Текст книги "Математика флота. Фантастика и реальность"

Размеры первых судов древней руси

Было время, когда у исследователей, занимающихся историей допетровской Руси, возникало впечатление, что в течение большей части своей истории она практически не имела развитого кораблестроения и мореходства, застряв чуть ли не в эпохе викингов и будучи принципиально несравнима в этом отношении с соседними странами Европы. К сожалению, это мнение всё ещё достаточно широко распространено и порой воспроизводится в популярной литературе, а то и школьных учебниках. Между тем, уже довольно давно появилось много новых данных по истории как отечественного, так и европейского кораблестроения, которые позволили по-новому взглянуть на этот вопрос, а исследования последних десятилетий вносят в него всё большую ясность.

Для начала стоит отметить, что русичи всегда жили около воды: все свои поселения наши предки строили на реках и озёрах, реки же служили им основными транспортными артериями. Это означает наличие как минимум достаточно развитой кораблестроительной традиции, которая и наблюдалась на практике. Типы плавсредств, бытовавшие на Руси XI века, перечислены в «Русской правде»: чёлн, струг, простая лодья, набойная лодья, заморская лодья.

Чёлн, струг и простая лодья представляли собой, видимо, последовательно увеличивающиеся в размерах варианты одного и того же типа – «однодеревки» («моноксилы» византийских источников) – обычной лодки-долблёнки – которые, впрочем, могли достигать немалых размеров, соответствующих габаритам произраставших в те годы в лесах Восточной Европы вековых деревьев.

Следует, однако, сразу отметить, что мнение, что «набойная» лодья является исключительно русским типом судна, не имеет под собой никаких оснований – об этом ещё будет сказано ниже.

Заморская лодья – очевидно, тип судна, имеющий иностранное происхождение и, видимо, на момент составления «Русской правды» ещё воспринимавшийся как некая экзотика или, как минимум, новинка. Большинство исследователей считают, что под этим названием скрывается ладья с полностью наборным корпусом, у которого от долблёного основания остался лишь килевой брус, аналогичная скандинавским образцам, включая корабли викингов. Здесь имеются определённые разночтения: ряд исследователей считает, что для Руси X–XI веков наборные суда в целом были нехарактерны и имели распространение главным образом на севере, в зоне наиболее тесных контактов со скандинавами; другие – что они вполне себе сосуществовали с «набойными», причём строились во многом по схожей технологии.

Итак, русские ладьи с наборным корпусом принадлежали примерно к тому же типу кораблей, что и современные им драккары и кнорры норманнов-викингов, в 1066 году высадившиеся на побережье Англии со своим конунгом Вильгельмом, или шнеккеры (по-русски «шнеки» или «шняки») шведских крестоносцев времён Ледового Побоища (1242 год). Как мы увидим далее – эта связь в развитии какое-то время оставалась неразрывной: кораблестроение Руси эволюционировало совместно с североевропейским, впитывая его достижения.

Таким образом, ладья – это такой же общий судовой термин, как и корабль. Применялся он к судам и речным, и морским. Этим словом выражалось понятие судна вообще, и оно имело общее нарицательное значение. В морском словаре К. И. Самойлова указывается, что лодья – всякое речное судно, особенно больших размеров, в противоположность мелким судам, которые назывались межеумками.

Обычно длина ладей составляла около 25 метров, ширина около 8 метров. Грузоподъёмность – до 20тонн. Ладья имела вёсла и парус. Ладьи русских поморов имели длину около 7,5 метров, ширину 3,0 метров и осадку до 3 метров. Парусное вооружение таких ладей составляли две-три мачты. На них поднимались прямые паруса.

В 1911 году в Чудском озере была обнаружена затонувшая ладья с каменными ядрами. Она была обследована В.Н. Глазовым, который опубликовал полученные материалы. От ладьи сохранилось днище и шпангоуты с фрагментами бортов. Максимальные размеры судна (по реконструкции автора): длина 21 м, ширина 5-6м.

