Текст книги "Управление рисками коммерческих банков (управление: синтез, анализ)"

3.4.2. Товарное ценообразование в условиях инвестиционного риска

В качестве критерия отбора инвестиционного проекта в зарубежной практике часто используются критерии, учитывающие влияние обесценивания денег во времени на ожидаемые результаты от реализации проекта [19]. В качестве такого критерия выступает чистая современная стоимость проекта

где D(t_i) – чистый денежный поток, поступающий в дискретные моменты времени t, представляющий собой разность между доходами и расходами; И₀ – первоначальные инвестиции в проект; r – процентная ставка чистых денежных потоков; n – продолжительность периода действия проекта в годах.

Экономический смысл ставки r заключается в том, что она показывает доходность альтернативных вложений средств, т. е. r – это минимальная норма доходности, ожидаемая инвестором от данного проекта. При этом Ц(t_n) – это текущая (при t = t_n) стоимость денежных потоков за вычетом первоначальных затрат на инвестирование. Положительное значение Ц(t_n) означает, что текущая стоимость доходов превышает текущую стоимость затрат. Из нескольких инвестиционных альтернатив отбирается та, для которой Ц(t_n) выше.

Формулу (3.18) можно записать (для экспресс-анализа) в упрощенном виде. Для этого предположим, что если инвестирование данного проекта не окажет влияния на накладные расходы, не потребует дополнительного оборотного капитала, а все денежные потоки возникают в конце года, то ежегодные чистые денежные потоки D_i по данному проекту можно рассчитать следующим образом:

D_i = V_i[Ц_i – (M_i + T_i)],

где V_i – объем продажи за год (шт, кг, …); Ц_i – цена изделия (тыс. руб.); M_i – материальные затраты на изделие (тыс. руб.); T_i – заработная плата рабочих на изделие (тыс. руб.). При этом

При таком подходе речь идет не о прибыли, а о денежных потоках. Только когда денежные потоки начнут поступать от реализации проекта, предприятие сможет использовать их для реинвестирования, выплаты дивидендов, погашения кредитов и т. д.

Воспользуемся результатами, полученными при анализе инвестиционного риска. С этой целью введем ожидаемую чистую современную стоимость товара по следующей формуле:

где Ц(t_i) – чистая современная стоимость проекта при наступлении i-го случая реализации; P_i – вероятность наступления i-го случая; m – количество возможных случаев. При этом различным P_i соответствуют различные данные о нашем товаре:

1. На основе рыночных исследований (рынок сбыта) получено, что ожидаемый спрос на продукцию в течение трех лет примет значения V⁽¹⁾, V⁽²⁾, V⁽³⁾ с вероятностями P_1V, P_2V, P_3V соответственно.

2. Ожидаемая стоимость товара на рынке 2 в течение трех лет будет равна Ц⁽¹⁾, Ц⁽²⁾, Ц⁽³⁾ с вероятностями P_1Ц, P_2Ц, P_3Ц соответственно.

3. Ожидаемые денежные потоки D_i в течение трех лет будут равны D₁, D₂, D₃ с вероятностями P_1Д, P_2Д, P_3Д соответственно.

4. Количество расчетных или рассматриваемых ситуаций увеличивается, если предположить, что на рынке трудовых ресурсов происходят изменения и заработная плата рабочих в расчете на изделие ожидается равной T⁽¹⁾, T ⁽²⁾, T⁽³⁾ с вероятностями P_1T, P_2T, P_3T соответственно.

5. Не исключено, что за счет влияния рынка 1 сырья и комплектующих изделий происходит изменение материальных затрат M_i на изделие, и стоимость эта принимает значения M¹_i, M²_i, M³_i с вероятностями P_1M, P_2M, P_3M соответственно.

В результате, рассматривая первую ситуацию и учитывая при этом информацию из четвертой и пятой, получим в (3.20) величину m = 27. Если при этом окажется, что значение Ц^o(t_n) положительно, то проект может быть принят. Если же величина Ц^o(t_n) невелика, то проект характеризуется низкой доходностью. При этом критические параметры И₀, V, Ц, М, Т, r определяются из условия Ц(t_n) = 0, и задача аналитика проекта заключается в определении, какие из параметров в процессе его реализации окажутся за пределами допустимых (критических) значений, а какие останутся в области Ω_доп.

