Текст книги "Математика для мам и пап: Домашка без мучений"

Люди еще в глубокой древности испытывали потребность в измерении углов – это им было нужно для изучения звездного неба. Древние греки решили, что, размечая окружность, следует разделить ее на 360 «градусов». Почему 360, а не 100? Никто не может сказать с уверенностью, но существует одно весьма правдоподобное объяснение: 360 делится без остатка на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 и 12, не порождая дробей и не усложняя расчеты. По сравнению с этим, 100 делится только на 2, 4, 5 и 10. Поскольку дроби во времена Древней Греции популярностью не пользовались, весьма полезно было иметь здесь число, которое так легко делится.

Кроме того, число 360 весьма близко к количеству дней в году, так что имело бы смысл обозначить жизненный цикл красивым целым числом, которое представляло бы календарь.

Если 360° – это полная окружность, то половина окружности должна соответствовать 180°:

Четверть окружности составляет угол величиной 90°, который известен как прямой угол; обозначается такой угол маленьким квадратиком возле его вершины:

Углы меньше 90° называются острыми, больше 90° – тупыми. (Для полноты отметим, что угол больше 180° иногда называют «отраженным» – хотя вам вряд ли удастся найти много людей, которым это известно.)

Игра: охота за прямоугольными сокровищами

Можно организовать дома охоту за прямоугольными сокровищами. Для этого нужно сделать надежный «пробник» для прямых углов: просто возьмите лист бумаги и сложите его пополам:

Затем сложите его еще раз, так чтобы края на первом сгибе в точности совпали.

Угол, получившийся в том месте, где сходятся линии сгиба, является практически прямым. Таким «инструментом» можно проверять углы, которые кажутся (или должны по идее быть) прямыми, – действительно ли они прямые?

Треугольники бывают трех типов, и считается, что ваш ребенок должен быть знаком со всеми тремя:

• Равносторонний треугольник – тот, у которого все три стороны (и все три угла) одинаковые.

• Равнобедренный – треугольник с двумя одинаковыми сторонами (и двумя углами).

• В разностороннем – все стороны (и все углы) разные.

У треугольников есть одна занятная особенность: если взять треугольник и измерить у него все три внутренних угла при помощи транспортира, их сумма всегда будет составлять 180°. Существует простой способ убедиться в этом: нужно нарисовать треугольник на листе бумаги, вырезать его, оторвать от него все три угла и сложить их вместе.

Это означает, что если вам известны любые два угла треугольника, вы можете определить, чему равен третий угол. К примеру, если два угла треугольника составляют 30° и 80°, то третий должен быть 180° – (30° + 80°), то есть 70°. И оказывается, что этот маленький кирпичик знания лежит в фундаменте огромного количества куда более хитрой геометрии в составе высшей математики – достаточная причина для того, чтобы ваши дети прочно усвоили данное правило.

Проверьте себя

32. Прямоугольный треугольник

Сара нарисовала треугольник, и один из его углов оказался прямым. Какого типа может быть такой треугольник?

а. Равносторонний

б. Равнобедренный

в. Разносторонний

Чему равен угол A между автомобилем и стеной?

Природа полна симметрии, и математика тоже, и поскольку базовые идеи в этой области просты для понимания, не удивительно, что симметрия достаточно широко представлена в программе по математике для начальной школы. Вот два основных связанных с симметрией понятия, которые ваш ребенок, вероятно, должен будет постичь:

• зеркальная симметрия, при которой одна половина фигуры представляет собой зеркальное отражение другой половины;

• вращательная симметрия, при которой фигура после частичного поворота идентична самой себе.

Все правильные фигуры, описанные ранее в этой главе, имеют столько симметрий, сколько у них сторон; квадрат, к примеру, имеет четыре оси зеркальной симметрии и четыре вращательных симметрии (см. рисунок):

Правильный пятиугольник имеет пять симметрий, шестиугольник – шесть, и т. д.

Проверьте себя

34. Палочки для коктейля

Из пяти палочек для коктейля на столе выложена «антилопа». Уберите одну палочку таким образом, чтобы оставшаяся фигура имела ось симметрии.

