Текст книги "Увлекательная математика. Детская энциклопедия"

Татьяна Попова
Увлекательная математика. Детская энциклопедия

Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.

© ИП Томисонец Д. А., брендбук, 2023

© Захарова Е. В., иллюстрации, 2023

© Оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2024

* * *

Давайте знакомиться!

Здравствуйте, ребята! Меня зовут Чевостик. Я живу на книжной полке в библиотеке у дяди Кузи. Не удивляйтесь: я небольшого роста, а нижняя полка в книжном шкафу дяди Кузи очень высокая и просторная, поэтому мне на ней хорошо и удобно. Какой я? Похож на обыкновенного мальчишку, волосы рыжие, характер весёлый. Дядя Кузя в шутку зовёт меня Чевочкой с хвостиком. Но никакого хвоста у меня нет, зато есть ушки на макушке. Больше всего на свете я люблю узнавать новое, поэтому всё время задаю дяде Кузе всякие вопросы. О чём бы я ни спросил, он всё знает и мне рассказывает. Это потому, что дядя Кузя очень умный. Он прочитал много-много разных книг. А ещё мы с ним любим путешествовать! В путешествиях нам помогает времяскок. Это такой прибор, его дядя Кузя изобрёл. Набираешь на времяскоке место и время, куда хочешь попасть, раз, два – и уже там! Сегодня мы наверняка тоже куда-нибудь отправимся!

Путешествие начинается!

– Глазки – точки, брови – крючочки…

– Привет, Чевостик! Какую ты весёлую песенку поёшь!

– Потому что весёлым делом занят. И нужным. Ты, дядя Кузя, мне советовал примеры немножко порешать. А я не стал. Кому нужна эта математика? Сложение, вычитание, измерение всякое… То ли дело рисование! Я, дядя Кузя, твой портрет рисую. И песенку пою рисовальную: «Глазки – точки, брови – крючочки, рот и личико – кружками, дядя Кузя на портрете, вы его уже узнали».

– Не уверен, что меня бы узнали на твоём портрете. Разве у меня такое лицо? Глаза разного размера, одна бровь выше другой…

– Ничего страшного! Cейчас другую песенку спою и ещё кое-что нарисую. Вот: «Мы к кружку добавим ножек, будет это осьминожек».

– Осьминожек, Чевочка с хвостиком, у тебя тоже не получился.

– Это почему же? По-моему, очень даже похож.

– Ты сначала посчитай, сколько у существа, которое ты нарисовал, ног.

– Одна, две, три… Ой, кажется, одиннадцать. Ты прав: это не осьминог, у осьминогов восемь ног должно быть. А у меня неведомое чудище получилось – одиннадцатиног!

– Видишь, оказывается, математика нужна даже для того, чтобы рисовать.

– Чтобы ноги-руки считать?

– Не только. Чтобы лицо человека на портрете не было похоже на кривую рожицу, а сам он – на карлика Носа. Впрочем, плохое знание математики может привести к куда более серьёзным ошибкам, а иногда и к настоящим бедствиям. Не веришь? Настраиваю времяскок. 10 августа 1628 года. Стокгольм.

Задание

Нарисуй цветными карандашами фантастических существ: шестикрыла, трёххвоста и девятинога. Кто не умеет летать, а кто бегает быстрее всех? А для чего трёххвосту целых три хвоста? Внимательно пересчитай крылья, ноги и хвосты. Все ли на месте? В какие времена могли жить такие существа?

Как измерить мир? От локтя до метра, от карата до тонны

– Дядя Кузя, я никогда ещё не видел таких красивых кораблей! Мы на палубе стоим, а кажется, что в музее – столько вокруг красоты! Скульптуры львов из чистого золота, да?

– Нет, они лишь покрыты позолотой, а сделаны из дерева, как и фигуры русалок, воинов, сказочных существ – грифонов. «Васа» – не обычный, а один из самых крупных, богато украшенных и дорогостоящих кораблей шведского военного флота. В его строительстве участвовали четыре сотни мастеров. Сегодня он спущен на воду и совершает своё самое первое плавание в бухте Стокгольма.

– Дядя Кузя, посмотри, паруса поднимают. Ура! Красота, нас ветер двигает. Ой… Ой-ой-ой! Почему палуба так накренилась? Кажется, корабль тонет!

– Отвечу, когда будем в безопасности. Настраиваю времяскок. 1650 год. Россия. Макарьевская ярмарка.

– Ух, как же я испугался! Хорошо, что времяскок нас на рынок перенёс. Но что случилось с «Васой»?

