Текст книги "Наука логики"

Нельзя отрицать, что в этой области» многое, преимущественно при помощи тумана, напущенного бесконечно малыми, было допущено в качестве доказательства ни на каком другом основании, как только потому, что то, что получалось, всегда было заранее известно, и доказательство, построенное таким образом, что получался уже известный вывод, давало по крайней мере видимость некоторого остова доказательства, видимость, которую все же предпочитали простой вере или опытному знанию. Но я не колеблясь решаюсь сказать, что рассматриваю эту манеру только как простое фокусничество и шарлатанничание доказательствами, и причисляю к такого рода фокусничанию даже ньютоновы доказательства и, в особенности, те из них, которые принадлежат к только что приведенным, за которые превозносили Ньютона до небес и ставили выше Кеплера, утверждал, что первый доказал математически то, что второй нашел лишь опытным путем.

Пустой остов таких доказательств был воздвигнут с целью доказать физические законы. Но математика вообще не может доказать количественных определений физики, поскольку они суть законы, имеющие своим основанием качественную природу моментов; математика не может этого сделать по той простой причине, что она не есть философия, не исходит из понятия, и поэтому качественное, поскольку оно не почерпается лемматически из опыта, лежит вне ее сферы. Отстаивание чести математики, настаивание на том, что все встречающиеся в ней положения должны быть строго доказаны, заставляло ее часто забывать свои границы. Так, например, казалось противным ее достоинству просто признать опыт источником и единственным доказательством встречающихся в ней опытных положений. Позднее было достигнуто более определенное сознание этой истины; но до тех лор, пока сознание не уяснит себе различие между тем, что может быть доказано, и тем, что может быть лишь заимствовано из другого источника, равно как и различие между тем, что представляет собою лишь член аналитического разложения, и тем, что представляет собою физическое существование, до тех лор научность не сможет достигнуть строгой и чистой позиции. – А что касается указанного остова ньютоновых доказательств, то его без сомнения еще настигнет такой же справедливый суд, который настиг другое необоснованное искусственное построение Ньютона, состоявшее из оптических экспериментов и связанных с ними умозаключений.

Прикладная математика еще полна такого рода варевом из опыта и рефлексии. Но подобно тому, как уже с довольно давних пор стали фактически игнорировать в науке одну часть ньютоновской оптики за другой, причем, однако, совершают ту непоследовательность, что продолжают держаться, хотя и в противоречии с этим, прочих частей ее, точно так же является фактом, что часть упомянутых обманчивых доказательств уже сама собою пришла в забвение или заменена другими доказательствами.

Примечание 2 Цель диференциального «исчисления, выведенная из его приложения В предшествующем примечании мы рассмотрели отчасти определенность понятия бесконечно малого, применяемого в диференциальном исчислении, отчасти же основу его введения в последнее. И то и другое суть абстрактные и потому сами по себе также и легкие определения. Так называемое приложение представляет больше трудностей, равно как и более интересную сторону; элементы этой конкретной стороны составят предмет настоящего примечания. – Весь метод диференциального исчисления полностью дан в положении, что dxn = пхп-г dx или f (x + 0-fx=P т. е. равняется коэфициенту первого члена двучлена (х+dx)n или (х-f)[48]48
  В немецком тексте вместо (х + dx)n стоит? – f d, а вместо (х + i)n напечатано. Явная опечатка.


[Закрыть], разложенного по степеням dx или /.

Дальше нечему учиться новому; вывод ближайших форм, диференциала произведения, показательной функции и т. д. получается из этой формулы механически; в короткое время, в каких-нибудь полчаса – с нахождением диференциалов дано также и обратное, нахождение первоначальной функции на основании диференциалов, интегрирование – можно овладеть всей теорией. Задерживает на ней дальше лишь старание усмотреть, сделать для себя понятным, каким образом после того, как одна сторона задачи, нахождение этого коэфициента, решена так легко аналитическим, т. е. совершенно арифметическим способом, посредством разложения функции переменной величины, получившей через приращение форму двучлена, оказывается правильной также и другая сторона, а именно, отбрасывание всех членов возникающего ряда, кроме первого. Если бы оказалось, что единственно только этот коэфициент и нужен, то с его нахождением было бы покончено, как мы сказали, менее чем в полчаса со воем, что касается теории, и отбрасывание прочих членов ряда представляло бы так мало затруднений, что скорее, наоборот, о них, как о членах ряда (как второй, третьей и т. д. производной функции, их определение равным образом уже закончено с определением первого члена), вовсе и не было бы речи, так как в них совершенно нет надобности.

