потому Уайлс, решивший проблему Ферма в возрасте 41 года, медали не получил; вместо неё председатель Филдсовского комитета торжественно вручил ему специальную серебряную табличку. Наконец, хотя медаль и сопровождается некоей суммой, сумма эта в несколько десятков раз меньше Нобелевской премии.

Медали вручают на проходящем раз в четыре года Международном конгрессе математиков[67]67
  Некоторое представление о том, что думают математики о себе и своей науке, даст читателю следующая цитата из речи президента XVII конгресса: «Почему же тогда мы с вами съехались со всех уголков земли? Что нас объединяет? Наверное, то, что мы ценим узоры абстракций и стремимся к порядку, истине и красоте в мире, полном путаницы, обмана и скверны».


[Закрыть]. Президент Международного математического союза специально прилетал в Петербург, чтобы уговорить Перельмана посетить XXV конгресс, который должен был состояться в Мадриде в августе 2006 г., и получить медаль из рук короля Испании.

Перельман остался непреклонен и на конгресс не поехал.

Это был первый случай отказа от Филдсовской медали. Проблемы и даже скандалы в ходе присуждения и вручения медалей Филдса возникали и раньше. Так, из-за Второй мировой войны не было ни конгрессов, ни присуждений с 1936 по 1950 г. (Последний предвоенный Международный конгресс математиков прошёл в Осло в 1936 г., первый послевоенный состоялся в 1950 г. в Кембридже, штат Массачусетс.) Все последующие недоразумения были вызваны вмешательством советской власти. Например, намеченный на 1982 г. конгресс в Варшаве был перенесён на август 1983 г. из-за объявления в Польше военного положения.

В 1966 г. один из крупнейших математиков XX в. Александр Гротендик (Alexander Grothendieck; 1928–2014) в знак протеста против советской политики в Восточной Европе не приехал в Москву на очередной конгресс, где ему должны были вручить медаль. Церемония вручения проходила в Кремле, во Дворце съездов. Вручавший медали президент Академии наук М. В. Келдыш скороговоркой огласил список лауреатов (так что было непросто разобрать, сколько их) и всех чохом пригласил на сцену, где и раздал медали, уже не повторяя имён. Кто есть ху, понять из зала было невозможно; некоторые могли подумать, что среди вышедших на сцену есть и Гротендик.

В 1970 и 1978 гг. конгрессы состоялись соответственно в Ницце и в Хельсинки. На них должны были получить медали два математика из СССР: в Ницце – Сергей Петрович Новиков (р. 1938; кстати, племянник того самого Келдыша), а в Хельсинки – Григорий Александрович Маргулис (р. 1946). Поездка их за наградой была признана, по советской бюрократической терминологии, «нецелесообразной», так что их не выпустили за пределы СССР. Маргулис был тогда кандидатом наук, и в «Московском комсомольце» (кажется, единственном российском издании, откликнувшемся на присуждение соотечественнику высшей математической награды) появилась статья с замечательной фразой: «И [даже] докторская диссертация на подходе».

Относительно недопущения поездки Маргулиса и отсутствия публикаций о его премии свидетельствует М. И. Монастырский[68]68
  Монастырский М. И. Пятьдесят лет дружбы. Неюбилейные заметки к юбилею Григория Маргулиса // Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 13 (48). М., 2009. С. 321–322.


[Закрыть]:

Как известно, Грише не разрешили поехать в Хельсинки получать Филдсовскую медаль. И это постыдное решение целиком лежит на совести советского математического начальства, а персонально – на И. М. Виноградове и Л. С. Понтрягине, руководителях Национального комитета советских математиков… К слову сказать, у нас (в России) очень любят причитать по поводу недооценки русских учёных на Западе. Но тщательный анализ реальных фактов показывает, что больше всего признанию русских (советских) учёных мешают другие русские (советские) учёные. Сейчас, когда опубликованы соответствующие материалы, известно, с какой яростью протестовал Л. С. Понтрягин против присуждения Грише Филдсовской медали[69]69
  Автор цитаты ссылается здесь на книгу: Lehto Olli. Mathematics without Borders: A History of International Mathematical Union. Springer, 1998. XVI. 399 p.


[Закрыть]. ‹…› Я… решил популяризировать Гришины работы и написать о них заметку… Б. Н. Делоне, с которым предполагалось опубликовать эту статью, рассказал мне, что Виноградов и Понтрягин, узнав о «крамольной» статье (кстати, от него же), так накричали на него, что он попросил меня убрать статью из уже подготовленного к печати номера [журнала «Природа». – В. У.].