Ладья широко использовалась в Древней Руси. На ладьях варяги совершали военные походы или просто набеги на Византию. При преодолении естественных или искусственных препятствий, недоступных для судоходства, ладьи тащились волоком. Древнерусское государство уже в IX веке обладало большим флотом, состоящим минимум из 200 ладей, что доказывается успешным морским походом на Константинополь в 860 г., а также походом князей Аскольда и Дира 862 года.

Для плавания во льдах поморы строили особо прочные суда, в частности морские (заморские) ладьи, предназначенные для дальних плаваний. Поморская ладья XIII века была наборным палубным судном с транцевой кормой и навесным рулем. Корпус разделялся поперечными переборками на три отсека с люками на палубе. В кормовом отсеке находилась каюта кормщика (капитана) и хранились мореходные инструменты, в носовом размещалась команда из 25–30 человек и стояла кирпичная печь для приготовления пищи, в среднем отсеке был грузовой трюм глубиной до 4 м. Грузоподъемность большой ладьи до 200 т (в начале XVI века – до 300 т), длина – 18–25 м, ширина 6–8 м, высота борта 2,5–3,5 м, осадка – 1,5–2,7 м.

Еще одним старинным поморским парусно-гребным судном XI–XIX веков являлся коч. Условия плавания в Северном Ледовитом океане были очень тяжелы для деревянных кораблей. Любое столкновение с крупной льдиной грозило гибелью. Зажатый между ледовыми полями корпус корабля легко мог быть раздавлен. И именно для плавания в Студеном море поморы научились строить эти особые суда – кочи. Кочи были очень прочными, с дополнительными ледовыми поясами на бортах. Корпус этого судна по форме несколько напоминал скорлупу ореха и при сжатии льдов выталкивался вверх. Обшивка поморских судов внешне несколько напоминала обшивку скандинавских кораблей – она также делалась «внакрой», с наложением поясов обшивки друг на друга. Но при сборке своих судов поморы использовали очень интересную технику. Обшивка кочей и других северных судов собиралась не на гвоздях, а на можжевеловых вицах – они не расшатывались от времени и не давали течи. Строили кочи и иным способом, и также без применения металла: к скрепленному деревянными нагелями набору корпуса пришивали ремнями доски обшивки. Коч, таким образом, имел характерные обводы для ледового плавания, был оснащен мачтой, навесным рулем и веслами. Длина такого судна была 10–15 м, ширина 3–4 м, осадка 1–1,5 м. При попутном ветре ставили прямой парус, иногда выделанный из шкур, позволявший развивать скорость 6–7 узлов В XVI–XVII веках этот тип судна распространился за Урал в Сибирь, претерпев крупные изменения. Длина коча возросла до 20–25 м, ширина до 5–8 м, осадка до 2 м. Судно вмещало 10–15 человек команды и до 30 промысловиков. Кочи для длительных морских плаваний строили уже прочнее. Набор крепили железными гвоздями, болтами и скобами. Пазы и стыки обшивки конопатили просмоленной паклей, заливали варом и закрывали рейками на скобах. Чтобы полностью «ускобить» коч, требовалось более 3000 специальных скоб. Канатов различных нужно было около 1000 м. Парус высотой 14 м шили из отдельных полотнищ – общей площадью свыше 230 м2. В конце XVI – начале XVII века начали строить наборные палубные большие трехмачтовые кочи.

Также еще одним традиционно русским судном считается «новгородское судно». Наиболее полная публикация новгородского археологического материала, связанного с судостроением, была осуществлена в работе Б. А. Колчина, посвященной деревянным изделиям из раскопок в Новгороде. Здесь был дан свод находок Неревского раскопа (1951–1962 гг.): весел-движителей и весел кормовых, уключин, днищ, черпаков, досок обшивки кораблей. На основании найденных деталей, Б. А. Колчин попробовал реконструировать новгородское судно XII–XIII вв. Это килевой плоскодонный корабль грузоподъемностью более 15 т с наклонными штевнями и гладкой обшивкой с ластовым уплотнением швов. Длина судна около 10 м, ширина по миделю 3,2 м. Приблизительно таким мог быть, например, ушкуй – быстроходное и маневренное судно. Одним из аргументов в пользу этого является близость грузоподъемности ушкуя (30 человек с оружием и грузом) и реконструированного судна. Ведь еще ранее работы Колчина, в 1949 году была опубликована статья С.В. Михайлова «Древнерусское судостроение на Севере». Рассматривая зарождение судостроения в северных водах, автор констатировал тот факт, что первыми русскими судами в Поморье были новгородские ушкуи – большие плоскодонные лодки озерно-речного типа, вмещавшие до 50 человек. Эти суда не были приспособлены для эксплуатации в морских условиях, что вызвало необходимость создания специальных поморских судов: ладьи и шитика.

