Текст книги "Наука логики"

Более старые аналитики «меньше затрудняли себя такими сомнениями; но старания более новых аналитиков были направлены преимущественно к тому, чтобы возвратить исчисление бесконечно «малых к очевидности собственно геометрического метода и с помощью этого метода достигнуть в» математике строгости доказательств древних (выражения Лагранжа). Однако, так как принцип анализа бесконечного по своей природе выше, чем принцип математики конечных величин, то анализ бесконечного сам собою сразу же должен был отказаться от того рода очевидности, подобно тому, как философия также не может притязать на ту отчетливость, которой обладают науки о чувственном, например, естественная история, или подобно тому, как еда и питье считаются более понятными вещами, чем мышление и постижение посредством понятия (Begreifen). Поэтому нам придется говорить лишь о стараниях достигнуть строгости доказательств древних.

Некоторые «математики пытались обойтись совершенно без понятия бесконечного и дать без него то, что казалось связанным с его употреблением. – Лагранж, например, рассказывает о методе, изобретенном Ланденом, и говорит о нем, что он является чисто аналитическим и не употребляет бесконечно «малых разностей, а сначала вводит различные значения переменных величин и в дальнейшем приравнивает их «между собою. Лагранж, впрочем, заявляет, что в этом методе утрачиваются свойственные диференциальному исчислению преимущества, а именно простота метода и легкость действия. – Это – прием, в котором есть нечто соответственно тому, из которого исходит Декартов метод касательных, о котором нам придется ниже еще говорить подробнее. Здесь можем заметить, что в общем виде сразу ясно, что этот прием, заключающийся в том, чтобы придавать переменным величинам различные значения и затем приравнивать их между собою, принадлежит вообще к другому кругу математической трактовки, чем сам метод диференциального исчисления, и им не выделяется подлежащее далее более пристальному рассмотрению своеобразие того простого отношения, к которому сводится действительное, конкретное определение этого исчисления, а именно – отношения производной функции к первоначальной.

Более ранние из новых «математиков, как например, Ферма, Барроу и др., которые впервые пользуются бесконечно малыми в том применении, которое позднее привело к разработке диференциального и интегрального исчисления, а затем также Лейбниц и последующие математики, равно как и Эйлер, всегда откровенно высказывались, что считают дозволительным отбрасывать произведения бесконечно малых разностей так же, как и их высшие степени только на том основании, что они относительно, по сравнению с низшими порядками, исчезают.

Исключительно на этом соображении покоится у них основная теорема, а именно, определение того, что такое диференциал произведения или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение. Остальное есть отчасти механизм действий, отчасти же приложение, которое, однако, как мы покажем далее, на самом деле представляет более высокий или, лучше сказать, единственный интерес. – Относительно же того вопроса, который мы рассматриваем теперь, следует здесь привести лишь то элементарное соображение, что на основании того же рассуждения о незначительности принимается как основная теорема о кривых, что элементы кривых, а именно приращения абсциссы и ординаты имеют между собою то же отношение, как подкасательная и ордината. С целью получить подобные треугольники дуга, составляющая наряду с двумя приращениями третью сторону того треугольника, который справедливо назывался когда-то характеристическим треугольником, рассматривается как прямая линия, как часть касательной, и потому одно из приращений – как доходящее до касательной. Эти допущения поднимают, с одной стороны, вышеуказанные определения выше природы конечных величин; но, с другой стороны, здесь применяется к моментам, называемым теперь бесконечными, такой прием, который значим лишь относительно конечных величин и при котором мы не имеем права чем-либо пренебрегать на основании его незначительности. Затруднение, тяготеющее над методом, остается при таком образе действия во всей своей силе.

Здесь мы должны указать на замечательный прием Ньютона (Princ. Mathem. phil. nat., lib. II, Lemma II, после propos. VII) – на изобретенный им остроумный кунштюк для устранения арифметически неправильного отбрасывания произведений бесконечно малых разностей или высших порядков этих последних при нахождении» диференциалов.

