Текст книги "Введение в теорию риска (динамических систем)"

Опасные и безопасные состояния динамической системы. Развитие и деградация

Найдем стационарное решение системы (3.9), когда δ_n и δ_е – постоянные величины. Из уравнений (3.9) при = 0, = 0 следует, что расход всегда будет равняться поступлениям, если имеет место равенство

(1 – у)(1 + р*) = 1.          (3.13)

При этом доля расходов γ удовлетворяет условию

Таким образом, обобщенным параметром, определяющим допустимые расходы, выступает произведение τр. График зависимости (3.14) представлен на рис. 3.15. Если γ принадлежит кривой γ = f(τp), то количество отданного θ равно количеству полученного θ. В случае когда γ не принадлежит кривой, нарушается баланс, и динамическая система либо развивается, либо деградирует. Рассмотрим это на режиме возмущенного движения для процесса δ_e(t), изменение которого задано первым уравнением системы (3.9).

Рис. 3.15

Исключив δ_n(t) из системы (3.9), получим одно дифференциальное уравнение второго порядка относительно δ_e(t):

После того как построен процесс δ_e(t) согласно уравнению (3.15), неизвестный процесс δ_n(t) может быть определен из первого уравнения (3.9). Если коэффициенты уравнения (3.15) постоянны, то, используя известные методы, получим его аналитическое решение. Для этого запишем характеристическое уравнение

τ_Dτ_kλ² + (τ_D + τ_k)λ + [1 – (1 – γ)(1 + p*)] = 0,          (3.16)

решение которого имеет вид

Если равенство (3.13) не выполняется, то в зависимости от величины и знака детерминанта δ корни λ_1,2 будут вещественными или комплексными.

Введем обозначение

При этом

Величина а² всегда положительна. Положительна также и а в силу того, что τ_D > 0, τ_k > 0. Если т_D < 0 и τ_k < 0, то рассматриваются динамические системы не с запаздывающим аргументом, а с опережающим, а это нонсенс.

Величина b может быть как положительной, так и отрицательной. В зависимости от соотношения а² и b дискриминант δ может иметь разный знак.

При этом возможны следующие варианты.

Вариант 1. Случай, когда a² > b, дискриминант Δ > 0, и оба корня A_1,2 вещественные. В этом случае общее решение уравнения (3.15) имеет вид

δ_e(t) = exp(–at){1 / 2· (c₁ + c₂)exp(ct) + 1 / 2 · (c₁ – c₂)exp(–ct)},          (3.18)

где .

Постоянные с₁ и с₂ зависят от начальных данных δ_е0 и и параметров системы следующим образом:

Анализ поведения динамической системы начнем со случая b = 0, соответствующего равновесному состоянию рассматриваемой системы. При этом выполняется условие (3.13) и Δ = a², когда имеет место λ_1,2 = – ± a, т. е. λ₁ = 0, λ₂ = –2a.

Общее решение (3.18) примет вид

δ_e(t) = (c₁ + c₂) / 2 + (c₁ – c₂) / 2 · exp(–2at),

где c₁ = δ_e0, c₂ = / a + δ_e0.

Из последнего равенства следует: равновесное состояние δ_e = (c₁ + c₂) / 2 реализуется при любом значении t, если имеет место равенство c₁ = c₂. Если c₁ ≠ c₂, то в силу того, что a > 0, такое состояние реализуется при больших значениях t, когда

δ_e ≈ (c₁ + c₂) / 2.

При t → +∞ условие δ_e = (c + c₂) / 2 соблюдается независимо от значений c₁ и c₂ (рис. 3.16).

Таким образом, состояние динамической системы, когда δ_e = (c₁ + c₂) / 2, обладает устойчивостью энергетических потоков на входе в динамическую систему и на выходе из нее по отношению к начальным возмущениям. При этом независимо от того, какое из неравенств – δ_e(0) > (c₁ + c₂) / 2 или δ_e(0) < (c₁ + c₂) / 2 – имело место, с увеличением t соотношение (3.18) становится более точным.

Вариант 2. Случай, когда b ≠ 0, а δ > 0, поведение системы отличается от равновесного. Если при этом a > 0 и c = () > 0, то для больших t, согласно (3.18), имеет место приближенная зависимость

δ_e(t) 1 / 2 · (c₁ + c₂)exp{–(a – )t}.

Здесь возможны следующие две ситуации:

1) (a – ) > 0; 2) (a – ) < 0.

Если условие (a – ) > 0 выполняется при b > 0, тогда δ_e(t) уменьшается с увеличением t, что характеризует процесс снижения энергетического потенциала динамической системы (рис. 3.17).

Рис. 3.16

Рис. 3.17

В противном случае, когда b < 0, энергетический потенциал динамической системы с течением времени возрастает.

Отсюда следует, что условие b = 0 при Δ > 0 описывает границу области допустимых состояний Ω_доп (b < 0, Δ > 0) и критических состояний Ω_кр (b > 0, Δ > 0) энергетического потенциала динамической системы.

Вариант 3. Случай, когда Δ < 0, корни характеристического уравнения (3.16) являются комплексными, а общее решение (3.15) записывается в виде

δ_e(t) = hexp(–at)[sin( · t + θ)].          (3.19)

Постоянные h и θ определяются из начальных условий по формулам

Из (3.19) следует, что в начальный момент времени t₀ динамическая система является энергообеспеченной при выполнении неравенства δ_e(0) = (h · sinθ) > 0. Однако наличие этого условия при t > t₀ может нарушаться. Как следует из (3.19), процесс δ_e(t) является колебательным с уменьшением амплитуды во времени (рис. 3.18). Поэтому при t, стремящемся к бесконечности, δ_e(t) стремится к нулю, что указывает на падение энергетического потенциала динамической системы. При этом в силу колебательного характера процесса δ_e(t) для некоторых моментов времени t (j = 1,2…) выполняется условие δ_e(t_j) = 0.

Рис. 3.18

Таким образом, динамическая система обладает допустимым энергетическим потенциалом при любом значении t, если b < 0, поскольку параметры γ и р* таковы, что [(1 – γ)(1 + p*)] > 1 и Δ ≥ 0. В противном случае энергетический потенциал динамической системы со временем падает.

Усложним модель с целью перехода к модели собственно энергии Е(t) динамической системы. Дополнив уравнения (3.3) уравнениями (3.8), получим следующую систему уравнений:

При заданной функции δ⁽¹⁾_e(t) система (3.20), состоящая из двух дифференциальных уравнений, содержит три независимых функции – E(t), δ_n(t), δ_e(t), являясь, таким образом, незамкнутой. Это значит, что можно искать ее решения, в частности, задавая δ_e(t) произвольно. Однако в этом случае исключается возможность анализа процессов управления.

Система (3.20) включает в себя δ⁽¹⁾_e(t), т. е. поток энергии, который реализуется согласно управлению u₁ подсистемы (1) во внешней среде. При максимальном использовании энергетического потенциала δ⁽¹⁾_e(t) включает в себя созданный ранее запас энергии. В случае когда необходимо учесть работу, например, систем контроля эгосферы [26], система (3.20) дополняется энергетическим балансом на уровне чакр. В случае когда необходимо учесть, например, работу информационно-аналитического центра, система (3.20) дополняется уравнениями, описывающими процессы формирования информационных потоков, и ошибками, им свойственными.

Рассмотренные уравнения детализации функционирования, например, эгосферы как динамической системы позволяют рассматривать проблему прогнозирования выхода энергетическо-информационного потенциала эгосферы в критическую область, при необходимости можно организовать контроль и управление такими процессами с целью предотвращения, например, такой критической ситуации, как кома.

Рассчитав E(t), согласно (3.20), мы получаем потенциальную энергию динамической системы, которая в совокупности с кинетической энергией представляет собой суммарную энергию, т. е. E_Σ = E_n(t) + E_к(t). Все это позволяет анализировать обобщенную энергию для исследования, например, автономных систем и исследовать более глубокие свойства динамической системы, чем те, которые получены из условия учета только механических сил, порожденных динамической системой и средой в процессе их взаимодействия без учета внутренних полей и процессов.

3.4.3. Математическая модель анализа опасных значений потенциала интеллектуально-энергетической системы

Выше мы рассматривали потоки энергии, здесь мы рассмотрим информацию.

Процесс производства информации динамической системой включает получение информации из среды, обработку на уровне интеллектуальной системы 1, 2, 4 и накопление ее в памяти. Получаемый поток информации обозначим i_n. Одновременно с накоплением информации из потока i_n происходит «стирание» части созданного потока в силу процессов, происходящих в интеллектуальной системе. Этот процесс обозначим i_р.

Примем в качестве аксиомы: для устойчивой динамической системы, как правило, имеет место увеличение объема информации во времени в каждой из подсистем: 1, 2, 4.

Обозначим количество информации, которым обладает интеллектуальная система, включающая подсистемы 1, 2, 4, через J. Эта величина не нулевая, т. е. J ≠ 0. Кроме того, из самого определения информации следует, что J ≥ 0. Она в любой рассматриваемый момент времени t не может быть меньше J_доп, т. е. J ≥ J_доп. Когда J < J_доп, динамическая система лишена возможности самообеспечения.

Рассмотрим качественную модель. Динамическая система в процессе функционирования формирует свою память путем накопления информации. Обозначим ее J_n(t). Процесс наполнения системы информацией включает в себя информационные потоки:

– возникшие путем синтеза и анализа поступившей информации из внешней среды i₁(t) (так, например, осуществляемых интеллектуальной системой);

– в процессе обучения i₂(t).

Два потока i₁(t), i₂(t) в совокупности представляют поток информации i_n(t) = i₁(t) + i₂(t), поступающий в память динамической системы, где формируется J_n.

Процессу накопления противостоят следующие процессы:

– старение информации i₃(t), так, например, в связи с невозможностью использовать имеющуюся (созданную) информацию для организации новых процессов среды, которые заменены на новые;

– одноразового применения полученной информации i₄(t), так, например, когда создан объект;

– стирается информация i₅(t) из-за невостребованности долгое время.

Потоки, уменьшающие количество информации, накопленной ранее интеллектуальной системой в памяти, обозначим:

i_p(t) = i₃(t) + i₄(t) + i₅(t).

При этом, если i_n > i_р (рис. 3.19), идет процесс накопления информации в памяти динамической системы J_n. В силу того, что i_n и i_р зависят от качества и скорости, работы интеллектуальной системы, мы рассматриваем не чисто информационные потоки, а информационно-интеллектуальные. Предположим, что количество информации J_n, содержащейся в памяти динамической системы, есть дифференцируемая функция времени, тогда поток накопления информации удовлетворяет уравнению вида:

Рис. 3.19

Здесь J_доп – «гарантийный» запас информации, ниже которого динамической системе нельзя опускаться, так как наступает деградация системы и она не способна реализовывать процессы целеполагания (что делать), целедостижения (как делать), целереализации (делать), целеконтроля; J_n0 – количество информации, содержащейся в памяти, в начале функционирования динамической системы.

При этом

i_n(t) = i₁(t) + i₂(t);

                                       (3.22)

i_p(t) = i₃(t) + i₄(t) + i₅(t).

Приобретенный или созданный поток информации, полученный в процессе деятельности, например в процессе выполнения научных, опытно-конструкторских работ, представим в виде

i_n(t) = i_n(t – τ)[1 + τH(t – τ)],          (3.23)

где i_n(t – τ) – поток информации, созданный (приобретенный) в момент времени (t – τ); τ представляет собой время, выделенное средой для выполнения, например, научной работы (оплачиваемой); H(t – x) – информационная производительность динамической системы в единицу времени, которая формируется согласно ситуации, созданной средой или самой системой.

Введем обобщенный информационно-энергетический вектор x = (Е₁, Е₂, Е₃, Е₄, J₁, J₂, J₃, J₄). В этом случае система (3.21)–(3.23) запишется в виде

где х_д – «гарантийный» энергетический и информационный запас динамической системы, т. е. информационно-энергетический потенциал, ниже которого ей нельзя опускаться, так как наступит период ее инволюции; x(t₀) = x₀ – количество энергетики и информации, имеющейся у динамической системы в начальный момент времени; х_n(t), x_p(t) – энергетические и информационные потоки, получаемые (на входе) и отдаваемые динамической системой в процессе функционирования.

Как и ранее, запишем поток расходов:

x_p(t) = x_p1(t) + x_p2(t),          (3.25)

где x_p2(t) = x₁ + x₂ + x₄, x_p1(t) – информационно-энергетический поток, направленный во внешнюю среду; х₁, х₂, х₄ – потоки для осуществления информационно-аналитической деятельности, функционирования подсистем 1, 2, 4.

Поток поступлений в распоряжение динамической системы как для потребления подсистемами, так и для организации среды функционирования динамической системы представим в виде

где τ – время в днях, через которое динамическую систему ожидает возврат вложенного информационно-энергетического потенциала; x_p(t – τ) – вложенный информационно-энергетический потенциал в биосферу и социосферу; p(t – τ) – увеличение, так, например, в процентах, информационно-энергетического потенциала, ожидаемого динамической системой.

Упрощенная модель информационно-энергетических потоков

Введем ряд упрощающих предположений в системе (3.24)–(3.26), которые позволят получить аналитическое решение задачи, т. е. вычислить x(t). Примем, что поток расходов x_p(t) пропорционален количеству энергии и информации x(t) в момент времени t, т. е.

x(t) = τ_dx_p,

где τ_d – коэффициент пропорциональности. При постоянном τ_d это условие равносильно следующему:

Тогда первое уравнение в системе (3.24) запишется в виде

где x_p(t₀) = x_p0, x_p0 = x₀/τ_d, x_p0 – начальное значение x_p при t = t₀. Здесь τ_d является инерционным (временным) запаздыванием потока х_р по отношению к х_n. Введение инерционного запаздывания τ_d является параметризацией процесса, при которой довольно сложная зависимость требует определения одного параметра τ_d и сводит нелинейное относительно х(t) (в общем случае) уравнение системы (3.24) к линейному. Если есть необходимость учесть изменение свойств динамической системы, то для этого необходимо представить коэффициент τ_d в виде функции времени, что обусловит усложнение решения задачи. Для установившегося процесса х_р величина τ_d является постоянной, характеризующей данную динамическую систему и среду, в которой она существует.

Чистое запаздывание аргумента τ в уравнении (3.26) также затрудняет анализ процесса. Заменим его приближенно инерционным запаздыванием. Для этого выражение (3.26) запишем в виде

x_n(t) = x_р(t – τ)[1 + H(t – T)],

где .

Введем обозначение s = t – τ. В результате получим

x_n(s + τ) = x_р(s)[1 + H(s)].

Разложив x_n(s + τ) по степеням τ и удержав члены только до первого порядка включительно, будем иметь

Подставим это выражение в равенство (3.27) и в силу произвольности s заменим его в полученном выражении на символ t. В результате получим

где х_n0 – начальное значение потока х_n(t). Величина х_р2, согласно равенству (3.25), состоит из ряда слагаемых, которые представим в виде

х₁ = γ₁х_р, х₂ = γ₂х_р, х₃ = γ₃х_р,

где γ₁, γ₂, γ₃ – коэффициенты, определяющие доли, которые составляют от потока x_p потоки x₁, x₂, x₃ соответственно. При этом

х_р2(t) = γх_р,

где γ = γ₁ + γ₂ + γ₃.

Часть х_p, равная х_p = (1 – γ)х_р, идет во внешнюю среду. При этом неравенство х_р1 > 0 означает, что справедливо неравенство (1 – γ)х_р > 0, из которого следует х_р > 0, что обеспечивает развитие динамической системы.

С учетом принятых допущений, система (3.24)–(3.28) принимает вид

Получена система, которая аналогична (3.9). Метод анализа области устойчивости такой системы приведен в предыдущем разделе и здесь не рассматривается.

3.5. Интеллектуально-энергетические системы. Введение в анализ допустимых состояний

Любая динамическая система включает в себя систему управления эффективностью, направленную на достижение цели, а также систему управления рисками, направленную на обеспечение безопасности динамической системы. Система, в которой отсутствует одна из указанных систем управления, самоуничтожается.

В основу исследования безопасности положен алгоритм построения систем управления динамическими системами, который реализуется на двух уровнях.

На первом уровне система управления формируется на качественном уровне посредством структурно-функционального синтеза, реализованного интеллектуальной системой специалистов-профессионалов из соответствующих подсистем динамической системы. Когда получены результаты первого уровня и осознаны структурно-функциональные особенности, целесообразно переходить ко второму уровню. На втором уровне осуществляются процессы структурно-функционального анализа с использованием средств математического моделирования, включающие:

– анализ функциональных свойств;

– анализ подсистем контроля динамической системы;

– анализ подсистем управления динамической системы;

– анализ структурно-функциональной устойчивости; области допустимых состояний;

– анализ структурно-функциональных рисков и безопасности динамической системы.

Внешняя среда, например создатели динамической системы, формирует требования к системе в виде некоторой цели Ц_n, исходя из своих потребностей.

Созданная динамическая система может реализовать цель Ц_в согласно своим возможностям, которая может быть меньше Ц_n, т. е. |Ц_n – Ц_в| < δЦ.

Пусть цель динамической системы состоит в создании потенциала θ, которой в общем случае включает, например, две компоненты θ = (х, у), где х – энергетический потенциал; у – интеллектуальный потенциал.

Динамическая система под действием внешних W и внутренних V факторов риска в процессе функционирования несет потери , , в результате динамическая система реализует не цель Ц_в, а фактическую цель, т. е. Ц_ф = Ц(W, V…).

Величины , потерь динамической системы, как правило, нормируются некоторыми нормативными величинами , . При этом возможна следующая задача: обеспечить максимум показателей эффективности (x, y), обусловленных работой системы управления эффективностью при минимуме потерь (, ), обусловленных работой системы управления рисками.

Структурно-функциональные свойства системы управления рисками формируются согласно целевому назначению динамической системы. Необходимость системы управления рисками обусловлена присущей динамической системе областью опасных состояний. Последнее обусловлено влиянием изменчивости потенциала θ – базовой основой движения динамической системы, который она создает.

Система управления рисками включает:

– вычислитель критической Ω_кр и допустимой Ω_доп областей состояния процессов θ(t), подлежащих контролю и ограничению, которые характеризуют потери потенциала θ;

– средства контроля (измерения) процесса θ(t);

– средства управления для предотвращения выхода θ(t) в Ω_кр;

– вычислитель допустимой Ω^(к)_доп(δθ) области х(t) с учетом погрешностей δх системы контроля (измерения), когда Ω^(к)_доп Ω_доп, т. е. область допустимых значений х на выходе системы контроля (измерения) уменьшается.

3.5.1. Функциональные возможности подсистем. Опасные состояния системы

Рассмотрим структуру интеллектуально-энергетической динамической системы (см. рис. 3.20), включающей в себя подсистемы:

– целеполагания (подсистема 1);

– целедостижения (подсистема 2);

– целереализации (подсистема 3);

– контроля целереализации (подсистема 4).

Процессы функционирования динамической системы на макроуровне в схематичном изложении протекают следующим образом.

Рис. 3.20

На рис. 3.20 обозначено: J_ij, E_ij – информация, энергия, поступающие от i-й подсистемы к j-й подсистеме.

Подсистема 1 формирует цель, откладывает в память, а также передает ее в подсистему 2. Подсистема 2 формирует методы и средства достижения цели, откладывает в память и передает в подсистему 3. Подсистема 3 реализует цель – создает, например, духовные и материальные ресурсы, которые накапливаются в системе, часть их передается в среду, а информация о состоянии цели передается в подсистему 4. Подсистема 4 производит оценку достигнутого, т. е. состояния заданной цели, и формирует вывод: продолжать или прекратить достижение данной цели, и передает эту оценку в подсистему 1. Подсистема 1 при необходимости корректирует цель, подсистема 2 изменяет методы и средства, подсистема 3 изменяет практические методы исполнителей.

На рис. 3.20 использованы следующие обозначения:

J₁ – информационная среда, создающая принципы и законы формирования структуры организации и ее подсистем, формирующие цель;

J₂, J₃ – информация, созданная в подсистемах (2) и (3);

J₄ = J₄(E₃) – информация, направленная на оценку достижения заданной цели;

Е₁, Е₄ – энергия подсистем (1) и (4), полученная для своего функционирования;

Е₂ = Е₂(J_1,2, E_3,2) – энергия системы, направленная на создание подсистем с соответствующими программами, которые вырабатывают необходимые функциональные свойства для выполнения заданной цели;

Е₃ = Е₃(Е₂, J_1,2, J_2,3) – энергия, созданная подсистемой, необходимая для реализации заданной цели;

R_ij – внутренние возмущающие факторы, включающие в себя факторы риска ;

R_вх – внешние возмущающие факторы, в том числе факторы риска;

е_вх, е_вых – энергетическо-информационные потоки на входе и выходе иерархии, созданные внешней средой и динамической системой соответственно.

Каждая подсистема системы и все подсистемы наделены внешним и внутренним контролем и управлением, в том числе способностью к взаимному обмену информационно-энергетическим потенциалом. В процессе такого взаимного обмена создаются:

в подсистеме 1 – стратегические свойства;

в подсистеме 2 – тактические свойства;

в подсистеме 3 – оперативные свойства;

в подсистеме 4 – способность формировать Ω_доп в целом всей системы и отдельных подсистем Ω⁽ⁱ⁾_доп в силу их свойств.

Погрешности функционирования δx_i , где х_i – функциональные свойства подсистемы (i) динамической системы, каждой из подсистем динамической системы позволяют вводить понятие точности контроля и управления. Что касается надежности, то ее имеет смысл трактовать как выход любой из подсистем в область Ω_кр, т. е. как отказ подсистемы динамической системы. Так, в период деструктуризации (потери устойчивости) подсистемы динамической системы существуют, но не функционируют как необходимо. Таким образом, состояние системы в Ω_доп характеризуется погрешностями управления δU = δU(δx), которым соответствуют отклонения δх(δU) и δу(δU), обусловливающие потери. Выход (х, у) в Ω_кр обусловливает критические состояния, риски.

В силу воздействия указанных фактов функциональные свойства подсистем по сравнению с расчетными (безошибочными) изменяются, обусловливая ошибки функционирования и соответствующие потери. Для предотвращения событий (х, у) Ω_кр подсистемы формируют необходимые управления, где (x, y) = θ; x – энергия, y – интеллект.

Подсистема 1 формирует управление перспективным развитием системы в целом с учетом анализа отклонений потенциала θ от нормы на величину (δх, δу), используя нормативные риски, закладывая основы желаемой или расчетной цели.

В подсистеме 2 осуществляется анализ возможностей реализации цели от подсистемы 1 на уровне целедостижения для перспективного состояния системы, т. е. возможности системы.

В подсистеме 3 имеют место контроль и управление тем, что есть сегодня, и констатация достигнутых или фактических значений (х, у), а также потерь (, ).

В подсистеме 4, реализующей контроль (х, у), (, ) и сравнивающей их с (х, у)_доп, (, )_доп, формируется информация о выполнении нормативных величин рисков и эффективности.

При этом:

– первая подсистема осуществляет синтез моделей, позволяющих ликвидировать отличие фактических и нормативных рисков на качественном уровне, устраняя различия между желаемым и возможным;

– вторая подсистема реализует анализ решений первой подсистемы и разработку методов и средств ликвидации причин отличия фактических и нормативных рисков;

– третья подсистема реализует методы и средства, созданные второй с целью компенсации эксплуатационных потерь динамической системы.

В качестве примера рассмотрим социально-экономическую систему. При этом будем полагать, что социальная система формирует интеллектуальный потенциал у, а экономическая формирует материальный потенциал х. В итоге социально-экономическая система, согласно ее функциональным свойствам, относится к интеллектуально-энергетическим системам, формирующим потенциал = (x, y). Как и ранее, введем потерянную величину потенциала θ = (, ) по причине воздействия внешних W(t) и внутренних V(t) факторов риска. Отклонение θ на величину может приводить к выходу θ в область критических значений.

Основная задача анализа риска – рассчитать (оценить): кто, где и какие ошибки создает, какие потери в системе соответствуют этим ошибкам? Анализ характеристик риска будем осуществлять в рамках двух взаимно дополняющих друг друга видов: качественного и количественного. Качественный анализ может быть сравнительно простым, его главная задача – определить факторы, порождающие риск по этапам и работам, при выполнении которых возникает риск. Количественный анализ риска сводится к численному расчету размеров риска отдельных подсистем, отдельных индикаторов состояния системы и риска системы в целом.

В качестве примера на рис. 3.21 приведена схема формирования внешних W и внутренних V факторов риска авиационной системы страны [30, 31].

Рис. 3.21

Для каждого уровня иерархии динамических систем необходимо разрабатывать показатели риска и безопасности согласно ее функциональным назначениям. Так, для подсистемы 1 необходимы интегральные показатели в целом по системе. Здесь решаются проблемы целеполагания, исходя из возможностей, представленных динамической системой. Здесь необходим анализ потребностей и возможностей. Потребности формируют показатели риска и безопасности системы. При этом необходимо решать, куда вкладывать ресурсы θ: в саму систему (кадровый состав – θ₁), в разработку новых систем и объектов (θ₂), в совершенствование технико-технологических процессов (θ₃). Первоочередная задача подсистемы 1 – совершенствование динамической системы, обеспечение ее устойчивого функционирования и предотвращения критических (устойчивые и неустойчивые) состояний.

Будем исходить из понятия цели функционирования динамической системы, заключающейся в обеспечении допустимых значений вектора х* = (х, у), которые получены, например, по международным нормам в виде допустимых значений x*_доп для авиационной системы. Все значения х*_доп образуют область допустимых значений Ω_доп, т. е. х* Ω_доп. Все значения х*, не принадлежащие Ω_доп, будем называть критическими и обозначать х*_кр. Совокупность х*_кр образует критическую область Ω_кр значений х*.

Модели событий, сопутствующие различным возможным ситуациям при функционировании системы, разделим по уровням наших знаний о величинах х, у.

Уровень I. Этот уровень назовем идеальным. При этом будем полагать, что:

1) зависимость между х и у не имеет место;

2) х и у нам известны без погрешностей;

3) значения х_доп и у_доп формируются без погрешностей, когда потребности и возможности динамической системы совпадают.

На этом уровне мы будем наблюдать следующие события:

A = {x Ω⁽¹⁾_доп}; B = {x Ω⁽¹⁾_доп};

C = {у Ω⁽²⁾_доп}; D = {у Ω⁽²⁾_доп}.

Здесь Ω⁽¹⁾_доп, Ω⁽²⁾_доп – области, представленные в виде множества допустимых значений х, у. Отметим, что несовпадение потребностей и возможностей приводит к погрешностям в построении Ω_доп.

Уровень II. При формировании модели мы полагаем, что потребности, например, от социальной системы х_n и экономической у_n в виде (х_n, у_n) формируются со случайными погрешностями при учете возможностей общества как системы (х_в, у_в). При этом имеют место следующие ситуации:

– когда x_n ≠ x_в:

A₁ = {x_n Ω⁽¹⁾_доп; x_в Ω⁽¹⁾_доп};

B₁ = {x_n Ω⁽¹⁾_доп; x_в Ω⁽¹⁾_доп};

C₁ = {x_n Ω⁽¹⁾_доп; x_в Ω⁽¹⁾_доп};

D₁ = {x_n Ω⁽¹⁾_доп; x_в Ω⁽¹⁾_доп};

– когда y_n ≠ y_в, x_n = x_в:

A₂ = {y_n Ω⁽²⁾_доп; y_в Ω⁽²⁾_доп};

B₂ = {y_n Ω⁽²⁾_доп; y_в Ω⁽²⁾_доп};

C₂ = {y_n Ω⁽²⁾_доп; y_в Ω⁽²⁾_доп};

D₂ = {x_n Ω⁽²⁾_доп; x_в Ω⁽²⁾_доп};

Приведенные модели описывают события на уровне назначения нормативных величин для х, у, допускаемых на этом уровне погрешностей, которые обусловливают соответствующие потери и соответствующие им риски.

Уровень III. Будем рассматривать ситуации, когда имеют место созданные динамической системой процессы x, y, а именно их фактические значения x_ф, у_ф, которые отличаются от нормативных на величины Δx и Δу. Последние в общем случае зависят от V(t), W(t), представляющих собой случайные процессы. По этой причине Δx и Δу относятся к классу случайных процессов.

Возможны следующие ситуации, когда рассматриваются односторонние ограничения сверху:

x_ф < x_доп; x_ф > x_доп; y_ф > y_доп; y_ф < y_доп,

которым соответствуют различные события:

A₃ = {x_ф < x_доп; y_ф < y_доп};

B₃ = {x_ф < x_доп; y_ф > y_доп};

C₃ = {x_ф > x_доп; y_ф < y_доп};

D₃ = {x_ф > x_доп; y_ф > y_доп}.

Событие А₃ характеризует безопасное состояние системы согласно существующим нормам.

Событие В₃ характеризует такое состояние системы, когда х_ф не превышают допустимой величины, а у_ф превышают.

Событие С₃ характеризует такое состояние системы, когда потери превышают допустимую величину, а потери не превышают.

Событие D₃ характеризует катастрофическое состояние, когда система по всем параметрам находится в критической области.

В случае когда наступает событие С₃, подсистема 1 (целеполагания) трансформирует исходно сформулированную цель, направляя необходимый (дополнительный) потенциал на повышение безопасности функционирования динамической системы. Если задача ставится на уровне констатации фактов наличия ситуации (В₃, С₃, D₃), то достаточно статистического материала. В случае когда необходимы знания об истоках событий (В₃, С₃, D₃), для определения объема и целенаправленного вложения нового потенциала разрабатываются статистические модели, в которых рассматриваются факторы риска как внутренние V(t), так и внешние W(t). При этом получим: х_ф = х_ф(W, V, t); у_ф = у_ф(W, V, t);

В случае когда измерение значений х и у происходит с погрешностями, ситуация изменяется, и ее анализ требует отличных от (A_i, B_i, C_i, D_i) соотношений и соответствующих моделей. В данной модели расчета нам необходима модель подсистемы контроля (4), позволяющая описать, например, в вероятностном пространстве случайные погрешности измерения (контроля) как самой контролируемой величины, так и ее допустимых (критических) значений.

Рассмотрим качественную модель с учетом работы системы контроля, которая обладает погрешностями δx, δy, например, на этапе целереализации и целедостижения. При этом δх, δу возникают по различным причинам. Погрешности контроля и управления в сильной мере сказываются на безопасности динамической системы. Роль и суть их рассмотрим на простейшем примере.

Пусть рассматривается индикатор состояния х, максимальное критическое значение x_кр которого нам известно. Это значит, что при всех x < x_кр по данному индикатору система находится в области безопасного состояния. Согласно существующим правилам, когда отсутствуют погрешности измерения, мы осуществляем измерение х и сравнение x_кр и x_изм. Как только x_изм = x_кр, формируется управление u(t), направленное на изменение x(t) (на его уменьшение). Если такое управление может быть сформировано и реализовано, мы достигли цели, обеспечив безопасное состояние системы.