Текст книги "Категории онтологии"

4.3. Конечное и бесконечное

Конечное. Бесконечное. Виды бесконечности. Взаимосвязь конечного и бесконечного. Бесконечности «вширь» и «вглубь».

Обладает ли бесконечное определенными свойствами?

Конечное и бесконечное – парные философские категории, обозначающие моменты определенного и неопределенного в вещах, явлениях, процессах. Бесконечен ли космос? Или «бесконечность» – это всего лишь фикция человеческого ума? Можно ли придумать наибольшее количество, выраженное числом 100… 1000… 1 000 000…? Эти древние вопросы продолжают обсуждать по сей день. Никогда не прекращаются споры между сторонниками финитизма и инфинитизма.

В древнегреческой философии концепцию финитизма отстаивали, например, атомисты. Пифагорейцы рассматривали беспредельное как антитезу бытия и считали его пустотой, небытием, чем-то отрицательным: «Ложь и зависть присущи природе беспредельного, бессмысленного и неразумного» (Филолай). Напротив, все положительное пифагорейцы относили к пределу. В отличие от атомистов, Анаксагор защищал позицию инфинитизма. Некоторые философы либо отождествляли понятия бесконечное и неопределенное (Гоббс), либо вообще отрицали объективную реальность бесконечного, поскольку оно чувственно не воспринимаемо (Беркли, Юм).

Конечное: 1) форма проявления бесконечного; 2) «свое иное» бесконечного; 3) то, что имеет пространственный и (или) временной конец, границу. Всякое нечто (качество, вещь и пр.) определяется как конечное. Любой познаваемый материальный объект, взятый в практическом опыте в форме относительно изолированного объекта, рационально трактуется как нечто конечное. «Конечность есть наиболее упрямая категория рассудка» (Гегель). В понятии конечного мир представлен множеством дискретных предметов, отделенных границами друг от друга. Одно конечное со временем переходит в другое конечное; конечное постоянно меняется, отрицает себя, с необходимостью движется к своему концу. Одни мыслители верят, что через постоянное познание конечного человеческое познание приближается к постижению бесконечного; скептики и агностики отрицают такую принципиальную когнитивную возможность.

Поскольку граница между качествами не только разделяет их, но также связывает их воедино, то всякое конечное обладает альтернативными свойствами: в первом – разъединительном – отношении конечное можно описывать как нечто относительно автономное, обособленное, самостоятельное; во втором – соединительном – отношении всякое конечное следует понимать как то, что так или иначе зависит от иного бытия и не обладает полной автономией.

В математике под конечным множеством понимают такое множество, которое состоит из конечного числа элементов (например, множество букв русского алфавита). Пустое множество не содержит в себе ни одного элемента. Мощностью множества m (A) именуют натуральное число, обозначающее определенное количество элементов конечного множества A. Основная теорема о конечных множествах гласит: конечное множество не равномощно никакому его собственному подмножеству и собственному надмножеству.

Предел – это: 1) протяженная или темпоральная граница чего-нибудь; 2) то, что ограничивает собой нечто (например: за пределами страны, в пределах часа, предел совершенства, предельная точка). В математике пределом называют число, которое иногда можно приписывать последовательности или функции. Предел есть такое постоянное значение А, к которому неограниченно приближается какая-нибудь переменная, зависящая от изменения другой переменной (lim f (x) = А, если x → x₀). Это понятие тесно связано с математическими понятиями непрерывности, производной, дифференциала и интеграла. Физики и математики стали интуитивно использовать понятие предела начиная с XVII в. (И. Ньютон, Л. Эйлер, Ж. Л. Лагранж и др.), а строгие определения предела последовательности появились в первой половине XIX в. (Б. Больцано, О. Л. Коши).

Бесконечное (др. – греч. apeiron, лат. infinitum, англ. endlessness) – «неконечное», не имеющее границ, отрицание конечности, беспредельное. Трансфинитное – абсолютная бесконечная целостность, инфинитное – не имеющее конца, индефинитное – неограниченное.

