Текст книги "Менеджмент"

8.13. Динамическое программирование

Пусть имеется ресурс К, который требуется вложить в m объектов в течение n этапов. В результате вложения в i – й объект (/ = 1… m) на j – м этапе (j = 1… n) ресурса в размере x. образуется доход, определяемый функцией дохода g_ij(x_ij). Часть ресурса x_ij при этом остается неизрасходованной. Эта часть определяется функцией остатка j_ij (x_ij). Известна величина ресурса К_j, распределяемая на каждом j – м этапе.

Требуется определить значения x j вложения ресурсов на каждом этапе в каждый объект, чтобы на всех объектах и на всех этапах доход был максимальным. Схема поэтапного распределения ресурсов приведена на рис. 8.13. Данная задача математически формулируется в виде:

Рис. 8.13. Схема поэтапного распределения ресурсов Принцип оптимальности Беллмана: на каждом этапе необходимо так распределять ресурс, чтобы от начала данного этапа и до конца процесса распределения доход был максимальным.

Динамическое программирование дает возможность принять ряд последовательных решений (многошаговый процесс), обеспечивающих оптимальность развития процесса в целом.

Предположим, что есть некоторые ресурсы x, которые распределяются на два предприятия: на первое – у, на второе – x – у. Пусть в течение определенного периода (например, года) количество у приносит доход (прибыль) g (y), а количество x – у – доход h (x – у). Общий доход от вложенных ресурсов составит

R₁(x, у) = g (y) + h (x – у).

Обозначим через F₁(x) наибольший доход, который могут принести ресурсы x при оптимальном распределении их между предприятиями. Тогда

Теперь рассмотрим двухшаговый процесс, состоящий из двух периодов (этапов). Так как доход получается вследствие выпуска и реализации продукции, что связано с определенными издержками (затратами ресурсов), то к началу второго периода первоначальная сумма у уменьшится до величины ay (0 ≤ a ≤ 1), а сумма x – у – до величины b (x – у); (0 ≤ b ≤ 1). Наибольший доход, который можно получить от суммарного остатка ау + b (x – y) в течение второго этапа, равен F₁ [ay + b (x – у)].

Обозначим через F₂(x) наибольший доход, который может быть получен от суммы x за оба периода. Этот доход равен максимальному значению суммы доходов первого и второго периодов при условии, что начальные для каждого периода ресурсы распределялись наилучшим образом. Иначе

Это уравнение устанавливает связь между функциями F 1 (x) и F 2 (x). Рассматривая n – шаговый процесс, приходим к основному функциональному уравнению Беллмана

устанавливающему связь между F_n(x) и F_{n – 1} (x).

Определив F₁(x), пользуясь рекуррентным уравнением, можно вычислить F₂(x), затем F₃(x) и т. д. Значение F_n(x) является доходом, полученным за n шагов.

Пример. Распределяем ресурсы.

Как руководителю предприятия вам выделено 10 млн руб. для увеличения выпуска продукции. Четыре ваших заместителя (по производству, технологии, капитальному строительству, снабжению) предлагают набор мероприятий, ориентированных на различный прирост выпуска продукции и требующих соответствующих капитальных затрат. Каждый из ваших заместителей готов взяться за реализацию любого, но лишь одного мероприятия из своего набора. Вам необходимо решить проблему распределения выделенных средств, обеспечив максимальный прирост выпуска продукции на предприятии. Обобщенную совокупность результатов предложенных мероприятий можно представить в виде табл. 8.14.

Вы можете выделить 10 млн руб. третьему заместителю и ориентироваться на прирост выпуска продукции в 830 тыс. т/год. Можно выделить 5 млн руб. первому заместителю и 5 млн руб. – третьему, что обеспечит прирост выпуска продукции в количестве 410 + 472 = 882 тыс. т/год. Второй вариант оказывается явно выгоднее первого. Если вы попытаетесь перебрать все возможные варианты распределения 10 млн руб. между заместителями или угадать лучший вариант, то такие действия практически обречены на неудачу. Необходимо применение ма

Таблица 8.14 Результаты мероприятий, направленных на прирост выпуска продукции

тематического метода решения задачи, и такой метод существует. Его идея заключается в поэтапном наращивании числа рассматриваемых сфер использования распределяемого ресурса.

