Текст книги "Введение в анализ риска"

Устойчивость полной модели

Применим модель (6.23) для анализа финансового состояния банка. Для этого запишем ее в следующем виде:

где 2n = m₁ = (τ₁ + τ)/ττ₁; k² = m₂ = 1/ττ₁; τ₁ = τ + τ₀;

Очевидно, что модель (6.24) пригодна для использования в качестве математической только в том случае, если она устойчива. Покажем, что это так. Для этого проанализируем состояние банка без влияния правой части (Q^*(t) = 0), при этом уравнение (6.24) представим в виде

где 2n = (τ_D + τ_k)/τ₀τ_k; k² = [1 – (1 – γ)(1 + p^*)]. Это уравнение описывает свободные изменения оборотного капитала D(t). В общем случае при малых начальных возмущениях процесс D(t) может быть либо сходящимся (к D(t₀)), что будет означать устойчивость, либо расходящимся – в противном случае.

В соответствии с теорией систем [10, 13], уравнение (6.24) при Q^*(t) = 0 имеет общее решение D(t) = c₁ exp(λ₁t) + c₂ exp(λ₂t) [6], где λ₁ и λ₂ – корни характеристического уравнения

λ² + 2nλ + k² = 0.

Покажем, что эти корни действительны и различны, то есть (n² – k²) > 0.

С учетом того, что n = (2τ + τ₀) / (τ(τ + τ₀)) и + τ₀)), разность n² – k² = 4τ² + 4ττ₀ + τ³₀ > 0, поскольку τ > 1, τ₀ ≥ 1. Кроме того, полученным значениям n и k соответствуют отрицательные собственные значения.

Сказанное говорит об устойчивости системы (6.24). Это означает, что при принятых условиях банк устойчив. При этом оборотный капитал банка при δ_k(t) = 0 останется неизменным, т. е. банк, не выделяющий кредиты, не может быть убыточным или прибыльным. При отсутствии прибыли нет и всех тех расходов, которые включены в расходную часть δ_e(t). Отметим, что, в соответствии с существующим законодательством, не все налоги оплачиваются, исходя от прибыли. Это, в свою очередь, означает, что модель (6.18) не совсем верна, поскольку при δ_k(t) = 0 выполняется условие δ_н(t) = 0. Для более тщательного анализа необходимо принять δ_н(t) = γ₃Aδ_k(t – τ) + c₁, где c₁ – постоянная величина, определенная с учетом действующего законодательства.

С учетом сделанных выводов, решение (6.24) запишем в виде

где ch(·) и sh(·) – гиперболические косинус и синус соответственно. Первое слагаемое D(t) = [D₀ch(λt) + ( + nD₀)sh(λt)/λ]e^–nt в терминах теории систем описывает свободные колебания, что для банка означает изменения оборотного капитала. В силу устойчивости системы (6.24) эти изменения удовлетворяют следующим условиям:

Второе слагаемое D₂(t) в (6.25) примет форму

Условия прибыльности и убыточности

Определим, при каких ограничениях, накладываемых на параметры системы, и каких управлениях имеют место:

– прибыльность банка > 0, где t₁ – момент времени, когда банк дает прибыль;

– убыточность банка < 0, где t₂ – момент времени, начиная с которого банк стал убыточным;

– крах банка [K(t) – D(t₃)] ≤ 0, где t₃ – момент времени, начиная с которого капитал банка за счет оборотных средств стал нулевым или отрицательным.

Очевидно, что для различных значений времени банк может быть прибыльным либо убыточным до тех пор, пока не произойдет третье событие, означающее разорение банка и прекращение его существования.

Определим условия, при которых банк является прибыльным. Для этого рассмотрим (6.25) и представим при нулевых начальных условиях в виде

Поскольку в данном выражении подынтегральная функция положительна, условие выполняется, если Q^*(μ)>0. Очевидно, при этом Q^*(t) > 0 и, следовательно,

Осуществим в последнем неравенстве замену

при этом получим неравенство

Задача анализа прибыльности банка заключается, таким образом, в выборе такой совокупности параметров δ_k(t), τ, τ₀, P₁, γ₁, γ₂, γ₃, γ₄, γ₅, при которой выполняется условие (6.26).

6.5. Математическая модель банковских кредитов в условиях инфляции

Рассмотрим, каким образом можно в модели банка учесть инфляцию.

Спрос на деньги порождает их предложение. В результате процентная ставка изменяется (рис. 6.5). Для сохранения прибыли требуется увеличить поток денег, т. е. инфляция должна быть в положительной обратной связи, работающей на «раскачку» системы, когда увеличение потока денег может привести не к прибыли, а, наоборот, к убыткам. При этом наиболее вероятна катастрофическая ситуация, выход из которой – в изменении структуры системы, когда вводится новое управление с целью получения прибыли, обеспечивающей развитие банка.

