Текст книги "Управление рисками коммерческих банков (управление: синтез, анализ)"

В условиях рассматриваемого примера следует обратиться к полученной на основе экспериментальных данных ковариационной функции ρ_x(τ), приведенной на рис. 3.21. Здесь при некоторых допущениях можно принять аналитическое выражение для K_х(τ) согласно (3.39).

В связи с этим рассмотрим прохождение белого шума через динамическую систему второго порядка:

где h, k – постоянные; h > 0; ξ(t) – стационарная случайная функция.

Согласно теории дифференциальных уравнений для спектральной плотности стационарного решения уравнения (3.41) получим

где α = h, .

Положим, ξ(t) обладает свойством белого шума, т. е. S_ξ(ω) ≈ c = const.

При этом (3.42) можно записать в виде

где .

Аналогичную спектральную плотность имеет корреляционная функция (3.39), т. е.

Особенность: вторая производная для процесса, описываемого (3.43) или (3.44), не существует, так как ω²_yS_y(ω) стремится к постоянной при ω → ∞.

Корреляционная функция (3.44) зависит не только от σ²_x, но и от параметров α и β. При этом α характеризует скорость убывания зависимости между ординатами процесса – чем больше α, тем быстрее убывает связь (зависимость). Значение α/β характеризует «степень нерегулярности процесса», так, при малом значении α/β ординаты процесса, взятые через промежутки времени 2π/β, оказываются сильно коррелированными, и реализация процесса становится похожей на синусоиду; при большом значении α/β периодичность с частотой β становится незаметной.

Полученные модели S_x(ω), K_x(τ) и соответствующие им дифференциальные уравнения (3.40), (3.41) при некоторых допущениях относятся к марковским процессам. Как только мы сможем убедиться, что y(t) – марковский процесс, мы можем применить теоретические положения для отыскания необходимых плотностей вероятностей f(t, x; τ, y), f(t, x), f(τ, y), где t ≤ τ [40].

При этом условная плотность вероятности t(у/x), заданная для любых значений моментов времени t и τ (когда t ≤ τ), является полной характеристикой процесса.

Если функция f(y/x) рассматривается как явная функция четырех переменных x, t; y, τ, тогда пишут f(t, x; τ, y).

В случае, когда существенна зависимость f(t, x; τ, y) от значения ординаты функции в момент времени τ или t, вместо четырех аргументов для функции f(·) отмечают только два: f(τ, y) или f(t, x) соответственно. Для одномерных плотностей вероятностей имеем f(x), f(y) рассматриваемых процессов х и y.

Для того чтобы решение уравнения (3.40) было марковским процессом, требуется выполнение условия о достаточно быстром убывании вероятностной зависимости между ординатами процесса ξ(t) с ростом интервала времени между ординатами. Если у ξ(t) ординаты – независимые случайные величины, то y(t) – марковский процесс, так как значения ξ(t) в прошлом никак не влияют на значения ξ(t) в будущем. Если ξ(t) нормальная и K_ξ(τ) = δ(τ), где δ(τ) – дельта-функция, то y(t) с функцией K, заданной по формуле (3.39), – марковский случайный процесс.

Требование нормальности ξ(t) слишком сильное, и его ослабляют, вводя «белый шум в узком смысле», когда, кроме выполнения равенства K_ξ(τ) = δ(τ), требуют, чтобы вероятная зависимость между ординатами функции ξ(t) убывала настолько быстро, чтобы интеграл этой функции ξ(t) подчинялся нормальному закону распределения.

Таким образом, если ξ(t) является «белым шумом в узком смысле», то y(t), определяемый из дифференциального уравнения (3.39), является марковским процессом.

Пусть (3.40) записано в виде

где m = const; α = const. Необходимо найти плотность вероятности f(·) – стационарное решение второго уравнения Колмогорова для случайного процесса U. При этом отыскивается решение, соответствующее настолько большому промежутку времени, прошедшему с момента задания начальных условий, что плотность вероятности f(·) не зависит от времени.

Примем t за начало отсчета времени. Для стационарного решения ∂f / ∂τ = 0 функция f(·) зависит только от U, и тогда мы получим уравнение Колмогорова в виде

Для нахождения коэффициентов a(y) и b(y) проинтегрируем уравнение (3.45) в пределах (t, t + Δt).

В результате интегрирования получим

где X = U(t), Y = U(t + Δ).

Находя математическое ожидание от обеих частей (3.47) и применяя теорему о среднем для , получим

M[(Y – X) / X = x] = –αxΔ.