– К сожалению, Чевостик, первое плавание чудесного корабля оказалось последним. «Васа» затонул и лишь через триста лет был поднят со дна бухты. Теперь он главный экспонат музея в Стокгольме.

– Но как же так получилось? Почему такой большой и совсем новый корабль затонул? Может, на него напали враги и пробили борт выстрелами из пушки? Как же я их не услыхал?

– Не было ни врагов, ни выстрелов. Корабль затонул потому, что при его строительстве не сделали необходимых расчётов. «Васу» построили довольно узким, вес его подводной части был слишком мал, поэтому корабль оказался очень неустойчивым.

– Это опасно, я знаю. Летом я сделал кораблик из коры и пустил в пруд. Он тоже утонул, потому что был неустойчивым. Но «Васа» не игрушка! Почему же те, кто его строил, не сделали расчёты?

– Потому что в ХVII веке их ещё делать не умели. И чертежи для постройки кораблей не чертили. У кораблестроителей были таблицы, в которых записывали основные размеры корабля и его частей. Такие таблицы передавались по наследству и хранились от посторонних глаз. Но, как показывает гибель «Васы», без знаний математики и точных расчётов они не всегда помогали построить надёжное судно.

– Грустная история… Но почему теперь мы оказались на рынке?

– Это Макарьевская ярмарка. Давай-ка подойдём к прилавку, где торгуют тканями.

– Дядя Кузя, тут покупательница ссорится с продавцом. И почему-то пословицу вспоминает, говорит, что продавец на свой аршин мерит.

– Это теперь выражение «на свой аршин мерить» – пословица. А в ХVII веке аршин был и единицей измерения, и инструментом, с помощью которого измеряли длину. Видишь деревянную палку? Это и есть аршин. Им, как линейкой или сантиметром, продавец измерил ткань для покупательницы.

– Чем же она недовольна?

– Тем, что аршин у продавца слишком мал. С помощью такого аршина обманывали покупателей, продавая им меньше ткани. Царь Алексей Михайлович решил навести порядок и повелел купцам мерить товар железными аршинами, на которых стоял специальный знак – клеймо. Но купцы противились этому указу и старались пользоваться своими деревянными неклеймёнными аршинами.

– Вот какие хитрецы! Но я, дядя Кузя, думаю, что дело не только в хитрости и жадности купцов.

– А в чём же ещё?

– Аршин – какая-то странная мера длины. Разве может быть порядок, если у каждого свой аршин?

– Молодец, Чевочка с хвостиком! Правильный вывод сделал. В старину длину измеряли толщиной пальца, шириной ладони, длиной локтя, шагами или даже временем нахождения в пути. Вес измеряли в каратах – столько весит семечко рожкового дерева.

СХЕМА ДРЕВНЕРУССКИХ ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЯ

– Постой, дядя Кузя. Сравни свой палец и мой, свой локоть и мой. Разве они одинаковые? Чей же палец или локоть использовать при измерении длины? Да и семечки, наверное, бывают разными: одно – тяжелее, другое – легче.

– И опять ты прав, Чевостик. В том-то и дело, что все эти меры приблизительные, неточные.

– Вот отсюда и споры, как у той тёти с продавцом. Теперь же такого быть не может?

– Не может. Настраиваю времяскок. Наше время. Международное бюро мер и весов в городе Севр (Франция).

– Я что-то не вижу тут весов.

– Зато ты сейчас увидишь эталоны, то есть образцовые меры длины и веса. Вот эта линейка с отполированными концами – архивный метр, международный образец для любых измерителей длины: линеек, сантиметров, рулеток.

– Дядя Кузя, я знаю, что такое метр. Метрами удобно измерять, сколько пробежал спортсмен на соревновании. Или какой длины коридор в квартире. Или длину дорожки в бассейне. Но когда я аппликацию делаю, неудобно пользоваться метрами. Листок бумаги довольно маленький, так что лучше измерять длину, высоту и ширину бумажных деталей в сантиметрах. Их в каждом метре ровно сто. А в каждом сантиметре – десять миллиметров, это совсем маленькая, вот такусенькая мера длины.

– Правильно, Чевостик.

– Но расстояние от одного города до другого, наверное, неудобно измерять в миллиметрах, сантиметрах или метрах?

– Конечно неудобно. И не нужно – для этого есть километры! Один километр – это тысяча метров. Теперь посмотрим на архивный килограмм.

– Это гиря!

– Да, гиря из платины, которая весит ровно один килограмм. В килограмме – тысяча грамм. В килограммах удобно измерять что-то тяжёлое, например арбуз. А в граммах – лёгкое, вроде шарика мороженого. Очень тяжёлое, Чевочка, лучше измерять в центнерах или тоннах. Центнер – это сто килограмм, а тонна – тысяча килограмм.