Владимир Игоревич Арнольд был номинирован на медаль Филдса 1974 г. Далее излагается рассказ самого Арнольда (надеюсь, что помню его правильно). Всё было на мази, Филдсовский комитет рекомендовал присудить Арнольду медаль. Вручение должно было происходить в августе 1974 г. в канадском городе Ванкувере на очередном XVII конгрессе математиков. Утвердить решение Филдсовского комитета предстояло высшему органу Международного математического союза, его исполнительному комитету[70]70
  Утвердить неформально: решения Филдсовского комитета не нуждаются в чьём-либо формальном утверждении.


[Закрыть]. В 1971–1974 гг. вице-президентом исполнительного комитета был один из крупнейших советских (да и мировых) математиков академик Лев Семёнович Понтрягин. Накануне поездки на заседание исполкома Понтрягин пригласил Арнольда к себе домой на обед и беседу о его, Арнольда, работах. Как Понтрягин сообщил Арнольду, он получил задание не допустить присуждения тому Филдсовской медали. В том случае, если Арнольду всё же будет присуждена медаль, Понтрягин был уполномочен пригрозить неприездом советской делегации на конгресс в Ванкувер, а то и выходом СССР из Международного математического союза. Но чтобы суждения Понтрягина о работах Арнольда звучали убедительно, он, Понтрягин, по его словам, должен очень хорошо их знать. Поэтому он и пригласил Арнольда, чтобы тот подробно рассказал о своих работах. Что Арнольд и сделал. По словам Арнольда, задаваемые Понтрягиным вопросы были весьма содержательны, беседа с ним – интересна, обед – хорош. Не знаю, пришлось ли Понтрягину оглашать свою угрозу, но только медали Филдса Арнольд тогда не получил – было выдано две награды вместо намечавшихся трёх. К следующему присуждению медалей родившийся в 1937 г. Арнольд исчерпал возрастной лимит.

В 1995 г. Арнольд уже сам стал вице-президентом, и тогда он узнал, что в 1974 г. на членов исполкома большое впечатление произвела глубина знакомства Понтрягина с работами Арнольда.

Проблема, которую решил Перельман, состоит в требовании доказать гипотезу, выдвинутую в 1904 г. великим французским математиком Анри Пуанкаре (1854–1912) и носящую его имя. О роли Пуанкаре в математике трудно сказать лучше, чем это сделано в Большой Советской Энциклопедии (3-е изд., т. 21):

Труды Пуанкаре в области математики, с одной стороны, завершают классическое направление, а с другой – открывают пути к развитию новой математики, где наряду с количественными соотношениями устанавливаются факты, имеющие качественный характер.

Гипотеза Пуанкаре как раз и имеет качественный характер – как и вся та область математики (а именно топология), к которой она относится и в создании которой Пуанкаре принял решающее участие.

На современном языке гипотеза Пуанкаре звучит так: всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие гомеоморфно трёхмерной сфере.

Смысл этой устрашающей словесной формулы мы попытаемся разъяснить в следующих главах. В силу особенностей жанра наши разъяснения не будут совершенно точными. В их композиции мы постараемся по возможности учесть заветы Колмогорова, в 1950-е гг. учившего, как надо писать статью для энциклопедии. В ту пору энциклопедическая статья была устроена так: заглавное слово, тире, дефиниция, точка; дефиницией назывался текст, идущий сразу вслед за тире до ближайшей точки[71]71
  Статья для энциклопедии – трудный жанр (труднее, пожалуй, писать лишь статьи для толкового словаря). В пределах же статьи самое сложное – это дефиниция. Колмогоров поручил мне, тогда его аспиранту, написать статью «Рекурсивные функции» для 2-го издания Большой Советской Энциклопедии. Содержащий эту статью 36-й том вышел осенью 1955 г. Статью я написал, но вот на дефиниции споткнулся и с этой проблемой пришёл к Колмогорову. Рукой мастера, одним мазком кисти поправляющего картину незадачливого ученика, Колмогоров написал: «Рекурсивные функции – термин, употребляемый в современных исследованиях по основам арифметики».