Отсюда следует

Для отыскания b(t,x) возведем обе части выражения Y – X = из (3.47) в квадрат. Определив математическое ожидание от обеих частей полученного равенства с точностью до малых первого порядка относительно Δ, получим:

Учитывая, что K_ξ(t₂ – t₁) = δ(t₂ – t₁), получим:

С учетом полученных a(t, y) и b(t, y) уравнение (3.46), в силу db / dy = 0, запишется для f(·):

Здесь переменные разделяются, что позволяет записать решение последнего выражения для f(·):

где y₀ – любое значение, так как изменение y₀ соответствует изменению множителя с, который определяется из условия нормировки = 1.

Подставляя a = –2y, b = m² в (3.48), получим

при этом f(у) есть плотность, описываемая нормальным законом, и тогда

где .

Для математической модели, описывающей изменение ВВП, дискретные значения которого приведены в таблице 3.2, было получено σx = 0,323 · 10² млрд. долл.; α = 0,257. При этих условиях коэффициент т в (5.45) определяется из соотношения

m = млрд. долл. = 0,23 · 10² млрд. долл.

Таким образом, получена математическая модель процесса x(t), описывающего изменение ВВП во времени в виде дифференциального уравнения

Плотность вероятностей стационарного решения для процесса x(t) с учетом полученных выше значений σ_x = 0,323 · 10²:

Отметим роль и место каждой подсистемы коммерческого банка в формировании процесса x(t), описываемого уравнением (3.49).

Подсистема 1, формирующая процессы целеполагания, создает структуру процесса x(t) и т. д.

Подсистема 2, формирующая процессы целесозидания, ответственна за коэффициент α путем наполнения, например, процесса целеполагания совершенными теориями и методами анализа.

Подсистема 3, формирующая процессы целереализации, ответственна за коэффициент m, например, уменьшая его своим интеллектуально-нравственным трудом.

Только подсистема 4, осуществляющая процессы контроля, которые включают измерения x(t) и формирование области допустимых значений x_доп при критических x_доп, в данном уравнении в явном виде отсутствует. Однако мы ее вводим в вероятности P_i отдельно, подчеркивая ее особую значимость.

Для вычисления вероятностей Р₂ и Р₃ зададим плотность вероятностей W(δx) погрешностей измерения δx в виде распределения Лапласа. Будем иметь в виду, что W(Δx) подчинены нормальному закону.

При этих условиях Р₂, Р₃ можно рассчитать только численными методами. Аналитический расчет возможен только тогда, когда W(Δx), W(δx) описываются экспоненциальным законом.

Случай, когда W(Δx) – нормальный, а W(δx) – экспоненциальный, будет рассмотрен ниже.

3.7. Приближенный способ построения искомых плотностей вероятностей по экспериментальным данным. Общий случай

Для пояснения сущности рассмотрим теоретические основы формирования непрерывного стационарного случайного процесса Z(t) с заданными одномерной плотностью распределения W(Z) и корреляционной функцией K_z(τ), для которых μ₃ ≠ 0, μ₄ ≠ 0.

Большинство непрерывных одномерных плотностей распределения W(Z) относятся к S-распределениям Джонсона. При этом аналитически плотности S-распределений можно выразить следующим образом:

где n, λ, γ и ε – параметры.

Выражение (3.50) соответствует S_B-распределению Джонсона, выражение (3.51) – S_L-распределению Джонсона, выражение (3.52) – S_u-распределению Джонсона. Выбор подходящего S-распределения Джонсона зависит от величин квадрата коэффициента асимметрии

β₁ = μ²₃ / μ²₂           (3.53)

и коэффициента эксцесса

β₂ = μ₄ / μ²₂           (3.54)

нужного стационарного случайного процесса Z(t), подчиненного одномерной плотности распределения W(Z) (рис. 3.27). В выражениях (3.53) и (3.54) μ₂ – второй центральный момент (дисперсия) процесса Z(t), μ₃ и μ₄ – соответственно третий и четвертый центральный моменты процесса Z(t).

Рис. 3.27

Таким образом, для построения S-распределения Джонсона, соответствующего заданной плотности распределения W(Z), необходимо рассчитать по формулам (3.53) и (3.54) квадрат коэффициента асимметрии β₁ и коэффициент эксцесса β₂, характеризующие заданную плотность распределения W(Z). При этом формула для вычисления моментов μ₂÷μ₄ имеет вид

Для некоторых плотностей распределения коэффициенты β₁ и β₂ указаны в справочной литературе.