Он находит диференциал произведения, – из которого легко затем вывести диференциалы частного, степени и т. п. – следующим образом. Произведение, если уменьшить? и у, каждый порознь на половину его бесконечной разности, xdy ydx, dxdy переходит в ху, а если увеличить у ровно настолько же, то произведение переходит в ху. Если от этого второго произведения отнять первое, то получается разность ydx/xdy, которая есть избыток приращения на целые dx и dy, так как на это приращение отличаются оба произведения; следовательно, это и есть диференциал ху. – Как видим, при этом приеме сам собою отпадает член, представлявший главное затруднение, произведение двух бесконечных разностей dxdy. Но, несмотря на имя Ньютона, следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие неправильно; неправильно, что (y+%)-(x-f)(y-&)=(x+dx)(у+dy)-xy.

Только потребность обосновать ввиду его важности исчисление флюксий могла заставить такого математика, как Ньютон, обмануть себя подобным способом доказательства.

Другие формы, которыми пользуется Ньютон при выводе диференциала, связаны с конкретными, относящимися к движению значениями элементов и их степеней. – При употреблении формы ряда, которое вообще характерно для его метода, слишком напрашивается сказать, что мы всегда имеем возможность путем прибавления дальнейших членов взять величину с той степенью точности, которая нам нужна, и что отброшенные величины относительно незначительны, что вообще результат есть лишь приближение; и он здесь также удовлетворился этим основанием, подобно тому, как он в своем методе решения уравнений высших степеней путем приближения отбрасывает высшие степени, получающиеся при подстановке в данное уравнение каждого найденного еще неточного значения, на том же грубом основании, что они малы; см. Lagrange, Equations Numeriques, р. 125.

Ошибка, в которую впал Ньютон, разрешая задачу путем отбрасывания существенных высших степеней, ошибка, которая дала повод противникам торжествовать победу своего метода над его методом и истинный источник которой обнаружил Лагранж в своем новейшем ее рассмотрении (Theorie des fonct. analyt., 3-me р., eh. IV»), доказывает, что употребление этого орудия еще страдало формализмом и неуверенностью. Лагранж показывает, что Ньютон впал в свою ошибку вследствие того, что он пренебрегал членом ряда, содержащим ту степень, которая была важна для данной задачи. Ньютон придерживался формального, поверхностного принципа отбрасывания членов ввиду их относительной малости. – А именно, известно, что в механике членам ряда, в который разлагается функция какого-нибудь движения, придается определенное значение, так что первый член или первая функция относится к моменту скорости, вторая – к силе ускорения, а третья – к сопротивлению сил. Поэтому члены ряда должны рассматриваться здесь не только как части некоторой суммы, но как качественные моменты некоторого целостного понятия.

Благодаря этому отбрасывание остальных членов, принадлежащих дурно бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно отличный от отбрасывания их на основании их относительной малости. Разрешение проблемы, данное Ньютоном[46]46
  Обе точки зрения весьма просто сопоставлены у Лагранжа при применении теории функций в механике, в главе о прямолинейном движении (Theorie des fonct. З-me р., eh. I, art. IV). Если рассматривать пройденное пространство как функцию протекшего времени.


[Закрыть] оказалось ошибочным не потому, что в нем не принимаются во внимание члены ряда лишь как части некоторой суммы, а потому, что не принимается во внимание член, содержащий то качественное определение, в котором было все дело.