На этом наш короткий исторический экскурс мы закончим. Но когда в заключительной главе этой книги приступим к рассмотрению размеров и возможностей современных военных кораблей, то к этим, только что освещенным главам, мы еще не раз будем возвращаться, чтобы именно в сравнении наглядно оценить масштабы эволюции мирового кораблестроения и поистине неограниченные возможности современных кораблей и судов. Ну а пока снова вернемся к нашей любимой математике! И в последующих главах вспомним все самое интересное из области этой замечательной науки.

Занимательная математика на флоте и не только

5 поразительных фактов из области математики

Математика, очевидно, самая загадочная наука. Она не перестает удивлять и ставить все новые и новые загадки человечеству. Попробуем и мы прикоснуться к некоторым ее тайнам. А для начала назовем первые 5 поразительных фактов из области этой ярчайшей, таинственной, до сих пор до конца не познанной и потрясающей своими филигранными гранями науки! Спросите: зачем же так глубоко теоретизировать?! А вот именно для того, чтобы оценить и осознать, насколько практически важна математика, необходимо начать с самого сложного, неизведанного и почти мистического в ее понимании. Пусть даже, на первый взгляд, с весьма абстрактных фактов и задач!

ФАКТ 1.

Математик получил огромную денежную сумму за вычисления, связанные с размешиванием чая в чашке.

44-летний Мартин Хайрер получил премию Breakthrough Prize по математике от фонда Юрия Мильнера и Марка Цукерберга в размере 2,3 млн. фунтов стерлингов (223,9 млн рублей) за то, что методами стохастического анализа (стохастичность – случайность) он описал случайные эффекты, возникающие в результате перемешивания чая в чашке. Работа оказалась настолько сложной, что даже не все математики поняли её.

«Эта теория, должно быть, была посланием от инопланетян», – пошутил Джереми Квастел, профессор математики из Университета Торонто.

Работа профессора Хайрера вылилась в 180-страничный трактат об идее «структур регулярности», в которой с помощью стохастических уравнений в частных производных объясняется превращения, казалось бы, обычных вещей и действий в хаос. Таким же образом, к примеру, может быть описано движение воздуха в аэродинамической трубе.

Считалось, что подобные уравнения невозможно решить, но в 2014 году Мартин Хайрер разработал и опубликовал «структуры регулярности», что позволило ему фактически «приручить случайность».

ФАКТ 2

Оказывается, что все разделы математики тесно связаны между собой.

Например, есть такой математический факт:

^eiπ + 1 = 0

В этой формуле соединены 5 фундаментальных математических констант из разных наук:

• 0 – «единичный элемент» в группе действительных чисел по сложению (арифметика)',

1 – «единичный элемент» в поле действительных чисел по умножению (теория чисел)-,

• е – основание натуральных логарифмов, производная функции e^x равна самой себе (математический анализ);

• π – отношение длины окружности к ее диаметру (геометрия);

• i – «мнимая единица», основа комплексных чисел (комплексный анализ).

ФАКТ З

Человеческий мозг может анализировать невероятно сложные абстрактные закономерности.

Сриниваса Рамануджан (1887–1920), индийский математик-самоучка, которому принадлежат серьезные результаты в теории чисел, получил много очень сложных формул. И мы даже представить себе не можем, как можно было до таких формул додуматься. По-видимому, он много экспериментировал с числами и наблюдал закономерности в их поведении, причем без компьютера! Сам Рамануджан не мог объяснить это так, чтобы его опыт мог перенять другой человек.

Вот пример:

Как можно было до этого додуматься?