Можно здесь предпослать то замечание, что по методу диференциального исчисления сразу видно, что он изобретен и установлен не как нечто самодовлеющее; он не только не обоснован сам по себе, как особый способ аналитического действия, но насильственность, заключающаяся в том, что прямо отбрасываются члены, получающиеся посредством разложения функции, несмотря на то, что все это разложение признается полностью относящимся к делу ибо дело именно и усматривается в различии разложенной функции переменной величины (после того, как ей придана форма двучлена) от первоначальной функции, – скорее совершенно противоречит всем математическим принципам.

Как потребность в таком образе действий, так и отсутствие внутреннего его оправдания сразу же указывают на то, что его источник и основание находятся где-то вне его.

Это не единственный случай в науке, когда то, что в качестве элементарного ставится вначале и из чего, как предполагается, должны быть выведены положения данной науки, оказывается неочевидным и имеющим, наоборот, свой повод и обоснование в последующем. История возникновения диференциального исчисления показывает, что оно получило свое начало преимущественно в различных так называемых методах касательных, которые представляли собою как бы кунштюки; характер действия после того, как он был распространен также и на другие предметы, был осознан позднее и получил выражение в абстрактных формулах, которые теперь старались также возвести в ранг принципов.

Мы показали выше, что определенность понятия так называемых бесконечно-малых есть качественная определенность таких количеств, которые ближайшим образом, как определенные количества, положены находящимися в отношении друг к другу, а затем в связи с этим следовало эмпирическое исследование, ставившее себе целью обнаружить эту определенность понятия в тех имеющихся описаниях или дефинициях бесконечно малого, которые берут его как бесконечно малую разность и тому подобное. – Мы это сделали лишь для того, чтобы достигнуть абстрактной определенности понятия как таковой.

Дальнейший вопрос состоит в том, какой характер носит переход от нее к математической форме и ее приложению. Для этой цели нужно сначала еще далее развить теоретическую сторону, определенность понятия, которая окажется в себе самой не совсем бесплодной; затем следует рассмотреть отношение ее к приложению и доказать относительно их обоих, насколько это здесь уместно, что получающиеся общие выводы вместе с тем соответствуют тому, что является существенным в диференциальном исчислении, и тому способу, каким оно достигает своей цели.

Прежде всего следует напомнить, что мы уже разъяснили мимоходом ту форму, которую рассматриваемая нами теперь определенность понятия имеет в области математики».

Мы сначала обнаружили качественную определенность количественного в количественном отношении вообще; но помимо этого уже при выводе различных так называемых видов счета (см., относящееся к этому примечание) мы, забегая вперед, указали, что именно в степенном отношении, которое нам предстоит рассмотреть ближе в своем месте, число через приравнение моментов его понятия, единицы и численности) положено, как возвратившееся к себе самому, и тем самым получает в себе самом момент бесконечности, для-себя-бытия, т. е. определяемости самим собою. Ясно выраженная качественная определенность величин принадлежит поэтому, как равным образом было уже упомянуто выше, по существу степенным определениям, а так как специфическая черта диференциального исчисления заключается в том, что оно оперирует качественными формами величин, то свойственным ему математическим предметом необходимо должно быть рассмотрение форм степеней, и все задачи и их решения, для которых применяется диференциальное исчисление, показывают, что интерес сосредоточивается в них единственно лишь на разработке степенных определений как таковых.

