Текст книги "Управление рисками коммерческих банков (управление: синтез, анализ)"

Дополнив соотношения (4.1)–(4.3) дифференциальным уравнением (4.5), получим следующую систему уравнений:

Отметим, что при заданном значении δ_k(t) система (4.16), состоящая из двух дифференциальных уравнений, содержит три неизвестные функции – D(t), δ_n(t), δ_e(t), являясь, таким образом, незамкнутой. Это означает, что для ее решения, в частности, необходимо задать δ_e(t). Однако в этом случае исключается возможность проведения всестороннего анализа банка как динамической системы. Поэтому предлагается пойти по следующему пути.

Система (4.16) включает в себя величину δ_k(t), то есть кредитный поток, который может быть реализован по распоряжению руководства банка. При максимальном использовании финансовых ресурсов банка поток δ_k(t) включает в себя поток возвратного кредита, а также часть прибыли банка и имеет, таким образом, следующий вид:

δ_k(t) = δ_k(t – τ) + γ₁р^*δ_k(t – τ),

где γ₁ – коэффициент, характеризующий ту часть прибыли, которая отдана в кредит в момент времени t. Изменяя коэффициент γ₁, можно получать различные значения δ_k(t). При этом γ₁ < 1, поскольку расходная часть δ_e(t) включает в себя и другие компоненты.

Введем коэффициенты γ₂, γ₃, γ₄ и γ₅, характеризующие части дохода банка р^*δ_k(t – τ), направленные на формирование финансовых потоков δ_S(t), δ_T(t), δ_ca(t) и δ_o(t) соответственно. При этом получим

δ_k(t) = δ_k(t – τ) + γ₁p^*δ_k (t – τ);

δ_S(t) = γ₂p^*δ_k(t – τ); δ_T(t) = γ₃p^*δ_k(t – τ);          (4.17)

δ_ca(t) = γ₄p^*δ_k(t – τ); δ₀(t) = γ₅p^*δ_k(t – τ).

Обозначим через γ = γ₁ + γ₂ + γ₃ + γ₄ + γ₅. Если вся прибыль направляется в оборот, то γ = 1, условие γ < 1 означает, что часть средств банка отправлена на накопление. В этом случае расходная часть δ_e в (4.16) должна включать в себя дополнительную компоненту δ_накопл = (1 – γ)р^*δ_k(t – τ).

Соотношения (4.17) записаны для идеальной ситуации, когда поступившие деньги передаются внешним потребителям без запаздывания. В действительности банк, как и любой другой реально функционирующий механизм, исполняет действия с запаздыванием (например это время, необходимое для обработки документации). Обозначим его через τ₀. В общем случае τ₀ имеет различные значения при передаче различных составляющих δ_e различными службами и отделами.

Рассмотрим частный случай, когда величина τ₀ неизменна для всех отделов. При этом соотношения (4.17) примут форму

δ_k(t) = (1 + γ₁p^*)δ_k(t – τ₁); δ_S(t) = γ₂p^*δ_k(t – τ₁);

δ_T(t) = γ₃p^*δ_k(t – τ₁); δ_ca(t) = γ₄p^*δ_k(t – τ₁);          (4.18)

δ_o(t) = γ₅p^*δ_k(t – τ₁),

где τ₁ = τ + τ₀. Если при этом выполняется условие γ = 1, то неконтролируемых расходов нет. Тогда, с учетом полученных зависимостей, равенства (4.2) и (4.3) примут вид

δ_e(t) = γ^*δ_k(t – τ₁); δ_n(t) = (1 + p^*)δ_k(t – τ₁),          (4.19)

где γ^* = (1 + γ₁) + γ₂ + γ₃ + γ₄ + γ₅ в общем случае не равно двум.

Преобразуем первое уравнение в (4.19). Для этого введем замену s = t – τ₁ и разложим δ_e(s + τ₁) в ряд Тейлора. Ограничившись первым членом разложения в силу малости производных более высоких порядков, получим δ_e(s + τ₁) = δ_e(s) + (s)τ₁. Тогда

τ₁ + δ_e(t) = γ^*p^*δ_k(t).           (4.20)

Положим, что кредит выдан на срок больший, чем одни сутки, запаздывание τ₀ по проведению банковских операций составляет не менее одних суток. При этом система (4.16), с учетом (4.20), примет следующий вид:

где a₁ = –1/τ, a₂ = –1/τ₁; τ ≥ 1; τ₁ > 1. Система (4.21) содержит три уравнения и три неизвестных – D(t), δ_e(t) и δ_n(t), являясь, таким образом, замкнутой. В качестве управления выступает поток кредитных средств δ_k(t), в частности параметр γ^*. При заданных начальных условиях D(t₀), δ_e(t₀) и δ_n(t₀) система (4.21) имеет решение (τ ≠ 0; τ ₁ ≠ 0), если она совместна.