Используя результаты математического моделирования, можно провести достаточно глубокий анализ показателя Ц^o(t_n), вводя различные допущения по переменным величинам. Это позволяет исследовать проект и риск, связанный с его осуществлением. Как правило, риск учитывается в инвестиционных расчетах с помощью ставки дисконтирования. При этом, поскольку риск проявляется в виде возможного уменьшения реальной отдачи от капитала по сравнению с ожидаемой, то требуемая инвестором норма доходности от реализации проекта определяется как r = r_c + r_p, где r_c – свободная от риска норма доходности; r_p – премия за риск. Однако до настоящего времени не получено значение премии r_p и не описана ее зависимость от свойств внешней среды и внутренних свойств технологических процессов самого производственного предприятия. Ниже получены необходимые соотношения для расчета цены товара при наличии риска реализации инвестиционного проекта, что позволяет решать указанные выше задачи.

Не нарушая общности конечных результатов, представим Ц_n в виде дискретной случайной величины, принимающей возможные значения Ц^*₁, Ц^*₂, …, Ц^*_n с вероятностями p₁, p₂, …, p_n соответственно, . Тогда среднее значение M[Ц^*_n] случайной величины Ц^*_n определится по формуле

Выражения в (3.20) и (3.21) совпадают, следовательно, Ц^o_n представляет собой среднее значение Ц_n, т. е. M[Ц^*_n] = Ц⁰_n.

Выделим частный случай, когда n = 2, причем величина Ц^*_n принимает свои граничные значения: Ц_п^*_p – расчетная величина Ц_n (положительная), когда текущая величина доходов превышает текущую величину затрат; Ц^*_n = Ц_n^*_кр = 0 – нерасчетная, или критическая, величина Ц^*_n, вероятность которой задана формулой (3.17). Вероятности этих двух событий равны соответственно (1 – P₃) и P₃ в силу определений, данных выше, а Ц_п^*_p представляет собой чистую современную стоимость товара, параметры которого вычислены с учетом инвестиционного риска. При этих условиях, как следует из (3.21),

M[Ц^*_п] = (1 – P₃)Ц^*_пр + P₃ · 0 = (1 – P₃)Ц^*_пр,          (3.22)

где

V^*_i, M^*_i, Ц^*_i, T^*_i – параметры, назначенные с учетом инвестиционного риска, т. е. когда имеет место Ц_пр – расчетная величина Ц_n.

В условиях отсутствия риска чистая современная стоимость проекта выражается с помощью соотношения (3.19).

Компенсация потерь, связанная с опасностью потери капитала в данном проекте, имеет место при наличии условия M[Ц^*_n] = Ц_пр. Воспользовавшись формулами (3.19) и (3.22), получим:

Предположим, что инвестиционный риск компенсируется только с помощью цены товара. При этом будем иметь: V_i = V^*_i; M_i = M^*_i; T_i = T^*_i; r = r^*; Ц_i ≠ Ц^*_i. Из (3.23) выведем соотношение

из которого определяется искомая величина Ц^* стоимости товара (соответствующая моменту времени t_i), назначаемая его производителем с целью возмещения с вероятностью P₃ возможных убытков в процессе реализации товара. При этом имеем одно уравнение для n неизвестных Ц^*_i . В этом случае (n – 1) значение Ц^*_i задается или принимается Ц^*_i = Ц^*_j для всех i, j, кроме какого-то одного, например i = 1 или j = 1. В частном случае n = 1 получим

где

Отсюда следует, что при P₃ = 0 имеем Ц = Ц^*, т. е. существует одна цена, когда риск равен нулю.