Как ни важна эта основа и хотя она сразу же выдвигает на первый план нечто определенное вместо чисто формальных категорий переменных, непрерывных или бесконечных величин и т. п. или функций вообще, она все же еще слишком обща; ведь с тем же самым имеют дело и другие действия; уже возвышение в степень и извлечение корня, а затем действия над показательными функциями и логарифмами, ряды, уравнения высших степеней интересуются и занимаются исключительно отношениями, основанными на степенях. Нет сомнения, что все они в своей совокупности составляют систему учения о степенях; но ответ на вопрос, какие именно из этих отношений, в которые могут быть поставлены степенные определения, суть те, которые составляют собственный предмет и интерес диференциального исчисления, должен быть почерпнут из него самого, т. е. из его так называемых приложений.

Последние и составляют на самом деле самую суть, действительный способ действия в математическом разрешении известного круга проблем; этот способ действия существовал раньше теории или общей части, и приложением оно было назвало позднее лишь по отношению к созданной впоследствии теории, которая ставила себе целью отчасти установить общий метод этого способа действия,» отчасти же дать ему принципы, т. е. оправдание. Какими тщетными были, для господствовавшего до сих пор понимания этого способа действия, старания найти принципы, которые действительно разрешили бы выступающее здесь противоречие, а не извиняли бы или не прикрывали бы его ссылками на незначительность того, что согласно математическим правилам необходимо, но здесь должно быть отбрасываемо, или, что сводится к тому же, ссылками на возможность бесконечного или какого угодно приближения и т. п., – это мы показали в предшествующем примечании. Если бы всеобщее этого способа действия было абстрагировано из той действительной части математики, которая именуется диференциальным исчислением, иным образом, чем это происходило до сих пор, то эти принципы и труд, затраченный над их установлением, оказались бы столь же излишни, сколь они, взятые сами по себе, оказываются чем-то неправильным и остающимся противоречивым.

Если будем доискиваться этого своеобразия путем простого обозрения того, что имеется в этой части математики, то мы найдем в качестве ее предмета а) уравнения, в которых какое угодно число величин (мы можем здесь остановиться вообще на двух) связано в одно определенное целое, так что эти величины, во-первых, имеют свою определенность в эмпирических величинам, как твердых пределах, а затем, в определенной связи как с последними, так и между собою, как это вообще имеет место в уравнениях; но так как здесь имеется лишь одно уравнение для обеих величин (в том случае, если величин более двух, то и число уравнений соответственно увеличивается, но всегда число уравнений будет меньше числа величин), то это – уравнения неопределенные. Во-вторых, они связаны так, что одна из тех черт, которые характерны для того способа, каким эти величины имеют здесь свою определенность, заключается в том, что они (по крайней мере одна из них) даны в уравнении в степени высшей, чем первая степень.

Относительно этого мы должны сделать несколько замечаний. Укажем, во-первых, что величины, взятые со стороны первого из вышеизложенных определений, всецело носят характер лишь таких переменных величин, какие встречаются в задачах неопределенного анализа. Они неопределенны, но так, что если одна получает откуда-нибудь извне некоторое совершенно определенное значение, т. е. некоторое числовое значение, то и другая также становится определенной, – одна есть функция другой; категории переменных величин, функций и тому подобное имеют поэтому, как уже сказано выше, для освещения той специфической определенности величин, о которой здесь идет речь, лишь формальное значение, так как они отличаются такой общностью, в которой еще не содержится то специфическое, на которое направлен весь интерес диференциального исчисления, и это специфическое не может быть выведено из них при посредстве анализа; они суть взятые сами по себе, простые, незначительные, легкие определения, которые мы делаем трудными лишь тогда, когда вкладываем в них то, чего в них нет, для того, чтобы затем получить возможность вывести его из них, а именно, когда мы приписываем им специфическое определение диференциального исчисления. – Что же касается, далее, так называемой константы, то о ней можно заметить, что она есть ближайшим образом некоторая безразличная эмпирическая величина, имеющая для переменных величин определяющее значение лишь по своему эмпирическому определенному количеству, как предел их максимума и минимума; но способ соединения такого рода констант с переменными величинами сам есть один из моментов для природы той частной функции, которую образуют эти величины. Но и наоборот, сами константы тоже суть функции. Поскольку, например, прямая линия имеет значение параметра параболы, это ее значение состоит в том, что она есть функция у; точно так же, как в разложении двучлена вообще та константа, которая есть коэфициент первого члена ряда, есть сумма корней, коэфициент второго члена – сумма их произведений по два и т. д., стало быть, эти константы суть здесь вообще функции корней. Там, где в интегральном исчислении константа определяется из данной формулы, она постольку трактуется как ее функция. Эти коэфициенты будут рассмотрены нами далее и в другом определении как функции, конкретное значение которых составляет их главный интерес.