Рис. 6.5

Как видим, инфляция автоматически снижает реальный процент ставки, что облегчает условия займа и приводит к росту потока денег V₂, не улучшая состояние дел в производстве, торговле.

Если рассматривается большой интервал времени (больше одного месяца), то необходимо ввести индексацию по зарплате. В дальнейшем будем рассматривать ситуацию, когда индексация полностью компенсирует инфляцию.

Для одного клиента поток возвратных средств

где П₁(t – τ) – годовые проценты по кредиту, заявленные банком в момент времени (t – τ) выдачи кредита с учетом прогнозов о величине инфляции.

Для одного клиента поток кредитных средств

где П₃(t – τ) – инфляция стоимости товара за время τ; δ_k(t,τ₁) – поток кредита, выданного одному клиенту на время τ₁; δ_зη(t), δ_нал(t), δ_рр(t), δ_пр(t) – потоки зарплаты сотрудникам банка, налогов, различных расходов и прибыли соответственно.

В общем случае к моменту времени t кредит может быть возвращен не одним, а несколькими клиентами, при этом если i-й клиент брал кредит в момент времени t_i на срок τ_i, то t_i + τ_i = t (рис. 6.6 для i = 1,2). Кроме того, величина δ_n(t) включает в себя также и проценты по кредиту для тех клиентов, у которых не истек срок возврата кредита.

Рис. 6.6

При этом имеем

С учетом того, что кредит может быть выдан не одному, а нескольким клиентам на различные сроки, для δ_e(t) получим следующую зависимость:

где τ_j – срок, на который выдан кредит j-му клиенту. При этом будем иметь в виду, что начальный момент времени t₀ характеризуется:

– сроками τ_k возврата кредита;

– количеством k клиентов, имеющих кредит.

Расходы на зарплату будем представлять в форме

где 15j – цикл выдачи зарплаты, если зарплата выдается через 15 дней. С учетом зависимостей (6.27) и (6.28), модель функционирования банка запишется следующим образом:

В приведенной модели предполагалось, что кредитные средства, выдаваемые банком, принадлежат банку.

Рассмотрим случай, когда кредитные средства взяты из депозитных накоплений банка (рис. 6.7).

Рис. 6.7

В рассматриваемом случае

где τ – время, на которое выдан кредит; τ₁ – время, на которое положен депозит; П_g(t – τ₁) – процентная ставка по депозиту, назначенная банком с учетом инфляции; П₁(t – τ) – процентная ставка по кредиту, назначенная банком с учетом инфляции.

В общем случае величина τ₁ не равна τ. Если τ₁ < τ, то банк при выдаче кредита может обойтись депозитным вкладом, не превышая при этом объем вложений клиента 2. В случае когда клиент 2 вносит в банк долларовый депозит на время τ₁ и требует возврата средств в долларах, возникают некоторые особенности.

Дело в том, что получатель кредита (клиент 1) для работы на внутреннем (российском) рынке хочет иметь его в рублевом исчислении. По этой причине валюту необходимо перевести в рубли по текущему курсу доллара в момент времени t получения ее от клиента 2, т. е. a(t) = a₁, где a(t) – текущий курс доллара в момент времени t. По истечении времени τ (при выдаче депозита) необходимо совершить обратный переход от рублей к доллару по курсу a(t + τ₁) = a₂. При этом выражение (6.29) запишется в виде

где a₁ = a(t), a₂ = a(t + τ₁). Отметим, что величины a₁ и a₂ формируются банком с учетом инфляционных процессов.

Полученные математические модели позволяют анализировать процесс функционирования банка во времени при различных кредитных процентах; оценивать роль инфляции, что позволяет представлять руководству банка исходный материал с учетом влияния внешней среды для формирования кредитной политики не только на данный момент времени, но и с упреждением. Получаемая в результате расчетов величина безрискового кредитного процента служит исходным материалом для вычисления банковского процента с учетом риска невозврата кредита.

Глава 7. Математическая модель финансовых потоков производственного предприятия

7.1. Основные функциональные связи производственного предприятия

При разработке математической модели финансовых потоков производственного предприятия необходимо рассматривать как связи внутри него самого, так и его внешние связи с другими экономическими объектами, предназначенные, в частности, для подготовки производства и реализации готовой продукции. Глубина описания внутренней структуры и соответствующих связей должна соответствовать цели исследования.