Для анализа полученной модели сведем рассматриваемую систему уравнений к одному уравнению третьего порядка [11]

где Q(t) = B₁ – B₂ – (B₁a₂ – B₂a₁)δ_k; B₁ = (1 + р^*)/τ; B₂ = γ^*р^*/τ₁; m₁ = –(a₁ + a₂); m₂ = a₁a₂; m₃ = 0. С учетом того, что m₃ = 0, m₁ = const, m₂ = const, запишем это уравнение в форме

или

Проинтегрировав (4.22), от t₀ до t получим

Если = 0; ≡ 0, то окончательно имеем

где

Предположим, что параметры банка выбраны, как указано выше (см. пример в 4.3), т. е. так, что обеспечивается накопление в силу заданного начального значения капитала D(t₀). Важно найти такой поток кредитов δ_k(t), при котором происходит накопление не только за счет начальных средств, но и в процессе функционирования банка. С этой целью воспользуемся формулой (4.23) и положим, что D(t) – установившийся процесс. Это сильное допущение, что существенно упрощает решение задачи. При этом = = 0,

Если банк развивается, то (D(t) – D(t₀)) > 0. Данное условие реализуется, если

Осуществим в последнем неравенстве замену Q(t) = (B₁ – B₂) – (B₁a₂ – B₂a₁)δ_k(t), при этом получим неравенство

Задача анализа прибыльности банка заключается в выборе такой совокупности параметров δ_k(t), τ, τ₀, P₁, γ₁, γ₂, γ₃, γ₄, γ₅, при которой выполняется условие (4.24).

Пусть ставится задача: определить условия прибыльности и убыточности в текущий момент времени. При этом δ_k(t) выбираются такими, что имеет место

– прибыльность банка, если > 0, где t₁ – момент времени, начиная с которого банк начал давать прибыль;

– убыточность банка, если < 0, где t₂ – момент времени, начиная с которого банк стал убыточным;

– крах банка, если [K_y(t₀) + D(t₃)] ≤ 0, где t₃ – момент времени, начиная с которого капитал банка за счет оборотных средств стал нулевым или отрицательным; K_у(t₀) – капитал банка в момент времени t₀.

Очевидно, что для различных значений времени банк может быть прибыльным либо убыточным до тех пор, пока не произойдет третье событие, означающее разорение банка и прекращение его существования.

4.4. Математическая модель банковских кредитов в условиях инфляции

Рассмотрим, каким образом можно в модели банка, разработанной выше, учесть инфляцию.

Спрос на деньги порождает их предложение. В результате процентная ставка изменяется (рис. 4.5). Для сохранения прибыли требуется увеличить поток денег, то есть инфляция должна быть в положительной обратной связи, работающей на «раскачку» системы, когда увеличение потока денег может не привести к прибыли, а наоборот, приведет к убыткам. При этом наиболее вероятна катастрофическая ситуация, выход из которой – в изменении структуры системы, когда вводится новое управление с целью получения прибыли, обеспечивающей развитие банка.

Рис. 4.5

Как видим, инфляция автоматически снижает реальный процент ставки, что облегчает условия займа и приводит к росту потоков денег V, повышению спроса на деньги и снижению предложения денег , не улучшая состояние дел в производстве, торговле. В условиях инфляции работу банка будем описывать с помощью системы уравнений (4.1). Если рассматривается большой интервал времени (больше одного месяца), то необходимо ввести индексацию на все денежные потоки, в том числе на зарплату. В дальнейшем будем рассматривать ситуацию, когда индексация полностью компенсирует инфляцию.

Поток возвратных средств для одного клиента вычисляется по формуле

где П₁(t – τ) – годовые проценты по кредиту, заявленные банком в момент времени (t – τ) выдачи кредита с учетом прогнозов о величине инфляции.

Поток расходов банка, включая кредит, а также внутренние расходы для одного клиента

где П₃(t – τ) – инфляция за время τ; δ_k (t, τ₁) – поток кредита, выданного одному клиенту на время τ₁; δ_зн(t), δ_нал(t), δ_pp(t), δ_пр(t) – потоки зарплаты, налогов, различных расходов; прибыли соответственно.