Рамануджан умер совсем молодым, в 1920 году. Через полвека, в 1976 году, в архивах Кембриджского университета обнаружилась коробка с его рукописями. И даже эти, полувековой давности результаты, не устарели и дали толчок новым исследованиям.

Пример Рамануджана показывает нам, что человеческий мозг может анализировать невероятно сложные абстрактные закономерности. Но наша наука не знает, как это происходит и как такой опыт обобщить и передать другим.

ФАКТ 4

Гипотеза Римана могла бы называться гипотезой Чебышева.

В чем основной вопрос в гипотезе Римана (что он хотел и чего не смог)?Сначала разберемся с функцией Римана.

Посмотрим на такую лесенку:

В ней высота ступенек постепенно уменьшается. Первая ступенька высоты 1, вторая – 1/2, третья – 1/3 и так далее.

Эта лесенка ограничена по высоте или пробьет потолок любой высоты? На этот вопрос ответили братья Бернулли в конце XVII века. Так начались приключения гипотезы Римана.

Высота первых n ступенек лесенки равна

Оказывается, что если подобрать подходящее число ступенек n, то эту сумму можно сделать сколь угодно большой – лестница пробьет любой потолок наперед заданной высоты. Хотя высота ступенек уменьшается довольно быстро, лестница все равно успевает вырасти.

Математики решили попробовать такие ступеньки, высота которых уменьшается побыстрее. Первая ступенька высоты 1, вторая – (1/2)^2=1/4, третья – (1/3)^2=1/9 и так далее:

И да, такая лестница уже ограничена. Если установить потолок на высоте (π^2)/6≈1,645, то лестница подойдет к нему сколь угодно близко, но не коснется его. Эта высота есть сумма обратных квадратов:

Первым эту сумму вычислил Леонард Эйлер. Появление числа π в ответе выглядит удивительно, ведь ничего кругленького в этой сумме не наблюдается. Потом Эйлер решил вычислить сумму обратных кубов:

Но вот это уже не вышло. Не вышло не только у Эйлера, но и у следующих поколений математиков. Найти сумму обратных кубов – знаменитая нерешенная задача математики (хотя и не самая важная).

А теперь посмотрим на важнейший прием в математике: обобщай и обозначай.

Рассмотрим суммы всех степеней сразу, вот так:

Мы уже знаем, что ζ(1) не имеет смысла, что ζ(2)=π^2/6, и что ζ(3) мы вычислять не умеем. Наш соотечественник Пафнутий Львович Чебышев рассмотрел функцию ζ(s), когда s принимает не только натуральные значения 1, 2, 3, …, но и действительные значения. На этом пути Чебышев смог получить серьезные результаты о распределении простых чисел.

Чебышев не любил комплексные и мнимые числа, считал их слишком далекими от реальности. А жаль. Если бы Чебышев разрешил переменной s принимать комплексные значения, то сейчас мы бы с вами изучали функцию Чебышева и проверяли гипотезу Чебышева.

Но гениальную догадку сделал именно Риман: он впустил в игру комплексные числа. Функция ζ(s), где s – комплексное число, называется функцией Римана.

Гипотеза Римана описывает поведение этой функции, а именно, где находятся ее нули (во всяком случае, самые интересные). Видимо, все они находятся на одной прямой – такой, что действительная часть s равна 1/2. Это числа вроде s=1/2+iz. Не все эти числа являются нулями дзета-функции, но гипотеза говорит, что все нетривиальные нули находятся среди таких чисел.

ФАКТ 5

Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

После доказательства этой гипотезы Григорием Перельманом её правильнее бы называть теоремой Пуанкаре-Перельмана.

Теперь с большой долей вероятности можно предположить, что наша Вселенная и есть та самая трехмерная сфера. У нее нет края – вот вам и пресловутая бесконечность. Топология говорит нам, что такая сфера легко сжимается в точку и наоборот – разворачивается из точки. Вот вам и теория Большого взрыва. Сейчас мы в стадии разлета, потом начнем сжиматься. Как тут не вспомнить библейское: «время собирать камни и время разбрасывать камни».