Этапами решения вашей задачи могут стать:

1. Рассмотрение предложений первого и второго заместителей.

2. Дополнение предложениями третьего заместителя.

3. Дополнение предложениями четвертого заместителя.

Рассмотрим варианты, предложенные первым и вторым заместителями, на время забыв про остальные. Однако будем иметь в виду всю совокупность вариантов распределения предоставленных денежных средств. Если на первых двух заместителей выделить 1 млн руб., то появляются два варианта их использования: 1) отдать 1 млн руб. первому заместителю, что обеспечит 93 тыс. т/год; 2) отдать 1 млн руб. второму заместителю, что обеспечит 108 тыс. т/год. Предпочтительным оказывается второй вариант, который следует запомнить. Если рассмотреть аналогичным образом распределение 2 млн руб., то следует сравнить три варианта:

• 2 млн руб. – первому заместителю (182 тыс. т/год);

• 2 млн руб. – второму заместителю (198 тыс. т/год);

• разделить по 1 млн руб. между первым и вторым заместителями (201 тыс. т/год). Лучшим в этом случае является третий вариант, который следует запомнить. Таким образом, можно продолжить рассмотрение вариантов использования ресурсов от 3 до 10 млн руб. Итоговые выводы этих исследований представим в следующей таблице (табл. 8.15).

Таблица 8.15 Обобщенная характеристика мероприятий первого и второго заместителей

Эту таблицу можно назвать обобщенной характеристикой мероприятий первого и второго заместителей (назовем их обобщенным заместителем).

Рассмотрим варианты использования средств, предложенные третьим и обобщенным заместителями. Алгоритм исследований будет таким же, как и на первом этапе, только пара заместителей будет другая. Если на третьего и обобщенного заместителей выделить 1 млн руб., то имеются два варианта их использования: 1) отдать 1 млн руб. обобщенному заместителю (108 тыс. т/год); 2) отдать 1 млн руб. третьему заместителю (104 тыс. т/год).

Лучшим оказывается первый вариант, который следует запомнить. Распределение 2 млн руб. имеет три варианта: 1) 1 млн руб. третьему заместителю (203 тыс. т/год); 2) 2 млн руб. обобщенному заместителю (201 тыс. т/год); 3) Разделить по 1 млн между третьим и обобщенным заместителями (212 тыс. т/год). Лучшим оказывается третий вариант, который следует запомнить.

Рассмотрев таким образом все варианты от 3 до 10 млн руб., получим итоговую таблицу (табл. 8.16).

Таблица 8.16 Обобщенная характеристика мероприятий первого, второго и третьего заместителей

Эту таблицу можно назвать обобщенной характеристикой мероприятий первого, второго и третьего заместителей. По аналогии с предшествующим этапом вычислений мы снова получили обобщенного заместителя и можем рассмотреть его возможные действия совместно с четвертым заместителем. Не повторяя изложенного на первом и втором этапах процесса рассуждений, приведем итоговый результат распределения ресурсов между четвертым и обобщенным (три заместителя) заместителями (табл. 8.17).

Таблица 8.17 Распределение ресурсов между четвертым и обобщенным заместителем

Если бы количество заместителей было больше четырех, то мы продолжили бы расчеты по выработанному алгоритму. В нашем примере все необходимые вычисления завершены. Остается выбрать ответ из полученных таблиц, содержащих варианты решений сформулированной задачи. Исходя из данных табл. 8.17 в последнем столбце (с объемом выделенной суммы в 10 млн руб.). находим, что четвертому заместителю выделяется 2 млн руб., следовательно, на первых трех остается 8 млн руб. В табл. 8.16 находим столбец с объемом 8 млн руб., из которого видим, что третьему заместителю выделяется 6 млн руб. На первых двух заместителей остается 4 млн руб. Из первой таблицы видим, что в этом случае второму заместителю следует выделить 2 млн руб. и первому заместителю остается 2 млн руб. В результате получен ответ исходной задачи.

8.14. Стохастическое программирование

Общая постановка задачи линейного программирования имеет вид:

где заданы величины с_j, a_ij… b_i, d_j, D_j.. Часто на практике величины с_j, a_ij… b_i. могут быть случайными. Если b_i – ресурс, то он зависит от ряда факторов. Аналогично с_j – цены – будут зависеть от спроса и предложения, a_ij– расходные коэффициенты – от уровня техники и технологии.