Наша задача состоит в создании открытой модели, которая в дальнейшем будет допускать введение новых связей и структурных подразделений производственного предприятия. Это обеспечит при необходимости переход на новый уровень более детального его описания.

На рис. 7.1 приведена структурная модель производственного предприятия с его основными функциональными связями. Здесь введены следующие обозначения:

U = (U₁, U₂, U₃) – вектор управляющих воздействий;

U₁ – управление, которое создает руководитель предприятия с целью организации производства, а также нейтрализации внешних возмущений;

U₂ – управление, которое формирует руководитель предприятия с целью решения финансовых задач, связанных с распределением выручки за произведенный товар с учетом свойств рынка;

U₃ – управление, формируемое руководителем предприятия с целью реализации финансовой программы с учетом требований банка, так, например, изменения процентной ставки кредита;

W = (W₁, W₂, …, W_k) – векторная величина, компонентами которой являются следующие внешние факторы: влияние рынка, роль политики государства в области экономики, нестабильность организационной структуры предприятия, изменение спроса и предложения на выпускаемый товар, влияние конкурентов и их стратегии, изменение квалификации сотрудников предприятия;

D(t) = (D₁, D₂, D₃, D₄, D₅, D_Б1, D_Б2) – вектор денежных средств;

D₁ – деньги, затраченные на покупку сырья и комплектующих изделий на рынке 1;

D₂ – деньги, вырученные за произведенный и реализованный товар на рынке 2;

D₃ – деньги, направленные на производственные нужды;

D₄ – деньги, направленные на оплату энергоносителей;

Рис. 7.1

D₅ – деньги, направленные в госбюджет, прежде всего, в качестве налогов;

D_Б1, D_Б2 – деньги, отданные банку и полученные из банка соответственно;

X₁(t) – стоимость сырья и комплектующих изделий на рынке 1, необходимых для производства товара;

X₂(t) – стоимость произведенного товара на рынке 2;

W₁(t) – внешние возмущения, действующие непосредственно на менеджера, в том числе ошибки управления руководства предприятия.

Блок-схема на рис. 7.1 не может представить всю совокупность связей производственного предприятия с внешним миром. Здесь отражена только часть связей в укрупненном виде, оказывающих наиболее существенное влияние на его функционирование. Несмотря на то, что такое описание производственного предприятия приближенное, оно позволяет установить роль главных факторов, оценить их влияние на основной показатель – прибыль, а также на величину риска, допускаемого при реализации проекта. При более детальном описании производственного предприятия резко возрастает сложность модели, что в свою очередь приводит к резкому усложнению анализа, вычисления стохастических характеристик процессов, описываемых такой моделью.

При построении математической модели важно выделить такие моменты времени, в которые происходят те или иные финансовые и производственные операции. Этот факт отображен на рис. 7.2, где приняты следующие обозначения:

t₁ – момент времени поступления сырья и комплектующих изделий, t – произвольный момент времени выделения финансовых средств; t < t₁; τ₁ = t₁ – t, включает в себя время, затраченное на приобретение сырья и комплектующих изделий;

t₂ – момент времени выпуска готового изделия q, τ₂ = t₃ – t₂, включает в себя время реализации товара на рынке 2 и время поступления денег на расчетный счет производственного предприятия.

Основное влияние на прибыль и риск менеджера оказывают рынок 1 и рынок 2. Рынок 2 служит местом реализации готовой продукции. При этом стоимость готовых изделий изменяется во времени и представляет собой случайный процесс, являющийся вектором. Обозначим его через X₂(t). Размерность вектора X₂ совпадает с количеством разноплановых изделий. Например, эта размерность равна единице, если изготавливается один тип станка, который реализуется по одной и той же стоимости. В случае когда реализуются станки двух различных типов, размерность вектора X₂ равна двум.

Рис. 7.2

На рынке 3 трудовых ресурсов формируется их стоимость, т. е. зарплата работников предприятия. Обозначим ее через X₃(t). Эта векторная величина переменна во времени и случайна. Ее размерность зависит от штатного расписания.

Рынок 4 научных исследований задает стоимость новых разработок и внедрение их в производство. В крупных фирмах этот рынок может быть включен в структуру фирмы. Чаще всего этот рынок принадлежит научным организациям типа НИИ, Академии наук. Обозначим расходы на НИР через X₄(t). Эта величина переменна во времени и случайна, в общем случае – векторная и включает в себя заказы в нескольких научных фирмах.

В дальнейшем мы ограничимся учетом влияния только этих внешних факторов на работу предприятия в предположении, что для них границы предприятия прозрачны.

7.2. Динамическая модель финансовых потоков производственного объекта

При построении модели рассматриваемого производственного предприятия воспользуемся балансом финансовых потоков в текущий момент времени.