Затем с помощью областей, приведенных на рис. 3.27, по рассчитанным β₁ и β₂ определяют вид подходящего S-распределения.

Если точка (β₁, β₂) принадлежит критической области, то данная теория не работает.

Далее рассчитывают параметры n, λ, γ и ε выбранного S-распределения, используя метод моментов или условие минимума функционала, характеризующего различие заданного и выбранного распределений, например функционала вида

или

Процесс Z(t), имеющий одно из S-распределений (3.52)–(3.54), может быть представлен как результат нелинейного преобразования Джонсона некоторого нормального (гауссовского) нормированного процесса y(t):

если Z(t) имеет плотность распределения (3.50);

если Z(t) имеет плотность распределения (3.51);

если Z(t) имеет плотность распределения (3.52).

Из выражений (3.56)–(3.58) видно, что алгоритм формирования каждого ^-распределения один и тот же.

Сначала нормированный гауссовский процесс y(t) линейно преобразуют с целью получения процесса

затем полученный процесс y^*(t) подвергают нелинейному преобразованию вида

или вида

или вида

ψ₃(y^*(t)) = exp(y^*(t)),          (3.62)

в зависимости от вида S-распределения. Далее результат нелинейного преобразования подвергают линейному преобразованию с целью получения процесса Z(t). Так, например, для (3.56) получим:

Z(t) = λψ₁(y^*(t)) + ε,          (3.63)

имеющий требуемое S-распределение.

Для того чтобы процесс Z(t) имел заданную корреляционную функцию К_z(τ), необходимо соответствующим образом выбрать нормированную корреляционную функцию ρ_y(τ) вспомогательного процесса y(t). Указанный выбор может быть осуществлен в два этапа.

На первом этапе вспомогательный процесс y(t) выражается явным образом через желаемый процесс Z(t) с помощью выражений (3.56)–(3.59). Проделав необходимые преобразования, получают

если Z(t) имеет плотность распределения (3.50);

если Z(t) имеет плотность распределения (3.51);

если Z(t) имеет плотность распределения (3.52).

На втором этапе по известной корреляционной функции K_z(t) и по виду преобразований (3.64)–(3.66) определяют искомую нормированную корреляционную функцию ρ_y(τ) по формуле

где

где φ_j(·) – правая часть выражений (3.64)–(3.66), причем при j = 1 следует брать правую часть выражения (3.64) и т. д.;

σ_z – среднеквадратическое отклонение процесса Z(t);

ρ_z(τ) – нормированная корреляционная функция изучаемого процесса Z(t);

H_n(Z) – полином Эрмита n-го порядка.

При практическом проведении расчетов в ряду (3.67) нужно оставлять лишь несколько первых N членов. Это число N может быть получено из условия

которое получается из формулы (3.68) при τ = 0.

В результате случайный процесс Z(t), имеющий желаемые одномерную плотность распределения W(Z) и корреляционную функцию K_z(τ), может быть сформирован путем последовательных преобразований (3.59), (3.60) или (3.61), или (3.62) и (3.63) нормированного гауссовского случайного процесса y(t), имеющего (нормированную) корреляционную функцию ρ_y(τ). Рассмотрим формирование нормированного гауссовского случайного процесса y(t) с корреляционной функцией ρ_y(τ) (см. таблицу 3.4). При этом ограничимся рассмотрением лишь таких ρ_y(τ), которые описываются выражением

ρ_y(τ) = e^–α|τ|(cosωτ + βsinω|τ|),          (3.69)

где α, ω и β – параметры.

Таблица 3.4

Можно показать, что гауссовский случайный процесс y(t) с корреляционной функцией вида (3.69) может быть сформирован как компонента y₁(t) двумерного марковского процесса , порождаемого следующей системой стохастических дифференциальных уравнений:

где ξ(t) – стационарный белый шум, т. е. гауссов белый шум с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией K_ξ(τ) = δ(τ); δ(τ) – дельта-функция Дирака:

Таким образом, y(t) = y₁(t). При этом нужно помнить, что случайный процесс y₁(t) и, следовательно, случайный процесс y(t) будет иметь корреляционную функцию (3.69) после того, как закончится переходный процесс.

Окончательно получаем, что для формирования случайного процесса Z(t) с заданной одномерной плотностью распределения W(t) и заданной корреляционной функцией K_z(τ) необходимо сформировать двумерный гауссовский случайный процесс , удовлетворяющий системе дифференциальных уравнений (5.71). Компоненту y₁ этого процесса подвергнуть линейному преобразованию вида (3.59), результат которого подвергнуть одному из трех нелинейных преобразований вида (3.60) – (3.62), а результат последнего преобразования подвергнуть линейному преобразованию вида (3.63).

