Текст книги "Менеджмент"

Рассмотрим «игру» двух лиц, обладающих некоторой суммой, не равной нулю. «Игрок» А имеет а единиц одного товара, «игрок» В – b единиц второго товара. При обмене товарами каждый из «игроков» стремится извлечь пользу.

Для участника А итог обмена обозначим через (x, y), для участника В итог деятельности будет (а – x, b – y). Для определяемых величин x и y учитываются ограничивающие условия. Значение x находится в пределах от 0 до а, значение y – в пределах от 0 до b.

В координатах x, y для прямоугольника допустимых значений искомых неизвестных строятся линии равной выгодности. Для участника А – это совокупность параллельных выпуклых функций, для участника В – это совокупность параллельных вогнутых функций. Точки возможных условий контракта – это точки касания функций полезности результата для участников.

Глава 8
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Событие – всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта как результат предпринятого действия (действий). Признаком отнесенности факта к разряду событий является ответ «да» либо «нет» на вопрос: «Произошло ли событие?» Событиями можно назвать как падение монеты гербом вверх при бросании («орел» или «решка»?), так и своевременную поставку сырья и др.

События могут быть достоверными, возможными и невозможными.

Достоверное событие – событие, которое непременно должно произойти, например выпадение любого количества очков на игральной кости, расход ресурсов при выпуске продукции.

Возможное – событие, которое может произойти или не произойти: падение монеты гербом вверх, выполнение плана на 100 % и др.

Невозможное – событие, которое не может произойти: появление (у игрока) двух тузов при вытаскивании одной карты, выпуск сверхплановой продукции без использования дополнительных ресурсов и др.

Для выражения возможности события используют численную меру. Численную меру возможности события называют вероятностью. Вероятность события A, т. е. P (A), можно вычислить:

P (A) = m/n

где m – число случаев, когда событие A может произойти; n – общее число случаев.

Вероятность P (A) характеризует возможность появления события А в будущем. Для оценки того, как часто события уже происходили, используют понятие частоты. Частоту события А обозначают

где m* показывает, сколько раз событие произошло; n – общее число произведенных испытаний.

Несовместными называют события, исключающие друг друга. Так, падение монеты вверх гербом и цифрами – это два несовместных события. Очевидно, что сумма вероятностей всех несовместных событий равна 1.

Случайные события можно характеризовать числами. Такие числа называют случайными величинами. Случайная величина может принять то или иное значение, заранее не известное. Например, случайными величинами являются объем поставленных материалов, трудоемкость операции или работы.

Леонид Витальевич Канторович – лауреат Нобелевской премии. Родился в 1912 г. в Санкт-Петербурге в семье врача. В 18 лет закончил математический факультет Ленинградского университета и уже через четыре года получил звание профессора. В 1935 г. ему была присуждена ученая степень доктора физико-математических наук. Л. В. Канторович является основателем российской школы функционального анализа, вычислительной математики, языков программирования. Крупнейшим его открытием стало введение в математическую и экономическую науки понятия «линейное программирование» (1939). Это универсальная математическая модель решения многих экономических задач. Им были введены «двойственные оценки» ресурсов, показывающие ценность этих ресурсов для общества. Двойственные оценки получили разнообразное толкование в зависимости от рассматриваемого круга задач. Одной из разработок Л. В. Канторовича была теория дифференциальной ренты. Рентные оценки позволяют измерить стоимость пользования природными ресурсами (землей, водой, воздухом и т. п.).

За короткий период Л. В. Канторовичу удалось построить разветвленную теорию на базе линейного программирования, а также создать основы математической теории. Им были разработаны транспортная задача, задача раскроя материалов. В 1965 г. Л. В. Канторович совместно с В. С Немчиновым и В. В. Новожиловым получил Ленинскую премию за разработку оптимизационного подхода к плановому управлению экономикой.

В 1975 г. Л. В. Канторович за разработку теории оптимального использования ресурсов был удостоен Нобелевской премии.

Конкретное измеренное значение случайной величины называют ее реализацией. Различные реализации случайной величины относят к несовместным событиям. Действительно, если трудоемкость изготовления детали составила 100 человеко-часов, то она не может быть равна 105 или иметь любое другое значение.

Случайная величина не может быть описана одним конкретным числом. Ее можно описать либо количественными характеристиками, либо законом распределения. Наиболее распространенными характеристиками случайной величины являются: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариабельности.

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины и обозначается M x, или M [x], или x:

где n – число реализаций; x_i – значение случайной величины в i – й реализации. Дисперсия D [x] (или D x) характеризует разброс значений случайной величины:

Так как размерность дисперсии равна квадрату размерности самой случайной величины, использовать дисперсию для относительной оценки разброса случайной величины нельзя.