В этом примере качественный смысл есть то, от чего ставится в зависимость прием. В связи с этим мы можем тотчас же выставить общее утверждение, что все затруднение касательно самого принципа было бы устранено, если бы вместо формализма, состоящего в том, что определение диференциала усматривают лишь в дающей ему это имя ft, которое, разложенное как (f) дает bft+f+t и т. д. Следовательно, пространство, пройденное в данное время, изображается формулой dft+уРЧ+gTg и т. д. Движение, посредством которого проходится это пространство, говорят нам, составлено, следовательно (т. е. вследствие того, что аналитическое разложение в ряд дает много и притом бесконечно много членов) – из различных частичных движений, соответствующие времени пространства которых суть Ь² и т. д. Первое частичное движение есть в известном нам движении формально-равномерное движение со скоростью ft, второе равномерно ускоренное, зависящее от силы ускорения, пропорциональной ft. «А так как прочие члены не относятся ни к какому простому известному движению, то нет надобности принимать их в отдельности во внимание, и мы покажем, что от них можно абстрагироваться при определении движения в начале момента времени». Это и показывается, но, конечно, только путем сравнения вышеуказанного ряда, члены которого все должны были служить для определения величины пространства, пройденного в данное время, с данным в параграф 3 для падения тел уравнением х=а-f, в котором имеются только эти два члена. Но это уравнение само получило этот вид лишь благодаря предположению объяснения, даваемого членам, возникающим посредством аналитического разложения в ряд, это предположение заключается в том, что равномерно ускоренное движение составлено из формально равномерного движения, совершающегося с достигнутой в предыдущую часть времени скоростью, и некоторого прибавка (а в уравнении s=at2), т. е. эмпирического коэфициента, приписываемого силе тяжести, а ведь это есть такое различение, которое отнюдь не имеет существования или основания в природе вещей, но есть лишь ошибочно получившее характер физического положения выражение того, что получается при принятии некоторой определенной аналитической трактовки задаче, т. е. в различии вообще некоторой функции от ее изменения после того, как ее переменная величина получила некоторое приращение, – если бы вместо этого формализма было указано качественное значение принципа и действие было бы поставлено в зависимость от этого качественного значений. В этом смысле диференциал от х оказывается вполне исчерпанным первым членом ряда, получающегося путем разложения выражения (x-j-dx)a. Что прочие члены не принимаются во внимание, проистекает, таким образом, не ив их относительной малости; здесь не предполагается никакой такой неточности, погрешности или ошибки, которая бы выравнивалась и исправлялась другой ошибкой, – взгляд, исходя преимущественно из которого, Карно оправдывает обычный метод исчисления бесконечно-малых. Так как дело идет не о некоторой сумме, а о некотором отношении, то диференциал оказывается вполне найденным посредством первого члена; там же, где есть нужда в дальнейших членах, в диференциалах высших порядков, их нахождение состоит не в продолжении ряда, как суммы, а в повторении одного и того же отношения, которое единственно имеют в виду и которое, стало быть, завершено уже в первом члене. Потребность в форме некоторого ряда, в суммировании этого ряда и все, что связано с этим, должны в таком случае быть совершенно отделены от указанного интереса к отношению.

Разъяснения, даваемые Карно относительно метода бесконечных величин, представляют собою наиболее очищенное и ясное изложение того, что нам встретилось в вышеуказанных представлениях. Но при переходе к самим действиям у него более или менее появляются обычные представления о бесконечной малости отбрасываемых членов по сравнению с другими. Он оправдывает метод скорее тем, что результаты оказываются правильными, и полезностью введения неполных уравнений, как он их называет (т. е. таких уравнений, в которых совершается такое арифметически неправильное отбрасывание), для упрощения и сокращения исчисления, – чем самой природой вещи.

Лагранж, как известно, снова возвратился к первоначальному методу Ньютона, к методу рядов, дабы быть свободным от трудностей, которые влечет за собою представление о бесконечно-малом, равно как и метод первых и последних отношений и пределов. Относительно его исчисления функций, прочие преимущества которого в отношении точности, абстрактности и всеобщности достаточно невесты, мы должны отметить как касающееся занимающего нас вопроса лишь, то, что оно покоится на той основной теореме, что разность, не превращаясь в нуль, может быть принята столь малой, чтобы каждый член ряда превосходил по своей величине сумму всех следующих за ним членов. – При этом методе также начинают с категорий приращения и разности (по сравнению с первоначальной функцией) той функции, переменная величина которой получает приращение, что и вызывает появление скучного ряда; равно как в дальнейшем члены ряда, которые должны быть отброшены, принимаются в соображение лишь с той стороны, что они составляют некоторую сумму, и основанием, почему они отбрасываются, полагается относительность их определенного количества. Отбрасывание, следовательно, и здесь не сводится) в общем виде к той точке зрения, которая отчасти встречается в некоторых приложениях, в которых, как мы упомянули раньше, члены ряда должны иметь определенное качественное значение и оставляются без внимания не потому, что они незначительны по величине, а потому, что они незначительны по качеству; отчасти же само отбрасывание отпадает в той существенной точке зрения, которая определенно выступает относительно так называемых диференциальных коэфициентов лишь в так называемом приложении диференциального исчисления у Лагранжа, что мы разъясним подробнее в следующем примечании.