При этом параметры λ, γ, η и ε линейных (5.61) и (5.64) и одного из нелинейных (3.61)–(3.62) преобразований, параметры α, ω и β функции (3.69) и коэффициенты а₂₁, а₂₂, b₁ и b₂ системы дифференциальных уравнений (3.70) рассчитываются заранее.

В качестве примера использования предлагаемого подхода рассмотрим формирование случайного процесса Z(t) с плотностью распределения вида

W(Z) = exp(Z / 0,165) {0,165[1 + exp(Z / 0,165]}^–1           (3.72)

корреляционной функции вида

K_z(τ) = 0,09exp{(–2 / |τ|)(1 + 0,45 / |τ|)}.          (3.73)

Плотность (3.72) называется логистической. Известно, что математическое ожидание т₁, дисперсия σ²_z, квадрат коэффициента асимметрии β₁ и коэффициент эксцесса β₂ процесса Z(t), подчиненного плотности (3.72), имеют следующие значения:

m₁ = 0, M₂ = σ²_z = 0,09, β₁ = 0, β₂ = 4,2.

Точка А с координатами (0; 4,2), как видно из рис. 3.27, находится в области S_u-распределений Джонсона, следовательно, плотность распределения (3.72) может быть представлена как плотность S_u-распределения Джонсона, т. е. вида (5.52).

Выберем параметры плотности (3.51). Прежде всего заметим, что, в силу центрированности (m₁ = 0) и симметричности (β₁ = 0) плотности (3.71), необходимо, чтобы параметры γ и ε плотности (3.51) равнялись нулю. Оставшиеся параметры η и λ плотности (3.49) выберем из условия минимума функционала (3.55) с учетом равенства W(0) = f₂(0, η, λ).

Проделав необходимые вычисления, получим η = 1,937, λ = 0,510.

Таким образом, преобразование, которому следует подвергнуть вспомогательный нормированный гауссовский процесс y(t) для получения процесса Z(t) с вероятностными характеристиками (3.72) и (3.73), имеет вид (см. выражения (3.61) и (3.62))

следовательно,

Нормированная корреляционная функция ρ_y(τ) процесса y(τ) рассчитывается по формулам (3.67) и (3.68). При этом

При практических расчетах в выражение (3.67) подставляют значения ρ_y(τ_i) функции ρ_z(τ), причем i = 0, 1, 2, …, 60, τ₀ = 0. Интегралы в выражении (3.68) вычисляют численно.

В результате получают таблицу значений ρ^*_y(τ_i) функции ρ_y(τ), i = 0, 1, 2, …, 60. Найденные значения аппроксимировались выражением (3.69).

Хорошая точность аппроксимации достигнута минимизацией функционала

по параметрам, в результате которой получено α = 1,6; ω = 0; β – произвольно.

При указанных значениях α, ω и β, во-первых, нормированная корреляционная функция ρ_y(τ) имеет вид

ρ_y(τ) = e^–1,6|τ|,

а, во-вторых, коэффициенты (3.71) системы стохастических дифференциальных уравнений (3.70) принимают следующие значения:

a₂₁ = –2,56; a₂₂ = –3,2;

b₁ = 1,789; b₂ = –2,862.

Следовательно, после установления стационарности компонента у₁ двумерного гауссовского случайного процесса , порождаемого системой стохастических дифференциальных уравнений типа (3.70), т. е.

имеет корреляционную функцию (3.69). Подвергнув сформированный таким способом случайный процесс y₁(t) преобразованию (3.74), получим случайный процесс Z(t) с желаемыми вероятностными характеристиками (3.72) и (3.73).

Случайный процесс

Z(t) = λψ_j(y^*₁(t)) + ε, j (1, 2, 3),

где ψ_j (y^*₁(t)) – сигнал с выхода одного из трех нелинейных преобразований, формируемый на выходе линейного преобразователя, является искомым случайным процессом, так как имеет желаемые, заранее заданные одномерную плотность распределения W(Z) и корреляционную функцию K_z(τ).

В общем случае алгоритмы, по которым производится нахождение функции и ее параметров, достаточно громоздки для расчетов вручную, поэтому представляется целесообразным проводить указанные расчеты на ЭВМ.

Разработана программа, допускающая обращение к себе из объектно-ориентированного языка Pascal.