Считается, что дети должны уметь совершать операции вращения и отражения фигур – в том числе и за счет точного построения симметричных точек. Делается это при помощи «декартовых координат» – системы, придуманной Декартом (которому принадлежит знаменитая фраза «Я мыслю, следовательно, существую»).

Система эта очень проста: координаты точки на координатной сетке определяются тем, на каком расстоянии она расположена справа и вверху относительно точки пересечения нижней и боковой шкал. Единственная путаница при этом возникает оттого, что можно забыть, какое из расстояний должно учитываться первым – вверх или вправо от начала координат? На самом деле общепринятый порядок таков: сначала обозначается сдвиг вправо, затем вверх. Чтобы это запомнить, думайте о том, как человек входит в дом: сначала он идет по коридору, а затем поднимается по лестнице. Так что положение точки X на рисунке ниже задается как пять в сторону и три вверх и записывается как (5, 3).

Игра: «Морской бой»

Эта игра – один из лучших способов научиться работать с координатной сеткой. В нее можно играть на клетчатой бумаге с использованием поля, скажем, 10 на 10 клеточек. Каждый играющий чертит на своем поле заранее оговоренное число различных фигур, располагая их на координатной плоскости в тайных местах (фигуры эти изображают, к примеру, авианосец (четыре клеточки) или эсминец – три клеточки). Затем играющие по очереди называют координаты на игровом поле соперника. Если в этом месте оказывается один из кораблей, «стрелявшему» засчитывается попадание, и выигрывает тот, кто первым поражает все корабли соперника.

Отметьте и запишите координаты еще двух точек, которые вместе с отмеченными на рисунке координатами образуют квадрат. Сможете ли вы найти три способа сделать это?

1. Фокус с мороженым

Попросите ребенка назвать три любимых сорта мороженого (пусть это будут, скажем, ванильное, малиновое и клубничное). Запишите их названия заглавными буквами на листе бумаги и нарисуйте изображение каждого из них в рожке. Затем скажите ребенку, что ваше любимое мороженое – шоколадный брикет CHOC ICE, и тоже напишите на листе название и нарисуйте картинку. А теперь задайте вопрос: «Чем выбранное мной мороженое отличается от всех твоих?» В ответ, конечно, прозвучит множество вариантов (к примеру, «оно в шоколаде» или «оно другой формы»). Послушав некоторое время, объявите правильный ответ: CHOC ICE – единственное среди перечисленных мороженое, с которым ничего не случится, если его перевернуть вверх ногами. Переверните рисунок вверх ногами и взгляните на него в зеркало. Разумеется, из рожков мороженое вывалится, но дело даже не в этом: взгляните на слова. Все названия мороженого тоже «погибнут», за исключением CHOC ICE, которое – чудесным образом – будет читаться все так же.

(Причина в том, что все буквы названия CHOC ICE обладают зеркальной симметрией относительно горизонтальной оси. А взглянуть на перевернутый лист бумаги в зеркало – это все равно что перевернуть каждую букву с «ног на голову».)

2. Разгаданная головоломка

Можно обыграть ту же самую идею, но теперь в виде головоломки. Запишите следующий текст на листе бумаги (заглавными буквами).

ЭТО ЗАГАДОЧНЫЙ ТЕКСТ. ЗДЕСЬ ЕСТЬ СПЕЦИАЛЬНОЕ СЛОВО, КОТОРОЕ НАЙДЕТСЯ, ЕСЛИ ПЕРЕВЕРНУТЬ ТЕКСТ И ПОСМОТРЕТЬ НА НЕГО В ЗЕРКАЛО. В КРАЙНЕМ СЛУЧАЕ ИСПОЛЬЗУЙ ОКОННОЕ СТЕКЛО. ОСТАЛЬНЫЕ СЛОВА «СЛОМАЮТСЯ». СМОЖЕШЬ НАЙТИ ВОЛШЕБНОЕ СЛОВО?

3. Все в поход!

Напишите на куске прозрачного пластика:

Скажите: «Представь, что это дверь, за которой тебя ждет что-то интересное. Как думаешь, что именно? А если посмотреть с другой стороны двери?».

