Текст книги "Учение о бытии"

Поэтому и тезис, и антитезис, и доказательства их представляют собою не что иное, как противоположные утверждения с одной стороны того, что есть граница, а с другой – что эта граница вместе с тем снята; что граница имеет потусторонность, с которою она однако находится в отношении, чрез которое она переступает за себя, причем вновь возникает такая граница, которая не есть граница.

Разрешение этих противоречий, как и предыдущих, носит характер трансцендентальный, т. е. оно состоит в признании идеальности пространства и времени, как форм воззрения, в том смысле, что мир в себе самом не поражен противоречием, не есть нечто снимающее себя, но что лишь сознание в своем воззрении и в отношении воззрения к рассудку и разуму есть самопротиворечивая сущность. Представляется слишком большою нежностью относительно мира – удалять из него противоречие, помещая последнее, напротив, в дух, в разум и оставляя его там неразрешенным. Действительно дух имеет силу выносить противоречие, но он имеет также силу, способную его разрешать. А так называемый мир (т. е. объективный, реальный мир, или по учению трансцендентального идеализма, субъективное воззрение или определяемая категориями рассудка чувственность), будучи не лишен противоречия, не в состоянии выносить его и потому предан происхождению и уничтожению.

1. Бесконечное определенное количество, как бесконечно большое или бесконечно малое, есть само по себе бесконечный прогресс; оно есть определенное количество, как большое или малое, и вместе небытие определенного количества. Бесконечно большое и бесконечно малое суть поэтому образы представления, которые при ближайшем рассмотрении оказываются ничтожными туманами и тенями. Но бесконечному прогрессу это противоречие явно присуще, и потому оно есть самая природа определенного количества, которое достигло своей реальности, как интенсивная величина, и теперь положено в своем существовании соответственно своему понятию. Это тожество и подлежит рассмотрению.

Определенное количество, как степень, просто относится к себе и определяется в себе самом. Поскольку вследствие этой простоты снимаются инобытие и определенность в нем, последняя для него внешня, оно имеет свою определенность вне себя. Это его бытие вне себя есть прежде всего отвлеченное небытие количества вообще, ложная бесконечность. Но далее это небытие есть также величина, определенное количество продолжается в своем небытии, так как оно имеет свою определенность именно в своей внешности; эта его внешность есть поэтому сама также определенное количество; таким образом его небытие, бесконечность, ограничено, т. е. эта потусторонность снимается, она сама определяется, как определенное количество, которое тем самым в своем отрицании остается при себе самом.

Но это и есть то же, что определенное количество, как таковое, в себе. Ибо оно есть именно оно само чрез свое бытие вне себя; чрез внешность количество есть определение при себе самом. Таким образом понятие определенного количества положено в бесконечном прогрессе.

Если мы возьмем это понятие в его отвлеченных определениях, как они нам предлежат, то в нем окажется снятие определенного количества, но также снятие и его потусторонности, следовательно как отрицание определенного количества, так и отрицание этого отрицания. Его истина есть единство того и другого, в котором они заключаются, но как моменты. Оно есть разрешение противоречия, выражением которого служит это понятие, и его ближайший смысл состоит тем самым в восстановлении понятия величины, как безразличной или внешней границы. В бесконечном процессе, как таковом, должна совершаться рефлексия лишь в том смысле, что каждое определенное количество, как бы оно ни было велико или мало, должно исчезать, что должно перейти за его границу, но не в том смысле, что это его снятие, потусторонность, ложное бесконечное, также исчезает.

Уже первое снятие, отрицание качества вообще, через которое полагается количество, есть в себе снятие отрицания, – определенное количество есть снятая качественная граница, стало быть, снятое отрицание – но оно есть таковое лишь в себе; положено же оно, как существование, и тем самым его отрицание фиксировано, как бесконечность, как потусторонность определенного количества, которое остается по сю сторону, как непосредственное; таким образом бесконечное определяется, лишь как первое отрицание, и таким является оно в бесконечном прогрессе. Но было показано, что в последнем содержится более, именно отрицание отрицания или то, чтó бесконечное есть по истине. Ранее это было понято так, что понятие определенного количества тем самым снова восстановляется; это восстановление означает прежде всего, что существование определенного количества получило свое ближайшее определение; а именно возникло количество, определенное соответственно своему понятию, отличное от непосредственного определенного количества, внешность оказывается теперь противоположностью себе самой, положенною, как момент самой величины, – определенное количество как такое, что оно через свое небытие, бесконечность, имеет свою определенность в другом определенном количестве, т. е. есть качественно то, что оно есть. Но это сравнение понятия определенного количества с его существованием принадлежит более нашей рефлексии, тому отношению, которое здесь еще не дано. Ближайшее определение состоит в том, что определенное количество возвращается в качество, становится теперь качественно определенным. Ибо его особенность, его качество есть внешность, безразличие определенности; и оно положено теперь так, как оно собственно есть само в своей внешности, в которой оно относится к самому себе, в простом единстве с собою, т. е. определенное качественно. Это качественное определяется еще ближе, именно, как бытие для себя; ибо отношение к себе самому, к которому оно пришло, возникло из опосредования, из отрицания отрицания. Определенное количество имеет бесконечность, бытие для себя уже не вне себя, а в себе самом.

Бесконечное, которое в бесконечном прогрессе имеет лишь пустое значение некоторого небытия, недостигнутого, но лишь искомого потустороннего, есть в действительности не что иное, как качество. Определенное количество, как безразличная граница, переходит за себя в бесконечность; оно стремится тем самым не к чему иному, как к определенности быть для себя, к качественному моменту, который есть таким образом лишь долженствование. Его безразличие относительно границы, соединенное с отсутствием в нем сущей для себя определенности и его выходом за себя самого, есть то, что делает определенное количество определенным количеством; этот его выход должен подвергнуться отрицанию и найти свою абсолютную определенность в бесконечном.

Вообще: определенное количество есть снятое качество; но количество бесконечно, оно выходит за себя, есть отрицание себя; этот его выход есть следовательно в себе отрицание отрицаемого качества, восстановление последнего; и тем самым положено, что внешность, являющаяся, как потусторонность, определяется, как собственный момент определенного количества.

Определенное количество тем самым полагается, как отталкиваемое от себя, вследствие чего возникают два определенных количества, которые однако снимаются, составляют лишь моменты одного единства, и это единство есть определенность определенного количества. Таким образом оно в своей внешности, как безразличная граница, отнесенное к себе и следовательно положенное качественно, есть количественное отношение. В отношении определенное количество внешне, отличается от себя самого; эта его внешность есть отношение одного определенного количества к другому определенному количеству, причем каждое имеет значение лишь в этом своем отношении к своему другому; и это отношение составляет определенность определенного количества, которое, как таковое, есть единство. Это отношение есть тем самым не безразличное, но качественное определение; оно в этой своей внешности возвращается к себе, есть в ней то, что оно есть.

Математическое бесконечное представляет интерес отчасти вследствие произведенного им расширения математики и великих результатов, которые были достигнуты последнею вследствие его введения в нее; отчасти же оно достойно замечания потому, что этой науке еще не удалось оправдать его употребления посредством понятия (понятия в собственном значении этого слова). Его оправдания сводятся в конце концов на правильность результатов, достигаемых при помощи этого определения, результатов, доказываемых из чуждых ему оснований, а не к установлению ясного понятия о предмете и о приеме, посредством которого достигаются эти результаты, так что даже самый прием признается неправильным.

Это само по себе есть недостаток; такой образ действия ненаучен. Но он приводит также к тому вредному последствию, что математика, поскольку она не знает природы этого своего орудия, не может определить объема своего приложения и предохранить от злоупотреблений последним.

В философском же отношении математическое бесконечное важно тем, что в основе его действительно лежит понятие истинной бесконечности, и что поэтому оно стоит много выше, чем обыкновенно так называемое метафизическое бесконечное, которое предъявляет возражение против первого. Против этих возражений наука математики часто избавляется лишь тем, что она отрицает компетентность метафизики, полагая, что математике нет дела до этой науки, и что она (математика) может не заботиться о понятиях метафизики, если только первая остается последовательною на своей собственной почве. Математика должна рассматривать не то, что истинно по себе, а то, что истинно в ее области. Метафизика не может отрицать или опровергнуть блестящих результатов употребления математического бесконечного при всех своих возражениях против него, математика же не в состоянии сладить с собственными понятиями метафизики, а следовательно, и с объяснением того образа действий, который делает необходимым употребление бесконечного.

Если бы затруднение, тяготящее математику, было только затруднением понятия вообще, то это затруднение могло бы быть спокойно оставлено в стороне, так как понятие есть нечто большее, чем начертание его существенных определенностей, т. е. рассудочных определений некоторой вещи, а в строгости этих определенностей математика не имеет нужды; ибо она не есть такая наука, которая имеет дело с понятиями своих предметов и образует их содержание через развитие понятия хотя бы путем рассудка. Но в методе ее бесконечности главное противоречие оказывается именно в том своеобразном методе, на котором она основывается вообще, как наука. Ибо исчисление бесконечных позволяет себе и требует способов действия, которые при действиях над конечными величинами математика должна совершенно отвергать, а вместе с тем она обращается со своими бесконечными величинами, как с конечными определенными количествами, и применяет к первым те приемы, которые имеют силу относительно последних; главная особенность в обработке этой науки состоит в том, что к трансцендентным определениям и действиям над ними применяется форма обычного счисления.

При этом разногласии своих приемов математика указывает на то, что результаты, к которым она таким образом приходит, совершенно согласуются с теми, которые получаются при пользовании собственно математическим, геометрическим и аналитическим методом. Но это отчасти касается не всех результатов, и цель введения в науку бесконечности состоит не только в сокращении обычного пути, но в достижении результатов, которые этим путем не могут быть получены. Отчасти же успех приема еще не оправдывает пути самого для себя. Этот прием исчисления бесконечных оказывается пораженным видимостью неточности, так как конечные величины то увеличиваются через присовокупление бесконечно малых величин, и последние отчасти сохраняют значение при дальнейших действиях, отчасти же пренебрегаются. Этот прием представляет собою ту особенность, что, несмотря на допущенную неточность, получается результат не только пригодный и настолько приблизительный, что разница может быть оставлена без внимания, но совершенно точный. При самом же действии, предшествующем результату, нельзя освободиться от представления, что хотя некоторые величины неравны нулю, но они столь незначительны, что их можно оставить без внимания. Но тем, что следует разуметь под математическою определенностью, совершенно исключается различение большей или меньшей точности подобно тому, как в философии может идти речь не о большей или меньшей вероятности, а единственно об истине.

Но если метод и употребление бесконечности и оправдываются их успехом, то все же, несмотря на то, требовать их оправдания не столь излишне, как требовать оправдания существования носа после доказательства права пользоваться им. Ибо для математического познания, поскольку оно научно, существенно доказательство, а по отношению к результату оказывается, что строго математический метод не вполне доказывается успехом, который, сверх того, есть лишь внешнее доказательство.

Представляется заслуживающим труда рассмотреть ближе понятие бесконечного и те замечательные попытки, которые имеют целью оправдать его и устранить затруднения, тяготеющие на методе. Рассмотрение этих оправданий и определений математическо бесконечного, которые я намереваюсь подробнее изложить в этом примечании, бросит вместе с тем и наиболее яркий свет на самую природу истинного понятия и покажет, что предносится в нем и лежит в его основе.

Обычное определение математического бесконечного состоит в том, что оно есть величина, за которой – если она определяется, как бесконечно большая – нет большей величины или – если она определяется, как бесконечно малая – нет меньшей величины, или которая в первом случае более, а во втором – менее какой бы то ни было любой величины. Это определение, правда, не выражает собою истинного понятия, но содержит в себе, как уже было замечено, то же самое противоречие, которое свойственно бесконечному прогрессу; но посмотрим, что в нем содержится в себе. Величина определяется в математике, как то, что может быть увеличиваемо или уменьшаемо, вообще как безразличная граница. Следовательно, поскольку бесконечно большое или бесконечно малое таково, что оно уже не может быть увеличиваемо или уменьшаемо, оно в действительности уже не есть определенное количество (Quantum).

Это есть вывод необходимый и непосредственный. Но та рефлексия, согласно которой определенное количество – а я разумею в этом примечании под определенным количеством вообще то, что оно есть, конечное количество – снято, не должна иметь места и представляет для обычного понимания затруднение, так как определенное количество, поскольку оно бесконечно, должно быть мыслимо, как снятое, как такое, которое не есть определенное количество, и количественная определенность которого, однако, сохраняется.

Если обратиться к тому, как обсуждает это определение Кант[14]14
  В примечании к тезису первой космологической антиномии в Критике чистого разума.


[Закрыть], то оказывается, что он не находит его согласующимся с тем, что понимается под бесконечным целым. «По обычному понятию такая величина бесконечна, более которой (т. е. более содержащегося в ней множества данных единиц) не может быть никакая другая величина; но никакое множество не может быть наибольшим, так как к нему всегда можно прибавить одну или более единиц. В представлении же бесконечного целого мы не представляем себе, как оно велико, следовательно, его понятие не есть понятие максимума (или минимума), а выражаем этим представлением лишь его отношение к произвольно взятой единице, относительно которой это целое более какого бы то ни было числа. Смотря по тому, более или менее эта единица, и бесконечное более или менее; но бесконечность, поскольку она состоит в отношении к этой данной единице, остается всегда одною и тою же, хотя конечно абсолютная величина целого тем самым совсем не узнается».

Кант порицает признание бесконечного целого за некоторый максимум, за законченное множество данных единиц. Максимум или минимум, как таковой, является всегда определенным количеством, множеством. Таким представлением не может быть отклонен вывод Канта, приводящий к большему или меньшему бесконечному. Вообще поскольку бесконечное представляется как определенное количество, для него сохраняет значение различие большего или меньшего. Но эта критика не касается понятия истинного математического бесконечного, бесконечной разности, так как последняя уже не есть конечное определенное количество.

Напротив, понятие о бесконечности у Канта, называемое им истинным трансцендентальным, состоит в том, что «последовательный синтез единиц при измерении определенного количества никогда не может быть закончен». Предположено вообще некоторое определенное количество, как данное; оно через синтезирование единиц должно быть сделано числом, определенно заданным определенным количеством, но это синтезирование никогда не может быть закончено. Здесь очевидно излагается не что иное, как прогресс в бесконечность, представляемый лишь трансцендентально, т. е. в сущности субъективно и психологически. Правда, в себе определенное количество должно быть закончено, но трансцендентально, а именно в субъекте, приводящем его в отношение к некоторой единице, происходит лишь такое определение определенного количества, которое (определение) не закончено и применимо лишь к потустороннему. Поэтому здесь вообще получается остановка на противоречии, заканчивающемся в понятии величины, но распределенном между объектом и субъектом так, что на долю первого приходится ограниченность, а на долю второго выход за его определенность, ложная бесконечность.

Напротив, уже ранее было сказано, что определение математического бесконечного и именно то, которое употребляется в высшем анализе, соответствует понятию истинно бесконечного; только для объединения обоих определений должно быть предпринято подробное развитие математического понятия. Что касается, во-первых, истинно бесконечного определенного количества, то оно было определено, как бесконечное в нем самом; оно таково, поскольку, как было выяснено, конечное определенное количество или определенное количество вообще и его потустороннее, ложное бесконечное, оба должны быть одинаково сняты. Снятое определенное количество тем самым возвращено к своей простоте и к отношению к себе самому, но не только как к экстенсивному, так как оно перешло в интенсивное определенное количество, имеющее определенность лишь в себе при внешней множественности, относительно которой оно, однако, безразлично и от которой оно должно отличаться. Бесконечное определенное количество содержит, напротив, во-первых, внешность и, во-вторых, ее отрицание в нем самом; таким образом оно есть уже не некоторое определенное количество, не определенность величины, имеющая существование, как определенное количество, но нечто простое и потому лишь момент; оно есть определенность величины в качественной форме; его бесконечность состоит в том, чтобы быть качественною определенностью. Поэтому, как момент, оно состоит в существенном единстве со своим другим, будучи лишь определено этим своим другим, т. е. оно имеет значение лишь в связи с находящимся к нему в отношении. Вне этого отношения оно нуль; ибо, так как определенное количество, как таковое, безразлично к отношению, то в нем должно быть непосредственное покоящееся определение; в отношении, оно, как только момент, не есть нечто безразличное для себя; в бесконечности, как бытии для себя, поскольку оно вместе с тем есть некоторая количественная определенность, оно есть лишь для одного.

Понятие бесконечного, как оно изложено здесь отвлеченно, окажется лежащим в основе математического бесконечного, и само станет отчетливее, когда мы рассмотрим различные ступени выражения определенного количества, как момента отношения, начиная с низшей, на которой оно есть еще вместе с тем определенное количество, как таковое, до высшей, на которой оно приобретает значение и выражение собственно бесконечной величины.

Итак, возьмем же прежде всего определенное количество в отношении, как правильную дробь. Такая дробь, например 2/7, не есть такое определенное количество, как 1, 2, 3 и т. д.; она есть, правда, обыкновенное конечное число, но, как дробь, опосредованное двумя другими числами, которые одно относительно другого суть определенное число и единица, причем единица есть также определенное число. Если отвлечь от их ближайшего соотносительного определения и рассматривать их только по тому, что им свойственно в количественном смысле, как определенным количествам, то вообще 2 и 7 безразличны одно к другому; но так как здесь они выступают, лишь как моменты одно другого, а тем самым и третьего (определенного количества, именуемого показателем), то они тем самым суть не просто 2 и 7, а имеют значение лишь по их относительной определенности. Вместо них можно поэтому взять также 4 и 14 или 6 и 21 и т. д. до бесконечности. Тем самым они начинают приобретать качественный характер. Если бы они были просто определенными количествами, то из 2 и 7 первое было бы просто 2, а второе 7; 4, 14, 6, 21 и т. д. суть уже совсем другое, чем эти числа, и поэтому, поскольку последние были лишь непосредственными определенными количествами, первые не могли бы быть поставлены вместо них. Но поскольку 2 и 7 имеют значение не таких определенных количеств, безразличие их границ снимается; тем самым они с этой стороны приобретают момент бесконечности, так как они становятся не просто ими самими, но сохраняется их количественная определенность, уже как сущая в себе качественная – именно определяемая их отношением. Вместо них может быть поставлено бесконечное множество других чисел, лишь бы не изменялась величина дроби в определенности данного отношения.

Но выражение, которое находит себе бесконечность при изображении ее числовою дробью, потому несовершенно, что оба члена дроби, 2 и 7, взятые вне этого отношения, суть обыкновенные взаимно безразличные определенные количества; положение их – быть моментами отношения – есть для них нечто внешнее и безразличное. Равным образом, величина их отношения есть обычное определенное количество, показатель отношения.

Буквы, над которыми оперирует общая арифметика, будучи ближайшим обобщением чисел, уже не имеют свойства обладать определенною числовою величиною; они суть лишь общие знаки и неопределенные возможности всякой определенной величины. Поэтому дробь a/b представляет, по-видимому, более соответственное выражение бесконечного, так как a и b, взятые вне их отношения, остаются неопределенными, и даже отделенные одна от другой не имеют никакого свойственного им частного значения. Но хотя эти буквы положены, как неопределенные величины, смысл их все же состоит в том, что они суть некоторые конечные количества. Так как они поэтому, хотя служат общим обозначением, но все же для определенного числа, то все же для них безразлично быть в отношении, и вне его они сохраняют то же значение.

Если мы рассмотрим ближе, что представляет собою отношение, то окажется, что ему свойственны оба определения, во-первых, определенного количества, а во-вторых, последнего, не как непосредственного, а как имеющего в себе качественную противоположность; оно потому остается тем же безразличным определенным количеством, что возвращается в себя из своего инобытия, из противоположения, т. е. бесконечно. Оба эти определения представляют в их различении одного от другого следующую общеизвестную форму.

Дробь 2/7 может быть выражена, как 0,285714…, 1/(1–а) – как 1+а+а²+а³ и т. д. Следовательно, она есть некоторый бесконечный ряд; самая дробь именуется суммою или конечным выражением этого ряда. Если сравнить оба эти выражения, то одно из них, бесконечный ряд, изображает ее, уже не как отношение, но с той стороны, что она есть определенное количество в смысле множества таких количеств, присоединяемых одно к другому, в смысле определенного числа. Что величины, составляющие это число, состоят сами из десятичных дробей, т. е. из отношений, это не имеет здесь значения; ибо это обстоятельство касается особого вида единиц этих величин, а не их самих, как составляющих определенное число; подобно тому, как состоящее из многих цифр целое число десятеричной системы остается по существу определенным числом, и не обращается внимания на то, что оно состоит из произведений одних чисел на число десять и его степени. Также здесь не принимается в соображение, что существуют другие дроби, кроме, напр., 2/7, которые, обращенные в десятичные дроби, не дают бесконечного ряда, хотя каждая из них в числовой системе другой единицы может быть изображена, как таковой.

Так как в бесконечном ряду, долженствующем изображать собою дробь, исчезает та сторона, по которой она есть отношение, то исчезает и та сторона, по которой она, как показано выше, есть бесконечность в ней. Но последняя возвращается другим путем; именно самый ряд бесконечен.

Какого рода эта бесконечность ряда, явствует само собою; это ложная бесконечность прогресса. Ряд содержит в себе и представляет собою то противоречие, что нечто, существующее, как отношение и имеющее внутри его ряда качественную природу, изображается, как безотносительное, просто как определенное количество, как определенное число. Вследствие того, определенному числу, выраженному посредством ряда, всегда чего-то нехватает, так что оно постоянно должно выходить за пределы того, что положено, чтобы достигнуть требуемой определенности. Закон этого прогресса известен, он заключается в определении определенного количества, содержащемся в дроби, и в природе той формы, в которой она должна быть выражена. Определенное число через продолжение ряда может достигнуть потребной точности; но его изображение всегда остается лишь долженствованием; ему присуща потусторонность, не могущая быть снятою, так как выражение чего-либо основанного на качественной определенности посредством определенного числа есть постоянное противоречие.

Этому бесконечному ряду действительно присуща та неточность, от которой в истинном математическом бесконечном остается лишь видимость. Оба эти вида математического бесконечного также не должны быть смешиваемы, как и оба вида философского бесконечного. Для изображения истинного математического бесконечного первоначально употреблялась или опять возобновлена в новое время форма ряда. Но она для него не необходима; напротив, как будет показано далее, бесконечное бесконечного ряда существенно отличается от истинного бесконечного. Он, напротив, уступает в этом отношении даже изображению дроби.

А именно, бесконечный ряд содержит в себе ложную бесконечность потому, что то, что должно быть выражено посредством ряда, остается долженствованием; и то, что он выражает, причастно некоторой не исчезающей потусторонности и отличается от того, что должно быть выражено. Он бесконечен не по своим членам, которые положены, но потому что они не полны, потому что то другое, что им существенно принадлежит, находится вне их; то, что есть внутри его, сколько бы ни было в нем положено членов, есть лишь конечное в собственном значении этого слова, положено, как конечное, т. е. как такое, которое не есть то, чем оно должно быть. Напротив, то, что называется конечным выражением или суммою такого ряда, не имеет этого недостатка; ему вполне принадлежит то значение, которого ряд только ищет; потустороннее в нем уже не убегает; то, что оно есть, и то, чем оно должно быть, уже не разделено, но есть одно и то же.

Различие обоих заключается ближайшим образом в том, что в бесконечном ряду отрицательное находится вне его членов, которые даны лишь как части определенного числа. Напротив, конечному выражению, которое есть отношение, отрицательное имманентно, как взаимная определенность членов отношения, которая есть возврат в себя, относящееся к себе единство, как отрицание отрицания (оба члена отношения суть лишь моменты), и потому имеет определение бесконечности внутри себя. Действительно, обычная так называемая сумма, 2/7 или 1/(1–а), есть таким образом отношение; и это так называемое конечное выражение есть поистине бесконечное выражение. Бесконечный ряд есть в сущности сумма; его цель состоит в том, чтобы изобразить то, что в себе есть отношение, в форме суммы, и данные члены ряда суть члены не отношения, а агрегата. Он есть далее, напротив, конечное выражение, так как он есть несовершенный агрегат и остается по существу чем-то недостаточным. По тому, что заключается внутри его, он есть определенное количество, но вместе с тем меньшее того, чем оно должно быть; за сим и то, чего ему не хватает, есть определенное количество; эта недостающая часть есть в действительности то, что в ряду называется бесконечным, только в том формальном смысле, что она есть недостающая, небытие; по содержанию же своему она есть конечное определенное количество. Лишь то, что есть налицо в ряду вместе с тем, чего ему не хватает, образует то, что есть дробь, то определенное количество, которым она вместе и должна, и не может быть. Слово «бесконечное» и в бесконечном ряду мнится быть чем-то высоким и величественным; это есть род суеверия, суеверия рассудка; мы видели, что оно, напротив, сводится к определению недостаточного.

Следует притом заметить, что существование таких бесконечных рядов, которые не суммируются, есть относительно формы ряда вообще обстоятельство внешнее и случайное. Эти ряды представляют собою высший вид бесконечности, чем ряды суммирующиеся, так как в них оказывается несоизмеримость, т. е. невозможность изобразить содержащееся в них качественное отношение, как определенное количество, даже в виде дроби; но свойственная им форма ряда, как таковая, содержит в себе то же самое определение ложной бесконечности, какое присуще суммируемому ряду.

Только что указанная по поводу дроби и ее ряда превратность выражения имеет место и в том случае, когда математическое бесконечное, и именно не только что рассмотренное, а истинное, называется относительным бесконечным, а обычное метафизическое, под которым разумеется отвлеченное, ложное бесконечное, – абсолютным. В действительности же, наоборот, это, метафизическое бесконечное есть только относительное, так как выражаемое им отрицание таково лишь в противоположность некоторой границе, так что последняя остается пребывать вне его и не снимается им; напротив математическое бесконечное действительно сняло с себя конечную границу, так как ее потусторонность соединена с нею.