Задачи, в которых cс_j,a_ij,b_i – случайные величины, относят к задачам стохастического программирования.

Случайный характер величин указывают различными способами: а) реализацией случайных величин; б) законом распределения случайных величин.

Стохастическая постановка целевой функции может быть двух видов: М – по-становка и Р – постановка.

При М – постановке случайная величина заменяется ее математическим ожиданием:

где с_j – математическое ожидание случайной величины с_j

При Р – постановке целевая функция будет иметь вид:

• при максимизации целевой функции (ЦФ)

обозначает максимизацию вероятности того, что случайная величина

будет не меньше некоторого значения r;

• при минимизации целевой функции (ЦФ)

обозначает максимизацию вероятности того, что случайная величина

будет не больше некоторого значения r.

• Математическое описание ограничивающих условий опирается на оценки вероятности их выполнения

где a_ij, b_i – случайные величины; a i – заданные уровни вероятности. Так, ограничение (а) означает, что вероятность соблюдения неравенства должна быть не меньше, чем a_i. Аналогичен смысл и других ограничений.

Для случая, когда вероятностные ограничения представлены в виде типа (а), задачу стохастического программирования можно записать:

• при М – постановке

• при Р-постановке:

в случае максимизации целевой функции

в случае минимизации целевой функции

где c_j, a_ij, b_i – случайные величины.

Для решения задачи стохастического программирования в Р-постановке и с вероятностными ограничениями переходят к детерминированному эквиваленту. Для целевой функции детерминированный эквивалент имеет вид:

где σ_j² – дисперсия случайной величины c_j

Детерминированный эквивалент вероятностного ограничения типа (а)

может быть сведен к виду

где a_ij, b_i – математические ожидания; σ_ij², q_i² – дисперсии случайных величин

a_ij,b_i; t_αi=Ф^*–1(α_i) – обратная функция нормального распределения при функции распределения:

где α_i – заданный уровень вероятности (табл. 8.18).

Таблица 8.18

Заданный уровень вероятности

Обычно решают задачи при α_i ≥ 0,5.

Пример. Рассмотрим задачу распределения двух видов ресурсов для выпуска двух наименований изделий.

Решение. Математическая постановка задачи имеет вид:

где a_ij b_i,c_j – случайные.

При М-постановке модель запишется:

где α₁, α₂ – заданные уровни вероятности соблюдения каждого ограничения.

Для того чтобы решить задачу в М-постановке, необходимо перейти к ее детерминированному эквиваленту:

Исходные данные, необходимые для решения этой задачи (табл. 8.19, 8.20).

Таблица 8. 19

Таблица 8. 20

Если задать уровни вероятности б 12 = 0,6, для которых t a = 0,25, то получим после подстановки исходных данных детерминированный эквивалент:

Результаты решения этой задачи для детерминированного случая x₁ = 0 и при α_i = 0,6 приведены в табл. 8.21,

Таблица 8.21

Результаты решения задачи для детерминированного случая ξ1= 0 и при α= 0,6

Рассмотрим теперь, как повлияют на результат решения задачи величины, определяющие ее вероятностный характер. К таким величинам относят: заданный уровень вероятности α_i и дисперсий σ_ij² и θ_i². Начнем с анализа влияния α_i (табл. 8.22).

Таблица 8.22

Анализ влияния α_i

Из анализа решения этой задачи можно сделать следующие выводы: для обеспечения гарантированного (с вероятностью α = 0,6) выполнения плана анализа влияния необходимо иметь дополнительно ~5 % каждого вида ресурса. При отсутствии дополнительного ресурса целевая функция может уменьшиться на величину β = 4 % вследствие возможного сокращения выпуска продукции x₂ от 5,3 до 5,04.

8.15. Теория игр

Методами обоснования решений в условиях неопределенности и риска занимается математическая теория игр.

В теории игр рассматриваются такие ситуации, когда имеются два участника выполнения операции, каждый из которых преследует противоположные цели. В качестве участников могут выступать коллективы, конкурирующие предприятия и т. д. Во всех случаях предполагается, что операция проводится против разумного противника (конкурента), преследующего свои собственные цели и сознательно противодействующего достижению цели другим участником.

