Текст книги "Математика для мам и пап: Домашка без мучений"

Взгляните, как ребенок может решать пример 749: 7, если учитель предлагает ученикам разобраться в том, как работает деление.

Что здесь происходит? Точно так же, как процесс умножения можно расписать подробнее, в расширенной форме, здесь ребенок использует расширенную форму для выполнения деления. При этом он говорит себе примерно следующее:

• Сколько семерок я могу вложить в 749?

• Ну, 100 семерок – это 700, так что сто штук можно [ребенок записывает × 100 в левой колонке].

• После этого у меня остается 49.

• Я знаю, что семь семерок – 49, так что я могу взять еще семь раз по семь [записывает × 7 в левой колонке].

• Так что получится 107 [складывает 100 + 7].

Этот расширенный метод иногда называют делением «кусками», или методом группировки, и основан он на идее о том, что из делимого последовательно вычитаются большие «куски», или «группы». Такой подход можно использовать и при делении уголком.

Проверьте себя

22. Деление «кусками» 1

Разделите «кусками» 336 на 8 (то есть последовательно отнимая от него «куски», кратные восьми).

В голове ребенка: как они умудрились получить эти верные ответы?

Детей сегодня по-прежнему учат делению уголком, но прежде чем они доберутся до стандартного метода, они, возможно, овладеют приемом, основанном на вычитании, или на делении «кусками». Запись деления в столбик при этом может выглядеть приблизительно так, как в приведенных ниже примерах. Оба ребенка в данном случае сумели получить верный ответ, но сделали это по-разному; тем не менее подход у них в основе своей одинаковый: они задаются вопросом: «Сколько раз могу я вычесть 24 из 756?» Сможете ли вы разобраться, как они получили свои ответы?

А. Ребенок уверенно знает, что десять раз по 24 – это 240, и вычитает именно по 240 (трижды), пока не получает 36. После этого он вычитает 24 еще один раз и получает остаток 12. Ответ здесь 10 + 10 + 10 + 1 = 31 (остаток 12).

Б. Ребенок мысленно прошел этапы «Десять раз по двадцать четыре – 240, 20 раз по 24 – 480, 30 раз по 24 – 720, 40 раз по 24 это явно слишком много, так что я вычту 30 раз по 24, а затем еще один раз 24». Хотя второе решение чуть более эффективно, чем первое, времени на него расходуется не намного меньше.

В обоих случаях метод основан на том, что дети умеют делать хорошо, а не на попытке заучить нужную процедуру на память. В настоящее время метод деления «кусками» теряет популярность, в основном потому, что писать в нем нужно больше, чем при стандартном делении уголком, да и выглядит он более путано. Но важно понимать, что в решении данных примеров, особенно в Б, задействованы в точности те же механизмы, что и в классическом делении уголком.

Сравним процедуру деления 756 на 24 двумя методами.

Выполняя стандартное деление уголком, ребенок, возможно, пользуется сценарием, который начинается так: «24 в 75 укладывается три раза, пишем три сверху, трижды 24 равно 72…» Но на самом деле три здесь представляет 30 («Я могу отнять 30 раз по 24 из 756»). На следующем шаге ребенок отнимает один раз 24 из 36 и пишет эту единицу сверху. Таким образом, классическое деление уголком – это просто более сжатый вариант деления «кусками».

По поводу того, что лучше – деление «кусками» или уголком, – идут жаркие споры, но ирония здесь в том, что ваш ребенок, вероятно, никогда не будет реально пользоваться ни одним из этих методов, как только перешагнет 15-летний рубеж. Но их освоение – не пустая трата времени: это отличная тренировка навыков обращения с числами, особенно предварительной оценки результата деления больших чисел.

Проверьте себя

23. Деление «кусками» 2

Разделите 739 на 22, используя метод группировки (иными словами, последовательно вычитайте из 739 «куски» по 22).

Игра: загадка деления

Задумайте любое число от 100 до 999. Введите это число дважды подряд на калькуляторе (скажем, если вы выбрали число 274, то наберите на калькуляторе 274274). Каковы шансы на то, что введенное вами число делится без остатка на 7? А на 11? А на 13?

В каждом случае разумно, может быть, предположить, что шансы на это весьма малы, – в конце концов, только одно число из каждых семи делится без остатка на семь и только одно из тринадцати – на 13. Тем не менее мы гарантируем, что ваше шестизначное число на калькуляторе делится без остатка не только на семь, но и на 11 – и на 13 тоже!

Откуда мы знаем? Дело в том, что написать число вида abcabc (такое как 274274) – то же самое, что сказать abc × 1001 (в данном случае 274 × 1001). Иными словами, abcabc всегда делится без остатка на 1001. А на что делится без остатка 1001? На 7, 11 и 13 – это его простые множители.

Таким образом, мы можем гарантировать, что вне зависимости от того, какое число вы выберете, – 872872, или 185185, или любую другую подобную комбинацию цифр, – оно обязательно будет делиться на 7, 11 и 13. Так говорит математика.

Проверьте себя

24. Почему эти ответы обязательно неверны?

Как можно понять без вычислений, что эти ответы обязательно неверны?

1) 223: 3 = 71

2) 71,8: 8,1 = 9,12

3) 161,483: 40,32 = 41,3

Что там, за арифметикой?

Доли, проценты и дроби

Родители часто называют дроби одной из наиболее сложных тем в математике, хотя ваш ребенок, вероятно, с самого раннего возраста свободно пользуется простыми дробями и имеет о них вполне адекватное представление. К двум годам дети, как правило, успевают сообразить, что день рождения – это здорово, и знание о том, сколько тебе лет и когда у тебя очередной день рождения, всегда пригодится. Любой ребенок сообщит вам, что ему два с половиной года, и будет интуитивно понимать при этом, что два с половиной – это больше двух, но меньше трех, хотя ему никто и ничего, скорее всего, не рассказывал про дроби.

Но многие взрослые скажут, что изучение дробей отмечает тот момент, когда математика начала по-настоящему раскрываться перед ними и их детьми.

1. Дети считают, что половина всегда больше четверти (так почему же половина от 10 фунтов меньше, чем четверть от 100 фунтов?).

2. Полагают, что если разрезать нечто, скажем, на пять частей, то каждая часть непременно должна составлять одну пятую (даже если кусочки получились разного размера). Для многих детей «половина» – это «одна из двух частей».

3. Уверены, что, к примеру, четверть пирога всегда имеет одну и ту же форму.

4. Не понимают, что «половина», 0,5 и 50 % представляют одну и ту же дробь.

5. Плохо понимают разницу между «седьмым» (скажем, седьмым в ряду) и «седьмой частью» (например, той долей шоколадной плитки, которую вы получите, разделив эту плитку поровну с шестью друзьями).

В математике дробью называется любое число, выраженное как одно число, деленное на другое. Три разделить на четыре – это дробь, но и десять разделить на три тоже дробь. Дроби, записанные в виде одного числа, деленного на другое, называются обыкновенными» дробями. Верхняя часть дроби – числитель, нижняя – знаменатель. Эти два понятия дети вечно путают, поэтому их приходится заново объяснять при каждом использовании («числитель, то есть число над чертой…» или «знаменатель, тот, что снизу…»). Можно, конечно, придумать какое-нибудь мнемоническое правило, к примеру, такое: «В небе Чайка, на земле Змея», – и запоминать эти слова по первым буквам.

Не исключено также, что вы услышите от ребенка о двух типах обыкновенных дробей:

Правильные дроби – дроби, у которых числитель (число наверху) меньше знаменателя (это число внизу), к примеру, или «три седьмых».

Неправильные дроби – те, у которых числитель больше знаменателя, к примеру, или «одиннадцать пятых». (Название обманчиво, поскольку ничего «неправильного» в таких дробях нет.)

Дроби, в которых знаменатель (не забывайте, это число внизу, под чертой) равен десяти, 100 или любой другой степени десяти, известны как десятичные дроби.  – все это десятичные дроби, и гораздо чаще их записывают как 0,1, а также 0,03 и 0,017. Один конкретный тип десятичных дробей носит знакомое в повседневной жизни название – процент. Название «процент» означает всего-навсего «деленный на 100»: 73 процента можно записать как или 0,73, но обычно это число записывают как 73 %. Подробнее о десятичных дробях и процентах можно прочитать ниже в этой главе.

Для полноты картины вашему ребенку расскажут о так называемых смешанных числах, выраженных в виде целого числа, за которым следует дробь. Девочка, которая говорит, что ей четыре с половиной годика использует для обозначения своего возраста смешанное число.

Разделите пиццу на две равные части, и вы получите две половины. Три равные части называются третями, четыре – четвертями и т. д. (Немного напоминает нашу систему счисления: чем дальше, тем проще называть числа:  – это шестая часть, а  – седьмая и т. д.)

Как правило, дети легко понимают и запоминают названия этих частей, но нередко не осознают важность здесь слова «равные». Если разломить печеньку на две части, ребенок, скорее всего, опишет получившиеся кусочки как половинки, даже если они получатся неравными (а они, конечно, получатся, и не забудьте взять себе бо́льшую «половину»). Поэтому вы можете закреплять с детьми правильное значение дробей на наглядных примерах. Разделите пиццу и спросите: «Это половина?» или «А это четверть?», – а проверить, равны ли части, можно наложением их друг на друга.

Хотя со временем все мы привыкаем думать об как о самостоятельном числе, в детстве, когда ребенок начинает знакомиться с дробями, полезно всегда спрашивать: «Половина чего?»

Вообще, осваивать идею дробей и рассказывать о них очень удобно на примере еды. Некоторые уверены, что пиццу изобрели специально как средство визуализации дробей, ведь так естественно делить пиццу на части – на половинки, четверти, шестые доли и т. п. Большую помощь в освоении дробей – причем без всякой предварительной подготовки – могут оказать пачка сосисок или большая плитка шоколада (которую можно ломать на кусочки по «строкам» и «столбцам» и на которой удобно демонстрировать массивы). Вооружившись чем-нибудь съестным, вы сможете устранить многие трудности, которые частенько возникают у детей при изучении дробей.

Один из полезных способов познакомить ребенка с дробями – рассматривать их как результат честного деления чего-то вкусного: «Четверо детей делят поровну восемь сосисок. Сколько сосисок получит каждый из них?» и «Четверо детей делят поровну три пиццы. Сколько кусков пиццы съест каждый из них?»

Логика действий в обоих случаях одинаковая: разделить некоторое число на четыре.

Связь станет прозрачнее, если выразить ответ на первый вопрос в виде дроби:

Детям намного проще рассматривать дроби как результат операции деления. Кроме того, это делает деление самым простым из всех примеров на вычисление:

Чему равно 1234: 14?

Ответ очень прост и равен По существу, ответ заключен в вопросе!

В голове ребенка

Дети часто попадают в затруднительное положение, потому что представляют себе дроби очень конкретно. Можете сказать, почему эти дети допустили указанные ошибки?

Вопрос 1. На рисунке А заштрихованы три четверти. Сколько четвертей заштриховано на рисунке Б?

Вопрос 2. На рисунке A заштрихована одна четверть. Какая часть заштрихована на рисунке Б?

В первом случае ребенок представляет себе четверть как фигуру определенной – в данном случае квадратной – формы, так что поскольку на рисунке А заштрихованы три таких четверти, а на рисунке Б – только одна, ребенок уверен, что на рисунке Б заштрихована только одна четверть.

Отвечая на второй вопрос, ребенок попадает в ловушку: он воспринимает четверть как величину абсолютную, а не относительную. Верный ответ, разумеется, заключается в том, что на рисунке Б заштрихованы два сегмента из восьми, то есть одна четверть.

Короткий совет

Чтобы помочь ребенку освоить дроби, всегда говорите с ним о дробях как о долях чего бы то ни было – о половинке яблока, четверти от 12 конфет, трети стакана сока, – а не о каких-то абстрактных половинках, четвертях или третях. А попутно развивайте в сыне или дочери чувство справедливости: объясняйте, что все дробные доли должны быть одинаковыми по размеру. Бо́льшая половина хороша за чаем, но не на уроке математики.

Угостите двоих детей пиццей, и вы рискуете услышать громкий спор о том, какой кусок пиццы больше и кому он достанется. Классическое решение в подобной ситуации – предложить одному ребенку разрезать пиццу, а второму выбрать себе тот кусок, какой понравится; тогда оба они, по идее, будут уверены, что получили точно по полпиццы. Но что произойдет, если детей будет трое?

Простейшее честное решение (ну, почти честное) таково: первый ребенок отрезает от пиццы то, что он считает одной третьей, и предлагает этот кусок второму ребенку. Второй принимает кусок, если считает, что он составляет по крайней мере треть; в противном случае он разрезает оставшуюся часть пиццы пополам. После этого третий ребенок выбирает себе самый большой, по его мнению, кусок. Далее первый ребенок берет себе кусок, который сам отрезал в самом начале, если его еще не взяли; если этого куска уже нет, он берет себе тот из оставшихся, который кажется ему больше. Второй ребенок получает оставшийся кусок.

Уф… да, не так уж это просто. Но во всяком случае каждый в результате получает кусок, который, по его мнению, равен трети целой пиццы. Хотя есть здесь одна загвоздка, из-за которой все получается не так здорово. Если первый ребенок отрежет кусок, который окажется больше трети и второй ребенок возьмет его себе, то третий будет смотреть на него с завистью, – ведь он тоже взял бы этот кусок, если бы у него была такая возможность.

Простой процесс разрезания пиццы в реальной жизни может оказаться удивительно сложным!

Что больше: Ребенку это далеко не очевидно. Но ответить на этот вопрос будет проще, если думать о дробях как о процессе дележа сосисок между несколькими детьми. Тогда верхнее число (числитель) – количество сосисок, а нижнее (знаменатель) – число детей, между которыми эти сосиски следует разделить.

Вот здесь-то и пригодится детская интуиция. Представьте, что у вас есть пять сосисок, которые вы собираетесь разделить поровну на восемь человек, и вдруг появляется еще один ребенок, так что те же сосиски теперь придется делить уже на девятерых, – больше получит теперь каждый ребенок или меньше? Конечно, меньше. Поэтому меньше, чем Точно так же, если вы отварите еще пару сосисок и разделите их (теперь уже семь штук) между девятью детьми (вместо того чтобы делить пять сосисок между теми же девятью ребятами), то каждый ребенок получит больше. Поэтому больше чем

Такой ход мыслей – подобный рассуждениям, основанным на подсчете сосисок или других блюд, – во многих случаях заметно облегчает сравнение значений дробей.

Проверьте себя

25. «Съедобные» дроби

Можете ли вы определить, используя описанный выше подход, какая дробь в каждой паре больше?

Только тогда, когда и числитель, и знаменатель увеличиваются или уменьшаются одновременно, сравнение дробей становится сложной задачей.

Игра: безумная история с домино

Разложите комплект костяшек домино на столе лицом вниз. Переверните одну костяшку. Решите, какую дробь будут представлять два числа на ней. Кто сможет придумать самую нелепую историю, в которой будет фигурировать данная дробь?

Предположим, вы перевернули костяшку с тремя и пятью точками Это может быть три пятых или пять третьих Предположим, вы договорились считать, что это

«Пять голодных обезьянок нашли три спелых банана. Обезьянки были очень справедливыми, поэтому разделили бананы поровну. Какая часть банана досталось каждой из них?»

«В этом году мне подарили пять пасхальных яиц. Я съел одно, затем второе, затем третье, а затем у меня заболел живот. Какую часть подаренных яиц я съел, прежде чем мне стало плохо?»

Если вы хотите разделить пиццу на троих, то проще всего сделать это разрезав ее на три равные доли.

Но большинство людей делит пиццы совсем не так. Третья часть пиццы слишком велика и часто складывается, когда вы берете ее в руки. Вместо этого мы, повинуясь инстинкту, делим пиццу на шесть частей и раздаем каждому по две. То, что две шестых доли и одна третья – одно и то же, настолько очевидно, что нет, кажется, никакой необходимости даже проговаривать это. Тем не менее этот факт – основа принципа упрощения дробей и сведения их к простейшему виду: Упрощение дробей встречается в математике повсеместно, и владение этим навыком делает очень многие вычисления гораздо проще.

Ключ к упрощению дробей – найти числа, на которые делились бы одновременно и числитель, и знаменатель дроби (наибольший общий делитель). Положим, надо упростить

И числитель, и знаменатель этой дроби делятся на пять. Поэтому  – то же, что

Или можно записать числитель и знаменатель в виде произведения, так что:

При такой записи дроби найти простейший ее вид намного проще; нужно вычеркнуть числа, которые встречаются и в числителе, и в знаменателе (в данном случае вычеркиваем пятерки и получаем

(Если вам не нравится мысль о том, что что-то там зачеркивается, существует и другой способ. 2 × 5: 3 × 5 это то же самое, что что равно При такой записи очевидно, что ничто волшебным образом не пропадает, но расчет сильно упрощается.)

Игра: усложненные дроби

Прежде чем начинать по-настоящему работать с ребенком над упрощением дробей, может быть полезно начать с их усложнения! На помощь снова приходит игра – придумывание все более сложных методов разрезания пиццы: любая может оказаться или  или  или даже Насколько тонкими будут ломтики пиццы? Смысл этого глупого занятия – дать ребенку возможность привыкнуть к идее о том, что разные дроби могут в реальности представлять одну и ту же величину. Это сложная идея. К примеру, наша позиционная система записи чисел означает, что цифры в числах 36 и 12 означают очень разные величины, но те же цифры в дробях означают в точности одно и то же количество. Так что игра, в ходе которой ребенок привыкает к тому, что дроби можно сделать более сложными, но при этом их величина не меняется, помогает подготовить почву для размышлений о том, нельзя ли сложным дробям придать более простой вид.

Проверьте себя

26. Громадная дробь для упрощения

Упростите эту дробь путем вычеркивания чисел над и под чертой:

Некоторые дроби очень трудно сравнивать. Так, при помощи метода деления сосисок невозможно оказалось определить, что больше – В данном случае единственный способ разобраться сводится к использованию метода шоколадки. Представьте, что у вас есть шоколадка, которую вы можете разделить на пять и семь равных частей. Это означает, что число кусочков в шоколадке должно делиться на 5 и на 7. Следовательно, плитка шоколада должна иметь пять «строк» и семь «столбцов», примерно так:

При этом в плитке всего 5 × 7, или 35 кусочков. Теперь несложно разобраться, сколько кусочков составляет Это три пятых, то есть три строки – 21 кусочек.  – это четыре седьмых, четыре столбца, 20 кусочков. Таким образом, больше (чуть-чуть!), чем потому что больше, чем

Метод шоколадки дает возможность создавать дроби с одинаковым знаменателем (так называемым «общим знаменателем»), что позволяет без труда не только сравнивать дроби, но также складывать и вычитать их.

Методом шоколадки можно пользоваться и для сложения дробей. К примеру, чтобы сложить нужно найти общий знаменатель, который в данном случае равен 4 × 5 = 20:

Проверьте себя

27. Считаем дроби методом шоколадки

Есть еще один фактор, который делает дроби сложной для усвоения и понимания темой. Дело в том, что детям приходится иметь с ними дело при решении самых разных задач. Дробь – это не просто часть какого-то одного целого объекта, как в случае с тремя четвертями пиццы.

Ответ может законным образом получиться в следующих ситуациях:

• Четыре голодных ребенка делят поровну три пиццы. Сколько кусков пиццы достанется каждому?

• Какая доля точек на этом рисунке белая?

• Каково соотношение числа черных и белых точек?

• До дома моей бабушки три мили, а до дома дяди – четыре. Какую часть пути до дяди составляет дорога к дому бабушки?

• На каждые четыре мелких рыбешки, которые съедает мама-дельфин, ее детеныш съедает три таких же рыбешки. Какую долю обеда своей матери съедает дельфиненок?

• Салим бросает две десятипенсовые монеты. Какова вероятность того, что у него не выпадут два орла?

• На какую величину указывает стрелка на этой числовой прямой?

Проверьте себя

28. Мудрец и верблюды

Один старик оставил трем своим сыновьям в наследство 17 верблюдов. В завещании он объявил, что половина верблюдов должна достаться старшему сыну, треть – среднему и одна девятая – младшему. Когда сыновья начали делить верблюдов, обнаружилась проблема: 17 не делится нацело ни пополам, ни натрое, ни на девять частей. Чтобы выполнить волю отца, молодые люди уже собирались зарезать часть верблюдов и поделить туши, чего им совсем не хотелось. (Верблюдам, надо сказать, тоже.) О такой беде услышал мудрец. «Не тревожьтесь, – сказал он. – У меня есть верблюд, которого я могу вам одолжить ненадолго. Тогда вы сможете делить не 17, а 18 верблюдов». Сыновья старика обрадовались – ведь теперь они могли поделить верблюдов, не нанося тем вреда. Старший взял свою половину верблюдов (9), средний – свою треть (6), а младший – положенную ему девятую часть (2). Сыновья сосчитали: 9 + 6 + 2 = 17. Один верблюд остался. «Теперь, когда вы поделили верблюдов согласно воле отца, я заберу своего верблюда обратно», – сказал мудрец и удалился, оставив сыновей старика скрести затылки и гадать, как же ему удалось проделать такую штуку. А вы сможете в этом разобраться?