Бесконечное вызывает ужас, его трудно себе вообразить и эмпирически вычленить. Оно может нам даваться преимущественно посредством интуиции и частично мыслиться при помощи предельно-абстрактных дефиниций. Бесконечное неисчерпаемое и неопределенно. «Последний шаг разума – это признание того, что есть бесконечность вещей, которые его превосходят» (Б. Паскаль). Центр бесконечной сферы находится повсюду, а окружность – нигде. Бесконечность традиционно обозначают древним символом круга либо змеи, кусающей себя за хвост, либо математическим знаком лемнискаты (восьмерки, положенной на бок).

Анаксагор сопрягал мировое первоначало (архе) с принципом неуничтожимого и беспредельного апейрона; бесконечное не возникает и не исчезает, тогда как конечное происходит из архе и завершается. Платон мыслил «бесконечное» только как становление, т. е. в форме процесса неограниченных количественных изменений. Декарт верил в бесконечную протяженность материальной субстанции. Согласно Спинозе, бесконечность – это протяженность и длительность как модусы субстанции. Дж. Локк полагал, что идея бесконечности возникает у человека из-за способности повторять без конца какое-нибудь количество; крайние границы пространства недоступны пониманию и только конечное в принципе познаваемо. Критикуя подобный взгляд, Лейбниц доказывал, что идея бесконечности имеет божественную природу и человеческая душа способна внутренним способом как-то постигать эту идею. По Канту, всякая бесконечность трансцендентальна, относима к безусловному бытию, и ее не следует (дабы избежать антиномий) брать как данность.

Бесконечное в его простом понятии, считал Гегель, можно рассматривать, прежде всего, как одну из дефиниций абсолютного. Как соотношение с собой, лишенное определений, бесконечное положено как бытие и становление. Понятие бесконечного характеризует субстанцию в аспектах единого и единства, неисчерпаемого взаимодействия многих нечто. Субстанция сама по себе причина, ее бытие и изменение ничем не ограничиваются (разве что она сама устанавливает себе потребные границы).

Многие философы и богословы, вслед за Ф. Шлейермахером (1768–1834), усматривают тягу человека к бесконечному, прежде всего, в религии. Читаем у Шлейермахера: «Искать и находить это вечное и бесконечное во всем, что живет и движется, во всяком росте и изменении, во всяком действии, страдании, и иметь и знать в непосредственном чувстве саму жизнь лишь как такое бытие в бесконечном и вечном – вот что есть религия <…> Истинная наука есть законченное созерцание; истинная религия есть чувство и вкус к бесконечному» (Шлейермахер Ф. Речи о религии к образованным людям, ее презирающим. Монологи. Москва; Киев, 1994. С. 80, 83).

Пантеисты признают объективное существование бесконечности в самом физическом мире, поскольку провозглашают совечность творящей и сотворенной природы и теоретически мыслят первую природу «внутри» второй. Например, диалектико-материалистический пантеизм приписывает материальной субстанции атрибут пространственно-временной бесконечности. Но, строго говоря, «бесконечным и вечным может быть только то, что независимо от времени и пространства» (Р. Генон). Напротив, теисты, полностью отделяя в своих доктринах Бога от сотворенной им (из ничего) природы, утверждают, что физический мир объективно конечен, имеет начало во времени и пространстве и движется к своему концу; атрибут же бесконечности они приписывают только вечному трансцендентному Богу.

Виды бесконечности. Аристотель первым предложил различать два вида бесконечности: 1) потенциальную бесконечность сущего и 2) бесконечность актуальную, т. е. уже свершившуюся, реализованную. По его мнению, понятие потенциальной бесконечности (например, бесконечного универсума или натурального ряда чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. д.) не противоречит здравому миропониманию. Напротив, понятие актуальной бесконечности, т. е. бесконечности, уже реализовавшейся в данном интервале пространства и времени (например, понятие бесконечной плотности тела или яркости света), не верифицируемо нашим опытом, не отвечает здравому смыслу, поэтому от такого понятия следует отказаться. Разве что теологам и философам позволительно рассуждать о божественной актуальной бесконечности.

Если предположить, что космос имеет начало в глубокой древности и будет существовать вечно, то его конечный возраст потенциально бесконечен и в конце концов превзойдет любое число лет. Если же космос существовал всегда, то его возраст в любой момент времени актуально бесконечен. Аристотель пришел к мнению, что актуальная бесконечность вовсе не нужна математикам, и предпочитал мыслить бесконечность только как потенцию, становление, т. е. в форме процесса неограниченных количественных изменений.

Николай Кузанский учил, что в бесконечности совпадают между собой максимум и минимум, сливаются противоположности, сама же бесконечность «постигается непостигаемо», через «ученое незнание». Дж. Бруно считал Вселенную единой – не имеющей частей, сплошной и актуально бесконечной. По его мнению, Вселенная вечна, в ней возможное и действительное совпадают; поскольку ей некуда двигаться, то она неподвижна. Б. Паскаль учил, что актуальная бесконечность бездонна: сколько к ней не прибавляй любое число и сколько из нее не вычитай, она остается той же самой, т. е. не увеличивается и не уменьшается. Такого рода бесконечность есть «непроглядный мрак темноты». Паскаль говорил, что человек с трудом удерживается на грани «бездны бесконечности и бездны небытия», и неисчерпаемую бесконечность можно лишь безмолвно созерцать.

Гегель отличил понятие истинной (качественной) бесконечности от понятия «дурной» (в смысле занудно-безграничного увеличения количества) бесконечности. В истинной бесконечности он предложил умосозерцать направленную процессуальность конечного, а именно процесс выхода конечного за рамки присущей ему меры – из своего прежнего наличного бытия через небытие в новое и более мощное наличное бытие.

Г. И. Рузавин обращает внимание на то, что потенциальная бесконечность представляется математикам более интуитивно ясной, чем актуальная бесконечность (см.: Рузавин Г. И. О природе математического знания. М., 1963. С. 117–118). Л. Е. Балашов подмечает, что поскольку актуальная бесконечность находится как бы внутри конечного, то ее завершенность воспринимается как оконеченностъ, т. е. как ее уничтожение. Потенциальная бесконечность, которая тоже означает «выход за пределы», является по сути переряженным конечным или негативным отпечатком конечного. «Правда, в отличие от конечного, в ней акцент делается не на “пределах”, а на “выходе за”. Как видим, не актуальная бесконечность ближе к конечному, а потенциальная» (Балашов Л. Е. Практическая философия. М., 2001. С. 113–114).

Естествоиспытатели нередко пользуются простейшей абстракцией практической бесконечности, основанной на отождествлении бесконечности либо с очень большой, либо с очень малой величиной. В математике важную роль выполняют понятия бесконечно малой и бесконечно большой величины. Бесконечно малая – числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Алгебраическая сумма либо произведение конечного числа бесконечно малых функций считаются тоже бесконечно малой функцией. Бесконечно большая – это числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определенного знака. Переменную X можно назвать бесконечно большой, если для всякого положительного числа С существует такое значение X₀, что каждое следующее за ним X будет по абсолютной величине больше C. Это записывается так: X → ∞. Знак бесконечности ∞ был введен в математику в 1655 г. (Дж. Валлис).

Взаимосвязь конечного и бесконечного. Мыслители-диалектики выявляют не только различие, но и сходство категорий конечного и бесконечного и предпочитают определять их рефлексивно, друг через друга – как тождество различных. Математика нередко обнаруживает в конечном бесконечность, а в бесконечном – конечное. Так, на числовой оси в отрезке между нулем и единицей умещается бесконечное множество действительных чисел, а частное от деления друг на друга двух бесконечностей разного порядка может выразиться конечным числом. Если двигаться по поверхности шара, то мы не обнаружим его границ, так что в этом смысле шар безграничен, но в то же время конечен.

Глубокий анализ взаимосвязи конечного и бесконечного проведен Гегелем. Немецкий философ утверждал, что в природе самого конечного – выходить за себя, отрицать свое отрицание и становиться бесконечным. Поэтому бесконечное не стоит над конечным как нечто само по себе готовое, так чтобы конечное имело и сохраняло место вне его или под ним. Не благодаря снятию конечности вообще возникает бесконечность вообще, конечное состоит только в том, чтобы в силу своей природы становиться бесконечным. Поскольку истинная бесконечность есть постоянная тенденция выхода конечного за свои периодически изменяющиеся границы, она внутренним и необходимым способом обусловливается природой конечного; внутри конечного пребывает истинная бесконечность. Вместе с тем, считает Гегель, существует также внешняя связь всякого конечного с бесконечным многообразием других конечных вещей и процессов, и в этом аспекте экстенсивная бесконечность образуется внешним сложением неопределенного количества конечных объектов.

М. Клайн (1908–1992) пишет: «Большинство математиков (Галилей, Лейбниц, Коши, Гаусс и др.) отчетливо понимали различие между потенциально бесконечными и актуально бесконечными множествами и исключали актуально бесконечные множества из рассмотрения. Если им приходилось, например, говорить о множестве всех рациональных чисел, то они отказывались приписывать этому множеству число – его мощность. Декарт утверждал: “Бесконечность распознаваема, но не познаваема”. <…> введя бесконечные множества, Кантор выступил против традиционных представлений о бесконечности, разделяемых великими математиками прошлого. Свою позицию Кантор пытался аргументировать ссылкой на то, что потенциальная бесконечность в действительности зависит от логически предшествующей ей актуальной бесконечности. Кантор указывал также на то, что десятичные разложения иррациональных чисел <…> представляют собой актуально бесконечные множества, поскольку любой конечный отрезок такого разложения дает лишь конечное приближение к иррациональному числу» (Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984. С. 231–232).

Бесконечности «вширь» и «вглубь». В науке и философии постоянно конкурируют между собой две альтернативные модели «бесконечности вширь» (экстенсивная бесконечность) и «конечности вширь»: 1) мир бесконечен в пространстве и во времени (пантеизм); 2) мир замкнут в конечную сферу, возник конечное число лет тому назад и когда-нибудь погибнет (монотеизм). Противостоят друг другу на протяжении всей истории философии также две модели «бесконечности вглубь» (интенсивная бесконечность) и «конечности вглубь»: 1) всякий объект бесконечно делим, нет ничего истинно элементарного (Анаксагор, гипотеза бутстрапа и др.); 2) существуют атомы в истинном смысле, и фундамент мира составлен принципиально неделимыми стихиями (Демокрит, гипотеза кварков и др.).

Выдвигались и «смешанные» гипотезы. Так, древнегреческие атомисты полагали, что всякая вещь построена из неделимых атомов (т. е. мир конечен «вглубь»), однако все бесконечное число атомов погружено в бесконечно протяженную и бесконечно делимую пустоту. Дж. Бруно считал, что деление до бесконечности есть операция сугубо умственно-математическая, а сама природа неделима до бесконечности; тем не менее Вселенная бесконечна «вширь». Любопытен тезис академика Г. И. Наана (1919–1994): «Мы знаем, что Вселенная бесконечна, но не знаем, в каком именно смысле она бесконечна».

Обладает ли бесконечное определенными свойствами? Правомерно ли приписывать, например, бесконечному закону природы специфические свойства? Если нет, то вся наука утрачивает смысл, даже если следствия из предикативных суждений ученых о законе природы оказываются эффективными на практике. Бессмысленно ли приписывать бесконечному Богу различные атрибуты? Косвенный смысл представлениям о Боге (равно как суждениям о безусловном центре бесконечного универсума) придается герменевтикой Филона Александрийского, антиномизмом Николая Кузанского, методом аналогий Фомы Аквината, разными приемами апофатического и катафатического богословия.

Идея бесконечного неразрывно связана с природой человека, поэтому для всего ограниченного наш ум ищет первоначала и первообразы в бесконечном ― именно бесконечное придает смысл конечному. Например, Фома Аквинский принципиально различал чувственно-конечное и сверхчувственно-бесконечное, но в то же время предлагал судить о качественных особенностях сокровенных бесконечностей по аналогии с разными чувственно данными целостностями. Декарт превратил древнейший символ древа бесконечного мира в систему координат, внутри которой приобретают аналитико-геометрический смысл графики любых математических функций. Шесть бесконечных осей декартовой системы координат как бы произрастают из нуля-центра и одновременно диалектически (виртуально) снимаются в нем, так что вся геометрическая полнота таинственно концентрируется в нулевой точке отсчета. Оси Х, Y и Z суть радиусы потенциально бесконечного мира-шара, которые в конечном счете тяготеют к некоему безусловному нулю.

По аналогии с декартовым нулем (как модели снятия полноты всех пространственных форм) допустимо метафорически осмысленное суждение об абсолютном (неисчерпаемо напряженном и энергетическом) центре бесконечного мира. Соответственно, объективные всеобщие законы природы и всеобщие понятия (идеи) логически не запрещено мыслить в виде средоточия полноты качеств тех или иных бесконечных классов предметов. Ф. А. Голубинский (1797–1854), основатель русской теистической философии, убедительно доказывал, что, вопреки Канту, категории вполне применимы к бытию неограниченному и всесущественному. Идея бесконечного неразрывно связана с природой человека, поэтому для всего ограниченного наш ум ищет первоначала и первообразы в бесконечном ― именно бесконечное придает смысл конечному. Таким образом, философская герменевтика всетаки допускает возможность осмысленных предикативных суждений о бесконечном мире и его центре.

Г. Кантор, создатель теории множеств, уверовал в объективно реальное существование актуальной бесконечности, а также в возможность ее постижения человеческим умом. Он придумал особый способ анализа математических бесконечностей: стал различать бесконечности разных порядков, ввел представление о разных мощностях бесконечных множеств, пытался строить иерархию актуальных бесконечностей, каждая из которых «больше» предшествующей; пирамида такой иерархии, по идее, должна завершаться божественной бесконечностью.

4.4. Прерывное и непрерывное

Прерывность. Аритмология. Непрерывность. Теория континуитета. Диалектика прерывности и непрерывности

Прерывное и непрерывное – категории, обозначающие специфическую меру структурного и (или) процессуального единства между внешне или внутренне связанными вещами, явлениями, состояниями. Пример предельно мыслимой степени прерывности – абсолютная изолированность, а максимальная степень непрерывности – сплошность, монолитность, единое. Прилагательные прерывное и непрерывное обозначают особые свойства (атрибуты, признаки, предикаты) вещей, явлений и процессов. При описании процессов развития эти категории конкретизируются альтернативными понятиями скачка и преемственности.

Прерывность (дискретность, дисконтинуальность) выражает следующие основные моменты автономии и нарушения единства (тождества):

1) момент раздельности, отграниченности, обособленности существования взаимодействующих качеств; присущность качеству относительно непроницаемой извне границы, обеспечивающей ему сравнительно независимое бытие;

2) достижение порога дробимости целого (качества) на все более мелкие составные части; прекращение делимости и скачок из сферы анатомической в область атомарного (простейшей компоненты, функции);

3) приближение качества к пределу допустимого интенсивного или экстенсивного роста; существенную неоднородность различных фаз его развития; прекращение роста целостности;

4) внезапную потерю – случайно или закономерно – связи между целым и каким-либо его уровнем или подразделением;

5) нарушение плавности, постепенности, преемственности в процессе изменения – в процессах взаимодействия, воспроизводства, развития или эволюции.

«Прерывы постепенности» (скачки) подразделяют на эволюционные, революционные и взрывообразные. В лингвистике дискретным именем называется такой Х (например, стол), когда любую его часть называют не именем Х, а каким-нибудь другим именем (ножка стола).

Ярким примером опоры ученых на идею прерывности может служить квантовая механика, согласно которой энергия излучается отдельными порциями (квантами). Квант есть наименьшая дискретная единица энергии: E = hv, где h есть постоянная Планка, a v – частота излучения энергии. Другой пример – биологическая теория мутаций де Фриза, постулирующая, что эволюция жизни носит скачкообразный характер: один вид организмов способен мгновенно превращаться в другой вид без прохождения уровня «промежуточных видов».

Основной причиной дискретных изменений в хозяйственной жизни некоторые экономисты считают введение творческих инноваций (Й. Шумпетер, С. Ю. Глазьева, Д. С. Львов). По мнению сторонников диалектики, та же причина, вероятно, обусловливает скачкообразное развитие науки и техники. Прогресс компьютерной техники вызвал революцию в методах обработки дискретной («цифровой») информации, и быстродействие компьютера фантастически возросло.

Аритмология: 1) теория разрывных функций, противоположная аналитической теории непрерывных функций; 2) мировоззренческое учение, исходящее из идеи прерывности мира. Русский математик и философ Н. В. Бугаев (1837–1903), отец поэта А. Белого, создал оригинальное мировоззренческое учение, которое он назвал аритмологией. Бугаев критиковал преклонение ученых перед принципом сплошности (непрерывности) мира, обусловливающим особый тип атеизма. Взамен он предлагал исповедовать в науке принцип прерывности и сопрягать идею «зернистости» мира с идеями свободы, откровения, творчества, перерывов в постепенности. По мнению Бугаева, непрерывность иллюзорна, а реальность прерывна.

Два отправных тезиса были крайне важны для Бугаева. Вопервых, библейское изречение: «Ты все расположил мерою, числом и весом». Во-вторых, пифагорейская мудрость: «Все есть число». Каждое «зернышко» универсума порождено не дарвиновской «эволюцией», а в конечном счете – творчеством Бога, и поэтому разные виды «зерен» космически уединены, не связаны между собой. Невозможно под углом зрения «аналитической континуальности» изучать сферу действия творческих индивидов, где царят целеполагание, свобода воли, случайность, вероятности. «Истина анализа, – пишет Бугаев, – отличается общностью и универсальностью, а истины аритмологии носят на себе печать своеобразной индивидуальности» (Бугаев Н. В. Математика и научно-философское миросозерцание // Вопр. философии и психологии. 1898. № 45. С. 714).

Мир зернист, состоит из атомарных мозаик-монад. «Монада есть живая единица, живой элемент, – она есть самостоятельный и самодеятельный индивидуум». Образуются также сложные монады, представляющие собой индивидуальности особого рода. Примеры социальных монад разных типов: человек, человечество, государство. Простейшей формой «общежития» сложных монад являются физические законы природы. Движущая сила этического совершенствования каждой монады – любовь и стремление снять различие между монадой и всей совокупностью других монад.

Человеческий рассудок не способен сложить из зерен-мозаик цельную картину, это может сделать только Бог. «Нужно преодолеть самодовольство рассудка, порвать магический круг его конечных понятий и вступить в новую среду – в среду сверхконечного, рассудку недоступного и для него нелепого» (цит. по: Флоренский П. А. Столп и утверждение истины: опыт православной теодицеи в двенадцати письмах. М., 1989. С. 516). Согласно аритмологии, математика должна базироваться на теории разрывных функций, а философия – на особой монадологии. В противовес аналитическо-социальным концепциям, которые во всем усматривают только «эволюцию», аритмология акцентирует внимание на катастрофичности исторического процесса – на революциях и переворотах.

Вслед за Бугаевым аритмологию развивал П. А. Флоренский, усиливая заключенное в ней предчувствие эсхатологического конца: «мир надтреснут»; трещины бытия есть «бездны зла», существующие только в человеческом аспекте; сквозь эти трещины видна «лазурь вечности» (см.: Флоренский П. А. Столп и утверждение истины. М., 1914. С. 157). О надтреснутости мира и разрозненности фрагментов континуума писали также Н. О. Лосский, С. Н. Бердяев и другие религиозные философы Серебряного века.

Непрерывность: 1) неразрывная связь сосуществующих объектов; 2) плавный взаимопереход состояний в процессах становления. Онтологическая категория непрерывность обозначает относительную проницаемость границ между отдельными одно, слитность многих и разных одно в нечто для них единое, приблизительную однородность структурной дробимости целого на всех его уровнях, постоянную плавность роста целого в том или ином направлении, сохранение постепенности и преемственности в процессах изменения. Непрерывные объекты не могут быть разложены на некие отдельно существующие составные части. Вместе с тем непрерывное далеко не всегда есть нечто монотонное и единообразное, оно бывает многоцветным и многообразным.

Г. В. Лейбниц, как известно, сформулировал всеобщий «закон непрерывности», согласно которому чувственно воспринимаемая природа никогда не делает скачков; в ней одно всегда плавно переходит в другое, и в этом континуитете не бывает никаких пустот и пробелов. Вместе с тем мысленно постигаемое бытие состоит из монад – неделимых метафизических субстанций. Так что, по Лейбницу, мир нам дан в чувственном опыте как нечто непрерывное, а в разуме – как прерывное. Свою динамическую теорию материи И. Кант основывает на принципе континуализма, с которым соглашались Шеллинг и Гегель.

Классическая физика (до начала XX в.) руководствовалась представлением, что все физические величины имеют исключительно непрерывный характер. Дарвиновская теория эволюции основана на идее плавного превращения предшествующих видов живых существ – через возникновение «переходных видов» – в последующие иные виды. В лингвистике недискретным именем называется такой Х, когда любая его часть также называется Х (например, вода).

Зенон Элейский показал при анализе своих апорий, касающихся мысленного движения дискретной математической точки, что непрерывность не может складываться из прерывности (точек); в противном случае величина траектории движущейся точки складывалась бы из невеличин («нулей»). Того же взгляда придерживался Аристотель, различивший три обстоятельства: 1) следующее по порядку; 2) соприкасающееся; 3) непрерывное. Так, в ряду натуральных чисел следующее по порядку число не соприкасается с предыдущим; бывает соприкосновение без непрерывного (например, воздух над поверхностью воды); в непрерывном же границы соприкасающихся должны совпадать. «Все непрерывное делимо на части, всегда делимые» (Аристотель. Физика. VI. 231b 15–17).

В споре средневековых схоластов о природе континуума Генрих Гентский (1217–1293) отстаивал идею о непрерывности космоса. Идею же дискретности (например, числа) он объявлял результатом чисто субъективной операции логического отрицания континуальности мира. Противоположной точки зрения придерживался противник Аристотеля атомист Николай из Отрекура (ок. 1299 – 1369): универсум состоит из бесконечного числа сверхчувственных вечных неделимых minima (атомов), хотя чувственно данный континуум кажется нам делимым до бесконечности. Р. Гроссетест (ок. 1168/1175 – 1253) учил, что предельной основой бытия служит дискретная световая точка. В ней потенциально задана вся будущая Вселенная. В начале всех времен Бог творит эту точку, объединяет в ней первоформу и первоматерию. Затем из этой точки по законам физики и геометрии путем излучения света во все стороны и его бесконечного самоумножения образуется универсум.

Теория континуитета (лат. continuitas – непрерывность и преемственность). В международном праве важна теория континуитета государства, т. е. теория о непрерывности государства как субъекта международного права и непрерывности его обязательств перед другими государствами. Если в государстве происходит революция или в нем радикально меняется политический режим, то оно тем не менее обязано исполнять все свои прежние международные обязательства. Например, Российская Федерация, будучи продолжателем СССР, выполняет обязательства по заключенным ранее двусторонним и многосторонним договорам Советского Союза.

В исторической науке теория континуитета противостоит теориям прерывности, скачкообразности и катастрофичности социальных изменений. Например, ее последовательно придерживался выдающийся отечественный византиновед М. Я. Сюзюмов (1893– 1982). Этот уральский историк подвергал острой критике тех историков-марксистов, которые описывали общественно-экономические формации изолированно друг от друга. По его мнению, историческое развитие общества непрерывно. В реальной истории отсутствуют всякие «перескакивания». В ней новое, вопервых, всегда возникает при опоре на достижения старого, вовторых, конструктивно сочетается с деструктивными моментами прошлого. В старом общественном укладе в зачаточной форме уже существуют те отдельные компоненты экономики и социальной структуры, которые когда-нибудь позднее превратятся в новый уклад.

Идею континуитета М. Я. Сюзюмов конкретизировал в своих исследованиях истории Византии, показав, что Византия стала прямой преемницей античных отношений при переходе к Средневековью. В дискуссии о сущности средневекового города он применил свой тезис о континуитете античной культуры к городу Херсонесу, а именно выявил антично-византийскую сущность Херсонеса и проследил ее сильное влияние на русские территории. По мнению Сюзюмова, благодаря воздействию античновизантийского континуитета «русские перепрыгнули сразу от родового общества к феодальному» (см.: Сюзюмов М. Я. Византийские этюды. Екатеринбург, 2002).