Поэтому разброс оценивают средним квадратическим отклонением:

Удобной характеристикой случайной величины является коэффициент вариабельности, который показывает относительное значение разброса случайной величины.

Пример. Пусть наличие некоторого i – го ресурса в каждом квартале b_i – случайная величина. Реализация этой случайной величины – фактический объем ресурса в каждом квартале (по отчету за прошлый год и три квартала текущего) (табл. 8.1).

Таблица 8.1

Объем ресурса в каждом квартале

Решение. Математическое ожидание случайной величины b_i:

Среднеквадратическое отклонение:

Коэффициент вариабельности:

Наиболее полная характеристика случайной величины – закон ее распределения. Он показывает, какова вероятность появления каждого возможного значения случайной величины или каким образом суммарная вероятность появления случайной величины, равная единице, распределена между ее возможными значениями. То есть закон распределения устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Из множества законов наиболее распространен нормальный закон распределения, с помощью которого решают различные задачи оптимизации, в том числе и в условиях неопределенности.

Нормальный закон распределения имеет две формы представления: плотность распределения (рис. 8.1, а) и функцию распределения (рис. 8.1, б).

С помощью графика (а) можно определить, например, чему равна вероятность принятия случайной величиной x, изменяющейся в интервале значений A, B (A ≤ x ≤ B), значения не больше величины a, т. е. P (x ≤ a). Оказывается, эта вероятность равна заштрихованной площади.

Зная P (x ≤ a), можно предположить, что x будет не меньше величины а, т. е. P (x ≤ a).

Очевидно, что P (x ≤ a) + P (x ≤ a) = 1 (как сумма несовместных событий), тогда P (x ≥ a) = 1 – P (x ≥ a), что соответствует незаштрихованной площади (рис. 8.1, а).

Рис. 8.1. Плотность распределения (а) и функция распределения (б) Большое распространение получила другая форма распределения (потому что площадь криволинейной фигуры трудно вычислить) – функция распределения F (x) (рис. 8.1 б). Здесь вероятность P (x ≤ a) равна ординате кривой F (x). Следова тельно, P(x ≤ a) = F(a), т. е. P(x ≤ a) = 1 – F(a). Для обеспечения расчетов по нормальному закону распределения от реальной случайной величины x переходят к нормированной (центрированной) случайной величине t = (x – x)

При этом P (x ≤ a) = F (t). Для определения F (t) используют специальные таблицы, по данным которых можно построить график функции распределения (табл. 8.2, рис. 8.2).

Таблица 8.2

Данные для построения графика функции распределения

По графику F(t) можно определить интересующие нас величины. Например, какова вероятность того, что наличный ресурс будет не менее 98.

Очевидно, что

P(x ≥ 98) = 1 – P(x ≤ 98).

Для данного примера

Ранее установили, что b = 100; σ_b = 9.

Следовательно,

Так как

P(x ≤ a) = F(t), то P(x ≤ 98) = F(–0,25) = 0,4;

то

P(x ≥ 98) = 1 – P(x ≤ 98) = 1–0,4 = 0,6.

Можно поставить и обратную задачу: при каком значении t_α вероятность появления случайной величины удовлетворяла условию P(t ≤ t_α) = α – заданный уровень вероятности. Если a задать 0,6, то t_α = 0,25.

Регрессионный анализ представляет собой статистическую процедуру для математического расчета среднего соотношения зависимой и независимой переменных. Выделяют два вида регрессии – простую и множественную. Простая регрессия включает одну независимую переменную, множественная – две и более.

Для характеристики метода построения регрессионной зависимости рассмотрим совокупность двух величин x (i) и y (i). Требуется на базе этих данных построить зависимость

y = a + bx.

Коэффициенты a и b следует подобрать так, чтобы расчетные значения y по уравнению были наиболее близки к заданным значениям y (i). Условие близости формулируется как сумма квадратов отклонений по каждому из значений y.

Значение коэффициентов a и b определяется из соотношений:

b = (nR(x, y)– m(x)m(y))/(nD(x)– m(x)m(x));

a = m(y)– bm(x).

Здесь использованы следующие предварительно вычисленные параметры: n – количество пар значений рассматриваемых переменных; m (y) – сумма значений y; m (x) – сумма значений x; D (x) – сумма квадратов значений x; R (x, y) – сумма произведений значений x (i) и y (i).

Сумма квадратов расхождений значений y, вычисленных по расчетному соотношению, и значений по исходным данным называется стандартной ошибкой регрессионного уравнения.