Качественный характер вообще, свойственный (как мы здесь доказали, трактуя о той форме величины, о которой идет речь) тому, что при этом называется бесконечно «малым, обнаруживается непосредственнее всего в той категории предела отношения, которая приведена выше и проведение которой в диференциальном исчислении рассматривалось как некоторый особого рода метод. Из соображений в суждении Лагранжа об этом методе, что ему недостает легкости применения и что выражение «предел» не дает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим ближе аналитическое значение этого» метода. В представлении о пределе именно и содержится вышеуказанная истинная категория качественного определения отношения между переменными величинами; ибо те их формы, которые появляются в нем, dx и dy, должны быть взяты здесь просто лишь как моменты выражения и само – должно рассматриваться как единый неделимый знак. Что при этом для механизма исчисления, особенно в его приложении, утрачивается преимущество, которое он извлекает го того обстоятельства, что члены диференциального коэфициента отделяются друг от друга, – это следует здесь оставить в стороне. Этот предел должен быть теперь пределом некоторой данной функции; он должен указать известное значение в связи с нею, определяемое способом вывода. Но с голой категорией предела мы не подвинулись бы дальше, чем с тем, о чем дело шло в этом примечании, имеющем целью показать, что бесконечно-малое, выступающее в диференциальном исчислении как dx и dy, имеет не только отрицательный, пустой смысл некоторой не-конечной, не-данной величины, как это имеет место, например, в тех случаях, когда говорится: «бесконечное множество», «и т. д. до бесконечности» и т. п., а определенный смысл качественной определенности количественного, момента отношения как такового. Однако эта категория, взятая в таком смысле, еще не имеет отношения к тому, что есть некоторая данная функция, еще не влияет сама по себе на трактовку этой функции и не приводит к такому употреблению указанного определения, которое должно было бы иметь место в последней; таким образом, и представление предела, если этому представлению не дозволяют идти дальше такой доказанной относительно него определенности, также ни к чему не привело бы. Но выражение «предел» уже само по себе подразумевает, что он есть предел чего-то, 20 Гегель, том У, Наука логики т. е. выражает известное значение, определяемое функцией переменной величины; и мы должны посмотреть, каков характер этого конкретного оперирования им.