В случае, когда P₃ стремится к 1, т. е. проект убыточен с вероятностью, близкой к единице, необходимо провести дополнительное исследование, так как правая часть в (3.24) представляет собой разность двух бесконечно больших величин. Вычислим приращение цены товара ΔЦ = Ц^* – Ц, обусловленное инвестиционным риском P₃.

Из формулы (3.23) при n = 1 имеем

где = M + T. Опуская промежуточные выкладки, получим

где = Ц / m, или по-другому

где Ц_n – чистая современная стоимость проекта.

Полученные соотношения описывают товарное ценообразование в условиях наличия инвестиционного риска, когда с вероятностью P₃ возможно превышение текущей стоимости затрат над текущей стоимостью доходов.

В случае если P₃ = 0, из (3.25) следует, что ΔЦ = 0 и Ц = Ц^*. При увеличении P₃, при положительной величине Ц_n, значение ΔЦ увеличивается, так как коэффициент k в (3.24) растет.

Как следует из (3.26), Ц^* > Ц, т. е. «безрисковая» стоимость товара ниже «рисковой» стоимости Ц^*. Таким образом, наличие инвестиционного риска, равного Р₃, приводит к необходимости увеличения стоимости товара на величину ΔЦ, нелинейно зависящую от Р₃, причем при стремлении Р₃ к единице наблюдается резкое увеличение ΔЦ. Если же величина ΔЦ выбирается не из условия (3.26), а большей, то прибыль фирмы увеличивается. Однако при этом возрастает риск потери потребителя. Приращение стоимости товара на величину ΔЦ, как и в случае банковского кредита, можно рассматривать как премию фирме за инвестиционный риск.

Таким образом, задача определения ΔЦ свелась к отысканию вероятности Р₃ потери финансовых средств. Для вычисления Р₃ необходимо знать совместную плотность вероятностей W(ΔX, δX). Как указано выше, для вычисления W(ΔX, δX) следует разработать математические модели циркулирования денежных потоков Х(t) = D(t) через производственное предприятие с учетом его технических возможностей.

3.5. Методика численного расчета показателей рисков и безопасности

В связи со сложностью, а иногда невозможностью, создавать математическую модель, описывающую контролируемый и ограничиваемый процесс на выходе коммерческого банка, например процесс изменения капитала, с учетом всех внешних и внутренних факторов риска следует воспользоваться материалами контроля указанного процесса на некотором интервале времени из предыстории его изменения. Разработаем метод реализации указанного подхода для построения математических моделей.

Исходные положения, расчетные соотношения для показателей риска

При анализе риска для контролируемого и ограничиваемого параметра х (например потока финансов, проходящих через банк) различают следующие его значения:

х_доп – допустимое значение параметра Х – это минимальное его значение в процессе функционирования банка, которое гарантирует безопасное состояние объекта;

(x_кр)^н – нижнее критическое значение параметра – такое значение параметра х, выход за пределы которого в сторону уменьшения значения х не допустим ни при каких обстоятельствах, поскольку такой выход связан с опасностью для банка;

(x_кр)^в – верхнее критическое значение параметра – такое значение параметра х, выход за пределы которого в сторону увеличения значения параметра х недопустим ни при каких обстоятельствах, поскольку такой выход связан с превышением экономико-правовых возможностей;

(x_доп)^н – нижнее минимально допустимое значение параметра х, которое определяется следующей зависимостью:

(x_доп)^н = (x_кр)^н + Δ^н₁,

где Δ^н₁ – число, именуемое величиной гарантийного запаса, которое вводится на случай непреднамеренного выхода значения параметра Х за его допустимые значения вследствие неблагоприятного сочетания возмущающих факторов;

(x_доп)^в – верхнее максимально допустимое значение параметра х, определяемое следующей зависимостью:

(x_доп)^в = (x_кр)^в – Δ^в₁;

(x^o_доп)^н – нижнее допустимое, оценочное значение параметра Х, которое определяется следующей зависимостью:

(x^o_доп)^н = (x_кр)^н + Δ^(н)₁ + Δ^(н)₂,

где Δ^н₂ – запас на погрешность функционирования системы контроля, вводится для возможности учета влияния ее погрешностей;

(x^o_доп)^в – верхнее допустимое оценочное значение параметра х, которое определяется следующей зависимостью:

(x^o_доп)^в = (x_кр)^в – Δ^(в)₁ – Δ^(в)₂.