Анализ деятельности предприятия связан с оценкой эффективности использования основных фондов и оборотных средств. Для его проведения разработаем динамические модели изменения основных фондов и оборотного капитала. Величины оборотного капитала предприятия и оборотных фондов, как правило, регламентируются, поскольку с ними связаны основные издержки предприятия: налоги, кредиты, текущие расходы и т. д.

Под оборотным капиталом D = D(t) понимают: превышение мобильных средств (текущих активов) над краткосрочными обязательствами (см., например, [69]). Оборотный капитал необходим для закупки товара, следовательно, для предприятия он представляет собой запас товара в текущий момент времени. В процессе функционирования предприятия D(t) возрастает или убывает, претерпевая изменения. Будем предполагать, что функция D(t) непрерывна и существует производная dD(t)/dt. С учетом сказанного выше, получим

где D(t) – объем оборотного капитала предприятия, имеющегося в обороте в данный момент времени и которым можно свободно распоряжаться;

δ_п(t) – поток поступающих средств в единицу времени;

δ_e(t) – поток расходных средств в единицу времени;

D(t₀) = f (z₁, z₂, z₃, z₄) – оборотный капитал в начальный момент времени;

z₁ – прямые переменные издержки;

z₂ – запасы товара;

z₃ – кредиты;

z₄ – дебиторская задолженность.

Приходная часть δ_п(t) содержит потоки средств, поступающих с рынка 2 и из банка в виде кредита или процентов по депозиту:

δ_п (t) = δ₂(t) + δ_кр (U₃,t), (7.2)

где δ₂(t) = f (x₂(t)); x₂(t) = k_цn_тов(U₁,t); k_ц – цена единицы произведенного товара; n_тов – количество товара в единицу времени; x₂ – случайный процесс, описывающий изменение цены товара во времени; δ_кр(U₃,t) – поток денежных средств, поступающих из банка в виде кредита.

Расходная часть δ_e(t) потоков средств включает в себя:

δ_и(U₁,t) – издержки предприятия;

δ₁(x₁,t₁) – стоимость сырья и комплектующих изделий, приобретенных на рынке 1;

δ_ф(U₂,t) – вложение в основные фонды;

δ_{кр в} (U₃,t) – возврат кредита и процентов по нему;

δ_H(t) – налоги.

В результате для расходной части δ_e получим выражение

δ_e = δ_и(U₁,t) + δ₁(x₁,t₁) + δ_ф(U₂,t) + δ_{кр в}(U₃,t) + δ_H(t).           (7.3)

Издержки предприятия δ_и включают в себя:

y₁ – затраты на транспорт, хранение сырья и готовой продукции;

y₂ – затраты на функционирование производственных подразделений (энергия, обслуживание машин, в том числе текущий ремонт);

y₃ – затраты на оплату ремонтных и вспомогательных рабочих;

y₄ – расходы по амортизации средств производства;

y₅ – затраты на административно-управленческий персонал;

y₆ – затраты на содержание зданий и сооружений;

y₇ – затраты на опытно-конструкторские работы;

y₈ – прочие затраты.

Таким образом, имеем функциональную зависимость

δ_и = F(y₁, y₂, …, y₈).

Задача исследования связана с прогнозированием расходов в зависимости от объема производства, а также валовых поступлений и издержек [2]. Мотивация различных уровней специалистов предприятия обеспечивается соответствующей зарплатой. При этом необходимо рассматривать рынок труда (см. рис. 7.2), на котором есть спрос и предложение, есть конкуренты. Зарплата работников предприятия определяется политикой цен и издержек, проводимых руководством. Реальная структура предприятия строится с учетом производственных мощностей, квалификации персонала, спроса на товар. При этом необходимо проводить прогноз влияния внешней среды на работу предприятия.

Модель, включающая уравнения (7.1)–(7.3), содержит следующие компоненты финансовых средств: δ₂(t) или D₂(t), величина которых зависит от возможностей производственного предприятия, его производственной базы, а также возможностей развития этой базы при инвестировании. При этом, с одной стороны, величина D₂(t) зависит от количества выпускаемого товара (объема производства), с другой – рынок 2 задает стоимость единицы товара.

Для того чтобы получить замкнутую математическую модель производственного предприятия, необходимо разработать модели:

1) потока выпуска продукции производственного предприятия;

2) изменения стоимости товара на рынках 1 и 2, например, за счет инфляции;

3) налоговых отчислений, изменяющихся во времени.