[Закрыть]. В крайнем случае статья могла этим исчерпываться. Если же автору дают ещё место, то, учил Колмогоров, следует написать несколько фраз, доступных человеку с начальным образованием. Если допустимый объём исчерпан, этим и следует ограничиться. Если же объём позволяет, надо написать абзац, требующий уже семиклассного образования, затем – десятиклассного[72]72
  На смену семилетке давно уже пришла девятилетка, место десятилетки заняла одиннадцатилетка. В наши дни Колмогоров вынужден был бы говорить о девяти– и одиннадцатилетнем образовании


[Закрыть]. Если статья достаточно большая, можно перейти к сюжетам, предполагающим образование высшее, а в конце – даже требующим специальных знаний. Наконец, при очень большом объёме в самом конце автор – в качестве премии самому себе – вправе поместить текст, который понимает он один. Этой премии мы себя лишим, но на четырёх– и семиклассное образование тоже не будем ориентироваться.

В заключение предложим в очень огрублённой форме космологическую интерпретацию гипотезы Пуанкаре. Термин «односвязное компактное трёхмерное многообразие» содержит указания на предполагаемые свойства нашей Вселенной. Термин «гомеоморфия» означает некую степень глубинного сходства, в известном смысле неотличимость. Формулировка в целом означает, следовательно, что если Вселенная обладает свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия, то она – в том же самом «известном смысле» – и есть трёхмерная сфера. В отличие от обычной двумерной сферы, т. е. поверхности шара, трёхмерная сфера недоступна нашему непосредственному наблюдению. Однако не исключено, что именно в ней мы все и живём.

Глава 10
От метрической геометрии к геометрии положения

Следуя принципу Колмогорова, мы начнём с цитаты из классического школьного учебника Киселёва – «кристальной киселёвской „Геометрии“», по словам Солженицына. Боюсь, что читатель XXI в. может и не знать, кто такой Киселёв. Андрей Петрович Киселёв (1852–1940) – великий просветитель в области математики, по его учебникам арифметики, алгебры и геометрии учились многие поколения российских школьников (в частности, те, которым было суждено составить впоследствии славу российской математики). Киселёвым были последовательно подготовлены к изданию «Систематический курс арифметики для средних учебных заведений» (1884), «Элементарная алгебра» (1888), «Элементарная геометрия» (1892). Эти учебники выдержали десятки изданий до революции и десятки изданий после (в советское время они назывались короче: «Арифметика», «Алгебра», «Геометрия»). Следует сказать, что в советское время они подвергались редактированию, подчас значительному, что не всегда делало их лучше[73]73
  Тем не менее они, на мой взгляд, были и остаются лучшими из наших школьных учебников математики. «Почему надо вернуться к Киселёву?» – так называется информативная и убедительная статья И. П. Костенко в журнале «Университетская книга» (2007, № 10, с. 32–39).


[Закрыть]. Поэтому цитату мы приведём из § 6 дореволюционного, 1917 г., 26-го издания[74]74
  Напечатано без перемен с 24-го.


[Закрыть] «Элементарной геометрии»[75]75
  Допущена Уч. Ком. Мин. Нар. Пр. в качестве руководства для средних учебных заведений мужских и женских; рекомендована Учебн. Ком. при Св. Синоде для употребления в духовных заведениях в качестве учебного пособия; одобрена Деп. Торг. и Мануф. для коммерческих училищ в качестве пособия; рекомендована как руководство для кадетских корпусов.


[Закрыть] (разбиение на абзацы сохраняем лишь частично):

Всякая ограниченная часть пространства называется геометрическим телом. Геометрическое тело можно подразделить на части; каждая часть геометрического тела есть также геометрическое тело. Граница геометрического тела, т. е. то, чем оно отделяется от остального пространства, называется поверхностью. Поверхность можно подразделять на части; всякая часть поверхности есть также поверхность. Граница поверхности или части поверхности называется линией. Линию можно также подразделять на части; каждая часть линии есть также линия. Граница линии или части линии называется точкой. Геометрическое тело, поверхность, линия и точка не существуют раздельно. Однако при помощи отвлечения мы можем рассматривать поверхность независимо от геометрического тела, линию – независимо от поверхности и точку – независимо от линии. При этом поверхность мы должны представлять себе не имеющею толщины, линию – не имеющею ни толщины, ни ширины и точку – не имеющею ни длины, ни толщины.