Расположение введенных параметров относительно друг друга при двустороннем ограничении x приведено на рис. 3.16.

Рис. 3.16

В отличие от этого вида параметров возможен так называемый «параметр с односторонним верхним ограничением», для которого, в силу его экономической природы, опасным является только верхнее значение. Взаимное расположение значений такого параметра представлено на рис. 3.17.

Рис. 3.17

Введем в рассмотрение так называемый «параметр с односторонним нижним ограничением», для которого, в силу его физической природы, опасным является только нижнее значение. Взаимное расположение значений такого параметра представлено на рис. 3.18.

Введем в рассмотрение следующее событие: параметр достигает своего опасного значения, выходя из области допустимых значений, о чем система контроля должна сообщить тем или иным образом, однако, такой ее реакции нет. Вероятность такого события, в соответствии с существующими стандартами, называется вероятностью невыдачи информации и обозначается как Р_ни = Р₃.

Рис. 3.18

Введем в рассмотрение еще одно событие: параметр находится в области допустимых значений, однако система контроля сообщает о достижении им опасного значения. Вероятность такого события называется, в соответствии с существующими стандартами, вероятностью ложной информации и обозначается как Р_ли = Р₂.

3.5.1. Исходные данные для расчета Р_ни, Р_ли

Параметры (x_кр)^н и (x_кр)^в получают, как правило, экспериментальным или полуэмпирическим путем в процессе функционирования системы. Величина Δ₁ выбирается в зависимости от назначения параметра и структуры системы оценки, например, она может быть равна α% от его критического значения. Величина Δ₂ определяется, исходя из погрешности функционирования системы оценки, и должна превосходить абсолютную величину ожидаемый погрешности оценки.

В процессе функционирования величина измеряемого параметра x непостоянна, носит случайный характер, отклоняется от номинального (среднего) x_н значения параметра x. Эти отклонения обозначим через Δx. Они также носят случайный характер.

Обозначим функцию плотности распределения x через W^*₁(x). Для дальнейших рассуждений будем использовать не саму функцию W^*₁(x), а центрированную функцию плотности распределения W₁(Δx), где Δx = (x – x_н).

Функция плотности W₁(Δx) должна быть полностью известна. Ее вид определяется, как правило, экспериментально для рассматриваемой системы [10]. Если же вид функции W₁(Δx) неизвестен, но параметр x доступен для экспериментальных замеров, то определение W₁(Δx) следует проводить по методике, изложенной ниже (в разделе 3.6).

Номинальное среднее x_н значение параметра x должно быть известно. Если же x_н неизвестно, но параметр x доступен для экспериментальных оценок, то x_н определится согласно приведенной ниже методике.

Величины Р_ни и Р_ли существенным образом зависят от погрешности системы оценки. Эта погрешность, являясь случайной величиной, характеризуется плотностью распределения вероятностей W₂(δx). Возможны следующие три случая:

– вид функции W₂(δx) определен полностью;

– вид W₂(δx) определен функционально, с точностью до параметров, при этом определение параметров следует проводить по формулам, приведенным ниже;

– вид W₂(δx) неизвестен, при этом определение W₂(δx) следует проводить по методике, изложенной ниже.

На практике часто используют плотность распределения вероятностей изучаемой случайной функции: Лапласа, гауссовский закон, имеющие простейший вид функции плотности вероятностей распределения W(·), когда центральные моменты (см. формулы 3.29), (3.30)), начиная с третьего , равны нулю.

В более общем случае (имеющем место на практике) центральные моменты , отличны от нуля, т. е. ≠ 0, ≠ 0 и т. д. При этом необходимо применять более сложные функциональные зависимости, представленные, например, в аналитическом виде Джонсоном. Однако и в этом случае мы часто будем изучать не W(x), а некоторый идеальный (теоретический) процесс. Поэтому в общем случае, когда требуются точные значения Р_ни, Р_ли, необходимо использовать численные значения W(x), не прибегая к ее аналитическому описанию.

