Текст книги "Математика для мам и пап: Домашка без мучений"

Большинство учащихся начальной школы сталкивается только с простыми примерами на умножение дробей, такими как Но не вредно и выяснить, что происходит, когда вы начинаете перемножать более сложные дроби. Обратимся к сфере кулинарии и предположим, что по рецепту вам нужно взять половину от трех восьмых килограмма. Предлог от[6]6
  В русском языке в таких случаях может использоваться просто родительный падеж. – Прим. пер.


[Закрыть] является здесь ключом и указывает на то, что необходимо умножение. Где бы вы ни услышали «треть от чего-то» или даже «20 процентов чего-то», – будьте уверены, что сейчас вам предстоит умножать дроби.

Как вычисляют «одну треть от четырех седьмых»? Наша верная шоколадка и здесь поможет понять, о чем речь. Затемненные кружочки представляют Из них черные представляют

Алгоритм решения любых подобных примеров (таких как выглядит так:

• перемножить числители (в данном случае 1 × 4 = 4);

• перемножить знаменатели (в данном случае 3 × 7 = 21).

Записывается это так:

Чему равно

Не правда ли, сразу всплывают какие-то неопределенные (или вполне отчетливые) воспоминания о том, что что-то нужно «перевернуть»? Одна американская мама рассказала нам, что у них для запоминания этого правила был даже какой-то стишок. Может быть, такой: «Делить на дробь – пустяшное дело: переверни – и умножай смело».

Таким образом:

Все так, если вы уверены, что правило верное и ему надо следовать. Но подумайте вот о чем. Мы начинали с а закончили Реакция большинства людей на этот пример была бы приблизительно такой: «Ну вот, посмотрите, что получается. С этого момента математика перестает опираться на здравый смысл».

Давайте перенесем этот абстрактный пример в реальную жизненную ситуацию. Предположим, в рецепте приготовления теста для блинов предлагается на определенное количество блинчиков взять молока (не думайте о других ингредиентах – яйцах, муке и пр.). Сколько таких порций теста вы сможете изготовить из целого литра молока? Три.

Откуда вам это известно? Это потому, что литра входит в литр трижды. Точно так же, как именно благодаря делению вы знаете, что «2 укладывается в 8 четыре раза», тот факт, что литра входит в литр трижды», тоже становится очевиден в результате деления:

Теперь ответ в примере становится понятнее:

Десятичные дроби и проценты часто рассматриваются как что-то отличное от обычных дробей, таких как или Отчасти это объясняется тем, что они иначе выглядят: действительно, 0,5 или 50 % совсем не похоже на но смысл во всех трех записях содержится совершенно одинаковый. Зачем же тогда запутывать ситуацию и придумывать разные способы обозначения? Если все это просто то почему всегда так и не писать? Причина в том, что десятичные дроби намного проще сравнивать и удобнее проводить с ними расчеты. Помните, как трудно было сравнивать Так вот, если прибегнуть к помощи десятичных дробей и процентов, процедура сравнения стала бы намного проще.

В голове ребенка

Расположите эти числа в порядке убывания их значений (начиная с самого большого): 0,8 0,65 0,6.

Ответ ребенка: 0,65 0,8 0,6

Ребенок прочел эти числа как 65, 8 и 6, поэтому поставил 65 на первое место. Один из способов обойти эту проблему, имея дело с десятичными дробями, состоит в том, чтобы поставить цифры в столбцы, а пустые места заполнить нулями:

Это естественным образом свяжет десятичные дроби с идеей разрядных значений цифр (десяток, сотен и тысяч), и сравнить десятичные дроби будет намного легче.

Назначение процентов – сделать работу с десятичными дробями еще проще, особенно при сравнении. Как этого добиться? Надо превратить дроби в знакомые и удобные числа от 0 до 100.

По существу, проценты стали витриной всех дробей. Они используются всюду, идет ли речь о процентных ставках, инфляции, безработице и практически любых статистических данных, какие только приходят на ум. Тем не менее проценты могут причинять родителям и детям значительную головную боль. Почему?

Основная проблема в том, что проценты вводятся как самостоятельная категория. Найдите 20 % от 160. Чему равны 25 % от 80? При взгляде на такие примеры невольно задаешься вопросом: «Зачем?» В процентах появляется гораздо больше смысла, если использовать их для того, для чего они и придуманы, – для сравнения различных вещей.