Вся совокупность методов решения управленческих задач делится на две группы: аналитические и численные. При выборе метода решения конкретной задачи следует учесть, что аналитическое решение всегда предпочтительнее численного, так как оно позволяет исследовать влияние различных факторов на оптимальное решение. Однако при решении практических задач не всегда удается получить аналитическое решение.

Общего метода решения всех управленческих задач не существует.

В зависимости от вида оценки вариантов решения задачи, состава и вида ограничивающих условий могут применяться различные методы поиска оптимального решения. Иногда одна задача может решаться разными методами. Аналитические методы решения управленческих задач опираются на дифференциальное исчисление. Наиболее универсальными среди численных методов являются методы линейного и динамического программирования. Для численных методов решения необходимо иметь четкую область ограничений. Чем меньше эта область, тем проще поиск оптимального решения.

Дифференциальное исчисление – метод поиска оптимального решения через вычисление производных оптимизируемой функции. Для отыскания экстремума (максимума, минимума) функции одной переменной J (x) необходимо найти решение уравнения

dJ / dx = 0.

Если вторая производная меньше нуля, то имеет место максимум функции, если вторая производная больше нуля, то имеет место минимум функции.

В случае функции нескольких переменных задача оптимизации сводится к решению систем уравнений, каждое из которых является производной по одной из переменных.

Необходимым условием применения метода дифференциального исчисления является дифференцируемость выражения J(x) и в общем случае – отсутствие ограничений.

Метод Лагранжа – метод дифференциального исчисления, применяемый при наличии ограничивающих условий. Этот метод позволяет перейти от оптимизационной задачи с ограничениями к альтернативной оптимизационной задаче без ограничений при совпадении решений. Фактически математическая задача на условный экстремум заменяется задачей на безусловный экстремум, но с увеличением числа неизвестных.

Первоначальная задача:

с(x) → min;

A(x) > 0.

Альтернативная задача:

с(x) + λA(x) → min.

Условиями экстремума при решении данной задачи являются условия равенства нулю производной по x и λ.

Коэффициент λ называется множителем Лагранжа. Если в исходной задаче имеется набор ограничений, то в альтернативной задаче во втором слагаемом появляется сумма слагаемых с коэффициентами λ(i). Если ограничение по i – му ресурсу в точке экстремума обращаются в равенство, то множитель Лагранжа для них не равен нулю. Если ограничения в точке экстремума не оказывают влияние на решение, то множитель Лагранжа для них равен нулю.

При общей постановке оптимизационной задачи в виде

max (min) f (x₁, x₂…, x_n); g_i (x₁, x₂…, x_n) = b_i  (i =1… m),

функция Лагранжа имеет вид:

Для ее оптимизации находят частные производные

и рассматривают систему n + m уравнений:

с n + m неизвестными x₁, x₂…., x_n, λ₁, λ₂…, λ_m.

Всякое решение системы определяет точку x = (x₁⁰, x₂⁰…, x⁰_n), в которой может иметь место экстремум функции f (x₁, x₂…, x_n) Следовательно, решив систему уравнений, получим все точки, в которых функция Лагранжа может иметь экстремальные значения.

Пример. Известен рыночный спрос на определенное изделие в количестве 180 шт. Это изделие может быть изготовлено двумя предприятиями одного концерна по различным технологиям. При производстве x 1 изделий первым предприятием его затраты составят 4x₁ + x₁² руб., а при изготовлении x 2 изделий вторым предприятием – 8x₂ + x₂² руб. Требуется определить, сколько изделий, изготовленных по каждой технологии, может предложить концерн, чтобы общие издержки его производства были минимальны.

Решение. Запишем математическую постановку задачи в виде:

Для нахождения минимального значения целевой функции составим функцию Лагранжа

F (x₁, x₂, λ) = 4x₁ +x₁² + 8x₂ + x₂² + λ(180 – x₁ – x₂),

вычислим ее частные производные по x₁, x₂, λ и приравняем их к нулю:

Отсюда 4 + 2x₁ = 8 + 2x₂, или x₁ + x₂ = 2. Решая это уравнение совместно с x₁ + x₂ = 180, находим x₁⁰ =91; x₂⁰=89, т. е. получаем координаты точки, подозрительной на экстремум. Используя вторые частные производные, можно показать, что в этой точке функция f имеет условный минимум.

Метод Гаусса – это последовательное изменение состава опорного решения до получения оптимального варианта, не допускающего улучшения, это способ решения оптимизационной задачи, у которой оценка и ограничения являются линейными функциями. Рассмотрим алгоритм метода Гаусса на числовом примере. Постановка задачи: максимизировать

2 x (1) + 3 x (2) + 7 x (3) + 9 x (4)

при ограничениях:

x (1) + x (2) + x (3) + x (5) = 9;

x (1) + 2 x (2) + 4 x (3) + 8 x (4) + x (6) = 24.