В дальнейшем при рассмотрении примеров мы будем применять экспоненциальный закон, нормальный закон, функции Джонсона.

Определение параметров функции W₁(Δx)

Мы знаем, к какому классу функций принадлежит W₁(Δx), и нам осталось найти параметры.

Исходными данными являются:

– количество экспериментов N;

– замеренные значения параметра x₁, x₂, …, x_N.

Статистическое математическое ожидание M(x) (выборочное среднее) определяется по формуле

Статистическая дисперсия D(x) определяется по формуле

Статистический центральный момент третьего порядка определяется по формуле

Статистический центральный момент четвертого порядка определяется по формуле

По полученным статистическим данным M, D, и определяется аналитический вид функции плотности распределения W₁(Δx). Эта функция является одной из семейства функций Джонсона или нормального закона, если = = 0.

3.5.2. Расчет показателей риска с помощью номограмм

Рассмотрим процедуру предварительной оценки вероятностей P₂ и P₃ с использованием номограмм. Это позволит существенно сократить время (и средства) на экспресс-анализ различных вариантов расчета, возникающих в реальных ситуациях.

На практике погрешности Δ x и δx часто распределены по одному из законов распределения – нормальному или лапласовскому соответственно:

Для достаточно полного охвата различных случаев законов распределения, встречаемых на практике, следует получить выражения для рассматриваемых вероятностей при различных сочетаниях лапласовского и нормального законов распределения параметров Δx и δx.

Пусть Δx и δx имеют лапласовское распределение на бесконечных интервалах. Тогда

где

Δ₂ = x_доп – x^o_доп; Δ₃ = x_доп – x_н; Δ₄ = x^o_доп – x_н;

σ₁ = σ(Δx); σ₂ = σ(δx).

Как следует из рассмотренных выражений, искомые вероятности зависят от трех переменных – σ(Δx), Δ₂, Δ₃. Введем новые переменные

Это позволит представить искомые вероятности в виде функций относительных переменных z, y₁, y₂:

Если Δx и δx подчиняются нормальному закону распределения, то для вычисления вероятностей P₃ и P₂ нужно использовать следующие зависимости:

Остальные случаи рассмотрены в работе [12].

Для упрощения расчетов вероятностей P₂ и P₃, в зависимости от параметров z, y₁ и y₂, построены многолистные диаграммы-графики зависимостей P₃ = P₃(z, y₁, y₂) и P₂ = P₂(z, y₁, y₂) при фиксированных значениях z (см. Приложение 3). На рисунках приведены номограммы для случая, когда параметры Δx и δx имеют лапласовское распределение. Эти номограммы позволяют достаточно просто производить расчет заданных показателей риска.

Следует отметить, что на практике встречаются и другие законы распределения параметров Δx и δx, для которых, используя предложенный метод, можно построить соответствующие номограммы для проведения расчетов.

Графики зависимостей P_ни = P₃ = P₃(z, y₁, y₂) и P_лс = P₂ = P₂(z, y₁, y₂) представлены в виде многолистных номограмм, каждая из которых строится при фиксированном значении z = (x_доп – x_н) / σ₂(Δx). При этом диапазон изменения параметров z, y₁, y₂ выбран таким образом, чтобы значения вероятностей P₂ и P₃ находились в области допустимых на практике условий функционирования рассматриваемых в работе динамических систем (самолет, банк, производственное предприятие). Вычисление значений вероятностей P₂ и P₃ выполняется численными методами с заранее заданной точностью вычислений.

Полученные номограммы позволяют производить экспрессанализ различных вариантов решения задачи о риске управления динамической системой на основе анализа вероятностей P₂ и P₃.

Методика расчета значений вероятностей P₂ и P₃ по номограммам состоит из следующих последовательных этапов.

1. Назначается критическая величина контролируемого параметра.