Но то своеобразие, которым рассмотрение переменных величин в диференциальном исчислении отличается от их характера в неопределенных задачах, мы должны видеть в том, что по крайней мере одна из этих величин или даже все они имеют степень выше первой, причем опять-таки безразлично, все ли они имеют одну и ту же высшую степень или они имеют неодинаковую степень; специфическая неопределенность, которой они здесь отличаются, зависит исключительно от того, что они суть функции друг друга именно в таком степенном отношении. Благодаря этому изменение переменных величин детерминировано качественно и, стало быть, оно непрерывно, и эта непрерывность, которая сама по себе есть опять-таки лишь формальная категория некоторого тождества вообще, некоторой сохраняющейся в изменении, остающейся саморавною определенности, имеет здесь свой детерминированный смысл, и притом единственно только в степенном отношении, которое не имеет своим показателем никакого определенного количества и составляет не-количественную, пребывающую определенность отношения переменных величин. Поэтому следует возразить против формализма другого рода, что первая степень есть степень лишь в отношении к высшим степеням; сам же по себе взятый? есть лишь какое-нибудь неопределенное определенное количество. Поэтому не имеет смысла диференцировать само по себе уравнения у = ах-/-Ь, уравнение прямой линии, или s = ct, уравнение просто равномерной скорости. Если из у = ах или также из у = ах-/+Ь получается а, или из s = et получается – rt = cyто в такой же мере определением тангенса является а или определением просто равномерной скорости j = с. Последняя выражается через в связи с там, что выдается за разложение в ряд формулы равномерно ускоренного движения. Но что в системе такого движения встречается момент простой, просто равномерной, т. е. не определенной высшею степенью одного из моментов движения, скорости, – это само есть, как замечено выше, бессодержательное, основанное единственно только на рутине метода допущение. Так как метод исходит из представления о получаемом переменной величиной приращении, то, конечно, приращение может получить и такая переменная величина, которая есть лишь функция первой степени; если же после этого, чтобы найти диференциал, мы берем отличие возникшего таким образом второго уравнения от данного, то сразу же обнаруживается пустота действия в том, что, как мы уже заметили, уравнение до и после этого действия остается для так называемых приращений тем же, что и для самих переменных величин.