Центнер

Тонна

– Дядя Кузя, хорошо, конечно, что есть вот такие эталоны. Но я всё равно волнуюсь, когда вспоминаю, как «Васа» затонул: вдруг и сейчас кто-то ошибётся, когда будет корабль строить. Или дом, или самолёт…

– Твоё волнение понятно. Но я постараюсь тебя успокоить. Настраиваю времяскок. Наше время. Москва.

– Дядя Кузя, мы в какую-то странную школу попали…

– Почему ты решил, что это школа? И что в ней странного?

– Смотри, вон доска, на ней учитель примеры написал. А ученики их решают, стараются. Значит, это школа. Странная она потому, что ученики слишком взрослые, да и класс огромный…

– Ты почти угадал: мы в Московском авиационном институте. Тут, как и в школе, учатся, получают высшее образование и профессию студенты. Они школу уже окончили.

– Дай я угадаю, на кого учатся студенты! На лётчиков – вот на кого! Потому что институт авиационный.

– Не угадал. Студенты, которые сейчас слушают лекцию по высшей математике, – будущие конструкторы самолётов.

– Дядя Кузя, пусть я не угадал их будущую профессию, зато я точно знаю, зачем студенты изучают математику: чтобы потом, когда они будут делать новый самолёт, не ошибиться в расчётах. Чтобы самолёт летал и никогда не попадал в аварии – вот для чего!

– Да, Чевостик. Но уже сейчас многие из этих ребят сами создают новые самолёты и другие летательные аппараты. Недавно успешно прошли лётные испытания беспилотника, разработанного в Московском авиационном институте. Он предназначен для наблюдений за погодой в Арктике.

– Вот это да! В Арктике ведь очень холодно: наверное, не всякий беспилотник выдержит.

– Потому-то и нужны расчёты, их не сделаешь без знаний математики. Математику изучают будущие строители, конструкторы любых машин и механизмов, инженеры, техники, рабочие, которые будут работать на заводах и фабриках.

– Дядя Кузя, мне тоже вот прямо сейчас захотелось что-то нужное рассчитать. Что-нибудь сложное-пресложное, чтобы огромная-преогромная цифра в ответе получилась, например сто тысяч миллионов!

– Ох, Чевочка с хвостиком, что-то ты напутал. Нет цифры сто тысяч миллионов. Надо нам как следует в этом разобраться. Настраиваю времяскок. 1633 год до нашей эры. Египет.

Задание

Представь, что ты перенёсся во времена Древней Руси. Давай измерим твою любимую книжку с помощью пядевой системы. Согни средний, безымянный пальцы и мизинец. Большой и указательный пальцы разведи в стороны – расстояние между ними и есть одна пядь. Сколько получилось пядей в ширину и в высоту? Попроси взрослого тоже выполнить эти измерения. Отличаются ли результаты?

Цифры и числа. Почему арабские цифры на самом деле индийские?

– Дядя Кузя, вот теперь мы точно в школе! Учитель дал задание ученикам, они что-то пишут палочками, правда, не в тетрадках, а на какой-то странной бумаге.

Папирус

– Не на бумаге, а на папирусе – материале, сделанном из растения – водно-болотной осоки. В Древнем Египте, куда мы попали, все грамотные люди писали на папирусе. Писцы – на новом, а ученики в школах – на уже использованном, надписи с которого смывали. Учитель задал ребятам задачки из древнего учебника по математике – папируса Ахмеса.

– Странно, урок математики идёт, но ни в учебнике, ни на папирусах у ребят я не вижу ни одной цифры.

– Цифры – это знак для обозначения числа. Какие цифры ты ожидал увидеть? Постарайся назвать все.

– Легко! 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А ещё 0!

– Итак, ты назвал ровно десять цифр. Почему же среди них нет огромной-преогромной, например сто тысяч миллионов?

– Дядя Кузя, я уже понял свою ошибку: цифр, то есть знаков для обозначения чисел, всего десять. Зато самих чисел – множество. Прямо как букв в алфавите и слов в языке: в нашем алфавите тридцать три буквы, а слов – видимо-невидимо.

– Молодец, Чевостик!

– Почему я не вижу ни одной цифры в записях учеников и в учебнике Древнего Египта?

– Потому что египтяне использовали незнакомые тебе знаки для обозначения цифр. Правда, единица похожа на нашу – вертикальная палочка. Но для чисел от двух до девяти знаков не придумали: их обозначали нужным количеством палочек-единиц. Вон тот знак, похожий на подковку, обозначает десятку, петля верёвки – сто, тростник или кувшинка – тысячу, палец – десять тысяч, жаба или личинка – сто тысяч, человек с поднятыми вверх руками – миллион.