2. Строится плотность вероятностей W(Δx) разброса этого параметра согласно математической модели, описывающей изменение Δx.

3. Строится плотность вероятностей W(δx) погрешностей оценки контролируемого параметра по методике, рассмотренной для контролируемого объекта и приведенной выше.

4. Вычисляется величина x_н = (x – Δx), представляющая собой среднее значение (математическое ожидание) фактической величины контролируемого параметра.

5. Назначается величина x_доп = (x_кр – Δ), представляющая собой допустимое значение контролируемого параметра, где Δ – запас, необходимый для компенсации непредвиденных потерь.

6. Вычисляется значение z = (x_доп – x_н)/σ₁, где σ₁ = σ₁(Δx) – дисперсия разброса контролируемого параметра.

7. Выбирается величина x^o_доп, представляющая собой оценочное значение для x_доп.

8. Вычисляются величины y₁ = (x^o_доп – x_н)/σ₁ и y₂ = (x_доп – x⁰_доп)/σ₂.

9. По номограммам при заданных параметрах z, y₁, y₂ определяются значения вероятностей P₂ и P₃.

3.6. Построение искомых плотностей вероятностей на основе экспериментальных материалов

Пусть задан контролируемый и ограничиваемый процесс (например финансовый поток S(t)) в виде экспериментального графика x(t_i), , где t_i – моменты времени измерения х(t) (рис. 3.19). Требуется поставить в соответствие процессу х(t) соответствующий случайный процесс у(t), допускающий аналитическое представление. Такой переход необходим с целью построения искомой плотности вероятностей W(·), кроме того, полученная математическая модель в виде дифференциальных уравнений для у(t) позволяет решить задачу о выбросах за критический уровень х_кр и уточнить величины Р_ни, Р_ли для динамической системы, а также задачу прогнозирования Р_ни, Р_ли.

Рис. 3.19

Задачу будем решать в предположении, что х(t) представляет собой эргодическую стационарную случайную функцию [12]. Отметим, что данное предположение может внести погрешность (методическую).

Согласно эргодической теореме для эргодической стационарной функции, заданной с помощью одной реализации на достаточно большом интервале времени [0, Т], математическое ожидание т_х может быть приближенно вычислено по формуле

Отметим, что знак «≈» означает, что мы имеем дело не с самими характеристиками случайной функции, а с их оценками, которые тем точнее, чем больше Т.

Аналогично может быть приближенно найдена корреляционная функция K_x(τ) при любом τ. Корреляционная функция, по определению, представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной функции x⁰(t) · x⁰(t + τ), которая может быть приближенно вычислена по формуле:

K_x(τ) = M[x⁰(t)x⁰(t + τ)],

где это x⁰(t) = x(t) – m_x.

Для вычисления этой формулы зафиксируем τ и вычислим согласно эргодической теореме:

Здесь рассматривается участок [0, Т – τ] меньший, чем [0, Т], так как второй сомножитель x⁰(t + τ) в подынтегральном выражении (3.32) известен нам не для всех t, а только таких, что (t + τ) ≤ T.

Вычислив интеграл (3.32) для ряда значений τ_j , получим график корреляционной функции. При практических расчетах интегралы (3.31), (3.32) заменяют конечными суммами.

С целью определения m_x, D_x, K_x(τ) разобьем интервал [0, Т] на n равных частей длиной Δt и обозначим середины полученных участков t₁, t₂, …, t_n (см. рис. 3.19).

Представим интеграл (3.31) в виде суммы элементарных площадей с основанием Δt и на каждом из них вынесем функцию х(t) из-под знака интеграла, заменив ее на среднее значение, соответствующее центру интервала х(t_i). В итоге точное значение (3.31) заменим приближенным

Вычислим K_x(τ), придавая τ значения 0, Δt, 2Δt, … При этом получим τ = m· Δt = mT / n, а интеграл (3.33) рассматривается на интервалах интегрирования от 0 до

где m = 0, 1, …, n – 1.