b) Сказанным определяется природа уравнения, над которым нужно будет производить действия, и теперь следует указать, каков тот интерес, на удовлетворение которого направлено произведение этих действий. Это рассмотрение может нам дать лишь уже знакомые результаты, результаты такого рода, какие по форме имеются в особенности в понимании этого предмета Лагранжем; но я придал изложению совершенно элементарный характер, чтобы устранить примешавшиеся сюда чужеродные определения. – Основой для действий над уравнением указанного вида оказывается то, что степень внутри ее самой понимается как некоторое отношение, как система определений отношения. Степень, указали мы выше, есть число, поскольку оно пришло к тому, что его изменения определены им же самим, его моменты, единица и численность, тождественны, – вполне, как мы выяснили ранее, ближайшим образом в квадрате, более формально (что не составляет здесь разницы) в высших степенях. Степень что она как число – хотя бы «мы и предпочитали выражение «величина», как более общее, она в себе всегда есть число – есть некоторое множество, могущее быть изображенным также и как сумма) может ближайшим образом быть разложена внутри себя самой на любое множество чисел, которые не имеют никакого другого определения как относительно друг друга, так и относительно их суммы, кроме того, что они все вместе равны последней. Но степень может быть также разложена на сумму таких различий, которые определены формой степени. Если степень принимается за сумму, то в виде суммы рассматривается также и ее основное число, корень, и оно может быть разложено любым образом, каковое разнообразие разложений есть однако нечто безразличное, эмпирически количественное. Сумма, каковою должен быть корень, сведенная к ее простой определенности, т. е. к ее истинной всеобщности, есть двулен; всякое дальнейшее увеличение числа членов есть простое повторение того же определения и потому нечто пустое[49]49
  Лишь формализмом той всеобщности, на которую необходимо притязает анализ, объясняется то, что вместо того, чтобы для разложения степени в ряд брать двучлен (а + Ь)n, берут многочлен (а + b + с + d…), как это делается также и во многих других случаях; эту форму следует считать, так сказать, кокетничанием видимостью всеобщности; двучленом исчерпывается суть дела; посредством его разложения в ряд мы находим закон, а истинной всеобщностью и является как раз вакон, а не то внешнее, лишь пустое повторение закона, которое это а – f– b – f– с +?..9 единственно только и порождает.


[Закрыть]. Единственно важным является здесь, стало быть, та качественная определенность членов, которая получается посредством возвышения, в степень принимаемого за сумму корня, каковая определенность заключается единственно только в том изменении, которым является возвышение в степень. Эти члены суть, следовательно, всецело функции возвышения в степень и самой степени. Это изображение числа как суммы некоторого множества таких членов, которые суть функции возвышения в степень, а затем интерес нахождения формы таких функций и, далее, этой суммы из множества таких членов, поскольку это нахождение должно зависеть только от сказанной формы, – все это составляет, как известно, особое учение о рядах.

Но при этом мы должны существенно различать еще дальнейший интерес, а именно, отношение самой лежащей в основании величины, – определенность которой, поскольку она есть некоторый комплекс, т. е. в данном случае уравнение, заключает в себе некоторую степень, – к функциям ее возвышения в степень. Это отношение, совершенно абстрагированное от вышеназванного интереса нахождения суммы, окажется тем углом зрения, который вытекает из действительной науки, как единственный, имеющийся в виду диференциальным исчислением.

Однако сначала нужно прибавить к сказанному еще одно определение или, лучше сказать, устранить из сказанного одно заключающееся в нем определение. А именно, мы сказали, что переменная величина, в определение которой входит степень, рассматривается внутри ее самой как сумма и притом как система членов, поскольку последние суть функции возвышения в степень, вследствие чего также и корень рассматривается как сумма, и рассматривается так в» своей простой определенной форме как двучлен; xn=(y-/-z)a=(ya+riyn-12+…). Это изображение исходило, в целях разложения степени в ряд, т. е. в целях получения функций возвышения в степень, из суммы как таковой; но здесь дело не идет ни о сумме как таковой, ни о происходящем из нее ряде, а от суммы должно брать только соотношение. Соотношение величин как таковое есть то, что, с одной стороны, остается после того, как отвлекаются от plus некоторой суммы как таковой, и что, с другой стороны, требуется для нахождения функций, получающихся в результате разложения в ряд данной степени. Но такое соотношение уже определено тем, что здесь предмет есть уравнение, что ут=ахп уже также есть комплекс нескольких (переменных) величин, содержащий в себе их степенное определение. В этом комплексе каждая из этих величин безоговорочно положена как находящаяся в соотношении с другой со значением, можно было бы сказать, некоторого plus в ней самой, – положена как функция прочих величин; их характер функций друг друга сообщает иод это определение plusa, но тем же самым – определение чего-то совершенно неопределенного, а не приращения, инкремента и т. п. Мы, однако, могли бы также и оставить в стороне эту абстрактную точку зрения; можно совершенно просто остановиться на том, что после того, как переменные величины даны в уравнении как функции друг друга, так что эта определенность заключает в себе отношение степеней, теперь сравниваются между собою также и функции возвышения в степень каждой из них, – каковые вторые функции определены далее не чем иным, как самим возвышением в степень. Можно сначала выдавать за произвол или возможность сведение степенного уравнения переменных величин к отношению функций, получающихся в результате их разложения в ряд; лишь дальнейшая цель, польза, употребление должны указать пригодность такого его преобразования; эта перестановка и вызвана единственно только ее полезностью. Если выше мы исходили из изображения этих стеленных определений на примере некоторой такой величины, которая как сумма принимается за различенную внутри себя, то это служило отчасти лишь для того, чтобы указать, какого вида эти функции, отчасти же в этом заключается способ их нахождения.

