Текст книги "Управление рисками рыночных систем (математическое моделирование)"

Области допустимых состояний

Рассмотрим несколько моделей процесса контроля индикаторов состояния рыночной системы или рынка, например рыночной цены, имеющих одностороннее (сверху, снизу) и двустороннее ограничения в случае, когда х = х₁ и х = (х₁, х₂), т. е. одномерный и двумерный соответственно.

Возможны следующие ситуации при одностороннем ограничении (либо х_min, либо х_max).

Рис. 1.19

1. Идеальная (простейшая) ситуация.

Ограничиваемый процесс x(t) – одномерный, ограничения односторонние, не меньше минимального значения (рис. 1.19). Значение х⁽¹⁾_доп вычислено в системе контроля точно без ошибок, ошибки измерения δх = х_ф – х_изм равны нулю, т. е. х_изм = х_ф, динамикой процесса x(t) и ошибками управления пренебрегаем. При этих условиях критическое значение х_кр совпадает с х⁽¹⁾_доп. Такую ситуацию и рыночную систему будем считать идеальной.

2. Системе контроля присущи ошибки измерения.

Рис. 1.20

Система контроля вычисляет х_доп с ошибкой δх_доп. При этом множество Ω⁽²⁾_доп уменьшается на некоторую величину Δ₁, которую называют запасом (рис. 1.20). С помощью Δ₁ компенсируются потери, обусловленные погрешностями δх_доп, как факторами риска. При этом х⁽²⁾_доп > х⁽¹⁾_доп.

Рис. 1.21

Измеренное значение х_изм индикатора х и его фактическое значение x_ф отличаются на величину δх – погрешность измерения (δх ≠ 0) (рис. 1.21). При этом с целью компенсации потерь, обусловленных δх, вводят новое допустимое значение х⁽³⁾_доп и соответствующее множество Ω^(o)_доп, которое называется оценочной областью допустимых состояний рыночной системы. При этом вводится значение Δ₂ = х⁽³⁾_доп – х⁽¹⁾_доп.

3. В некоторых случаях динамика процесса = dx / dt такова, что ею нельзя пренебрегать, в силу свойств рыночной системы (ее инерционных характеристик). Тогда вводят дополнительный запас Δ₃ = х⁽⁴⁾_доп – х⁽¹⁾_доп для компенсации потерь, обусловленных, прежде всего, динамикой процессов.

Рассмотрим теперь двусторонние ограничения.

Случай двусторонних ограничений, накладываемых на x(t), представлен на рис. 1.22.

Рис. 1.22

Граничныеэлементы множества Ω_доп обозначим х^н_доп и х^в_доп, где х^н_доп < х^в_доп. При этом имеем:

х^н_доп = х^н_кр + Δ^н; х^в_доп = х^в_кр – Δ^в,

где х^н_кр, х^в_кр – соответственно нижнее (минимальное) и верхнее (максимальное) критические значения индикатора; Δ^н, Δ^в – соответственно нижняя и верхняя величины гарантийного запаса для индикатора, вводимые на случай непреднамеренного выхода х за допустимые значения при неблагополучном сочетании возмущающих факторов. При этом критические значения, как правило, определяются для установившегося режима функционирования рыночной системы.

Задача построения множества допустимых состояний Ω^дин_доп для нестационарного состояния рыночной системы более сложная. Множество Ω^дин_доп представим в виде:

Ω^дин_доп = {x : (x^н)^дин_доп < x < (x^в)^дин_доп},

где (x^н)^дин_доп = φ^н(х^н_доп, ); (x^в)^дин_доп = φ^в(х^в_доп, ); φ^н, φ^в – неизвестные функции, подлежащие определению; = dx / dt.

Рассмотрим множество Ω^к_доп, обусловленное свойствами системы контроля (информационно-измерительной системы). Система контроля обладает погрешностями δ(t), в результате в простейшей модели на ее выходе имеем х_изм = х_φ + δ(t). Погрешность контроля δ(t) обусловливает необходимость уменьшения области Ω_доп, т. е. введением Ω^к_доп следующим образом:

Ω^к_доп = {x : (x^н)^к_доп < x < (x^в)^к_доп},

где (x^н)^к_доп, (x^в)^к_доп – соответственно нижнее и верхнее допустимые при контроле значения x(t). В частном случае (x^в)^к_доп = (x^в)_доп – Q^в; (x^н)^к_доп = (x^н)_доп + Q^н, где Q^в, Q^н – соответственно верхний и нижний запасы, обусловленные погрешностями измерения и подлежащие определению.