Возникает вопрос: что заставляет Вселенную то разжиматься, то сжиматься? Тут дают подсказку Станислав Лем и Юрий Антомонов. Можно предположить, что единственная цель и смысл существования материи – познать самое себя.

На каком-то этапе развития (используя для этого человека как инструмент) материя становится мыслящей, возникает разум, затем разум становится настолько универсальным и самодостаточным, что ему не понадобятся материальные формы (чистый разум или, если угодно, Дух). Вселенная будет представлять собой некое подобие океана Солярис, состоящего из информационного поля (которое при желании сможет создать любой материальный объект, каку Лема). Наконец, когда материя познает самое себя до конца, ее миссия закончится, она либо заскучает, либо сдуется обратно.

Скорее всего, этот процесс будет таким же длительным, как предыдущее расширение. Очень соблазнительно предположить, что на этой стадии время потечет вспять. Просто для цельности картины, чтоб соблюсти баланс и не нарушать гармонию. Ведь когда мы просматриваем видео назад, то таймер в уголке экрана крутится в обратную сторону. И вот эта пульсация: из ничего во все и из всего в ничто – и есть бытие Вселенной!

Отличие от религиозного взгляда на устройство мира в том, что в религиозном представлении Вселенский Дух, то бишь Бог, вполне мудр изначально! Таким был, таким и пребудет. Никакого самопознания ему не требуется. А с материей и людьми он развлекается как бы скуки ради. Вот только непонятно: откуда же все-таки он такой продвинутый взялся! Вот такие вот мысли вслух!

10 сложнейших нерешенных математических задач

На протяжении веков лучшие умы человечества решали одну математическую задачу за другой, однако есть несколько, не поддавшихся до сих пор никому. За нахождение алгоритма их решения некоторые фонды и компании готовы заплатить большие деньги.

Кроме того, решение этих задач может принести ее авторам всемирную славу, известность и признание! Так что самым активным читателям мой совет: срочно бросайте все и начинайте решать! Шутка! Но как говорят в таких случаях: в каждой шутке есть большая доля истины!

Задача 1. Гипотеза Коллатца

Другие названия: гипотеза Зn+1, сиракузская проблема, числа-градины.

Если взять любое натуральное число n и совершить с ним следующие преобразования, рано или поздно всегда получится единица. Четное n нужно разделить надвое, а нечетное – умножить на 3 и прибавить единицу. Для числа 3 последовательность будет такой: 3×3+1 = 10, 10:2=5, 5×3+1=16, 16:2=8, 8:2=4, 4:2=2, 2:2=1. Очевидно, что если продолжить преобразование с единицы, то начнется цикл 1, 4, 2. Достаточно быстро количество шагов в вычислениях начинает превышать сто, и на решение каждой новой последовательности потребуется все больше ресурсов.

Небольшой прогресс в решении этой задачи почти вековой давности наметился буквально недавно. Однако знаменитый американской математик Терренс Тао лишь ближе всех подошел к нему, но ответа все равно пока не нашел. Гипотеза Коллатца является фундаментом такой математической дисциплины, как «Динамические системы», которая, в свою очередь, важна для множества других прикладных наук, например, химии и биологии. Сиракузская проблема выглядит, как простой безобидный вопрос, но именно это делает ее особенной.

Задача 2. Проблема Гольдбаха (бинарная)

Складывая нечетные простые числа попарно, ученый каждый раз получал четное число.

Например: 1+3=4; 1+5=6; 1+7=8; 3+7=10; 5+7=12; 3+11 = 14; 3+13=16 и т. д.

До сих пор это предположение не доказано и не опровергнуто.

Это задачка, формулировка которой выглядит проще пареной репы – любое четное число (больше 2) можно представить в виде суммы двух простых. И это краеугольный камень современной математики. Данное утверждение легко проверяется в уме для небольших значений: 18=13+5, 42=23+19. Причем рассматривая последнее, можно достаточно быстро понять всю глубину проблемы, ведь 42 представляется и как 37+5 и 11+31, а еще как 13+29 и 19+23. Для чисел больше тысячи количество пар слагаемых становится просто огромным. Это очень важно в криптографии, но даже самые мощные суперкомпьютеры не могут перебирать все значения до бесконечности, поэтому нужно какое-то четкое доказательство для всех натуральных чисел.