Всякая линия содержит в себе бесчисленное множество точек. Принято говорить, что эти точки лежат на линии или что эта линия проходит через эти точки. Их можно рассматривать как последовательные положения одной и той же точки, движущейся вдоль этой линии. Поэтому можно сказать, что линия есть след движения точки. Если, например, мы остриё карандаша двигаем по бумаге, то след этого движения на бумаге есть приблизительно линия; приблизительно потому, что остриё карандаша не представляет собою геометрической точки, вследствие чего проведённая на бумаге линия имеет некоторую ширину (и даже толщину). Чем острее очинён карандаш, тем более остриё его приближается к геометрической точке и тем более линия, проведённая этим остриём, приближается к геометрической линии. Подобно этому поверхность можно рассматривать как след движения линии, движущейся в пространстве некоторым образом.

Совокупность каких бы то ни было точек, линий, поверхностей или тел, расположенных известным образом в пространстве, называется вообще геометрической фигурой.

Образуют ли геометрическую фигуру два не имеющих общих точек шара? Если исходить из точного смысла последней фразы приведённой цитаты, ответ должен быть утвердительным. Но нам хотелось бы получить право говорить, что это не фигура, а две фигуры. Поэтому мы включим в понятие фигуры дополнительное требование связности. Связность фигуры означает, что любые две её точки можно соединить линией, не выходящей за пределы фигуры. В дальнейшем, говоря «фигура», мы всегда будем подразумевать её связность.

Геометрические фигуры бывают плоские и пространственные («объёмные»); последние называются геометрическими телами. Примерами тел, изучаемых в средней школе, служат пирамиды, параллелепипеды, шары, конусы, цилиндры. Плоскую фигуру можно определить как часть плоскости, пространственную – как часть пространства. Плоские фигуры изучаются в планиметрии, пространственные – в стереометрии. Текст из учебника Киселёва написан с позиции стереометрии, в ней все геометрические фигуры, включая поверхности и линии, видятся расположенными в пространстве. При изучении планиметрии слово «поверхность» не произносят, хотя все такие плоские фигуры, как круг или многоугольник, при включении их в дискурс (автор не смог удержаться от искушения употребить модное словцо) стереометрии являются поверхностями.

Термин, обозначающий математическое понятие 'поверхность', как в русском, так и в других языках, происходит от бытового представления о поверхности чего-нибудь – стола, воды, Земли. Это прослеживается и в приведённой цитате. Однако такое понимание создает определённые неудобства. Скажем, чтобы подвести под определение поверхности платок (толщиной платка мы пренебрегаем), который может быть и не плоским, его необходимо непременно представить себе границей какого-то тела или дополнить до такой границы. Полезно поэтому иметь в виду следующее. Источником понятия (не слова, а понятия!) поверхности служит представление об очень тонком слое. Аналогично источником понятия линии служит представление об очень тонкой нити. Можно сказать, что поверхность – это бесконечно тонкий слой, линия – бесконечно тонкая нить (а точка – бесконечно малый кружочек). Вопрос к читателю: сфера – это тело или поверхность? Если отождествлять, как это нередко делают, понятия 'сфера' и 'шар', тогда, конечно, сфера есть тело. Но такое отождествление терминологически неправильно. Терминологически правильный ответ таков: сфера – это поверхность шара, а шар – это часть пространства, ограниченная сферой. Точно так же окружность – это граница круга, а круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

А теперь посмотрим на тор. Тор – эта геометрическое тело, к форме которого в той или иной степени приближаются баранка, бублик[76]76
  Согласно толковому словарю Ушакова, бублик – это «толстая баранка из заварного теста».


[Закрыть], спасательный круг, обруч хулахуп. Энциклопедические словари определяют тор как геометрическое тело, полученное вращением круга вокруг оси, расположенной вне этого круга. Но прибавляют: «Поверхность, ограничивающую тор, иногда также называют тором»[77]77
  У профессиональных математиков это «иногда» превращается в «очень часто».


[Закрыть]. Если тор понимают как тело, то его поверхность называют поверхностью тора. Если же тор понимают как поверхность, то ограниченное ею тело называют полноторием – с двумя употребительными вариантами именительного падежа: полноторие и полноторий. Но чаще всего, пренебрегая тонкостями, говорят просто «тор», извлекая смысл из контекста. Автор не уверен, что сумеет избежать подобной двусмысленности, устраняемой лишь контекстом, но будет очень стараться. И тор как тело и тор как поверхность не односвязны (это слово пока для нас всего лишь термин из формулировки проблемы Пуанкаре, а что оно значит, будет объяснено ниже).