Еще одна форма симметрии – так называемые палиндромы, или перевертыши, – то, что одинаково читается и слева направо, и справа налево. Девочке по имени АННА будет приятно обнаружить, что ее имя читается одинаково в любом направлении; то же можно сказать о мальчиках по имени НАТАН, ОТТО или БОБ. Можно попробовать поискать слова-палиндромы и даже придумать фразы-перевертыши, включая экзотические, к примеру: «МОЛОКО ДЕЛИЛИ ЛЕДОКОЛОМ». Очень увлекательное занятие!

Понятие палиндрома применимо и к числам тоже. В относительно недавнем прошлом было два года с номерами-палиндромами (1991 и 2002), хотя следующий год-«перевертыш», 2112-й, ваши дети вряд ли увидят. Тем не менее в числах, включая и даты, можно найти немало палиндромов – это, к примеру, 21-е числа первых десяти месяцев 2012 г. (так, 21 марта 2012-го записывается как 21.3.12).

Если умножать числа, состоящие только из единиц, на самих себя, получится палиндром:

11 × 11 = 121 111 × 111 = 12321 1111 × 1111 = 1234321

Если вам хватит терпения для умножения в столбик или если ваш калькулятор с этим справится, вы сможете проверить эту закономерность вплоть до 111 111 111 × 111 111 111 = 12345678987654321.

Измерения

Время, расстояние, площадь, объем, скорость, вес – все эти вещи необходимо измерять, и дети в школе тратят немало времени на освоение навыков работы с секундомерами, линейками, весами и другими устройствами для представления результата измерений в виде чисел. Однако считается, что дети должны научиться также измерять различные вещи при помощи воображения – прикидывая.

1. Дети не обращают внимания на «мертвую зону» на линейке (часть между нулем и концом линейки).

2. Уверены, что если какая-то фигура обладает большей площадью, то и периметр у нее должен быть больше.

3. Неверно интерпретируют шкалу, на которой нет отметки для каждого числа.

4. Используют неподходящие единицы для измерения чего-либо (к примеру, измеряют вес пера в килограммах).

Возможно, мы живем в метрическую эру, но и сегодня в Великобритании сохраняются некоторые остатки старой имперской системы мер и весов, к которым, как правило, относятся с большой любовью. Молоко и пиво по-прежнему продают в пинтах, дорогу измеряют в милях, площадки для крикета – в ярдах, а дорожки ипподрома – в фарлонгах. Мнения о том, следует ли отказаться от этих последних бастионов имперской системы и полностью перейти на более простую метрическую, разделились, хотя, говоря об этом, следует помнить, что США – самая влиятельная, наверное, культура на свете, хранит верность имперской системе. Инженеры в США все еще работают в милях, футах, фунтах и градусах Фаренгейта.

В школе ребенка будут учить метрической системе, у которой есть одно важное преимущество: все в ней кратно десяти. Но если ребенок будет знать метрические эквиваленты таких показателей, как фунт, ярд, дюйм и пр., это явно не окажется для него лишним.

Во многих случаях перевод из имперской системы мер и весов в метрическую может быть произведен (в целях грубой оценки) простым удвоением или делением на два. В таблице приведены самые распространенные единицы измерения и способы их перевода: сначала быстрый метод для получения приблизительного значения, затем более сложный, но позволяющий выполнить более точный расчет.

Ни один здравомыслящий человек не будет измерять расстояние от Лондона до Глазго в миллиметрах; глупо также использовать килограммы для измерения веса одного птичьего пера. Но почему? Дело в том, что человеческий мозг лучше всего работает с целыми числами от 1 до 1000, а не с очень маленькими или очень большими. Идея о том, что для измерения маленьких вещей нужно пользоваться маленькими единицами, а для измерения больших вещей – большими, понравится вашему ребенку и покажется ему разумной; вам же следует как можно больше говорить с сыном или дочерью о различных мерах и измерениях.

В настоящее время широко используются только две приставки к метрам, граммам и литрам, превращающие их в удобные и подходящие к случаю единицы:

Существуют также приставки для обозначения других, промежуточных десятичных степеней, но (за исключением традиционных сантиметров) они почти не используются:

Ребенок знакомится с понятием времени («сейчас», «позже», «завтра», «вчера») уже к трем годам; примерно в этом же возрасте он понимает, что часы каким-то образом помогают определить время. Но полностью ребенок овладевает искусством определять время по часам и называть его намного позже – многие даже в восемь лет не способны, глядя на часы, сказать, сколько сейчас точно времени.