Проблема была сформулирована Кристианом Гольдбахом в его переписке с другим величайшим светилом математики Леонардом Эйлером в 1742 году. Сам Кристиан ставил вопрос несколько проще: «каждое нечетное число, больше 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел». В 2013 году перуанский математик Харальд Хельфготт нашел окончательное решение этого варианта. Однако предложенное Эйлером следствие этого утверждения, которое и назвали «бинарной проблемой Гольдбаха», до сих пор не поддается никому.

Задача 3. Гипотеза о числах-близнецах

Близнецами называются такие простые числа, которые отличаются всего на 2. Например, 11 и 13, а также 5 и 3 или 599 и 601. Если бесконечность ряда простых чисел была доказана множество раз начиная с античности, то бесконечность чисел-близнецов находится под вопросом. Начиная с 2, среди простых чисел нет четных, а начиная с 3 – делящихся натри. Соответственно, если вычесть из ряда все, подходящие под «правила деления», то количество возможных близнецов становится все меньше. Единственный модуль для формулы нахождения таких чисел – 6, а формула выглядит следующим образом: 6n±1.

Как и всегда в математике, если проблема не решается «в лоб», к ней подходят с другого конца. Например, в 2013 году было доказано, что количество простых чисел, отличающихся на 70 миллионов, бесконечно. Тогда же, с разницей менее чем в месяц, значение разницы было улучшено до 59 470 640, а затем и вовсе на порядок – до 4 982 086. На данный момент существуют теоретические обоснования бесконечности пар простых чисел с разницей в 12 и 6, однако доказанной является лишь разность в 246. Как и прочие проблемы такого рода, гипотеза о числах-близнецах особенно важна для криптографии.

Задача 4. Гипотеза Римана

Если кратко, то Бернхард Риман предположил, что распределение простых чисел по множеству всех натуральных чисел не подчиняется каким-либо законам. Но их количество на заданном участке числового ряда коррелирует с распределением определенных значений на графике дзета-функции. Она расположена выше и для каждого s дает бесконечное количество слагаемых. Например, когда в качестве s подставляется 2, то в результате получается уже решенная «базельская задача» – ряд обратных квадратов (1 + 1/4+ 1/9 + 1/16 +…).

Выше в Факте 4 достаточно подробно описана эта гипотеза. Хотя полное описание этой задачи займет не одну страницу текста, и даже не одну книгу. Ведь это одна из «проблем тысячелетия», за решение которой назначен приз в миллион долларов, а также вхождение в пантеон «богов» современной математики! На деле, доказательство этой гипотезы настолько сильно толкнет вперед теорию чисел, что это событие по праву будет называться историческим. Многие вычисления и утверждения в математике строятся на предположении о том, что «гипотеза Римана» верна, и до сих пор она никого не подводила. Немецкий математик сформулировал знаменитую задачу 160 лет назад, и с тех пор к ее решению подступались неисчислимое количество раз, однако прогресс пока очень скромен.

Задача 5. Гипотеза Берча и Суиннертон – Дайера

Еще одна «задача тысячелетия», за решение которой Институт Клэя одарит миллионом долларов. Обычному человеку, не связанному профессионально с математикой, достаточно трудно хотя бы в общих чертах сформулировать и понять, в чем же суть гипотезы. И все-таки попробуем разобраться. Берч и Свиннертон-Дайер предположили определенные свойства эллиптических кривых. Идея заключалась в том, что ранг кривой можно определить, зная порядок нуля дзета-функции. Как говорится, ничего не понятно, но очень интересно.

Эллиптическими кривыми называются такие линии на графике, которые описываются, на первый взгляд, безобидными уравнениями вида y²=x³+ax+b. Некоторые их свойства чрезвычайно важны для алгебры и теории чисел, а решение данной задачи может серьезно продвинуть науку вперед. Наибольший прогресс был достигнут в 1977 году коллективом математиков из Англии и США, которые смогли найти доказательство гипотезы Берча и Суиннертон-Дайера для одного из частных случаев.