Предположим, Дженни получила за тест по французскому а по итальянскому – По какому предмету ее результат лучше – по французскому или по итальянскому? Довольно часто дети ошибочно утверждают, что результаты одинаковы – в конце концов, по тому и другому предмету она не добрала по четыре балла. Можно показать ошибочность такого подхода, резко изменив число вопросов в тесте. Действительно ли результат теста, равный ничем не хуже, чем Сравнить два результата означает поставить их оба на одну общую шкалу. Перевести каждый из них в оценку в пределах 100 (процентов) – общепринятый способ сделать это, а сами проценты – общепринятая шкала. Дробь превращается в Теперь ясно, что Дженни лучше написала тест по французскому.

В голове ребенка (и взрослого)

Когда дело доходит до действий с процентами, дети особенно сильно путаются в трех вещах. По правде говоря, многие родители путаются в них нисколько не меньше:

1. Проценты используются не только в качестве замены простых дробей при сравнении, сложении и вычитании, они могут также описывать, насколько те или иные вещи увеличились или уменьшились. Так, к примеру, какая-то фирма сообщила, что цены выросли на 5 %. Чтобы увеличить число (к примеру, 48) на 5 %, следует умножить его на (получится 2,4) и прибавить результат к начальному значению (48 + 2,4 = 50,4).

2. «100 %» обычно понимают как «все». Тогда как же надо понимать, если сообщается, что что-то повысилось на 200 %? Или если инфляция, как в Зимбабве, составляет несколько миллионов процентов? (Футболисты тоже сбивают с толку, когда говорят, что «на 110 % преданы команде».) На самом деле величина, измеряемая в процентах, может быть любой, если не забывать, что «процент» означает всего-навсего деленный на 100, хотя 200 % нередко интерпретируют ошибочно: говорят, что если что-то выросло на 200 %, то оно удвоилось. На самом деле, если увеличить £100 на 200 %, то на самом деле сумма увеличится на £200, то есть в три раза.

3. Но самая большая ловушка – это кнопка «%» на калькуляторе. Об этом мы подобнее поговорим в главе «Математика на калькуляторе».

Короткий совет

В своей повседневной жизни вы будете то и дело сталкиваться с имеющими отношение к процентам вопросами, такими как: «Чему равна 30-процентная скидка с этой цены?» Чтобы упростить подобные расчеты, вам, может быть, удобно будет всегда начинать с оценки величины 10 %; к примеру, 10 % от 120 составляет 12. После этого несложно вычислить любой другой процент, соответственно уменьшая или увеличивая значение 10 %. Так, 5 % от 120 – это половина от 10 %, то есть 6, а 30 % от 120 – втрое больше 10 %, то есть 36.

Проверьте себя

29. Проценты

1. В недавнем опросе 220 родителей выяснилось, что 33 из них не поддерживают политику школы в отношении формы. Каков процент этих «недовольных» родителей?

2. Вы недавно приобрели тостер за полную стоимость в £45. На летней распродаже тот же тостер предлагался с 40-процентной скидкой. Сколько стоил тостер на распродаже?

3. В магазине на вашей улице действует специальное предложение. Можно сначала сбросить 10 % с базовой цены товара, а затем прибавить НДС, или сначала прибавить НДС, а потом уже сбросить 10 % с полной цены. Какой вариант следует выбрать? (Пусть НДС составляет 20 % для простоты расчета.)

Геометрические фигуры, симметрия и углы

Именно с геометрических фигур и углов – иными словами, с геометрии – начиналась, по мнению древних греков, настоящая математика. Такие фигуры, как треугольники или пятиугольники, могут быть связаны с любопытными изящными закономерностями и составляют основу визуальной и художественной стороны математики. Кроме того, геометрические фигуры могут требовать сложных рассуждений и построений и потому являться серьезным вызовом для ребенка. Математиков интересуют не только сами фигуры, но и описание их положения в различных вариантах пространства. Развитие именно этой области математики сделало возможным полет человека на Луну. Ваш ребенок узнает, в частности, о координатной системе – сердце всех карт и графиков.