Он должен быть пределом отношения друг к другу тех двух приращений, на которые по сделанному допущению увеличиваются две переменные величины, соединенные в одном уравнении, из коих одна рассматривается как функция другой; приращение берется здесь вообще неопределенным, и постольку о бесконечно-малом нет еще и речи. Но прежде всего путь, которым отыскивается этот предел, приводит к тем же непоследовательностям, которые имеются в других методах. Этот путь именно таков. Если y = fx, то при переходе у в y-/-k fx должна переходить в fx-/-ph-f-qh2--r№ и т. д. Следовательно, k=ph-/-qh2 и т. д., и p-/-qh-rh2 и т. д. Если теперь k и h исчезадют, то исчезает и второй член ряда кроме? каковое? и оказывается пределом отношения этих двух приращений. Отсюда видно, что h как определенное количество полагается = 0, но что вследствие этого еще не обращается вместе с тем в – j, а остается некоторым отношением. И вот представление предела должно доставить ту выгоду, что оно устранит заключающуюся в этом непоследовательность; должно вместо с тем быть не действительным отношением, которое было бы, а лишь тем определенным значением, к которому отношение может приближаться бесконечно, т. е. так, чтобы разность могла стать меньше всякой данной разности. Более определенный смысл приближения касательно того, что собственно должно сближаться между собою, будет рассмотрен ниже. – Но что количественное различие, определяемое не только как могущее, но и как долженствующее быть менее всякой данной величины, уже больше не есть количественное различие, это само собою ясно; это так же очевидно, как только что-нибудь может быть очевидным в математике; но этим мы не пошли дальше. Напротив, если Р, т. е. принимается за некоторое определенное количественное отношение, как это и есть на самом деле, то, наоборот, получается затруднение для предположения, что h = 0, предположения, единственно путем которого и по k получается р. Если же согласиться, что = 0 и в самом деле, раз й = 0, то само собою k также делается = 0, ибо приращение k к у имеет место лишь при условии существования приращения? – то надо было бы спросить, что представляет собою которое есть некоторое совершенно определенное количественное значение. На этот вопрос сразу же получается простой, сухой ответ, гласящий, что оно есть коэфициент, и нам указывают, путем какого вывода он возникает, – известным определенным образом выведенная первая производная функция некоторой первоначальной функции. Если удовольствоваться этим ответом, как и в самом деле Лагранж по существу дела удовольствовался им, то общая теория науки диференциального исчисления и непосредственно сама та одна форма, которая называется теорией пределов, освободилась бы от приращений, а затем и от их бесконечной или какой угодно малости, от трудности, состоящей в том, что кроме первого члена или, вернее, лишь коэфициента первого члена, все остальные члены ряда, которые неминуемо появляются благодаря введению этих приращений, снова устраняются; да помимо этого она очистилась бы также и от всего связанного с этим дальнейшего, от формальных категорий прежде всего бесконечного, бесконечного приближения, а затем и от дальнейших здесь столь же пустых категорий непрерывной величины и всех еще других, которые считается нужным Категория непрерывной или текучей величины появляется вместе с рассмотрением внешнего и эмпирического изменения величин, приведенных некоторым уравнением в такую связь, что одна есть функция другой; но так как научным предметом диференциального исчисления служит известное (обыкновенно выражаемое через диференциальный коэфициент) отношение, каковая определенность может быть названа также и законом, то для этой специфической определенности простая непрерывность есть отчасти чужеродный аспект, отчасти же во всяком случае абстрактная, а здесь – пустая категория, так как ею ничего не выражается ввести, как например, стремление, становление, повод к изменению. Но в таком случае требовалось бы показать, какое еще значение и ценность, т. е. какую связь и какое употребление для дальнейших математических целей имеет помимо того, для теории совершенно достаточного сухого определения, что оно есть не что иное, как полученная путем разложения бинома производная функция; об этом будет сказано во втором примечании. – Здесь же мы ближайшим образом дадим разбор той путаницы, которую вышеприведенное столь обычное в изложениях употребление представления о приближении внесло в понимание собственной, качественной определенности того отношения, в котором было ближайшим образом все дело.

Мы показали, что так называемые бесконечно малые разности выражают собою исчезание членов отношения как определенных количеств и что то, что после этого остается, есть их количественное отношение, исключительно лишь поскольку оно определено качественным образом; качественное отношение здесь настолько не теряется, что оно скорее есть именно то, что получается благодаря превращению конечных величин в бесконечные. В этом, как мы видели, состоит вся суть дела. – Так например, в последнем отношении исчезает определенные количества абсциссы и ординаты. Но члены этого отношения остаются по существу один – элементом ординаты, а другой – элементом абсциссы.