Так как цели противоположны, а результат мероприятия каждой из сторон зависит от действий конкурента, то эти действия называют конфликтными ситуациями. В конфликтной ситуации сталкиваются противоположные интересы двух участников. Формализованная (схематизированная) модель конфликтной ситуации называется игрой. Результат игры – победа или поражение, которые не всегда имеют количественное выражение, можно выразить (условно) числами (например, в шахматах: 1, 0, 1/2).

Игра называется игрой с нулевой суммой, если один из игроков выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой.

Развитие игры во времени представляется как ряд последовательных ходов. Ходы могут быть сознательными и случайными. Случайный ход – результат, получаемый не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (покупательский спрос, задержка с поставкой материалов и т. п.). Сознательный ход – выбор игроком одного из возможных вариантов действия (стратегии) и принятие решения об его осуществлении.

Возможные варианты (исходы) игры сводятся в прямоугольную таблицу – платежную матрицу, в которой строки соответствуют различным стратегиям игрока А, столбцы – стратегиям игрока В, q_ij называется ценой игры (табл. 8.23).

Таблица 8.23

Цель теории игр – выработка рекомендаций для различного поведения игроков в конфликтной ситуации, т. е. выбор оптимальной стратегии для каждого из них.

Пример. Конструктор получил задание разработать определенное новое изделие. В результате исследований он определил три возможных варианта изделия V₁, V₂, V₃, каждый из которых может быть реализован каким-либо из трех техпроцессов Т₁, Т₂, Т₃.

Если первый вариант конструкции V₁ реализуется по первой технологии Т₁, то внешний вид изделия оказывается наилучшим и оценивается экспертами в 9 баллов, а при реализации по второй технологии – в 6 баллов, по третьей – в 5 баллов и т. д. (табл. 8.24).

Таблица 8.24

Решение. Конфликтная ситуация возникает из-за того, что затраты на реализацию каждого конструкторско-технологического решения (варианта) не одинаковы. Для простоты полагаем, что затраты пропорциональны внешнему виду (чем выше балл, тем больше затраты).

Конструктор должен представить только один вариант, конечно самый красивый. Но он понимает, что тогда найдутся сторонники самого дешевого варианта. Поэтому его задача – выбрать оптимальный вариант по внешнему виду и стоимости.

Если конструктор выберет V₁, то экономисты будут настаивать на технологии T₃. На вариант V₂ будет ответ T₂ или T₃ и т. д.

Очевидно, что, с точки зрения конструктора, преимущество имеет вариант V₂, а так как даже при неблагоприятных обстоятельствах получится изделие, оцениваемое в 7 баллов (выигрыш 7), а может быть, даже 8, если удается уговорить экономистов на вариант T₁.

С точки зрения экономистов, в смысле снижения затрат: при выборе технологии T₁ в варианте V₁ затраты наибольшие – 9 баллов, при T₂ в V₂ (7), при T₃ в V₃ (8). То есть для экономистов оптимальным является техпроцесс T₂, так как он требует меньших затрат при различных вариантах конструкции. Следовательно, стра тегия T₂ V₂ с выигрышем 7 – наиболее выгодная сразу для обеих сторон – максимальный выигрыш V совпадает с минимальным проигрышем Т.

Однако не все матрицы имеют седловую точку. Тогда решение находят, применяя смешанные стратегии, т. е. чередуя случайным образом несколько чистых стратегий (гибкая тактика).

Обычно смешанную стратегию первого игрока обозначают как вектор U = (u₁, u₂, u_m), а второго игрока – как вектор Z =(z₁, z₂, z_m), где

Если u⁰ – оптимальная стратегия первого игрока, z⁰ – оптимальная стратегия второго игрока, то число

называют ценой игры.

Для того чтобы число u было ценой игры, а u⁰ и z⁰ – оптимальными стратегиями, необходимо и достаточно выполнение неравенств:

Если один из игроков применяет оптимальную смешанную стратегию, то его выигрыш равен цене игры u вне зависимости от того, с какими частотами будет применять второй игрок стратегии, вошедшие в оптимальную, в том числе и чистые стратегии.

Пример. Задача двух осужденных.