Задача 6. Проблема плотной упаковки равных сфер

Это даже не одна, а целая категория схожих проблем. Причем мы сталкиваемся с ними ежедневно, например, когда хотим разложить фрукты на полке в холодильнике или как можно плотнее расставить бутылки на полке. С математической точки зрения необходимо найти среднее количество контактов каждой сферы с остальными. На данный момент есть точные решения для размерностей 1–4 и 8.

Под размерностью или измерением понимается количество линий, вдоль которых размещаются шары. В реальной жизни больше третьей размерности не встречается, однако математика оперирует и гипотетическими значениями. Решение этой задачи может серьезно продвинуть не только теорию чисел и геометрию вперед, но также поможет в химии, информатике и физике.

Задача 7. Проблема развязывания узлов

И снова каждый день встречающаяся проблема. Казалось бы, что сложного – узел развязать? Тем не менее, вычисление минимального времени, необходимого для этой задачи, является еще одним краеугольным камнем математики. Трудность в том, что мы знаем, вычислить алгоритм развязывания можно, но его сложность может быть такой, что даже самый мощный суперкомпьютер будет считать слишком долго.

Первые шаги на пути решения этой задачи были сделаны в 2011 году американским математиком Грегом Купербергом. В его работе развязывание узла из 139 вершин было сокращено со 108 часов до 10 минут. Результат впечатляющий, но это лишь частный случай. На данный момент существует несколько десятков алгоритмов разной степени эффективности, однако ни один из них не является универсальным. Среди применений этой области математики – биология, в частности, процессы сворачивания белков.

Задача 8. Самый большой кардинал

Какая бесконечность самая большая? На первый взгляд бредовый вопрос, но так и есть – все бесконечности разные по размеру. А точнее, по мощности, ведь именно так различают множества чисел в математике. Под мощностью понимается общее количество элементов множества. Например, самая маленькая бесконечность – натуральные числа (1, 2, 3…), потому что она включает в себя только целые положительные числа. Ответа на этот вопрос пока нет и математики постоянно находят все более мощные множества.

Мощность множества характеризуется его кардинальным числом или просто кардиналом. Существует целая онлайн-энциклопедия бесконечностей и примечательных «конечностей», названная в честь Георга Кантора. Этот немецкий математик первым обнаружил, что неисчислимые множества могут быть больше или меньше друг друга. Более того, он смог доказать разницу в мощностях различных бесконечностей.

Задача 9. Что не так с суммой числа π и e?

π + е

Является ли сумма этих двух иррациональных чисел алгебраическим числом? Мы оперируем этими константами сотни лет, но так и не узнали о них все. Алгебраическое число – корень многочлена с целыми коэффициентами. На первый взгляд кажется, что все вещественные числа алгебраичны, но нет, наоборот. Большинство чисел трансцендентны, то есть не являются алгебраическими. Более того, все вещественные трансцендентные числа иррациональны (например, π и e), но вот их сумма может быть любой.

А как быть с πe, π/e и π – e? Также неизвестно. А знать это довольно важно для теории чисел. Трансцендентность числа доказал в конце XIX века Фердинанд фон Линдеман вместе с невозможностью решения задачи квадратуры круга. С тех пор значимых подвижек в решении вопроса не было.

Задача 10. Является ли у рациональной?

Вот еще одна проблема, которую очень легко написать, но трудно решить. Является постоянная Эйлера – Маскерони иррациональной или нет? Рациональные числа можно записать в виде p/q, где р и q – целые числа. Таким образом, 42 и -11/3 являются рациональными, а и √2 – нет. Формула выше позволяет вычислить постоянную, которая является пределом разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа. За определение ее рациональности миллион долларов, конечно, не светит, зато вполне можно рассчитывать на кресло профессора в Оксфорде.

Значение у было вычислено до нескольких тысяч знаков после запятой, причем первые четыре из которых – 0,5772. Она достаточно широко используется в математике, в том числе вместе с другим числом Эйлера – е. Согласно теории цепных дробей, если постоянная Эйлера – Маскерони является рациональной дробью, то ее знаменатель должен быть больше 10 в 242 080 степени.