– Ну и напридумывали египтяне! Совсем неудобно! Чтобы число 999 записать, нужно нарисовать девять верёвок, девять подковок и девять палочек.

– Да уж, удобства тут мало. Хотя есть и один плюс: древние египтяне, как и современные люди, использовали десятичную систему счисления. Некоторые народы считали двадцатками. Память об этом сохранилась, например, во французском языке: «восемьдесят» переводится с французского как «четыре двадцатки», «девяносто» – «четыре двадцатки плюс десять». У туземцев островов Торресова пролива – двоичная система счёта и всего два слова для обозначения числительных: «урапун» – один и «окоза» – два. Число 9 будет звучать так: окоза-окоза-окоза-окоза-урапун.

– Если миллион с помощью такой двоичной системы сказать – язык отвалится. Зря туземцы поленились больше цифр придумать.

– Не поленились, а просто не додумались. Наверное, ты удивишься, узнав, что и сегодня, в XXI веке, для программирования, то есть написания компьютерных программ, используется двоичная система счисления.

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

АЛФАВИТ СИСТЕМЫ: 0, 1

– Вот это да! Тогда надо будет мне её изучить: я очень хочу сам разрабатывать компьютерные игры.

– У жителей древней Месопотамии, шумеров и вавилонян, тоже было всего два знака для цифр: один обозначал десятки, а другой – единицы. При этом система счисления у них была не двоичная и не десятичная, а… шестидесятеричная. Кстати, ты с ней уже знаком.

– Что-то я такого знакомства не припомню…

– Скажи-ка, когда ты обычно спать ложишься?

– Часов в девять вечера, иногда в половине десятого. Почему ты, дядя Кузя, спрашиваешь?

– Потому что час разделён на…

– 60 минут, а минута – на 60 секунд. Понял: это и есть шестидесятеричная система счисления.

– Точно!

– Дядя Кузя, теперь я различаю в записях учеников египетские цифры. Интересно, о чём задачки, которые они решают?

– Сейчас ребята решают очень важную для египтян задачу: как справедливо распределить земельные участки между несколькими крестьянами. Как ты думаешь, что для этого нужно знать ребятам?

– Во-первых, им нужно уметь делить. Я умею: четыре поделить на два будет два. Двенадцать разделить на три будет четыре. Во-вторых, надо так поделить землю, чтобы каждому крестьянину достался кусок земли одного размера.

– Что значит одного размера?

Периметр

– Ох, сложный ты мне вопрос задал, дядя Кузя. Придётся вспомнить. Так, участок земли – это вроде фигуры. Например, квадрат, прямоугольник или треугольник. Какие размеры у них есть? Вспомнил: периметр – это длина всей границы фигуры, ну то есть участка. Хочешь забор вокруг участка построить – посчитай периметр.

– Чевочка, разве в задачке спрашивается, какой длины должен быть забор?

Площадь

– Нет. Значит, периметр тут ни при чём. Догадался! Площадь – вот что нужно! Она показывает, сколько места занимает на плоскости фигура. Нужно поделить всю землю на участки одинаковой площади. Посчитать общую площадь и разделить на число крестьян. Я даже знаю, в каких единицах считается площадь – в квадратных метрах, сантиметрах или километрах. Один квадратный метр – это площадь квадрата со стороной в один метр.

– Умница, Чевочка с хвостиком! Конечно, египтяне пользуются другими мерами площади, но ты бы в этой школе точно стал отличником.

– Дядя Кузя, мне интересно знать, кто придумал цифры, которыми мы пользуемся сегодня.

– Обязательно узнаешь. Настраиваю времяскок. 500 год до нашей эры. Апеннинский полуостров.

– Красота! Речка, песочек, солнышко светит. Хорошее место выбрала тётя для отдыха со своими малышами. Она какую-то игру с ними затеяла: показывает что-то руками и рисует на песке картинки.

– Мы в гостях у этрусков, народа, жившего в древности на территории современной Италии. Мама не играет с малышами, а учит их цифрам и счёту, используя самый древний счётный механизм.

Арифмометр – механическая вычислительная машина.

– Опять шутишь, дядя Кузя! Нет у мамы никакого механизма!

– Конечно, люди пока не изобрели ни компьютер, ни калькулятор. Нет у мамы-этруски ни арифмометра, ни счётов, ни абака. Зато есть две руки и на них – десять пальцев. Вот тебе и первое приспособление для счёта.

Абак – счётный прибор, похожий на деревянные счёты. Широко применялся в древности.