Таким образом, имеют место (n – m) участков длиной Δt, на которых при интегрировании выносим x⁰(t)x⁰(t + τ) за знак интеграла средним значением.

В итоге получим

Вычисление  – производится вплоть до таких т, при которых K_x(·) становится допустимо малой величиной (близкой к нулю). Общий вид K_x(τ) отображается поточечно так, как показано на рис. 3.20.

Рис. 3.20

Точность вычисления M_x и K_x возрастает при увеличении n, т. е. при уменьшении длины интервала времени Δt. Величина Δt зависит от характера изменения случайной функции. Если x(t) не имеет резких скачков, а изменяется плавно, то Δt может быть сравнительно большим, чем когда x(t) совершает резкие и частые колебания.

Практические рекомендации: интервал Δt должен быть такой, чтобы за полный период измерения самой высокочастотной гармоники в составе случайной функции приходилось порядка 5–10 точек отсчета.

Поясним вышесказанное на следующем примере согласно числовым данным, приведенным в таблице 3.1.

Таблица 3.1

В качестве исходных данных рассмотрим изменение финансов x(t) гипотетического банка в долларовом исчислении. Пусть регистрация изменения x(t) осуществлялась в течение одного года, т. е. 12 месяцев или 360 дней, с интервалом в 3,6 дня. В итоге получено 100 контрольных точек. Значения x(t_i) приведены в таблице 3.1.

Считая процесс изменения x(t) стационарным, на первом этапе определим: m_x – математическое ожидание x(t); D_x – дисперсию; K_x(τ) – корреляционную функцию. Полученную K_x(τ) можно аппроксимировать какой-либо аналитической функцией.

Решение. Согласно формуле (3.31) получим

Для вычисления дисперсии D_x центрируем случайную функцию x(t_i). Результаты расчетов представлены в таблице 3.2

Таблица 3.2

Окончание таблицы 3.2

Возведя в квадрат все значения x(t_i) и разделив сумму на n = 100, получим приближенное значение дисперсии случайной функции x(t_i):

При этом среднее квадратичное отклонение

σx ≈ 0,323 · 10² млрд. долл.

Перемножив значения x(t_i), разделенные интервалами τ = 3,6; 7,2; 10,8; …, и разделив сумму произведений, соответственно, на (n – 1) = 99; (n – 2) = 98; (n – 3) = 97; …, получим значение корреляционной функции K_x(τ). Нормируя корреляционную функцию K_x(τ) делением на D_x = 0,1045 · 10⁴, получим приведенные в таблице 3.3 значения функции ρ_x(τ).

Таблица 3.3

Окончание таблицы 3.3

Анализируя график ρ_x(τ) (рис. 3.21), можно предположить, что объем экспериментальных данных недостаточен, что обусловлено негладким характером его изменения. Для теоретических исследований, в том числе математического моделирования процесса, найденную функцию ρ_xi(τ) заменим приближенно функцией вида

где параметр α подберем методом наименьших квадратов. При этом получим α = 0,257 и соответствующий график y = e^–0,257|τ|, приведенный на рис. 3.21.

Рис. 3.21

Пользуясь приближенным выражением корреляционной функции (3.34), получим нормированную спектральную плотность случайного процесса S^*_x (ω) в виде [40]

График S^*_x(ω) приведен на рис. 3.22.

Рис. 3.22

При этом возможны различные уточненные варианты графиков протекания K_x(τ), приведенные на рис. 3.23 и 3.24.

Рис. 3.23

Рис. 3.24

Функция K_x(τ), представленная на рис. 3.23, может быть аппроксимирована, например, выражением

K_x(τ) ≈ σ²e^–α|τ|          (3.35)

или выражением

а функция, представленная на рис. 3.24, – выражением

На втором этапе расчетов сопоставим случайному процессу x(t) соответствующее дифференциальное уравнение. Это позволит построить необходимые нам плотности вероятностей W(·).

Такой подход позволит оценить влияние различных факторов риска – внутренних V(t) и внешних W(t) – на величину показателей риска и безопасности макроэкономики в случае, когда x(t) контролируется, и в итоге ограничивается его минимальное значение с помощью различных средств управления.