В общем случае к моменту времени t кредит может быть возвращен не одним, а несколькими клиентами, при этом если i-й клиент брал кредит в момент времени t_i на срок τ_i, то t_i + τ_i = t (рис. 4.6 для i = 1, 2). Кроме того, величина δ_n(t) включает в себя также и проценты по кредиту для тех клиентов, у которых не истек срок возврата кредита. При этом (для т клиентов) имеем

Рис. 4.6

С учетом того, что кредит может быть выдан не одному, а, например, k клиентам на различные сроки, для δ_e(t) получим следующую зависимость:

где τ_j – срок, на который выдан кредит j-му клиенту. При этом будем иметь в виду, что начальный момент времени t₀ характеризуется:

– сроками τ_i возврата кредита, для каждого из имеющихся клиентов;

– количеством k клиентов, с соответствующими объемами выданных кредитов.

Расходы на зарплату будем представлять в форме

где 15j – цикл выдачи зарплаты, если зарплата выдается через 15 дней. С учетом зависимостей (4.25) и (4.26) модель функционирования банка запишется следующим образом:

где D(t₀) = D₀ ≥ 0. В приведенной модели предполагалось, что кредитные средства, выдаваемые банком, принадлежат банку.

Рассмотрим случай, когда кредитные средства взяты из депозитных накоплений банка (рис. 4.7).

Рис. 4.7

В рассматриваемом случае

где τ – время, на которое выдан кредит; τ₁ – время, на которое положен депозит; П_Д(t – τ₁) – процентная ставка по депозиту, назначенная банком с учетом инфляции; П₁(t – τ) – процентная ставка по кредиту, назначенная банком с учетом инфляции; δ_Д(t) – поток депозитов в момент времени t.

В общем случае величина τ₁ не равна τ. Если τ₁ < τ, то банк при выдаче кредита может обойтись депозитным вкладом, не превышая при этом суммарный объем вложений по депозитам клиента 2. В случае, когда клиент 2 вносит в банк долларовый депозит на время τ₁ и требует возврата средств в долларах, возникают некоторые особенности.

Дело в том, что получатель кредита (клиент 1) для работы на внутреннем (российском) рынке хочет иметь его в рублевом исчислении. По этой причине валюту необходимо перевести в рубли по текущему курсу доллара в момент времени t получения ее от клиента 2, то есть a(t) = a₁, где a(t) – текущий курс доллара в момент времени t. По истечении времени τ (при выдаче депозита) необходимо совершить обратный переход от рублей к доллару по курсу a(t + τ₁) = a₂. При этом выражение (4.27) запишется в виде

где a₁ = a(t), a₂ = a(t + τ₁). Отметим, что величины a₁ и a₂ формируются банком с учетом его производственных затрат.

Полученные математические модели позволяют анализировать процесс функционирования банка во времени при различных кредитных процентах; оценивать роль инфляции, что позволяет соответствующим аналитическим подразделениям представлять руководству банка исходный материал с учетом влияния внешней среды для формирования кредитной политики не только на данный момент времени, но и с упреждением. Получаемая в результате расчетов величина безрискового кредитного процента служит исходным материалом для вычисления банковского процента с учетом риска невозврата кредита.

На результат функционирования предприятия существенное влияние оказывают инфляция, а также налоги и отчисления: их величина и последовательность выплат по времени. Для анализа происходящих процессов в модели финансовых потоков производственного предприятия рассмотрим математические модели этих процессов.

В качестве примера учета инфляции в разработанной выше модели рассмотрим изменение курса доллара в России, приведенное в таблице 4.1.

В качестве сравнения на рис. 4.8 приведено изменение курса доллара, а на рис. 4.9 – курса евро в 2007 году с 01.01.2007 по 27.06.2007 гг.

Покажем на этом примере методику построения математической модели динамики процесса инфляции.

Наша задача сводится к вычислению коэффициентов а и b уравнения Факкера – Планка – Колмогорова [40].

Таблица 4.1

Продолжение таблицы 4.1

Этим табличным данным соответствует график изменения курса доллара в 1992–1996 гг., приведенный на рис. 4.10.