Часы и измерение времени – интересная математическая тема, затрагивающая многие области математики. Мы включили разговор о часах в главу об измерениях и мерах, но на самом деле он был бы уместен также в главах о счете, сложении и вычитании, о дробях (четверти и половины) и таблице умножения на 5 (количество минут, прибавляемых к полным часам, можно найти, умножив число на циферблате на 5).

Кроме того, часы связаны с углами, поскольку деление циферблата на минуты, как и деление окружности на градусы, основано на древней шестидесятеричной системе счисления. Двенадцать часовых отметок равномерно распределены по циферблату, так что угол между двумя стрелками в 13:00 равен одной двенадцатой полного оборота, 360/12, или 30°. Часовая стрелка отклонена от вертикали на 45°, когда находится на полпути между 1 и 2, иными словами, в половине второго.

Проверьте себя

36. Головоломка с часами

Сколько раз от полудня до полуночи угол между минутной и часовой стрелками составит 90°? (Два случая вы, вероятно, найдете очень быстро – но если постараетесь, то сможете отыскать и третий… а еще есть?)

Детям сложно не только определять время по часам, но и складывать время на цифровых часах. К примеру, если поезд отходит в 3:25, а путешествие занимает 1 час 40 минут, то в какое время следует ожидать прибытия поезда? Внешне время 3:25 очень похоже на обычное десятичное число, а в десятичных числах 3,25 плюс 1,40 равно 4,65. При измерении времени, однако, минуты считаются по основанию 60, а не 100, так что когда минут становится больше 60, следует добавить единицу к часам и вернуться к нулю. Мы, как взрослые, давно привыкли к этому, а потому склонны забывать, что детей это может всерьез запутать.

Проверьте себя

37. Печем пирог

Джейми печет пирог. Когда он поставил пирог в духовку, часы показывали 16:40. Пирог следует выпекать 90 минут. В какое время Джейми должен вынуть пирог из духовки?

Часы и направления естественным образом связаны. Направления на север, юг, восток и запад можно представить как полдень, три, шесть и девять часов соответственно, а при поворотах мы столь же естественно пользуемся выражениями «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки». Вы можете рассказать ребенку о естественной связи между часами и направлениями по компасу, когда будете показывать какие-то ориентиры на местности. «Если ты представишь себе, что эта церковь стоит на 12 часах, то вон тот холм, на который я показываю, будет находиться на одном часе».

Кому нужна спутниковая навигация, когда можно воспользоваться наручными часами? В следующий раз, когда отправитесь с семейством на прогулку (не важно, в деревне или в пригороде), попробуйте определять направление при помощи часов. Держите часы горизонтально таким образом, чтобы часовая стрелка указывала на солнце. Затем разделите мысленно пополам угол между часовой стрелкой и условной линией, указывающей на отметку 12 на часах, – это и будет приблизительное направление на юг. (Для более точного результата ваши часы должны быть установлены на среднее гринвичское время[7]7
  В Великобритании. В других местах часы должны быть установлены на среднее солнечное время данной местности. – Прим. пер.


[Закрыть] – и конечно, погода должна быть солнечной!)

Детям необходимо знать, как следует производить точные измерения при помощи линейки, но этого мало: они должны также обладать более общим чувством длины и расстояния. Существуют две распространенные ошибки, связанные с применением линейки. Вот, к примеру, сломанной линейкой пользуются для измерения длины:

Как часто бывает на линейках, на этой между делениями, представляющими целые числа, есть более мелкие неподписанные деления. Считается, что пользователь должен сам их интерпретировать. В данном случае промежуток между соседними числами разделен на пять частей, так что каждое маленькое деление представляет 0,2. Длина отрезка в данном случае составляет 3,6 (то есть 4,6 минус 1,0).

В голове ребенка

Сможете ли вы сказать, почему при измерении отрезка на рисунке выше дети получили следующие неверные ответы?