Рассмотрим илюстративную задачу о двух осужденных (обозначим их через А и В), которым необходимо принять независимое решение о взаимодействии со следствием. Каждый из них знает условия (табл. 8.25).

Таблица 8.25

В сознается В не сознается А сознается Каждому по 8 лет осуждения А – 2 года В – 10 лет А не сознается В – 2 года Каждому по 5 лет осуждения А – 10 лет Если один из осужденных сознается, а другой нет, то первый получает 2 года осуждения, а второй 10 лет. Если сознаются оба, то осуждение по 8 лет каждому. Конечно, осужденные заинтересованы в уменьшении своего срока наказания.

Если использовать критерий минимум наказания в худшем варианте действия напарника, то оба осужденных должны выбирать «отказ» и получить наказание в размере 5 лет.

«Игры с природой»

В случае, когда между сторонами (участниками) отсутствует «антагонизм» (например, в процессе работы предприятий и торговых посредников), такие ситуации называют играми с природой.

Здесь первая сторона принимает решение, а вторая сторона – «природа» – не оказывает первой стороне сознательного, агрессивного противодействия, но ее реальное поведение неизвестно.

Пусть торговое предприятие имеет m стратегий: T₁, T₂,…, T_m и имеется n возможных состояний «природы»: П₁, П₂, П_п. Так как «природа» не является заинтересованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно оценить выигрышем b_ij первой стороны для каждой пары стратегий T_i и П_j Все показатели игры заданы платежной матрицей { b_ij}_mxn

По платежной матрице можно принять ряд решений. Например, оценить возможные исходы: минимальный выигрыш, т. е. наименьшая из величин в каждой i – й строке как пессимистическая оценка; максимальный выигрыш – то наилучшее, что дает выбор i – го варианта B_i^max = max B_ij

При анализе «игры с природой» вводится показатель, по которому оценивают, насколько то или иное состояние «природы» влияет на исход ситуации. Этот показатель называют риском.

Риск г_ij при пользовании стратегией T_i и состоянии «природы» П_j оценивается разностью между максимально возможным выигрышем при данном состоянии «природы» В_i^max  и выигрышем В_ij при выбранной стратегии Т_i

r_ij=В_i^max – В_ij.

Исходя из этого определения можно оценить максимальный риск каждого решения:

Решения могут приниматься по результатам анализа ряда критериев.

1. Критерий, основанный на известных вероятностных состояниях «природы» (например, спроса по данным анализа за прошлые годы): если известны вероятности состояний «природы»:

Р₁ = Р(П₁);Р₂ = Р(П₂);…Р_n = Р(П_n),

полагая, что Р₁ + Р₂ +… + Р_j +… + Р_n = 1. Тогда в качестве показателя эффективности (рациональности, обоснованности) стратегии T_i берется среднее (математическое ожидание) – выигрыш применения этой стратегии:

а оптимальной считают стратегию, для которой этот показатель эффективности имеет максимальное значение, т. е.

если каждому решению T_i соответствует множество возможных результатов В_ij с вероятностями Р_ij, то среднее значение выигрыша определится:

а оптимальная стратегия выбирается по условию

В этом случае можно воспользоваться и стратегией минимального среднего риска для каждого i – го состояния «природы»:

2. Максиминный критерий Вальда. Здесь выбирается решение торговой организации, при котором гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условиях внешней среды (состояния «природы»):

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Здесь представляется логичным, чтобы при выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации (оптимум-пессимизм) придерживаться некоторого компромисса, учитывающего возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения «природы». В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения будет линейная комбинация минимального и максимального выигрышей и выбирается тот, для которого эта величина окажется наибольшей:

где x – показатель пессимизма-оптимизма (чаще всего 0,5).

4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа. Здесь выбирают ту стратегию, при которой величина риска имеет минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации:

чтобы избежать слишком большого риска при выборе решения. i j Пример. Рассмотрим игровую ситуацию при следующей платежной матрице (табл. 8.26).

Таблица 8.26

Известна матрица условных вероятностей P. продажи старых товаров С₁, С₂, С₃ при наличии новых товаров Н₁, Н₂, H₃ (табл. 8.26). Определить наиболее выигрышную политику продаж.