При наличии двух ограничений в конечном оптимизационном решении будут две переменные, отличные от нуля. Примем для первого варианта решения в качестве этих переменных x (2) и x (3).

Из второго уравнения вычтем первое, умноженное на 2. Получим

x (3) = 3 + x (1)/2 – 3 x (4) + x (5) – x (6)/2.

Из первого уравнения вычтем полученное:

x (2) = 6–3 x (1)/2 +2 x (4) – 2 x (5) + x (6)/2.

Если принять x (1) = x (4) = x (5) = x (6) = 0, то x (2) = 6, x (3) = 3. Значение оценки при этом составит 39.

Рассмотрим второй вариант решения, при котором в составе оптимизационного решения будут x (1) и x (3), не равные нулю.

По аналогичной процедуре получим

x (1) = 4–2 x (2)/3 + 4 x (5)/3 + x (6)/3;

x (3) = 5 – x (2)/3 + 7 x (4)/3 + x (5)/3 – x (6)/3.

Если принять x (2) = x (4) = x (5) = x (6) = 0, то получим x (1) = 4, x (3) = 5. Значение оценки составит 43.

Любые изменения второй, четвертой, пятой и шестой переменных ведут к уменьшению значения оценки, поэтому можно утверждать, что найденное решение является оптимальным.

Линейное программирование – математический метод, предназначенный для выявления оптимального решения из большого числа возможных вариантов решения задачи, у которой условия позволяют запись в виде линейных соотношений. Линейное программирование применяется для решения задач следующего типа: распределение ресурсов, формирование комбинации кормов, составление портфеля инвестиций, выбор производственной программы. Для постановки задачи линейного программирования необходимо ввести переменные (определяемые) величины, выразить через эти переменные ограничивающие условия и целевую функцию. Для решения задач линейного программирования используют симплекс-метод или графический метод (при наличии двух переменных в решаемой задаче).

Симплекс-метод (аналитическое решение задач линейного программирования) – это алгоритм формального пересчета вариантов решения задачи с последовательным движением к оптимальному решению. Каждый шаг алгоритма расчетов улучшает предыдущее решение.

Рассмотрим алгоритм симплекс-метода на основе числового примера – оптимизационной задачи, включающей пять неизвестных и три ограничивающих условия:

J = 1,2 x (1) + 1,4 x (2) → min; x (3) = 40 x (1) + 25 x (2) + 1000;

x (4) = 35 x (1) + 28 x (2) + 980; x (5) = 25 x (1) + 35 x (2) + 875.

1-й этап решения задачи. Начальное решение задачи примем при условии равенства нулю первых двух переменных:

x (1) = 0, x (2) =0, x (3) = 1000, x (4) = 980, x (5) = 875.

Это решение задачи представим в виде симплекс-таблицы (табл. 8.3).

Таблица 8.3

Эта таблица в условном виде повторяет систему условий задачи.

2-й этап решения задачи. Находим «ключевой» столбец по условию max c (i) (в нашем примере это будет c (i*) = 1,4).

3-й этап решения задачи. Находим «ключевую» строчку по условию m i n b (j)/ а(,7) (в нашем примере это будет min b (j)/а(i, j) = 875/35).

4-й этап решения задачи. «Поворачиваем» таблицу вокруг «ключевого» элемента (табл. 8.4).

Правила пересчета элементов таблицы:

1. a(i*, j*) → 1; a(i*, k) → 0.

Таблица 8.4

5-й этап решения задачи. Повторяем пункты 2–5 и получаем следующую таблицу (табл. 8.5).

Таблица 8.5

В этой таблице получены нулевые коэффициенты в строке оценки, поэтому соответствующее ей решение является оптимальным:

Зачастую к определяемым величинам в задаче линейного программирования предъявляют требование целочисленности исходя из смысла переменной. Это может быть целое число станков, вагонов, числа работающих. Решение этих задач значительно сложнее. Типовыми алгоритмами их решения являются методы Гомори и Балаша.

Двойственная задача линейного программирования Каждой задаче линейного программирования можно сопоставить другую, называемую двойственной по отношению к исходной (прямой):

Двойственную задачу по отношению к прямой составляют согласно правилам:

1. Если целевая функция прямой задачи задается на max, тогда целевая функция двойственной задачи – на min, и наоборот. a 21 a 22… a 2 n 2. Матрица

, составленная из коэффициентов в системе ограничений прямой задачи, и аналогичная матрица

в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием.