Так как здесь применяют обычный способ представления, состоящий в том, что одна ордината бесконечно приближается к другой, то одна ордината, раньше отличная от о законе непрерывности. – В какие формальные дефиниции при этом кроме того впадают, показывает остроумное общее изложение моим уважаемым коллегой проф. Дирксеном основных определений, употребляемых для вывода диференциального исчисления, изложение, которое он дает в связи с критикой некоторых новых сочинений по этой науке, помещенной в[47]47
  Jahrb./wissensch. Kritik, 1827, Nr. 153 и сл. Там на стр. 1251 дается даже такая дефиниция: «Непрерывная величина, континуум, есть всякая величина, которая мыслится нами находящейся в таком состоянии становления, при котором последнее совершается не скачкообразно, а путем непрерываемого движения вперед». Но ведь это тавтология, повторение того, что есть и самое definitum.


[Закрыть] другой ординаты, переходит в последнюю, а раньше различная абсцисса переходит в другую абсциссу; но ордината по существу не переходит в абсциссу и абсцисса не переходит в ординату. Оставаясь и далее в рамках этого примера переменных величин, следует сказать, что элемент ординаты должен быть понимаем не как отличие одной ординаты от другой ординаты, а как отличие или качественное определение величины относительно элемента абсциссы; принцип одной переменной величины и принцип другой находятся во взаимном отношении между собой.

Различие, не будучи уже больше различием конечных величин, перестало быть многообразным внутри самого себя, оно сжалось в простую интенсивность, в определенность одного качественного момента отношения относительно другого.

Но эта суть дела затемняется тем обстоятельством, что то, что мы только что назвали элементом, например, ординаты, понимается затем как разность или приращение, в том смысле, что оно будто бы есть лишь различие между определенным количеством одной ординаты и определенным количеством другой. Предел здесь, следовательно, не имеет смысла отношения; он считается лишь тем последним значением, к которому другая величина того же рода постоянно приближается таким образом, что она может сколь угодно мало отличаться от него и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом, бесконечно малая разность оказывается как бы неустойчивостью различия (das Schweben eines Unterschieds) одного определенного количества от другого и ее качественная природа, по которой dx есть по существу определение отношения не к х, а к dy, отступает в представлении на задний план. В диференциальном исчислении заставляют dx2 исчезнуть относительно dx, но еще больше исчезает dx относительно х, а это поистине означает: dx находится в отношении лишь % dy. – В таких изложениях геометры стараются преимущественно о том, чтобы сделать понятным приближение некоторой величины к ее пределу, и держаться того аспекта различия одного определенного количества от другого, в котором оно не есть различие и, однако, все еще есть различие. Но помимо всего прочего приближение есть само по себе ничего не говорящая и ничего не делающая понятным категория; уже dx оставил приближение позади себя, он ни близок ни более близок, и бесконечная близость сама есть лишь отрицание близости» и приближения.

Стало быть, поскольку вышло так, что приращения или бесконечно-малые разности рассматриваются лишь со стороны определенного количества, которое в них исчезает, и лишь как его предел, их понимают при этом как безотносительные моменты. Из этого вытекало бы не выдерживающее критики представление, будто в последнем отношении дозволительно приравнивать между собою, например, абсциссу с ординатой, или же синус, косинус, тангенс, sinus versus и что угодно еще. – Может казаться, что такое представление получает силу в том случав, когда дуга рассматривается как касательная; ибо и дуга, конечно, тоже несоизмерима с прямой линией и ее элемент имеет прежде всего другое качество, чем элемент прямой линии.