Решение. Минимальный выигрыш

Минимальный выигрыш при продаже старого товара:

где В₁₃, В₂₂, В₃₁ образуют систему пессимистических оценок выигрыша от продаж старых товаров.

Максимальный выигрыш при продаже старых товаров:

где В₁₁, В₂₁, В₃₃ образуют систему оптимистических оценок выигрыша от продаж старых товаров.

При анализе «игры с природой» вводится показатель влияния какого-либо состояния «природы» на исход продаж, т. е. показатель риска: r_ij = В_i^max – В_ij

, каждый из которых составит матрицу рисков:

Максимальное значение риска для каждого решения:

Решения о плане продаж принимается исходя из анализа системы критериев.

Критерий по известным вероятностным состояниям «природы» Р_ij оптимальной считают стратегию, для которой этот показатель наибольший, т. е. Б = max Б, где Б – математическое ожидание выигрыша при i – й стратегии:

где В_ij – результат (выигрыш при применении j – й стратегии):

Тогда

т. е. оптимальной стратегией по г этому критерию будет продажа изделия С₁. Максиминный критерий Вальда:

т. е. при продаже изделия С₁ гарантируется выигрыш даже в наихудших условиях.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица:

т. е. исходя из уравновешенной точки зрения принимается решение о продажах С₁.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа, по которому принимают решение с минимальным значением риска в самой неблагоприятной ситуации:

где r_i^max вычислена по матрице рисков.

что соответствует целесообразности в смысле этого критерия продажам изделия С₃.

Комплексный анализ всех критериев позволяет предположить, что наилучшей стратегией продаж будет продажа изделий Н₁, Н₂, Н₃, С₁, С₃. Изделие С₂ должно быть снято с продаж.

Пример. Предприятие планирует на массовый рынок производство нового изделия. Спрос на это изделие не может быть точно определен. Однако можно предположить, что его величина будет характеризоваться тремя возможными состояниями (I, II, III). С учетом этих состояний анализируются три возможных варианта (модификации) конструкции изделия (А, Б, В), каждый из которых требует своих затрат и обеспечивает различный эффект (цену, прибыль).

Прибыль, которую получит предприятие при данном объеме производства и соответствующем состоянии спроса, определяется матрицей:

Требуется выбрать такой вариант изделия, величина предложения которого обеспечит среднюю прибыль при любом уровне спроса.

Решение. Прежде всего проверяется, имеет ли исходная платежная матрица седловую точку:

т. е. α = β = 22 – цена игры (седловая точка).

Таким образом, оптимальная политика предприятия на рынке – производство первой модификации изделия в объеме, обеспечивающем среднюю прибыль 22 ден. ед. при любом состоянии спроса.

Пример. Предприятие планирует производство двух изделий А, Б с неопределенным спросом, предполагаемый уровень которого характеризуется двумя состояниями – I, II. В зависимости от этих состояний прибыль предприятия различна и определяется платежной матрицей

Определить объемы производства каждого изделия, при котором предприятию гарантируется средняя величина при любом состоянии спроса.

Решение. Проверка платежной матрицы на наличие седловой точки:

Следовательно, чистых стратегий продаж у предприятия нет, и для игры без седловой точки (α < β) используют смешанные стратегии:

Следовательно, в общем объеме предложения предприятия 53 % должны составлять изделия Б, 47 % – изделия А. Такая стратегия продаж обеспечит среднюю прибыль 36,1 ден. ед. при любом состоянии спроса.

Сведение задач теории игр к задачам линейного программирования

Пусть задана платежная матрица игры:

Для оптимальной стратегии первого игрока u⁰ = (u₁⁰,u₂⁰….,u_m⁰) и цены игры υ выполняется неравенство

или (разделив на υ)

Обозначая

получим:

Так как первый игрок стремится получить максимальный выигрыш, то он должен обеспечить минимум величине 1 /υ. С учетом этого определение оптимальной стратегии сводится к нахождению минимума функции

при условиях

Аналогично определение оптимальной стратегии второго игрока сводится к нахождению максимума функции

при условиях

Таким образом, чтобы найти решение данной игры по матрице А, нужно составить следующую пару двойственных задач и найти их решение:

Используя решения пары задач, можно выявить оптимальные стратегии и цену игры:

Пример. Найти решение игры, определяемой матрицей

Решение. Пара двойственных задач: