Текст книги "(Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью"

♦ После первого интервала: 1/2 метра

♦ После второго интервала: 1/2 метра + 1/4 метра = 3/4 метра

♦ После третьего интервала: 1/2 метра + 1/4 метра + 1/8 метра = 7/8 метра

♦ После четвертого интервала: 1/2 метра + 1/4 метра + 1/8 метра + 1/16 метра = 15/16 метра

Таково распределение чисел: 1/2 метра, 3/4 метра, 7/8 метра, 15/16 метра… Знаменатель – степень двойки, числитель на одну часть меньше знаменателя. Глядя на таким образом распределившиеся числа, можно вычислить: через 10 интервалов ученик пройдет 1,023/1,024 метра; через 20 интервалов – 1,048,575/1,048,576 метра и так далее. Из распределения чисел ясно, что Зенон прав – чем больше интервалов, тем больше получаемая сумма расстояний. Однако Зенон не прав, когда говорит, что сумма стремится к бесконечности. Наоборот, числа приближаются к 1; математики сказали бы, что 1 метр является пределом данной последовательности расстояний. Что имеет смысл, потому что хотя Зенон и раздробил путь ученика на бесконечное количество интервалов, он, в конце концов, должен пройти всего 1 метр.

Парадокс Зенона о количестве времени, которое потребуется на то, чтобы пройти путь, но никак не о расстоянии. Если ученик будет шагать в строгом соответствии с интервалами Зенона, ему, конечно же, придется попотеть (не говоря уже о том, что он должен будет совершать крошечные, меньше миллиметра шаги)! Однако если он станет передвигаться с постоянной скоростью, не соблюдая воображаемые Зеноновы интервалы – а почему бы и нет? – время, которое потребуется на преодоление каждого из интервалов, будет пропорционально расстоянию, пройденному за этот интервал, а поскольку в целом отрезок пути конечен, конечно и общее время и – к счастью для всех нас – движение все-таки возможно.

Хотя современная концепция пределов была разработана намного позже того времени, в котором жил Зенон, да и не только он, а и Бернулли – это произошло в XIX в.[105]105
  Это зависит от того, что вы считаете «современной концепцией». Я соглашаюсь с определением Ханкеля 1871 г, подробно изложенным здесь: Gert Schubring, Conflicts between Generalization, Rigor, and Intuition: Number Concepts Underlying the Development of Analysis in 17th–19th Century France and Germany (New York: Springer, 2005), pp. 22–32.


[Закрыть] – именно она составляет суть математического анализа, и именно таковы по сути своей попытки Якоба Бернулли исследовать связь между вероятностями и наблюдением. В частности, Бернулли изучил, что происходит в пределе сколь угодно большого числа многократных наблюдений. Подбросьте сбалансированную монету 10 раз: у вас может выпасть 7 орлов. Однако если вы подбросите монету сто тысяч миллиардов раз, у вас, скорее всего, получится половина на половину. В 1940-х гг. южноафриканский математик Джон Керрич решил проверить это на практике, подбрасывая монету множество раз, приближавшееся к ста тысячам миллиардов – на самом деле 10 тыс. – и записывая результат каждого броска[106]106
  David Freedman, Robert Pisani, and Roger Purves, Statistics, 3rd ed. (New York: W. W. Norton, 1998), pp. 274–75.


[Закрыть]. Вы можете подумать: этот математик мог бы заняться чем-нибудь более полезным, однако он в то время был военнопленным – его угораздило оказаться в Копенгагене как раз тогда, когда немцы в апреле 1940 г. захватили Данию. Согласно полученным данным, после 100 бросков орлы получались только в 44 %, однако к тому времени, когда было сделано 10 тыс. бросков, цифра оказалась гораздо ближе к половине: 50,67 %. Как выразить этот феномен количественно? Ответ на этот вопрос дал Бернулли.

Согласно свидетельствам историка и философа Иэна Хэкинга, работа Бернулли «явилась для общественности ярким предвестником всего того, что нам известно о ней теперь; ее математическая глубина, широчайшее практическое применение, двойственность и приглашение к философским размышлениям. Вероятность проявилась во всей своей полноте». Если же привести более скромные слова Бернулли, то его исследование оказалось «не лишенным новизны и в то же время… невероятной практичности». Бернулли писал, что это стоило ему «огромных усилий»[107]107
  Цитата Хэкинга: Ian Hacking, The Emergence of Probability (Cambridge: Cambridge University Press, 1975), p. 143. Цитата Бернулли: David, Gods, Games and Gambling, p. 136.


[Закрыть]. Он работал над своим трудом двадцать лет.

Важнейшим достижением за все двадцать лет непрерывной работы Якоб Бернулли считал «золотую теорему». Ее современные версии, разнящиеся техническими деталями, известны под разными названиями: теорема Бернулли, закон больших чисел, обычный закон больших чисел. Фраза «закон больших чисел» фигурирует потому, что, как мы уже говорили, теорема Бернулли связана со способом, с помощью которого результаты отражают неявные вероятности в процессе многократных наблюдений. Однако мы будем придерживаться терминологии Бернулли и станем называть его теорему «золотой теоремой», потому как будем иметь дело с ее первоначальной версией[108]108
  Дискуссия на тему того, что именно доказал Бернулли: Stigler, The History of Statistics, pp. 63–78, and Ian Hacking, The Emergence of Probability, pp. 155–65.


[Закрыть].

Хотя Бернулли интересовало практическое применение, в некоторых его излюбленных примерах фигурирует предмет, в большинстве домов отсутствующий: заполненный разноцветными голышами сосуд. Согласно одной постановке задачи, Бернулли представил сосуд с 3 тыс. белых голышей и 2 тыс. черных, то есть в процентном соотношении как 60 % и 40 % соответственно. Вы наугад несколько раз вынимаете голыши из сосуда, но «с заменой», то есть перед тем, как вынуть следующий голыш, заменяете уже вынутый, чтобы сохранять соотношение 3 к 2. Таким образом, заранее известно, каковы шансы вынуть белый голыш: 3 из 5 или 60 %. В связи с этим экспериментом основной вопрос Бернулли звучит так: насколько строго количество белых голышей будет держаться в рамках 60 % и с какой вероятностью?

Пример с сосудом хорош тем, что те же самые математические выкладки, описывающие выемку голышей из сосуда, могут быть применены и в случае описания любых серий испытаний, в которых каждое испытание имеет два возможных исхода, при условии, если эти исходы случайны, а испытания не зависят друг от друга. В наше время подобную последовательность испытаний называют испытаниями по схеме Бернулли, а серию испытаний – процессом Бернулли. Когда случайное испытание имеет два возможных исхода, один часто в произвольной форме называют «удачным», а другой – «неудачным». Названия эти весьма условны и порой не имеют ничего общего с обыденными значениями слов – ну, скажем, если вам не терпится читать эту книгу дальше, она, мол, удачная, а если вы используете ее, чтобы не дать замерзнуть себе и своей любимой после того, как все поленья в камине выгорели, то неудачная. Подбрасывание монеты, решение голосовать за кандидата А или кандидата В, рождение мальчика или девочки, приобретение или отказ от приобретения той или иной вещи, излечение или невозможность излечения, даже жизнь или смерть – все это примеры испытаний по схеме Бернулли. Действия, имеющие своим результатом множественные исходы, также могут быть смоделированы по схеме Бернулли, если вопрос формулируется так, чтобы ответом на него было «да» или «нет», например: «Кость выпала стороной 4?» или «Остался ли вообще лед на Северном полюсе?» Таким образом, хотя Бернулли писал о голышах и сосудах, все его примеры в равной степени применимы к этим и многим другим аналогичным ситуациям.

И вот, разобравшись, возвращаемся к сосуду, 60 % голышей в котором белые. Если вынуть из сосуда 100 голышей (положив им замену), можно обнаружить, что именно 60 из вынутых белые, но можно вынуть и 50, 59 белых голышей. Каковы шансы того, что из вынутых вами голышей белых будет от 58 % до 62 %? Каковы шансы того, что вы вынете белых голышей от 59 % до 61 %? Насколько вы можете быть уверены, если вместо 100 голышей вынете 1 тыс. или даже 1 миллион? Вы никогда не можете быть уверены на все 100 %, но возможно ли вынуть достаточно голышей для того, чтобы шансы, скажем, того, что вы вынете белых голышей от 59,9 % до 60,1 %, стали равны 99,9999 %? «Золотая теорема» Бернулли и применима как раз в таких случаях.

Чтобы воспользоваться ею, придется совершить два выбора. Во-первых, вы должны определить, какая погрешность является для вас приемлемой. Насколько должен быть близок к 60 % ряд ваших испытаний? Вам нужно выбрать интервал, например, плюс или минус 1 %, 2 % или 0,00001 %. Во-вторых, вы должны решить, какая неопределенность является для вас приемлемой. Вы не можете быть уверены на 100 % в том, что испытание выдаст результаты, к которым вы стремитесь, но вы можете позаботиться о том, чтобы получать удовлетворительный результат в 99 случаях из 100 или 999 случаях из 1 тыс.

«Золотая теорема» сообщает о том, что всегда возможно вынуть достаточно голышей для того, чтобы быть почти уверенным в том, какой процент белых голышей из вынутых будет ближе всего к 60 %, и это несмотря на то, насколько требовательны вы в своем определении этого «почти уверен» и «ближе всего». С помощью теоремы также выводится формула числа испытаний, которые «достаточны» в рамках приведенного выше определения.

Первая часть закона была достижением на понятийном уровне, именно она и осталась в современной версии теоремы. Что же до второй части – формулы Бернулли – то важно понять: хотя «золотая теорема» определяет число испытаний, достаточных для достижения уверенности и точности, она не говорит, что невозможно достичь этого при меньшем числе испытаний. Это не влияет на первую часть теоремы, для которой достаточно знать лишь то, что число определенных испытаний конечно. Однако Бернулли также намеревался использовать число, выведенное с помощью формулы, в практических целях. Возьмем числовой пример, который Бернулли придумал сам, хотя контекст я изменил. Предположим, 60 % избирателей в Базеле поддерживают мэра. Скольких человек необходимо опросить, чтобы шансы обнаружить, что мэра поддерживают от 58 % до 62 %, равнялись 99,9 %, то есть, чтобы получить результаты с точностью плюс-минус 2 %? (Предположим, оставаясь в согласии с Бернулли, что опрошенные люди выбраны наугад, однако с заменой. Другими словами, возможно, что одного и того же человека вы опросите более одного раза.) Ответ – 25.550, во времена Бернулли почти все население Базеля. Тот факт, что число это невозможно, от Бернулли не ускользнул. Он также знал, что опытные игроки интуитивно угадывают свои шансы на удачу в новой игре, основываясь на выборке, гораздо меньшей, чем тысячи испытаний.

Одна из причин того, почему численная оценка Бернулли была так далека от оптимальной, заключается в следующем: его доказательство было основано на множественных аппроксимациях. Другой причиной было то, что в качестве стандарта достоверности он выбрал 99,9 % – то есть, он предполагал, что получит неверный ответ (ответ, который отличается от верного более чем на 2 %) менее чем в 1 случае из 1000. А это чересчур высокий стандарт. Бернулли назвал его моральной достоверностью, имея в виду степень достоверности, которой, по его мнению, должен обладать человек здравомыслящий, чтобы принять рациональное решение. В наше время мы отказались от понятия моральной достоверности в пользу того, о чем поговорим в последней главе – о статистической значимости – подразумевая, что ваш ответ будет неверным менее чем в 1 случае из 20. Возможно, это скорее к вопросу о том, насколько сильно поменялся мир с тех пор.

Пользуясь современными математическими методами, статистики продемонстрировали, что в опросе, подобном описанному мною, можно получить статистически значимые результаты с точностью плюс-минус 5 %, опросив при этом всего 370 человек. Если же вы опрашиваете 1000, вы выходите на 90 % шанс получить верный результат плюс-минус 2 % (60 % голосование за мэра Базеля). Однако, несмотря на некоторые свои недостатки, «золотая теорема» Бернулли явилась своеобразной точкой отсчета, потому что продемонстрировала, – по крайней мере, в принципе – что достаточно большая выборка почти наверняка отразит неявные настроения населения.

В реальном мире нам нечасто доводится наблюдать чьи-либо действия в количестве тысяч испытаний. Таким образом, если Бернулли требовался чрезмерно высокий стандарт достоверности, в реальных жизненных ситуациях мы часто совершаем ошибку прямо противоположную: предполагаем, что выборка или серия испытаний является репрезентативной, когда на самом деле она слишком малочисленна, чтобы быть надежной. Например, если во времена Бернулли вы опросили бы 5 жителей Базеля, подсчеты по примеру тех, о которых шла речь в главе 4, продемонстрировали бы: шансы того, что вы получите результат 60 % (3 человека) поддержки мэра, равны всего 1 из 3.

Всего 1 из 3? Разве истинное процентное количество сторонников мэра не должно быть наиболее вероятным исходом в случае выборочного опроса голосующих? На самом деле 1 из 3 и есть самый вероятный исход: шансы найти 0, 1, 2, 4 или 5 сторонников ниже, чем шансы найти 3. Тем не менее 3 сторонника едва ли найдутся: существует так много нерепрезентативных возможностей, что их суммированные шансы становятся в два раза больше шансов того, что ваш опрос точно отражает настроение населения. Таким образом, при опросе 5 голосующих в 2 случаях из 3 вы получите «неверное» процентное количество. В действительности, примерно в 1 случае из 10 вы обнаружите, что все голосующие, которых вы опросили, соглашаются либо с тем, что мэр им симпатичен, либо с тем, что он им не симпатичен. Так что если вы отнеслись к выборке из 5 человек серьезно, вы наверняка либо сильно переоценили, либо сильно недооценили истинную популярность мэра у населения.

Превратное представление – или ошибочное интуитивное чутье – относительно того, что небольшая выборка точно отразит неявные вероятности, настолько распространено, что Канеман и Тверский дали ему название: закон малых чисел[109]109
  Amos Tversky and Daniel Kahneman, “Belief in the Law of Small Numbers”, Psychological Bulletin 76, no. 2 (1971): 105–10.


[Закрыть]. На самом деле закон малых чисел – вовсе не закон. Это ироничное название, описывающее ошибочную попытку применить закон больших чисел в том случае, когда на самом деле числа не являются большими.

Если применить не являющийся истинным закон малых чисел только к ситуациям с сосудами, последствия будут невелики, однако, как мы уже говорили, многие события в жизни подпадают под определение процесса Бернулли, так что интуиция часто приводит нас к неправильному истолкованию того, свидетелями чему мы являемся. Вот почему, как я уже писал в главе 1, когда на глазах у людей Шерри Лансинг и Марк Кантон более или менее успешно управляют бизнесом в течение нескольких лет подряд, напрашивается вывод: предшествующий опыт этих управленцев точно предсказывает качество их работы в последующие годы.

Давайте на основе этих идей рассмотрим пример, о котором я коротко упомянул в главе 4: ситуация, в которой две компании или два сотрудника, работающие в одной фирме, соперничают между собой, при этом практически ни в чем не уступая друг другу. Вспомните о генеральных директорах 500 крупнейших мировых компаний, вошедших в рейтинг журнала «Форчун». Предположим, что каждый из генеральных директоров, имея некоторые знания и умения, обладает определенной вероятностью успеха в каждом году (как бы при этом в их компаниях этот успех ни определяли). Простоты ради предположим, что для этих генеральных директоров удачные годы случаются с такой же периодичностью, что и в примерах с белыми голышами и сторонниками мэра: 60 %. (В данном случае чуть большее или чуть меньшее значение числа не оказывает влияния на основную идею.) Означает ли это, что в пределах пятилетнего периода мы можем ожидать от генерального директора успехов в управлении компанией в течение именно трех лет?

Нет. Как показал предыдущий анализ, даже если генеральные директора все поголовно будут обладать стабильным показателем успеха в 60 %, шансы, что в течение заданного пятилетнего периода деятельность конкретного генерального директора отразит это, равны всего 1 к 3! В приложении к 500 компаниям это означало бы, что за последние пять лет около 333 генеральных директоров продемонстрировали уровень деятельности, не отражавший их реальные способности Более того, следует ожидать, что совершенно случайно примерно 1 из 10 генеральных директоров продемонстрирует успех или же неудачу все пять лет подряд. О чем это говорит? Надежнее судить о людях, основываясь на анализе их способностей, нежели на цифровых показателях. Или же, как выразился Бернулли, «не стоит оценивать людские деяния исходя из результатов»[110]110
  Jakob Bernoulli, quoted in L. E. Maistrov, Probability Theory: A Historical Sketch, trans. Samuel Kotz (New York: Academic Press, 1974), p. 68.


[Закрыть].

Чтобы возражать против закона малых чисел, нужно обладать твердым характером. Потому как каждый может откинуться на спинку кресла и тыкать в итоговую строку отчета в качестве доказательства. Реальная же оценка знаний человека и его истинных навыков требует доверия, размышлений, верных суждений и, собственно, мужества. Сидя на собрании среди коллег, вы не можете вот так вот запросто встать и заявить: «Не увольняйте ее. Просто она оказалась не на том конце ряда Бернулли». И вряд ли вы завоюете друзей, если выскажетесь о самодовольном типе, умудрившемся продать «тойот» больше всех за всю историю существования автомобильных дилеров, в том духе, что, мол, «это все случайная флуктуация». Согласитесь, происходит такое нечасто. Успешные годы руководителей приписываются их исключительным способностям, объясняются дальновидностью. Когда же успеха не наблюдается, мы зачастую предполагаем, что неудачи точно отражают ту самую пропорцию, в которой таланты человека и его способности заполняют сосуд.

Еще одно ошибочное понятие, связанное с законом больших чисел, состоит в следующем: событие произойдет с большей или меньшей вероятностью по той причине, что за последнее время оно происходило или не происходило. Представление о том, что шансы на событие с постоянной вероятностью возрастают или снижаются в зависимости от того, имело ли событие место в недавнем прошлом, называется заблуждением игрока. Предположим, Керрич подбрасывает монету, выпадает 44 орла на 100 бросков, но ведь монета не будет стремиться к решкам, чтобы сравнять их с орлами. Вот что лежит в основе таких идей, как «удача отвернулась от нее» и «ему везет». Так не бывает. Если на то пошло, полоса везения долго не продлится, а вот полоса невезения, к сожалению, совсем не означает скорого возвращения удачи. И все же заблуждение игрока затрагивает гораздо больший круг людей, чем может показаться, даже если и не на уровне сознательном, то на подсознательном уж точно. Люди ждут, что неудача сменятся удачей, либо беспокоятся, что за везением обязательно последует невезение.

Помнится, несколько лет назад во время круиза я наблюдал за одним энергичным толстяком, который в поте лица совал и совал доллары в прорезь игрального автомата – машина едва успевала заглатывать банкноты. Его спутник заметил, что я смотрю на толстяка, и произнес всего два слова: «Ему везет». Хотя меня так и подмывало ответить, что вовсе даже ему и не везет, я пошел дальше. Сделав всего несколько шагов, я замер: вдруг замигали лампочки и что-то зазвенело, причем этот звон вовсе не походил на мелодичные трели, которые раздавались из автомата тех двоих. Затем я услышал звук быстро высыпающихся монет, которые, как мне показалось, сыпались не одну минуту – они резво вылетали из игрального автомата. Теперь я знаю, что современные игральные автоматы запрограммированы, выигрыш зависит от генератора случайных чисел, который и по закону, и по своим настройкам действительно должен генерировать, как трубят об этом в рекламе, случайные числа, так что каждый нажим на ручку игрального автомата не зависит от всех предыдущих. И все же… Скажу только, что заблуждение игрока – большая иллюзия.

Рукопись, в которой Бернулли изложил свою «золотую теорему», вдруг обрывается, хотя выше автор и обещает написать приложение, в котором будут примеры юридического и экономического характера. Похоже, «Бернулли вдруг бросил все, когда увидел число 25.550», написал историк статистики Стивен Штиглер[111]111
  Stigler, The History of Statistics, p. 77.


[Закрыть]. На самом же деле рукопись Бернулли уже была в печати, когда в августе 1705 г. он умер «от бруцеллеза», дожив до пятидесяти лет. Издатели обратились к Иоганну Бернулли с просьбой закончить рукопись, но Иоганн сказался занятым. Это может выглядеть странным, однако странностей в семействе Бернулли хватало. Если бы пришлось выбрать из всех когда-либо живших математиков человека самого неприятного, можно было бы смело назвать Иоганна Бернулли. В исторических текстах его неоднократно изображали завистливым, тщеславным, обидчивым, упрямым, раздражительным, хвастливым, нечестным, да к тому же еще и изощренным лжецом. Он многого добился в математике, однако известен также и тем, что выгнал своего сына Даниила из Академии наук, когда тот получил награду, за которую боролся сам. А еще тем, что попытался украсть идеи как своего брата, так и Лейбница, что приписал работу по гидродинамике сына Даниила себе, после чего подделал дату публикации, дабы получилось так, будто его печатный труд вышел раньше.

К тому времени, как его попросили завершить труд умершего брата, он уже некоторое время работал в Базеле, переехав из Гронингенского университета в Нидерландах и занимая место профессора не математики, а древнегреческого. Якобу такие перемены в карьере брата показались подозрительными, особенно потому, что по его представлениям Иоганн древнегреческого не знал. Якоб написал Лейбницу о своих подозрениях: Иоганн якобы приехал в Базель, чтобы занять его, Якоба, место. Так оно и случилось: после смерти брата Иоганн получил его место.

Большую часть своей сознательной жизни Иоганн и Якоб не ладили. В своих математических публикациях и письмах они то и дело обменивались оскорбительными выпадами; по отзывам одного из математиков, их переписка «изобиловала такими выражениями, которыми обычно поносят конокрадов»[112]112
  E. T. Bell, Men of Mathematics (New York: Simon & Schuster, 1937), p. 134.


[Закрыть]. Таким образом, когда возникла необходимость отредактировать рукопись Якоба посмертно, просьба эта спускалась все ниже и ниже по «цепи питания» и дошла до племянника Якоба, Николаса, сына другого брата, которого тоже звали Николасом. Николасу-младшему в то время исполнилось всего восемнадцать, однако он был одним из учеников Якоба. К сожалению, Николас не был уверен, что справится с задачей, возможно, отчасти потому, что знал о несогласии Лейбница с идеями дяди в отношении применения теории. Поэтому рукопись отлеживалась восемь лет. Наконец, в 1713 г. она была опубликована под названием «Ars conjectandi», или «Искусство предположений». Как и «Мысли» Паскаля, она до сих пор переиздается.

Якоб Бернулли продемонстрировал: с помощью математического анализа можно понять, как неявные вероятности, лежащие в основе естественных систем, отражаются в данных, которые эти системы производят. Что же до вопроса, на который Бернулли не ответил – вопроса о том, как выяснить, основываясь на полученных данных, неявные вероятности событий, – то ответ на него будет найден лишь спустя десятилетия.