1. Дети считают, что размер угла определяется длиной линий, при помощи которых он нарисован:

(Здесь ребенок думает, что угол Б больше угла А.)

2. Они не осознают, что всякий квадрат – это прямоугольник (но не всякий прямоугольник – квадрат).

3. Думают, что шестиугольники всегда выглядят так:

А вот эта фигура никак не может быть шестиугольником:

Правильные геометрические фигуры – треугольники, квадраты, пятиугольники и т. д. – фигурируют в математике со времен древних греков. Этим объясняются их названия (по крайней мере, варианты названий), семь из которых происходят непосредственно от греческих названий чисел:

Однако – наверное для того, чтобы всех нас запутать, – название правильной четырехсторонней фигуры, четырехугольника, пришло из латыни (quadratus), тогда как 9– и 11-угольники встречаются так редко, что трудно найти человека, который знал бы, как они называются (на случай, если вас это интересует, скажем, что эти названия соответственно «нонагон» и «гендекагон»).

Числа в названиях действительно указывают на количество сторон в многоугольнике, а вот «гон» – часть названия, которая произошла от греческого gonu, означающего колено; это слово начали применять в отношении углов, поскольку колено человека тоже образует угол. Фигура называется правильной, если все ее стороны одинаковой длины, а все углы равны, так что вот это, к примеру, правильный шестиугольник:

С другой стороны, эти два шестиугольника не являются правильными (по крайней мере в строго математическом смысле этого слова):

Фигуры с большим числом сторон, как правило, называют просто многоугольниками, или полигонами, используя приставку поли-, что означает «много».

Игра: «Я вижу… шестиугольник»

Интересные геометрические фигуры можно найти везде: в доме, на улицах, в путешествиях. Некоторые фигуры по-настоящему вездесущи. Оглянитесь вокруг – и в любом помещении вы, вероятно, без труда отыщете несколько прямоугольников и пару окружностей. С остальными фигурами сложнее. Можно превратить поиск интересных фигур в игру «Я вижу…» и давать за разные фигуры разное количество очков. Во время поездки на машине попросите детей обращать внимание на:

• Дорожные знаки и крыши, которое чаще всего треугольные. (Вообще треугольники довольно-таки трудно найти в помещениях. В качестве примеров можно привести угловые лестницы.) Стоимость: 1 очко.

• Очень небольшое число предметов или зданий имеет форму пятиугольника (знаменитый американский Пентагон – редкий пример). Можно, однако, отыскать пятиугольники в предметах, если знаешь, на что обращать внимание. На большинстве футбольных мячей пятиугольники имеются (см. «Футбольный мяч и шестиугольники» в этой главе). Разрежьте яблоко поперек – и увидите пять ячеек с семечками, образующих правильный пятиугольник. Разрежьте поперек неочищенный банан – и увидите, что в сечении он образует пятистороннюю фигуру со слегка скругленными сторонами, по существу, пятиугольник. Возьмите узкую полоску бумаги, завяжите ее в узел и осторожно расплющите. Из узла получится правильный пятиугольник (посмотрите через него на свет, чтобы разглядеть получше). Стоимость: 5 очков.

• Пчелиные соты состоят из правильных шестиугольников, но вряд ли вы каждый день изучаете внутреннее устройство пчелиных сот. Если взять игральный кубик и наклонить его так, чтобы один из углов указывал прямо на вас, то очертания кубика образуют шестиугольник. Шестиугольники имеются на большинстве футбольных мячей, а у многих стаканов для воды на кухне и в ресторанах шестиугольные донышки. Большинство карандашей представляет собой шестиугольные призмы – как и современные упаковки некоторых мелких конфет-драже. Стоимость: 4 очка.

• Единственными семиугольниками, которые вы встретите в обычной жизни, окажутся, скорее всего, английские монеты по 20 и 50 пенсов, представляющие собой сглаженные семиугольники. (Монеты с нечетным числом сторон имеют постоянный диаметр и потому годятся для использования в автоматах, поскольку машина может распознать края монеты, какой бы стороной она ни легла.) Стоимость: 10 баллов.

Ширина 50-пенсовой монеты остается одной и той же, какой стороной ни поверни.