Мы, таким образом, имеем перед собой обычное аналитическое разложение в ряд, понимаемое для целей диференциального исчисления так, что переменной величине дается приращение dx, i, а затем степень двучлена раскладывается в соответствующий ряд. Но так называемое приращение должно быть не определенным количеством, а лишь формой, все значение которой сводится к тому, чтобы быть вспомогательным средством. Стремятся же в этом случае, по признанию, определеннее всего выраженному Эйлером и Лагранжем, а затем подразумеваемому вышеупомянутым представлением о пределе, лишь к получающимся при этом степенным определениям переменных величин, к так называемым коэфициентам (эти коэфициенты суть, правда, коэфициенты приращения и его степеней, которые определяют порядок ряда и которым принадлежат различные коэфициенты). При этом можно сделать еще и то замечание, что так как приращение, не имеющее определенного количества, принимается лишь для целей разложения в ряд, то было бы всего уместнее обозначить его единицей (цифрой 1), потому что приращение всегда встречается в разложении только как» множитель, а множитель «единица» как раз и достигает той цели, чтобы приращение не вносило никакой количественной определенности и никакого количественного изменения. Напротив, dx, сопровождаемый ложным представлением о некоторой количественной разности, и другие знаки, как например, i, обремененные бесполезною здесь видимостью всеобщности, всегда выглядят, как некоторое определенное количество и его степени, и притязают, что они суть нечто такое, каковое притязание заставляет затем трудиться над тем, чтобы, несмотря на это, избавиться от них, отбросить их. Для сохранения формы ряда, развернутого по степеням, можно было бы с таким же удобством присоединять обозначения показателей как indices (индексы) и к единице. Но и помимо этого необходимо абстрагироваться от ряда и от определения коэфициентов по месту, которое они занимают в ряде, так как отношение между всеми ими одно и то же; вторая функция выводится из первой точно так же, как первая из первоначальной, и для той, которая по счету является второй, первая производная функция есть опять-таки первоначальная. По существу же интерес направлен не на ряд, а единственно только на получающееся в результате развертывания ряда степенное определение в его отношении к для него непосредственной величине. Стало быть, вместо того, чтобы считать это определение коэфициентом первого члена развертывающегося ряда, было бы предпочтительнее (так как каждый член есть первый относительно следующих за ним членов ряда, а такая степень в качестве степени приращения, как и сам ряд, не имеет сюда отношения) употреблять простое выражение «производная степенная функция», или, как мы сказали выше, «функция возвышения величины в степень», причем предполагается известным, каким образом получение производной функции берется как заключенное внутри некоторой степени развертывание.

Но если в этой части анализа собственно-математическое начало есть не что иное, как нахождение функции, определенной через развертывание степени, то является дальнейший вопрос, что следует предпринять с полученным таким образом отношением, в чем его приложение и употребление, или на самом дело вопрос, для какой цели ищут таких функций. Диференциальное исчисление вызвало к себе большой интерес именно тем, что оно находило такие отношения в конкретных предметах, которые могут быть сведены к этим абстрактным аналитическим отношениям.