В качестве входной информации указываются четыре рассмотренных выше характеристики, а в качестве выходной – программа сообщает вид выбранной функции плотности распределения и числовые значения входящих в нее параметров.

Глава IV. Система управления рисками кредитования. Структурно-функциональный анализ

Теоретические основы анализа рисков включают в себя разработку математических основ построения области допустимых значений как капитала банка, так и компонент, его образующих. На начальном этапе следует разработать математические модели изменения во времени отдельных компонент K_i(t) вектор-функции K(t). В главе рассматривается одна из компонент капитала банка – кредитная K₁. В частном случае эта компонента может быть единственной.

Как сказано выше, задачи, решаемые системой управления рисками кредитования, следующие:

1) при заданном начальном капитале, расходах на содержание банка требуется построить область допустимых состояний или устойчивости банковской системы, обладающей заданными функциональными свойствами;

2) построить систему управления эффективностью и рисками, обеспечивающую достижение заданной цели;

3) построить систему контроля для системы управления, осуществляющую измерение контролируемых параметров банка (например капитала), с погрешностью, значения которой находятся в заданном диапазоне;

4) осуществлять текущее сравнение, например значения капитала K₁(t) измеренного с его допустимой величиной (K₁)_доп, предотвращая выход K₁(t) в опасную (критическую) область.

При математическом моделировании процесса кредитования необходимо учитывать следующие факторы.

I. Резервная величина капитала банка передается в центральный банк. Эта величина изменяется по решению центрального банка в зависимости от состояния макроэкономики, т. е. экономической системы в целом. В общем случае это случайная величина, влияющая на работу банка, на его риски.

II. Внутренние свойства банка зависят от функциональных свойств подсистем, включающих:

– интеллектуальный потенциал сотрудников, зависящий от оплаты труда;

– технико-информационное оснащение банка.

III. Центральный банк регулирует проценты по кредиту согласно состоянию финансовой и экономической систем страны. При этом возникает неуправляемый со стороны банка процесс, значение которого невозможно предсказать. Этот процесс будем относить к случайным.

IV. Возможности кредиторов по возврату кредита и процентов по нему следует также отнести к случайным, в силу возможностей и состояния той сферы среды, куда он вложил кредит.

4.1. Кредитная система. Качественная модель

Кредит играет специфическую роль в экономике: он не только обеспечивает непрерывность производства, но и способствует ускорению его. Кредит содействует экономии издержек обращения. Это достигается за счет:

а) сокращения расходов по изготовлению, выпуску, учету и хранению денежных знаков, так как часть наличных денег оказывается ненужной;

б) ускорения обращения денежных средств, многократного использования свободных денежных средств;

в) сокращения резервных фондов.

Роль кредита в различных фазах экономического цикла не одинакова [41]. В условиях экономического подъема, достаточной экономической стабильности кредит выступает фактором роста. Перераспределяя огромные денежные и товарные массы, кредит питает предприятия дополнительными ресурсами. Его негативное воздействие может, однако, проявиться в условиях перепроизводства товаров. Особенно заметно такое воздействие в условиях инфляции. Новые платежные средства, входящие посредством кредита в оборот, увеличивают и без того избыточную массу денег, необходимых для обращения.

Кредит вне зависимости от своей социальной роли выполняет определенные функции, такие как регулирование объема совокупного денежного оборота, перераспределение денежных средств на условиях их последующего возврата, аккумуляция временно свободных денежных средств.

На рынке реализуются в основном следующие формы кредита:

а) коммерческий;

б) банковский;

в) потребительский;

г) ипотечный;

д) государственный;

е) международный.

Они отличаются друг от друга составом участников, объектом ссуд, динамикой, величиной процента, сферой функционирования и т. д.

Кредитная система стран с рыночной экономикой состоит из трех подсистем:

I. Центральный банк.

II. Банковский сектор:

– коммерческие банки;

– сберегательные банки;

– инвестиционные банки;

– ипотечные банки;

– банкирские дома;

– специализированные банки.

III. Специализированные небанковские кредитно-финансовые институты:

– инвестиционные компании;

– финансовые компании;

– благотворительные фонды;

– страховые компании;

– пенсионные фонды.

Банковская система – ключевое звено кредитной системы, оно концентрирует множество кредитных и финансовых операций.

В кредитной системе существуют и небанковские кредитно-финансовые институты, которые заняли видное место в накоплении и мобилизации денежного капитала. В последние годы они конкурируют с банковской.