• Обычный дорожный знак «СТОП» представляет собой восьмиугольник. Кроме того, восьмиугольники в сочетании с квадратами были популярным элементом дизайна викторианских каминов и выложенных плиткой дорожек, так что в Британии их иногда можно обнаружить на полу какого-нибудь учреждения (или даже жилого дома, если он достаточно стар). Эстрада, на которой играет местный любительский оркестр, скорее всего, имеет восьмиугольную форму (в принципе она может оказаться шестиугольной, но такие увидишь редко. В церквях, да и в других важных зданиях, нередко имеются пространства восьмиугольной формы – такие строения легко возводить, потому что восьмиугольник – это просто квадрат со срезанными углами. Дома стоит обратить внимание на форму всевозможных косметических тюбиков и коробочек; вероятно, среди этих предметов найдется что-нибудь восьмиугольное. Стоимость: 5 баллов.

• Фигуры, у которых сторон больше восьми, встречают чрезвычайно редко. Может быть, вам удастся обнаружить их в граненом стакане или в форме какого-нибудь здания, а иногда также в иностранных монетах: канадская монета номиналом в доллар, известная как «луни», – редкий пример гендекагона (это, если вы помните, 11-угольник), а австралийские 50 центов и старый британский (еще до введения десятичной денежной системы) трехпенсовик – додекагоны (12-угольники). А на ярмарочной площади мы обнаружили настоящий 16-угольник в основании карусели. Одна из причин редкой встречаемости этих геометрических фигур заключается в том, что их форма настолько приближается к окружности, что проще сделать вещь круглой, чем устраивать канитель с многочисленными прямыми сторонами. Стоимость: 20 баллов.

Многие правильные фигуры хорошо стыкуются друг с другом, и это учитывается при выборе деталей для украшения полов, составления мозаики, изготовления лоскутных одеял и других декоративных предметов. Организация фигур, известная как мощение, является стартовой точкой для целой области геометрии; мало того, этот раздел математики больше других интересен детям, увлекающимся прикладным искусством. Можно вовлечь таких детей в математические занятия так, что они даже не поймут, что это математика.

Самое очевидное мощение производится квадратами или прямоугольниками – за примерами не надо далеко ходить, достаточно взглянуть на полы в большинстве кухонь, на стены и на вымощенные плиткой тротуары. Однако с другими фигурами все гораздо интереснее.

Если взять любой треугольник, то всегда можно вымостить пол идентичными его копиями, соединив (к примеру) по два треугольника длинными сторонами:

То же относится к любым четырехугольникам, от квадратов:

…до трапеций:

…и до эмблемы из сериала «Звездный путь» (если, конечно, у нее будут прямые стороны):

Из правильных шестиугольников тоже получается отличное плотное покрытие (любая пчела может рассказать вам об этом).

Правильные пятиугольники не годятся для мощения – между ними остается некрасивая щель:

…а вот некоторые неправильные пятиугольники допускают мощение. У такого пятиугольника две его стороны должны быть параллельны друг другу. К примеру:

При мощении подобного рода фигурами образуется интересный, почти трехмерный эффект на плоской поверхности:

Короткий совет

Формочки для вырезания печенья обычно бывают круглыми, из-за чего остается много обрезков теста, которые потом приходится месить и раскатывать заново. Почему бы вместо этого не сделать печенье в форме геометрических фигур, пригодных для мощения? В наши дни можно найти формочки для печенья в форме треугольника, ромба и даже шестиугольника. Так что лучше делать шестиугольное печенье, не оставляя обрезков (разве что по периметру). То же самое можно сделать из пластилина, но намного приятнее работать, если конечный продукт предполагается съесть.

Проверьте себя

30. Пол, выложенный плиткой

Представьте себе пол, выложенный шестиугольными плитками. Плитки скольких цветов вам потребуются, чтобы никакие две соседние плитки не оказались одного и того же цвета?

Равносторонние треугольники, квадраты и пятиугольники можно соединять между собой, чтобы образовать из них объемные фигуры, известные как платоновы тела. Всего таких тел пять. Три из них состоят из треугольников:

(«-Эдр» – от греческого hedra, «сиденье», означает плоскую грань объемной фигуры.)