В общем случае (х)^к_доп Ω^к_доп являются функциями параметров (х₁, …, х_т) состояния рыночной системы вида:

(х)^к_доп = f (x₁, …, x_m, (x₁)_доп, (x_n)_доп, (x₁)_кр, …, (x_n)_кр, k_i, σ²_i, t),

где k_i – параметры, характеризующие рыночную систему; σ²_i – дисперсия погрешностей системы контроля; f – функция, описывающая закон формирования области Ω^к_доп.

На рис. 1.23 приведены графические представления указанных выше множеств для двумерного вектора состояния в стационарном случае. Будем говорить, что риск рыночной системы равен нулю, если ее параметры х постоянно находятся в области допустимых состояний, и записывать х Ω_доп. Если х Ω_доп, то такое состояние называют критической ситуацией или катастрофой. В связи с тем, что, находясь в области Ω_кр, рыночная система не в состоянии реализовать свое целевое назначение, выход в это состояние необходимо предотвратить.

Рис. 1.23

В общем случае область Ω_доп и ее граница S_доп зависят не только от х, но и от возмущений, действующих на рыночную систему со стороны внешней среды, и других систем, требующих вложения ресурсов для компенсации их воздействия.

1.6. Математические модели вероятностных показателей риска и безопасности

Формулировка задачи.

Вероятностные показатели разработаем для рыночных систем, в которых имеются системы контроля и управления, предназначенные для предотвращения выхода рыночных систем в область критических состояний.

Контроль – это функция, оказывающая решающее влияние на рыночную систему (рынок), ее нахождение в области Ω_доп или Ω_кр. Существуют два вида контроля рыночной системы:

1. Внутренний контроль посредством внутренних систем, когда рыночная система находится в области Ω_доп.

2. Внешний контроль, предназначенный для формирования дополнительных управлений, когда внутренние ресурсы исчерпаны, когда рыночная система достигает Ω_кр, т. е. когда ищется «отказавший» объект.

Задача сравнительно проста, когда система находится в области Ω_доп, но приближается к ее границе S_доп. Прогнозируя ее поведение, мы можем не «восстанавливать», а предотвращать, предсказывая, предупреждая. В этом наша главная цель. В общем случае необходимо контролировать и определять области допустимых значений параметров:

у – на входе рыночной системы;

z – состояния внутренних подсистем, включающих четыре подсистемы (z₁, z₂, z₃, z₄);

x – на выходе.

Рассмотрим исходные посылки формирования математической модели вероятностных показателей риска и безопасности системы.

1. Предметом исследования является рыночная система, предназначенная для выполнения заданной цели.

2. Состояние рыночной системы характеризуется вектором параметров = (z, x, y).

3. Вектор параметров (z, x) в процессе функционирования системы подлежит контролю и ограничению.

4. Функциональные свойства системы в процессе достижения цели могут изменяться.

5. Цель может достигаться для всех значений (z, x) из области допустимых значений.

6. Невыполнение поставленной цели, в том числе с непрогнозируемой реакцией среды, формирующей внешние факторы риска W, обусловливает соответствующие риски.

7. Каждая рыночная система может достигать области критических состояний Ω_кр, в которой параметры состояния (z, x) принимают критические значения, а подсистемы и система в целом теряют свои функциональные свойства и не способны выполнять поставленные цели. Все (z, x), принадлежащие области Ω_кр, обозначим (z_кр, x_кр). В результате потери, обусловленные невыполнением цели, связаны с выходом (z, x) в критическую область, когда (z, x) = (z_кр, x_кр).

8. Все те значения (z, x), при которых рыночная система способна выполнять свое функциональное назначение, назовем допустимыми и обозначим (z_доп, x_доп). Все значения (z_доп, x_доп) образуют некоторое открытое множество, которое обозначим Ω_доп. При этом имеет место, например, одностороннее ограничение по максимуму: x_доп < х_кр, только для выходной координаты системы.

В дальнейшем ограничимся, для упрощения записи, рассмотрением выходной координаты х.

9. Разность Δ = (х_кр – х_доп) представляет собой множество, характеризующее запас на неблагоприятное сочетание возмущающих (эксплуатационных) факторов, влияние которых на процесс функционирования рыночной системы невозможно оценить.

10. Область допустимых состояний Ω_доп и соответствующие ей значения x_доп изменяются сложным образом в процессе функционирования системы, и теоретические обоснования величины x_доп нуждаются в постоянном уточнении этих значений в процессе ее функционирования.

11. Для предотвращения потерь и наилучшего достижения цели в рыночной системе, как правило, осуществляется контроль и управление.

12. В процессе функционирования рыночной системы с помощью систем контроля, обладающих погрешностями, строят область допустимых состояний Ω^*_доп. При этом, как правило, теоретические (расчетные) значения х_доп не совпадают с х^*_доп, в результате области Ω_доп и Ω^*_доп не совпадают.

13. При формировании управления используются измеренные значения контролируемых параметров, которые обозначим х_изм.

14. На выходе рыночной системы реализуются текущие или фактические значения параметров, которые обозначим х_ф. При этом х_изм = х_ф + δх, где δх – погрешность измерений, в общем случае случайный векторный процесс.

15. Фактические значения параметров х_ф в силу объективных причин, в том числе воздействия внешних и внутренних возмущающих факторов, а также свойств управлений, представляют собой случайные процессы. Информация о значениях векторного случайного процесса на этапе прогнозирования отсутствует, и для ее получения необходимо создавать модели различного уровня, содержания и свойства.

16. Для компенсации влияния погрешностей δх на величину потерь вводятся допустимые оценочные значения х^o_доп параметров х и соответствующая им область Ω^o_доп Ω_доп, т. е. вводится множество значений, характеризующее запас Δ₁ = (х_доп – х^o_доп) > 0.

17. При контроле рыночной системы и соответственно динамических процессов, когда ≠ 0 (скорость изменения процесса во времени), необходимо вводить дополнительный запас Δ₂ = k, и тогда х^дин_доп = х^o_доп – k. В результате имеем Ω^дин_доп Ω^o_доп Ω_доп, т. е. х^дин_доп ≤ х^o_доп ≤ х_доп для одностороннего ограничения сверху.

18. Предотвращение потерь состоит в обеспечении условия х_φ(t) Ω^дин_доп для любого момента времени t функционирования рыночной системы. Однако система контроля способна определить х^*_доп = х_доп + δх_доп, где δх_доп – погрешность функционирования системы контроля. При этом человек имеет информацию о Ω^*_доп, сформированных из х^*_доп. В этих условиях оператор может обеспечить только х_изм Ω*_доп, а это означает, что при управлении возможен выход x_ф из области Ω_доп, что означает соответствующие потери и риск.

19. В силу того, что процессы x_ф и x_изм являются случайными, меру потерь будем вводить с помощью вероятностей P_i событий, связанных с выходом (x_i)_ф в Ω_кр.

20. С учетом сказанного, необходимо разработать интегральные показатели риска

P_i = P_i (Ω_доп, Ω^дин _доп, Ω^o_доп, М_k(х_ф), М_k(х_изм), a, b) (i = 1,2…),

где М_k(х_ф) – момент k-го порядка случайного векторного процесса x_ф; М_k(х_изм) – момент k-го порядка случайного векторного процесса x_изм; a, b – параметры системы (векторные величины).

21. В дальнейшем под интегральными показателями рисков рыночной системы будем понимать вероятности того, что фактические значения параметров рыночной системы и ее отдельных подсистем (по различным причинам) покидают область допустимых состояний в процессе функционирования.

22. Полученные расчетным путем P_i уточняются в процессе функционирования рыночной системы. В последнем случае уточняются как P_i, так и область Ω^o_доп.

Опасные и безопасные ситуации

Поиск решения задачи в работе осуществляется при следующих допущениях относительно контролируемого и ограничиваемого индикатора x:

– критическое значение параметра состояния постоянно и не зависит от времени (x_кр = const);

– фактические и измеренные значения параметра представляют собой случайные процессы с известным законом распределения;

– превышение параметром величины x_кр на любом интервале времени ведет к критической ситуации.

Введем необходимые обозначения.

Текущее или фактическое значение параметра запишем в виде x_ф = x_н + Δx, где x_н – номинальное значение (математическое ожидание) параметра; Δx – отклонение параметра состояния x относительно x_н. Обозначим через δx погрешность измерения параметра. Тогда измеренная величина параметра контроля x будет определяться суммой:

x_изм = x_н + Δx + δx.

Обозначим α x_н + Δx = x_ф; β δx; γ x_изм = α + β ( означает равенство по определению); x^в_доп x^в, x^н_доп x^н – соответственно верхнее и нижнее допустимые значения х_ф; x^кв_доп, , x^кн_доп – для измеренных значений x верхнее и нижнее допустимое соответственно; x^н < < < x^в (рис. 1.24).

Рис. 1.24                                     Рис. 1.25

Очевидно, что по известным вероятностным характеристикам (Δx, δx, x_изм) находятся вероятностные характеристики (α, β, γ), и наоборот. Таким образом, рассматривается вектор (α, γ) зависимых случайных процессов, в частности стационарных, а α и β, по нашему предположению, независимые случайные процессы (величины).

В процессе выполнения поставленной цели относительно фактических и измеренных значений возможны следующие события.

1. Фактическое значение α параметра находится в области допустимых значений, т. е. на одном из трех отрезков, принадлежащих [x^н, х^в] (рис. 1.24). Тогда имеем событие А_α {(x^н ≤ α ≤ ) ( ≤ α ≤ ) ( ≤ α ≤ х^в)}.

2. Фактическое значение α находится вне области допустимых состояний, превышая х^в (рис. 1.25). В итоге имеем В_α {α > х^в}.

3. Фактическое значение α находится вне области допустимых состояний, не достигая х^н (рис. 1.26). В итоге имеем С_α {α < х^н}.

4. Измеренное значение γ индикатора х состояния рыночной системы находится в области допустимых состояний (рис. 1.27). В этом случае имеем событие А_γ { < γ < }.

Рис. 1.26                                                    Рис. 1.27

5. Измеренное значение γ индикатора х состояния рыночной системы находится вне области допустимых значений, превышая (рис. 1.28). В итоге имеем В_γ {(γ > )}.

6. Измеренное значение γ индикатора х находится вне области допустимых значений, не достигая  (рис. 1.29). В итоге имеем Сγ {(γ ≤ )}.

Рис. 1.28                                     Рис. 1.29

В процессе контроля индикатора х, изменяющегося во времени на всей числовой оси, возможны следующие гипотезы.

Гипотеза А_α. Ограничиваемый индикатор х, его фактическое значение х_ф, находится в области допустимых значений, т. е. имеет место событие А_α.

Гипотеза В_α. Фактическое значение индикатора рыночной системы x_ф находится вне области допустимых состояний, т. е. имеет месть событие B_α. С помощью средств контроля или оценки имеем А_γ, В_γ или С_γ.

Гипотеза С_α. Фактическое значение индикатора системы x_ф находится вне области допустимых состояний, т. е. имеет место событие С_α. С помощью средств контроля или оценки имеем А_γ, В _γ или С_γ.

В итоге имеем различные события S_ij, которые сгруппируем следующим образом:

I. (А_α ∩ А_γ);→S₁₁;

II. (А_α ∩ С_γ); (А_α ∩ В_γ); → S₂₁, S₂₂;

III. (С_α ∩ А_γ); (В_α ∩ А_γ); → S₃₁, S₃₂;

IV. (С_α ∩ С_γ); (В_α ∩ В_γ); → S₄₁, S₄₂;

V. (С_α ∩ В_γ);. (В_α ∩ С_γ); →S₅₁, S₅₂.

Полученные события характеризуют следующие контролируемые состояния экономической системы:

I. Безопасные (в норме).

II. Опасное ложное из-за ошибок измерения (фактическое безопасное).

III. Опасное нам неизвестное (пропуск со стороны системы контроля).

IV. Опасное известное (форс-мажор).

V. Опасное известное – нонсенс (несообразность), т. е. S₅₁, S₅₂ практически невозможны.

Каждое из событий S_ij характеризуется соответствующей вероятностью:

1) вероятность Р₁₁ = Р(S₁₁) = Р(А_α ∩ А_γ) – когда поступает информация о допустимом состоянии х, и фактическое его значение х_ф допустимо;

2) вероятности Р₂₁ = Р(S₂₁) = Р(А_α ∩ С_γ) и Р₂₂ = Р(S₂₂) = Р(А_α ∩ В_γ) – когда значение х_ф находится в допустимой области, а система контроля фиксирует недопустимое значение;

3) вероятности Р₃₁ = Р(S₃₁) = Р(С_α ∩ А_γ) и Р₃₂ = Р(S₃₂) = Р(В_α ∩ А_γ) – значение х_ф находится вне допустимой области, но система контроля создает сигнал о допустимом состоянии объекта;

4) вероятности Р₄₁ = Р(S₄₁) = Р(С_α ∩ С _γ) и Р₄₂ = Р(S₄₂) = Р(В_α ∩ В_γ) – значение х_ф находится вне области допустимых состояний, одновременно система контроля подтверждает это состояние;

5) вероятности Р₅₁ = Р(S₅₁) = Р(С_α ∩ В_γ) и Р₅₂ = Р(S₅₂) = Р(В_α ∩ С_γ) – значение х_ф находится вне области допустимых состояний, например по минимуму (максимуму), и система контроля показывает, что рыночная система находится в недопустимой области, но с противоположной стороны, т. е. превысила максимальное (минимальное) значение.

Совокупность S_ij (; j = 1,2) образует полную группу несовместных событий, т. е. .

Событие (А_α ∩ А_γ) соответствует правильному анализу состояния системы, а вероятность Р₁₁ характеризует безопасное ее состояние, при котором осуществляется основная цель рыночной системы. Если же осуществляется такой контроль и управление, при которых наступают события S₂₁, S₂₂, S₃₁, S₃₂, S₄₁, S₄₂, S₅₁, S₅₂, то цель, поставленная перед управляющей системой, не выполняется, так как возникают неоправданные (лишние) расходы по управлению. Эти состояния характеризуются потерями и называются опасными.

В качестве основных интегральных характеристик невыполнения цели, т. е. макрорыночного риска, будем рассматривать вероятности событий (S₂₁, S₂₂), (S₃₁, S₃₂), (S₄₁, S₄₂), (S₅₁, S₅₂):

Р₂ = Р(S₂₁ S₂₂) = Р₂₁(S₂₁) + Р₂₂(S₂₂),

Р₃ = Р(S₃₁ S₃₂) = Р₃₁(S₃₁) + Р₃₂(S₃₂),

Р₄ = Р(S₄₁ S₄₂) = Р₄₁(S₄₁) + Р₄₂(S ₄₂),

Р₅ = Р(S₅₁ S₅₂) = Р₅₁(S₅₁) + Р₅₂(S₅₂).

В дальнейшем из рассмотрения можно исключить ситуации, когда система контроля нам указывает на критическую ситуацию, но мы не имеем в своем распоряжении управления, способного возвратить в область безопасных состояний.

Система контроля, для которой события S₅₁ или S₅₂ теоретически осуществимы, порождает случайные величины или процессы, когда х_ф находится в области (х_ф < ), а измеренное значение х_изм – в области (х_изм > ) (рис. 1.30), или наоборот.

Рис. 1.30

Если учитывать физическую нереализуемость такого контроля, то события S₅₁ и S₅₂ невозможны, в силу того, что их вероятность пренебрежимо мала.

На примере вероятностей Р₂, Р₃, которые наиболее важны при оценке рыночного риска макроэкономики, рассмотрим построение математической модели, позволяющей получить численную оценку вероятностей Р₂ и Р₃. Для вероятностей Р₁, Р₄, Р₅ все выводы аналогичны.

Вероятностные показатели риска

В качестве основных интегральных характеристик невыполнения цели будем рассматривать величины вероятностей событий (А_α ∩ В_γ), (В_α ∩ А_γ), а также (А_α ∩ С_γ), (С_α ∩ А_j):

P(S₂₁) + P(S₂₂) = P(A_α ∩ C_γ) + P(A_α ∩ B_γ);

P(S₃₁ S₃₂) = P(S₃₁) + P(S₃₂) = P(A_γ ∩ C_α) + P(B_α ∩ A_γ).

Вероятность Р₂ характеризует появление ложной информации, поэтому назовем ее вероятностью ложной оценки состояния, а Р(В'_γ | А_α) = Р′₂ – условной вероятностью ложной оценки состояния, где В'_γ = (В_γ С_γ).

Вероятность Р₃ характеризует такое состояние, при котором превышение х значения х_кр не фиксируется в процессе контроля или оценки параметра х. Эту вероятность назовем вероятностью опасной ситуации, а Р(В'_α | А_γ) = Р'₃ – условной вероятностью опасной ситуации, где В'_α = В_α C_α. Вероятности Р₂ и Р₃ отличаются от Р′₂, Р'₃ на Р(А_α) и Р(А_γ), которые не зависят от характеристик средств оценки или контроля и поэтому при анализе и синтезе системы контроля могут не рассматриваться. Однако это отличие необходимо учитывать при назначении допустимых значений Р₂, Р₃, Р′₂, Р'₃. При этом Р₂ и Р₃ отличаются от Р'₂, Р'₃ на постоянные множители.

Запишем вероятности Р₂ и Р₃ в явном виде и выразим их через x^н, x^в, , и плотности распределения вероятностей α и γ. Вероятность

P₂ = P[(A_α ∩ B_γ)] + P[C_γ ∩ A_α] =

= P[{(x^н ≤ α ≤ ) ( ≤ α ≤ ) ( ≤ α ≤ x^в)} ∩

∩ {(γ < ) (γ > )}].

Воспользуемся дистрибутивными свойствами символов и ∩. Обозначим

A (x^н ≤ α ≤ ); B ( ≤ α ≤ ); С ( ≤ α ≤ x^в);

D (γ < ); K (γ > x^в).

Тогда для Р₂ имеем:

(A B C) ∩ (D K) =

= [(A В) ∩ (D K)] [C ∩ (D ∩ K)] =                                      (1.3)

= {[A ∩ (D K)] (B ∩ (D K))} [(C ∩ D) (C ∩ K)] =

= (A ∩ D) (A ∩ K) (B ∩ D) (B ∩ K) (C ∩ D) (C ∩ K).

Рассмотрим каждое из пересечений отдельно:

G₁ : A ∩ D = (x^н ≤ α ≤ ) ∩ (γ < ) = (x^н ≤ α ≤ ) ∩ (β < – α).

Так как случайные величины α и β – независимые, то область их значений можно найти так. Обозначая реализацию α через x, а реализацию β – через y, получим ситуацию, изображенную на рис. 1.32 в виде области G₁. Аналогично рис. 1.32–1.36:

G₂ : A ∩ K = (x^н ≤ α ≤ ) ∩ (γ > ) = (x^н ≤ α ≤ ) ∩ (β > – α).

G₃ : B ∩ D = ( ≤ α ≤ ) ∩ (γ < ) = ( ≤ α ≤ ) ∩ (β < – α).

G₄ : B ∩ K = ( ≤ α ≤ ) ∩ (γ > ) = ( ≤ α ≤ ) ∩ (β > – α).

G₅ : C ∩ D = ( ≤ α ≤ ) ∩ (γ < ) = ( ≤ α ≤ x^в) ∩ (β < – α).

G₆ : C ∩ K = ( ≤ α ≤ ) ∩ (γ > ) = ( ≤ α ≤ x^в) ∩ (β > – α).

Рис. 1.31                                          Рис. 1.32

Рис. 1.33                                           Рис. 1.34

Рис. 1.35                                                 Рис. 1.36

Используя (1.3) и независимость α и β, получим

P₂ = P[A_α ∩ B'_γ] = P(A ∩ D) + P(A ∩ K) + P(B ∩ D) +

+ P(B ∩ K) + P(C ∩ D) + P(C ∩ K) = Р¹₂ + Р²₂,

где

P¹₂ = P(A ∩ D) + P(B ∩ D) + P(C ∩ D) = P(G₁) + P(G₃) + P(G₅);

Р²₂ = P(A ∩ K) + P(B ∩ K) + P(C ∩ K) = P(G₂) + P(G₄) + P(G);

φ_α(x) – плотность вероятностей случайной величины α, φ_β(y) – плотность вероятностей случайной величины β;

Таким образом, Р₂ есть сумма двух вероятностей, одна из которых обусловлена событиями D, вторая – событиями K. Отметим, что полученное выражение справедливо для двустороннего ограничения индикатора х, подлежащего контролю и ограничению, когда измеренная величина х_изм в силу погрешностей измерения δх их значения удовлетворяет D или K.

Окончательно,

Из теории вероятностей известно, что

где F_β(x) – функция распределения случайной величины β; R_β(x) – дополнительная функция распределения случайной величины β. Тогда формулу (1.4) можно переписать в следующем виде:

Перейдем к вычислению вероятности P₃:

P₃ = P[A_γ ∩ B_α] + P(C_α ∩ A_γ) =

= P[( ≤ γ ≤ ) ∩ {α < x^н) (α > x^в)}] =

= P[{( ≤ γ ≤ ) ∩ (α < x^н)} {( ≤ γ ≤ ) ∩ (α > x^в)}] =

= P[{( – α ≤ β ≤ – α) ∩ (α < x^н)} {( – α ≤ β ≤ – α) ∩

∩ (α > x^в)}] = P[( – α ≤ β ≤ – α) ∩ (α < x^н)] +

+ P[( – α ≤ β ≤ – α) ∩ (α > x^в)].

Таким образом,

Если параметры подчинены односторонним ограничениям, то, согласно формулам (1.5) и (1.6), вероятности событий (A_α ∩ B_γ) и (A_γ ∩ B_α) вычисляются следующим образом. В случае одностороннего ограничения сверху полагаем x^н → –∞, → –∞, тогда F_β(–∞) = 0:

Если x^в, → ∞, то в случае одностороннего ограничения снизу

Аналогично, если x^н, → ∞,

Если x^в, →∞, то

Часто при практических расчетах удобно использовать не φ_α(x), а . В этом случае для индикатора, подлежащего ограничению снизу, получаем:

где W(t, Δx, δx) – совместная плотность распределения случайных процессов Δx, δx в момент времени t; x_n = x^к_доп.

Вид подынтегральной функции выражений (1.8), (1.9) либо (1.10), (1.11) и основные факторы, подлежащие учету при ее формировании, определяются объектами или подсистемами рыночной системы и их режимом работы, а также множеством других параметров и факторов. При этом погрешность δx, как правило, не оказывает влияния на величину отклонения от номинального режима Δx. Это обстоятельство есть допущение, которое каждый раз необходимо проверять.

С учетом сказанного выше, при практических расчетах вероятностей P_i зависимостью между погрешностями измерения δx и величинами отклонения параметров Δx от номинального режима можно пренебречь. В результате (см. рис. 1.37):

где Δ = х_доп – х_н; Δ′ = х_n – х_н – Δх.

На рис. 1.37 представлена геометрическая интерпретация событий, соответствующих вероятностям P₂ и P₃, определяемым по формулам (1.7) и (1.9) (ограничение сверху).

Рис. 1.37

Из последних соотношений следует, что вероятности Р₃ и Р₂ зависят от плотностей распределения W₁(Δx) отклонений x от номинальных значений x_н, пороговых x_n и допустимых x_доп значений параметров, плотности распределения суммарной погрешности W₂(δx). При этом Р₃ представляет вероятность попадания точки (Δx, δx) в область , ограниченную прямыми Δx = а = x_доп – x_н и δx = x_n – x_н – Δx (рис. 1.38). Величина δx изменяется от –∞ до b = x_n – x_н. Вероятность попадания точки (Δx, δx) в область представляет собой Р₂.

Рис. 1.38

Случай двустороннего ограничения параметров представлен на рис. 1.39. При этом Р₃ представляет вероятность попадания точки с координатами (Δx, δx) в области и одновременно, а для Р₂ в ,  – одновременно (рис. 1.39).

Рис. 1.39

Значения Р₃ и Р₂ должны удовлетворять допустимым значениям Р_доп. Если, например, Р₃ > Р_3доп, то необходимо принимать решение об уменьшении границ пороговых значений x_н.

Выводы.

Для практической реализации полученных показателей риска необходимо:

1. Выделить индикаторы, характеризующие потенциальную возможность возникновения критического (опасного) состояния рыночной системы, т. е. провести качественный анализ риска.

2. Для выделенных индикаторов х найти их критические значения.

3. Для численного расчета вероятностных показателей риска необходимо построить математическую модель плотностей вероятностей W(x_ф, х_изм).

4. С целью прогнозирования и управления рисками во времени, а также анализа влияния на показатели риска отдельных факторов риска необходимо разработать математические модели для функций x_ф и х_изм.