3. Число переменных в двойственной задаче (m) равно числу соотношений (ограничений) в прямой задаче, а число ограничений в двойственной задаче (n) – числу переменных в прямой задаче.

4. Коэффициенты при неизвестных в целевой функции прямой задачи – это свободные члены (b i), а правые части в ограничениях двойственной задачи (cj) – это коэффициенты при неизвестных в целевой функции прямой задачи.

5. Если переменная x прямой задачи может принимать только положительные значения ((x_j ≥ 0), то j – е условие двойственной задачи – условие неравенства вида «≥». Если i – е соотношение в прямой задаче – неравенство, то i – я переменная двойственной задачи z_i ≥ 0.

Если ПЗ имеет решение, то и ДЗ тоже имеет решение, причем max (min) L₁ = min (max) L₂. Поэтому достаточно для отыскания оптимума решить какую-либо одну из задач двойственной пары; обычно решают ту, которая проще.

Оптимальный план двойственной задачи позволяет оценить степень дефицитности ресурсов, потребляемых при выполнении оптимального плана исходной задачи.

Пример. Для производства изделий А, В, С используются три различных вида ресурсов. Каждый из видов ресурсов может быть использован в количестве соответственно не большем 180, 210, 244 ед. Известны затраты каждого из видов ресурсов на единицу продукции и цена единицы продукции каждого вида (табл. 8.6).

Таблица 8.6

Оценка дефицитности вида продукции

Требуется определить план производства, при котором обеспечивается максимальный доход, и оценить дефицитность каждого из видов ресурсов, используемых для производства продукции.

Решение. Обозначим через x 1 искомый план производства изделий А, через x 2 – В, x 3 – С, а через z 1 – двойственную оценку дефицитности первого вида ресурса, через z 2 – второго, z 3 – третьего. Тогда прямая и двойственная задачи формулируются следующим образом:

Решение прямой задачи дает оптимальный план производства изделий А, В, С, а решение двойственной задачи – оптимальную систему оценок ресурсов, используемых для производства этих изделий:

Исходя из анализа оптимальных двойственных оценок можно сделать следующие выводы.

Ресурсы первого и третьего вида используются полностью. Полному использованию этих ресурсов соответствуют полученные оптимальные оценки z₁⁰, z₃⁰, отличные от нуля, т. е. положительные двойственные оценки имеют ресурсы, полностью потребляемые при оптимальном плане производства. Значит, ресурс второго вида недоиспользуется (на 80 ед.). Таким образом, двойственные оценки определяют дефицитность используемых ресурсов.

Более того, величина двойственной оценки показывает, на сколько возрастает максимальное значение целевой функции прямой задачи при увеличении количества соответствующего ресурса на 1 ед. Так, увеличение количества ресурса первого вида на 1 ед. приведет к тому, что появится возможность найти новый оптимальный план производства изделий, при котором общий доход возрастет на 5,75 ден. ед. и станет равным 1340 + 5,75 = 1345,75 ден. ед. Анализ полученных оптимальных значений новой прямой задачи показывает, что это увеличение общего дохода достигается за счет увеличения производства изделий В на 0,625 ед. и сокращения выпуска изделий С на 0,25 ед. Вследствие этого использование ресурса второго вида уменьшается на 0,125 ед.

Точно так же увеличение на 1 ед. количества ресурсов третьего вида позволит перейти к новому оптимальному плану производства, при котором доход возрастет на 1,25 ден. ед. и составит 1340 +1,25 = 1341,25 ден. ед., что достигается за счет увеличения выпуска изделий С на 0,25 ед. и уменьшения выпуска В на 0,25 ед., причем объем используемого ресурса второго вида возрастает на 0,625 ед.

При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получаем:

4 × 5,75 + 1,25 > 10;

2 × 5,75 + 1,25 = 14;

5,75 + 5 × 1,25 = 12.

Первое ограничение выполняется как строгое неравенство, т. е. двойственная оценка всех ресурсов на производство единицы изделия А выше цены этого изделия и, следовательно, выпускать его невыгодно. Его производство и не предусмотрено оптимальным планом прямой задачи.

При одновременном изменении ресурсов всех видов на величину ДМ(Я = 1… m) можно оценить их суммарное влияние на значение целевой функции (при условии неизменности двойственных оценок в новой двойственной задаче относительно оценок в первоначальной двойственной задаче):

где Δb_i– величина возможного (при сохранении оптимального плана первоначальной двойственной задачи) изменения (увеличения или уменьшения) ресурса i – го вида.