С целью построения дифференциального уравнения для x(t) необходимо убедиться в дифференцируемости этого процесса. В простейшем случае следует воспользоваться свойством корреляционных функций стационарного процесса.

Из приведенных выше функций выражения, записанные по формулам (3.35) и (3.37), соответствуют случайным функциям K_x, не имеющим производных, а (3.36) и (3.38) – функциям дифференцируемым. Дело в том, что наличие модуля у τ при τ = 0 обусловливает для первых производных от σ²e^–α|τ| и σ²e^–α|τ|cosβτ разрыв, обусловливая их изменение скачком на –2σ²α (рис. 3.25, 3.26).

Рис. 3.25

Рис. 3.26

Производные от функций и остаются непрерывными и дифференцируемыми при любых значениях τ. Это означает, что корреляционные функции подобного вида соответствуют дифференцируемым случайным процессам [11].

В качестве других примеров корреляционных функций дифференцируемых процессов можно привести следующие:

Рассмотрим два случайных процесса, которым соответствуют корреляционные функции: (3.36) и (3.39). Именно на этих примерах, во-первых, достаточно просто просматривается идея метода расчета численных показателей риска и безопасности экономических систем, во-вторых, эти процессы наиболее близки (как следует из графиков, приведенных на рис. 3.25 и 3.26) к реальным.

Используя методы идентификации [10], можно получить важные прикладные результаты для конкретных экономических систем и объектов.

Поставим в соответствие корреляционной функции (3.35) процесс y(t), описываемый стохастическим дифференциальным уравнением первого порядка

где α – постоянная; ξ(t) – случайный процесс, обладающий свойствами белого шума со спектральной плотностью S_ξ(ω).

Физически процесс y(t) порожден динамической системой первого порядка, на вход которой в качестве возмущающих факторов поступает ξ(t).

Согласно теории дифференциальных уравнений для спектральной плотности стационарного решения уравнения (3.40) получим

где ω – частота; S_ξ(ω) = c = const. При этом ординаты S_y(ω) убывают с ростом частоты ω.

С другой стороны, для рассматриваемого процесса x(t) было получено в процессе обработки эксперимента (см. рис. 3.22)

Положив в рассматриваемом случае

мы получим соответствующую корреляционную функцию K(τ) = σe^–α|τ|. Отметим, что в рассматриваемом примере α = 0,257 для процесса x(t), принятого нами для банка.

Следовательно, стационарное решение уравнения, описывающее поведение динамической системы первого порядка, на вход которой поступает белый шум, имеет корреляционную функцию вида (3.35). Эта близость обладает рядом погрешностей, т. е. характеризуется приближением к истинному процессу.

Первый недостаток.

Ранее было отмечено, что корреляционная функция вида (3.35) соответствует недифференцируемому случайному процессу. Уточним этот факт для принятой модели. Из уравнения (3.40) следует, что dy / dt = ξ(t) – αy(t), где y(t) – случайная функция с конечной дисперсией, а спектральная плотность ξ(t) принята постоянной. Однако физически это невозможно, ибо процесс y(t) должен обладать бесконечной дисперсией. Функция y(t) обладает конечной дисперсией, следовательно, разность ξ(t) – αy(t) будет иметь бесконечную дисперсию. Если ограничиться только физически реализуемыми процессами, то следует признать, что dy / dt не существует.

Причина: замена реально реализуемой случайной функции ξ(t) белым шумом, который обладает постоянной спектральной плотностью и физически не осуществим. Однако такой подход оправдан, так как решение y(t) имеет физический (практический) смысл, вследствие того, что изменение спектральной плотности вне некоторого интервала частот не оказывает влияния на спектральную плотность решения уравнения (3.40) [11].

Следовательно, когда важно не только само решение (3.40), но и поведение производной от этого решения, необходимо либо уточнить свойства корреляционной функции K_ξ(τ) процесса, описывающего входное возмущение, или уточнить вид дифференциального уравнения, описывающего поведение системы.