4,6

4,3

3,3

В первом случае ребенок сосредоточился на правой границе отрезка и, соответственно, на большем числе (4,6) и не подумал проверить, находится ли левый конец отрезка на нулевой отметке линейки. Вообще, при использовании линейки часто не обойтись без простого вычитания, как здесь. (Вы можете познакомить ребенка с этой идеей, намеренно взяв сломанную линейку без нуля и задав ему вопрос: «О господи, как же нам измерить длину этой штуки?»)

Второй и третий неверные ответы возникли потому, что дети считывают положение правого конца отрезка как 4,3, то есть отсчитывают три маленьких деления и полагают, что каждое из них соответствует 0,1. Вы можете вовремя указать ребенку, что деления не могут равняться 0,1: достаточно аккуратно отсчитать по ним «4,1; 4,2; 4,3; 4,4…» и обнаружить, что пятое деление – которое вроде бы должно соответствовать 4,5 – совпадает с целым числом 5.

Короткий совет

Во многих семьях принято выделять какой-то участок дверного косяка или стены, чтобы отслеживать на нем изменения роста ребенка. Как правило, дети радуются, когда обнаруживают в очередной раз, что немного выросли. Можно превратить этот уголок в объект постоянного интереса, если прикрепить к косяку или стене старую портновскую мерную ленту, чтобы дети могли по карандашной отметке сами определять свой рост.

Измерительные шкалы окружают нас со всех сторон – можно назвать хотя бы шкалы на весах, мерных кружках, термометрах и т. п. Конечно, шкала может быть размечена в целых единицах, но нисколько не реже встречаются шкалы, где промежуток между двумя соседними числами измеряется сотнями или небольшими десятичными дробями. Но какой бы ни была шкала, принципы ее чтения остаются одинаковыми: нужно научиться правильно интерпретировать промежутки между числами и понимать, что одно деление не всегда представляет одну единицу.

Чем лучше ваш ребенок научится читать дома всевозможные шкалы, тем проще ему будет интерпретировать новую, незнакомую шкалу, когда она ему попадется.

Проверьте себя

38. Шкала времени

На рисунке – небольшой участок временно́й прямой, или оси времени. Любое событие можно отметить на ней стрелочкой, указывающей на определенный ее участок.

Слово «периметр» происходит от греческого слова περί (вокруг). Дети часто путают измерение периметра какого-то объекта и измерение его площади. Можно без труда избавиться от этой путаницы, если всегда связывать периметр с куском веревки. Какой длины кусок веревки вам потребуется, чтобы обернуть им данную окружность – или, к примеру, данный бассейн?

Периметр окружности имеет особое название: «длина окружности». Длина окружности круга при делении на его диаметр дает постоянную величину: это число, немногим большее трех, очень близкое к 3,14 и известное всем как число пи (или π). С ним дети не сталкиваются до средней школы, но вы можете познакомить сына или дочь с этим загадочным числом, обратив внимание ребенка на многочисленные круглые объекты в доме – банку фасоли, диск DVD или пиццу. Можно взять шнурок и наглядно продемонстрировать, что трех диаметров чуть-чуть, но не хватит на то, чтобы обкрутить им соответствующий предмет.

Проверьте себя

39. Периметр

Эта фигура составлена из шести квадратов.

Вычислите периметр этой фигуры.

Простейший способ уяснить, что такое площадь, – представить себе ее как некий участок плоской поверхности. Площадь может быть застелена ковром, покрыта травой, оклеена обоями или покрашена, и ребенку нетрудно будет понять, что иногда площади приходится измерять, чтобы проверить, хватит ли на них ковра, краски и т. п.

Первый шаг ребенка на пути к измерению площади – пересчитывание квадратиков. Нарисовав фигуру на клетчатой бумаге, несложно (хотя довольно трудоемко) сосчитать, сколько в нее вошло квадратиков. Проще всего это сделать, безусловно, для прямоугольника.

Тщательный подсчет позволит вам на практике убедиться в том, что в этом прямоугольнике уместился 21 квадратик. Но понимание того, что существует и более простой способ определить площадь прямоугольника, придет очень быстро. Здесь, к примеру, три строки по семь квадратиков, или семь столбиков по три квадратика, в любом случае площадь равна 3 × 7. Иными словами, нет никакой нужды считать квадратики поштучно, площадь прямоугольника можно найти, перемножив длины двух его сторон.