Но относительно приложимости само собой получается, прежде всего, следующий вывод, который еще до того, как сделаем заключение из случаев приложения, вытекает из самой природы вещей в силу обнаруженного выше характера моментов степени. Раскладывание степенных величин, посредством которого получаются функции их возвышения в степень, если абстрагироваться от более детальное определения, характеризуется ближайшим образом вообще тем, что величина понижается на одну степень, получает ближайшую низшую степень. Такие действия, следовательно, делаются приложимыми в таких предметах, в которых также имеется такое различие степенных определений. Если будем иметь в виду пространственную определенность, то» мы найдем, что она содержит те три измерения, которые мы, чтобы отличить их от абстрактных различий высоты, длины и ширины, можем обозначить как конкретные измерения, а именно, линию, поверхность и целостное пространство; а поскольку они берутся в их простейших формах и в отношении к самоопределению и, стало быть, к аналитическим измерениям, то мы получаем прямую линию, плоскостную поверхность (и ее же как квадрат) и куб. Прямая линия имеет некоторое эмпирическое определенное количество, но с плоскостью появляется качественное, степенное определение; более детальные модификации, например то обстоятельство, что это происходит уже и с плоскими кривыми», мы можем оставить без рассмотрения, поскольку здесь дело идет прежде всего лишь о различии в общем виде. Тем самым возникает также потребность переходить от высшего степенного определения к низшему и наоборот, поскольку, например, линейные определения должны быть выведены из данных уравнений поверхности и т. п. или наоборот. – Далее, движение, в каковом должно рассматривать отношение величин пройденного пространства и соответствующего протекшего времени, обнаруживается в различных определениях просто равномерного, равномерно ускоренного, попеременно равномерно ускоренного и равномерно замедленного, – возвращающегося в себя движения; так как эти различные виды движения выражаются в отношениях величин их моментов, пространства и времени, то для них получаются уравнения, содержащие различные степенные определения, а поскольку может явиться потребность определить некоторый вид движения или же пространственные величины, с которыми связан некоторый вид движения, посредством другого вида движения, это действие равным образом приводит к переходу от одной степенной функции к другой, высшей или низшей. – Примеров этих двух предметов достаточно для той цели, для которой они приведены.

Видимость случайности, представляемая диференциальным исчислением в его приложениях, упростилась бы уже одним сознанием природы тех областей, в которых может иметь место приложение, и своеобразной потребности и условий этого приложения. Но в пределах самих этих областей важно далее знать, между какими частями предметов математической задачи имеет место тот род отношения, который своеобразно полагается диференциальным исчислением. Мы должны сразу же заметить предварительно, что при этом нужно принимать во внимание двоякого рода отношения.

Действие понижения степени некоторого уравнения, рассматриваемое со стороны производных функций его переменных величин, дает результат, который в самом себе поистине уже есть не уравнение, а некоторое отношение.

Это отношение есть предмет собственно диференциального исчисления. Но именно поэтому, во-вторых, здесь имеется также отношение самого более высокого степенного определения (первоначального уравнения) к низшему (производной функции). Это второе отношение мы должны оставить пока в стороне; впоследствии оно окажется своеобразным предметом интегрального исчисления.

Рассмотрим сначала первое отношение и возьмем для – долженствующего быть заимствованным из области так называемого приложения – определения того момента, в котором заключается интерес действия, простейший пример кривых, определяемых уравнением второй степени. Как известно, уравнением непосредственно дано в некотором степенном определении отношение координат. Следствиями основного определения являются определения других связанных с координатами прямых линий: касательной, под– касательной, нормальной и т, п. Но уравнения между этими линиями и координатами суть линейные уравнения; те целые, как части которых определены эти линии, суть прямоугольные треугольники, составленные прямыми линиями. Переход от основного уравнения, содержащего степенное определение, к этим линейным уравнениям содержит в себе вышеуказанный переход от первоначальной функции, т. е. от той функции, которая представляет собою некоторое уравнение, к производной функции, которая есть некоторое отношение и притом отношение между известными, содержащимися в кривой, линиями. Связь между отношением этих линий и уравнением кривой и есть то, что требуется найти.