Рис. 4.8

Рис. 4.9

Рис. 4.10

Проведенные исследования [12] показали, что наиболее адекватным к процессу изменения стоимости доллара США в России является марковский случайный процесс λ(t), описываемый дифференциальным уравнением

где μ – положительная константа; n(t) – нормальный стационарный белый шум. Марковский случайный процесс является обобщением винеровского процесса, для которого коэффициент сноса отличен от нуля.

Вероятности, описывающие риск инвестора, зависят от стоимостей сырья и комплектующих изделий, которые в свою очередь находятся в прямой зависимости от инфляции. Поэтому процедуру вычисления вероятностей P₂ и P₃ необходимо предварить построением одномерной плотности вероятностей W(λ, t) распределения инфляционного процесса λ(t). Для этого запишем выражение для приращения процесса λ(t) с учетом уравнения (4.28):

В соответствии с результатами работы [40] коэффициенты сноса и диффузии равны соответственно

a(λ, t) = –μ = const, b(λ, t) = N₀ / 2 = const,

где N₀ – интенсивность белого шума. Для таких значений коэффициентов a и b уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова, составленное для плотности вероятностей W (λ, t), имеет вид

Решение этого уравнения отыскивается при дельтообразном начальном условии W(λ, 0) = δ(λ – λ₀), где δ(λ – λ₀) – функция Дирака. Фундаментальное решение уравнения (4.29)

При фиксированном t, равном t₁, получим

откуда следует, что для рассматриваемого процесса дисперсия D_λ(t₁) = N₀t₁/2, среднеквадратическое отклонение σ_λ(t₁) = , а математическое ожидание m_λ(t₁) = λ₀ + μt₁. Полученное решение при каждом t описывает нормальную плотность распределения вероятностей, которая полностью определяется двумя параметрами: математическим ожиданием и дисперсией.

На рис. 4.10 представлена реализация случайного процесса. Анализ приведенного графика показывает, что его идентификация процессом λ(t), описываемым уравнением (4.28), путем подбора μ затруднена.

Для определения параметра μ рассмотрим не один, а несколько временных интервалов изменения курса доллара:

– [0, t₁], где t₁ = 24 месяца;

– [0, t₂], где t₂ = 36 месяцев;

– [0, t₃], где t₃ = 48 месяцев;

– [0, t₄], где t₄ = 54 месяца.

На рис. 4.11–4.14 приведены графики для математических ожиданий (пунктирная линия) и сам процесс λ(t) (сплошная линия). По оси Y выведена стоимость доллара в рублях. Графики математических ожиданий процесса представляют собой построенную для процесса λ(t) линию регрессии m(t_i) = a_it + b_i. Значения коэффициентов в зависимости от срока рассмотрения представлены в таблице 4.2.

Таблица 4.2

Рис. 4.11

Рис. 4.12

Рис. 4.13

Рис. 4.14

Данные таблицы 4.1 с учетом данных таблицы 4.2 обработаны статистическими методами для разных временных промежутков. При этом исходными членами вариационного ряда служили разности между стоимостью доллара для каждого месяца и соответствующего ему значения линии регрессии. Эти данные, по существу, представляют собой погрешности. Результаты такой обработки позволяют определить наиболее близкую к гистограмме функцию плотности распределения, имеющую аналитическое описание. В таблицах 4.3–4.4 представлены полученные точечные характеристики.

По результатам таблицы 4.3 для каждой статистики получено в аналитическом виде аппроксимирующее ее распределение Джонсона. Критерий согласия Колмогорова (таблица 4.4) подтвердил хорошую согласованность статистических и теоретических результатов.

Таблица 4.3

Таблица 4.4

Теперь мы сможем пересмотреть модели, полученные выше, с учетом инфляции.

4.5. Коммерческий банк в социально-экономической системе

Банковская система представляет собой сложный «организм», включающий уровни от макро– до микросистемы, от международной банковской системы и страновой системы до отдельного банка, представляющего собой микроорганизм или микросистему [42, 43]. При этом система банков представляет собой иерархическую динамическую систему, теоретические основы анализа которой простираются от оценки эффективности до анализа, прогнозирования и управления рисками и безопасностью функционирования как самих банковских систем, так и социально-экономических систем, в управлении которыми принимают участие банковские системы.

Деньги с их различными функциями – как общее средство обмена, мера стоимости товаров, средство сохранения и накопления ценностей, а также как средство платежа – являются «кровью» экономики (см. рис. 4.15).