При этом важной, а в некоторых случаях определяющей характеристикой финансовой деятельности предприятия является модель налоговых отчислений. Включение последней в динамическую модель производственного предприятия необходимо увязать со временем отчисления налогов. Это особенно важно для такого налога, как НДС.

7.3. Динамическая модель потока выпуска продукции производственного предприятия

Запишем математическую модель изменения основных производственных фондов для развивающегося и функционирующего производственного предприятия в виде [69, 70]:

где Ф(t) – стоимость действующих освоенных основных производственных фондов (ОПФ);

Ф_н(t) – стоимость неосвоенных ОПФ;

F₁ – поток освоения ОПФ;

F_a – поток износа ОПФ;

F₂ – поток поступлений ОПФ;

N(U₁) – мощность, т. е. максимально возможный поток выпуска данного изделия (измеряется по его стоимости или в количестве в единицу времени);

m – мгновенная фондоемкость.

При решении конкретных задач часто принимается, что

F_a = βФ или F_a = αN,           (7.5)

причем величины α и β связаны между собой зависимостью α = mβ. Кроме того, освоение капитальных вложений F₂ часто принимается пропорциональным Ф_н:

F₂ = k₁Ф_н,           (7.6)

где k₁ – постоянный коэффициент. В результате мы получили систему уравнений, описывающую развивающийся объект, который является потенциально готовым к функционированию. Этот объект может в дальнейшем развиваться и расширяться, при этом часть ОПФ предприятия будет стареть и списываться.

Данный объект не производит товара, хотя затраты были произведены ранее и вкладываются сейчас в оснащение производства, но продукцию рассматриваемый объект не выпускает, следовательно, его нельзя назвать функционирующим. Он не может и не будет функционировать, т. е. выпускать продукцию, до тех пор, пока не подадут энергию, не будут поступать материалы, полуфабрикаты и не будет поступать поток оборотных фондов, которые приведут этот объект в работающее, функционирующее состояние. Таким образом, объект состоит из развивающейся и функциональной частей.

Конкретизируем факт функционирования объекта. Рассмотрим производственный объект, выпускающий однотипную продукцию. Количество изделий n_тов, выпускаемых объектом в единицу времени, назовем потоком выпуска. Он может измеряться в стоимости или в количестве (в штуках, в килограммах и т. д.) в единицу времени. Поток выпуска n_тов зависит от потока производственных издержек или затрат, который будем называть потоком оборотных фондов. Последний представляет собой используемые в единицу времени энергию, материалы и тому подобное. Сюда же включена зарплата сотрудников предприятия. Этот поток будем измерять в стоимостном выражении (стоимость в единицу времени), которое обозначим через θ. Если величина θ = 0, то n_тов = 0, следовательно, объект не функционирует. Выпуск продукции начинается, как только появляется поток основных фондов. При этом

n_тов = kθ,           (7.7)

где k – коэффициент пропорциональности, или коэффициент затрат.

При увеличении производственных затрат пропорционально увеличивается и количество выпускаемой продукции. Однако это имеет место только до определенного значения величины потока затрат. Дело в том, что изделия производятся на существующих ОПФ, которые обладают мощностью N, т. е. максимально возможным количеством выпуска данного изделия в единицу времени на данных ОПФ. При этом n_тов не может превосходить N, поэтому имеет место неравенство

0 ≤ n_тов < N.           (7.8)

Таким образом, функционирование объекта описывается соотношениями (7.7) и (7.8), а развитие этого объекта – соотношениями (7.4)–(7.6).

Уравнения (7.4)–(7.8) описывают развивающийся и функционирующий объект. Эта модель отличается от общепринятой «затраты – выпуск». Здесь могут быть капитальные затраты, которые приводят к расширению объекта, а выпуск продукции при этом не увеличивается, и далее выпуска продукции может и не быть. Идея «затраты – выпуск» содержится только в уравнении (7.7).

Для того чтобы воспользоваться моделью, описываемой этими уравнениями, необходимо определить параметры m, α, β, τ и k. Такая операция называется идентификацией [18] и производится по нормативам или по статистике за базовый период. Если за базовый период смены выпускаемых изделий не происходит, то все параметры могут оказаться постоянными. Модификация изделия, замена его другим или введение усовершенствований в технологии в связи с достижениями научно-технического прогресса приводят к изменению этих параметров.

Как правило, для формирования оборотного капитала используется банковский кредит. Чаще всего динамику и свойства банка не имеет смысла учитывать в общем процессе функционирования производственного предприятия. Однако в некоторых случаях включать в описание этого процесса математическую модель банка необходимо. Особенно это касается таких периодов времени, когда происходят резкие изменения процентных ставок по кредиту, налогов (например, при принятии нового налогового закона).