Может показаться еще более бессмысленным и недозволительным, чем смешение абсциссы, ординаты, sinus versus, косинуса и т. д. принимать круглые квадраты, принимать часть дуги, хотя бы и бесконечно малую, за кусочек касательной и, следовательно, трактовать ее как прямую линию. – Однако такую трактовку следует по существу отличать от вызвавшего порицание смешения; она имеет свое оправдание в том, что в том треугольнике, который имеет своими сторонами элемент некоторой дуги и элемент ее абсциссы и ординаты, отношение остается тем же самым, как если бы элемент дуги был элементом прямой линии, касательной; углы, составляющие существенное отношение, т. е. то отношение, которое сохраняется в этих элементах:, когда мы абстрагируемся от присущих им конечных величин, суть те же самые. – Можно выразиться об этом? таким образом, что прямые линии как бесконечно малые стали кривыми линиями, и отношение между ними при их бесконечности стало отношением между кривыми. Так как согласно дефиниции прямой линии она есть кратчайшее расстояние «между двумя точками, то ее отличие от кривой линии основано на определении множества, на меньшем множестве различимого в этом расстоянии, что, стало быть, есть количественное определение. Но это определение в ней исчезает, когда мы принимаем ее за интенсивную величину, за бесконечный момент, за элемент; а вместе с тем исчезает и ее отличие от кривой линии, основанное исключительно только на различии определенного количества. – Следовательно, как бесконечные, прямая линия и дуга не сохраняют никакого количественного отношения друг к другу и тем самым на основании принятой дефиниции не имеют больше также и никакого качественного отличия друг от друга, а первая переходит во вторую.

Родственным и, тем не менее, отличным от приравнивания разнородных определений оказывается само по себе неопределенное и совершенно безразличное допущение, что бесконечно малые части одного и того же целого равны «между собою. Однако примененное к разнородному внутри себя предмету, т. е. к такому предмету, который обременен существенною неравномерностью количественных определений, это допущение порождает содержащееся в теореме высшей механики своеобразно превратное утверждение, гласящее, что в равные и притом бесконечно малые промежутки времени проходятся бесконечно малые части кривой в равномерном движении, причем утверждение это касается такого движения, в котором в равные конечные, т. е. существующие части времени, проходятся конечные, т. е. существующие неравные части кривой, т. е., стало быть, касается движения, которое как существующее неравномерно и признается таковым. Эта теорема есть словесное выражение того, что должен означать собою аналитический член, получающийся в приведенном выше разложении формулы неравномерного, но, впрочем, соответствующего некоторому закону движения. Более ранние математики старались выразить результаты вновь изобретенного исчисления бесконечно малых, которое и без того всегда имело дело с конкретными предметами, в словах и предложениях и представить их в геометрических обозначениях, главным образом для того, чтобы применять их для вывода теорем по обычному способу доказательства. Члены математической формулы, на которые анализ разлагал величину предмета, например, движения, получали, таким образом, предметное значение, например, значение скорости, ускоряющей силы и т. п.

Они должны были согласно такому значению доставлять правильные положения, физические законы, и сообразно их аналитической связи, должны были определяться также и их объективные связи и отношения, как например, должно было именно определяться, что в равномерно ускоренном движении существует особая пропорциональная временам скорость, к которой кроме того всегда присоединяется приращение, сообщаемое силой тяжести. Такие предложения выставляются в новой, получившей аналитическую форму механике исключительно как результаты исчисления, причем она не заботится о том, имеют ли они сами по себе самостоятельный реальный смысл, т. е. такой смысл, которому соответствует некоторое существование, не заботится также и о том, чтобы это доказать. Трудность сделать понятной связь таких определений, когда их берут в определенно реальном смысле, например, объяснить переход от просто равномерной скорости к равномерному ускорению, считается совершенно устраненной аналитическим рассмотрением, в котором сказанная связь есть простое следствие отныне прочного авторитета действий исчисления. Нахождение единственно только путем вычисления законов, выходящих за пределы опыта, т. е. таких предложений о существовании, которые сами не имеют существования, выдается за торжество науки. Но в первое, еще наивное время исчисления бесконечно-малых математики всячески старались указать и обосновать самостоятельный реальный смысл этих представленных в геометрических построениях определений и положений и применять их в таком смысле для доказательства главных положений, о которых шла речь (ср. Ньютоново доказательство основного положения его теории тяготения в Princ. mathemat. philosophiae naturalis, Hb. I, sect. II, prop. I, с астрономией Шуберта (изд. 1-е, т. III, параграф 20), где он вынужден признать, что дело обстоит не совсем так, т. е. что в (пункте, составляющем самый нерв доказательства, дело обстоит не так, как это принимает Ньютон).