Два других платоновых тела:

Складывание из бумаги объемных фигур входит в программу по математике в начальной школе. К семилетнему возрасту ваш ребенок, вероятно, успел уже познакомиться с так называемыми развертками, наверняка ведь ему случалось развернуть картонную коробку, да и в наборах различных конструкторов детям часто предлагается складывать объемные фигуры из деталей-многоугольников. К 11 годам ребенок должен уметь строить развертки не только кубов, но и призм (к примеру, треугольных коробочек), а также других правильных объектов.

Здесь представлены две развертки, из которых можно сложить куб:

Но изготовление развертки куба не сводится к тому, чтобы произвольным образом соединить шесть квадратов. К примеру, из этой развертки не получится полного куба:

Как ее ни складывай, две грани обязательно наложатся друг на друга.

Вы с легкостью представляете себе, как все это происходит? Если да, вам повезло. Дети в большинстве своем (и многие родители) могут определить, получится ли из развертки объемная фигура, только после того, как физически сложат бумагу по стыкам; именно в этот момент обычно приходит озарение. В классе учащимся, как правило, дают возможность – и время – складывать свои развертки. Однако во время тестов все придется проделывать в голове. Научиться этому можно только на практике.

Короткий совет

Хотите помочь ребенку работать с развертками дома? Разрежьте коробку из-под сухих завтраков на составляющие ее шесть прямоугольных граней и посмотрите, как можно их склеить, чтобы получившаяся развертка опять сложилась в коробку. Таких способов найдется на удивление много.

Есть люди, зарабатывающие себе на жизнь придумыванием разверток, которые потом используются, скажем, для оформления упаковок различных товаров. Вы можете последовать их примеру и превратить создание разверток в развлечение, в домашнее хобби. Можно придумать и собрать собственную игральную кость из кусочков картона или изготовить складную шкатулку (непременно с изогнутой крышкой). Но почему не пойти еще дальше и не сделать с ребенком что-нибудь по-настоящему впечатляющее? Вы бы поверили, что следующая развертка, составленная из треугольников, складывается в модель (икосаэдр) планеты Земля? Глобус Земли должен быть в каждом доме, но насколько круче, если ваш глобус будет сложен из развертки? (Подобные развертки несложно найти в интернете.)

Проверьте себя

31. Странная развертка

Что получится, если сложить из данной развертки объемную фигуру?

Всем известно, как выглядит футбольный мяч – тот самый, из черных и белых «заплаток»… Во времена нашего детства его можно было купить за £1 в ближайшем супермаркете. Но сможете ли вы нарисовать такой мяч по памяти, не глядя на него?

У большинства родителей, сделавших такую попытку, получилось что-нибудь в этом роде:

Выглядит… ну… неправильно. Причина в том, что большинство людей уверено, что футбольный мяч целиком состоит из шестиугольников. Иллюстраторы, мультипликаторы, даже чиновник – автор стандартного дорожного знака «футбольный стадион», который можно встретить по всей Великобритании, – все делают одну и ту же ошибку. (Взгляните на эмблему любого футбольного клуба, и вы поймете, что мы имеем в виду!) Но правильные шестиугольники хорошо ложатся только на плоскости, и если попытаться составить из шестиугольников шар, то неизбежно получатся бугры и складки.

А теперь взгляните на настоящий футбольный мяч:

На самом деле он состоит из чередующихся шести– и пятиугольников – если быть точными, то шестиугольников там 20, а пятиугольников – 12.

Можно также сделать футбольный мяч из икосаэдра. Икосаэдр имеет 20 треугольных граней и 12 вершин, в каждой из которых сходится по пять треугольников. Если срезать угол, получится пятиугольник.

Именно из-за этого воображаемого срезания получившийся многогранник называют усеченным икосаэдром – но большинству он известен просто как футбольный мяч.

Игра: ищем трехмерные фигуры

Можно распространить описанную ранее игру «Я вижу…» на интересные трехмерные фигуры. Чаще всего встречаются фигуры с элементами окружностей: шары и цилиндры можно найти повсюду (это и мячи, и трубы, и всевозможная пищевая упаковка, и ручка швабры, и т. п.). Кубы тоже попадаются часто (особенно маленькие, в виде кусочков сахара или игральных кубиков), а большинство крыш представляет собой треугольные призмы, да и упаковка такая встречается. А вот пирамиды найти нелегко (если оставить в стороне чайные пакетики), не говоря уже о более экзотических фигурах, таких как додекаэдры.