Если чрезмерное увеличение денежной массы обусловливает движение спирали цен и приводит к инфляции, то понижение денежной массы – к дефляции и безработице. Установление денежной массы в таком размере, чтобы она, с одной стороны, стимулировала рост экономики, а с другой стороны, не приводила к инфляционным процессам, – самая важная функция центрального банка, создающего банковскую систему. Для выполнения указанной функции банковская система, включающая центральный банк, должна иметь единоличное право на эмиссию, управление количеством денег, а также инструменты для регулирования денежного оборота. Возможности вмешательства государства в эмиссию денег строго ограничиваются, а коммерческие банки, напротив, не должны подвергаться централизованному управлению капиталом. Опасность нерационального использования капитала можно исключить, прежде всего, за счет выдачи кредитов коммерческими банками, исходя исключительно из критериев рентабельности.

Рис. 4.15

На рис. 4.15 приведены следующие обозначения:

α₁ – деньги от населения;

α₂ – товары и услуги от бизнеса;

β₁ – налоги с доходов населения;

β₂ – налоги с доходов бизнеса;

β₃ – затраты на развитие социальной системы;

β₄ – затраты на развитие экономики;

γ₁ – потоки от коммерческих банков;

γ₂ – потоки от центрального банка;

δ⁽¹⁾_e, δ⁽²⁾_e – потоки финансовых средств на входе в банк;

δ⁽¹⁾_p, δ⁽²⁾_p – потоки финансовых средств на выходе из банка.

На структурно-управляющем уровне можно выделить следующие подсистемы социально-экономической системы.

1. Экономическая система, реализующая стратегическое управление материальной культурой общества.

2. Банковская система, реализующая тактическое управление.

3. Социальная система, включая домашние хозяйства, реализующая оперативное управление.

4. Система контроля, включая правительство, реализующая оценку эффективности и безопасности управлений, сформированных и реализованных подсистемами: экономической, банковской, денежной.

Система контроля позволяет реализовать системный анализ рисков, которые создаются под действием факторов риска внешнего и внутреннего происхождения. В рассматриваемой динамической системе риски реализуются на системно-структурном уровне, обусловливая тем самым сложности их анализа, прогнозирования и управления. В связи с этим возникает необходимость создания теоретических основ на уровне математического моделирования: анализа рисков и безопасности; прогнозирования рисков и безопасности; управления рисками и безопасностью для банковской системы на макро– и микроуровнях, методов и средств достижения цели с минимальными рисками.

Методы достижения цели включают создание и развитие научной организации денежного обращения в социально-экономической системе. Реализация цели посредством системы банков достигается путем обеспечения устойчивости работы и укрепления финансового положения каждого банка системы и системы банков в целом.

Контроль состояния банковской системы реализуется путем оценки потенциала Х экономики и благосостояния Y общества и предотвращения выхода этих потенциалов в область опасных состояний (значений) [42, 43].

На уровне микросистем, т. е. отдельного банка, необходимо решать следующие задачи: осуществлять структурно-функциональный синтез банка как финансовой динамической системы; реализовать структурно-функциональный анализ банковской системы, ее функциональных свойств, включая ее подсистемы; строить теоретические основы системы контроля и управления финансово-денежными процессами банковской системы из условия обеспечения нормативных величин вероятностей риска и безопасности.

Содержательная сторона банковского риска, его классификация, методы анализа и минимизации постоянно подвергаются модификации по ряду причин, таких как:

– постоянное изменение структуры рынка;

– обострение конкуренции;

– усиливающиеся колебания процентных ставок, обусловленные внешними факторами: конъюнктурой, денежной политикой, усилением небанковской конкуренции; политическими факторами;

– усиливающиеся требования клиентов.

В процессе деятельности банки сталкиваются с совокупностью различных видов рисков, отличающихся друг от друга по месту и времени возникновения, совокупности внешних и внутренних факторов, влияющих на их уровень, следовательно, на способы анализа рисков и методов их описания. Кроме того, все виды рисков взаимосвязаны и оказывают влияние на деятельность банков. Изменение одного вида риска вызывает изменение почти всех остальных видов, что, естественно, затрудняет выбор метода анализа уровня конкретного риска, и принятие решения по его снижению ведет к углубленному анализу множества других рисков.

Банковские риски охватывают все стороны деятельности банков – как внешние, так и внутренние. В соответствии с этим выделяются внешние и внутренние риски.

Риски социально-экономической системы формируются рынками, включающими: финансовый рынок; рынок труда; рынок товаров и услуг.