– Я уже понял, у этрусков есть цифра один – палочка. Она похожа на палец. Число два записывается двумя палочками, три – тремя. А вот с четырьмя я пока не разобрался.

– Попробуй сначала с пятью разобраться.

– Пять – это ладошка, на ней пять пальцев. Изобразить её несложно: если четыре пальца вместе сложить, как это мама-этруска делает, а большой палец отставить, будет похоже на галочку. Вот и цифра пять получилась.

– Всё правильно. Теперь давай правило введём: если слева от цифры пять поставить палочку, нужно вычесть единицу из пятёрки. А если палочки стоят справа, надо нужное количество единичек прибавлять.

– Догадался: число четыре – галочка-пятёрка с палочкой-единицей слева, VI – 6, VII – 7, VIII – 8. Что теперь мама руками выделывает? Сложила две ладошки-пятёрки вместе, одну вверх, другую вниз кончиками пальцев. Нет-нет, не подсказывай, сам догадаюсь: пять плюс пять будет десять.

– Точно! На песке этруска начертила косой крест: он, если присмотреться, состоит из направленных в разные стороны пятёрок-галочек. Опять вспоминаем правило про палочки справа и слева. Легко догадаться, как будут выглядеть числа от девяти до пятидесяти. Для обозначения числа 50 этруски придумали ещё одну цифру. А всего римских цифр семь: 1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M.

– Ошибся ты, дядя Кузя! Цифры-то не римские, а этрусские!

– Изобрели их этруски, но стали использовать и римляне в Древнем Риме, поэтому цифры называются римскими. Римскими цифрами мы пользуемся до сих пор, например, ими обычно обозначают столетия, века.

– А ещё эти цифры на настенных часах в твоём кабинете. Я раньше не понимал, что они обозначают, а теперь знаю всё про римские цифры, которые раньше были этрусскими. Теперь бы ещё про наши, русские цифры узнать.

– Русских цифр никогда и не было. В старину на Руси для обозначения цифр использовали буквы. Цифры, которыми мы пользуемся сегодня, называются арабскими, хотя придумали их в Индии. Кроме цифр, математики применяют и другие знаки. Можешь привести примеры?

– Конечно! Больше, меньше, равно, знаки арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Их тоже придумали в Индии?

– Нет. Долгое время действия в математических примерах и задачах писали просто словами. Позже математики предложили использовать для удобства записи специальные знаки. Роберт Рекорд придумал две палочки – знак равенства; Франсуа Виет изобрёл сразу три знака: плюс, минус и черту дроби для деления; Томас Хэрриот ввёл знаки сравнения.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАКИ

– Дядя Кузя, сейчас один малыш спросил у мамы, какое число самое большое. Мама показала на песок и сказала: то, что означает число песчинок на берегу реки. Разве это ответ? Нужно назвать точное число.

– Невозможно, Чевочка с хвостиком, назвать самое большое число. Но можно назвать самое большое однозначное число. Догадался какое?

– Конечно! Это девять. Теперь я тебе даю задачку: назови самое большое… пятизначное число.

– 99 999 – девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять. Но сможешь ли ты ответить на вопрос, какие бывают числа?

– Большие и маленькие. Об этом мы уже говорили. Однозначные числа есть, от нуля до девяти, двузначные, например 57, трёхзначные… Дальше можно до бесконечности продолжать, сколькоугоднозначные. Бывают целые и частичные.

– Что значит частичные?

– Например, половина яблока. Или треть собранных орехов.

– Понял, ты говоришь про дробные числа. Очень хорошо, что ты про них вспомнил: вдруг тебе когда-нибудь придётся делить пять яблок на трёх друзей, да так, чтобы всем поровну досталось.

– Попробую. По одному яблоку достанется каждому из ребят. Остаются неподелёнными ещё два. Придумал: надо аккуратно разрезать каждое из двух яблок на три дольки. И получится… у каждого из ребят будет одно целое яблоко и две трети.

– Молодец!

– Но мне больше нравится, когда не приходится разрезать яблоки на части. Особенно я люблю дружные числа.

– Не припомню такого математического понятия.

– Сейчас объясню. Это такие числа, которые делятся на два. И тогда два друга получают одинаковое количество чего-либо после деления. Две шоколадки делим на двух друзей – каждому достанется по одной, десять воздушных шариков делим – у каждого будет по пять.

– Понял! Ты про чётные числа говоришь, они на два без остатка делятся. Но нечётные числа ты несправедливо обидел: они тоже могут быть дружными. Разве у тебя только два друга? Возьмём нечётное число девять. Можно поделить девять книжек между тремя школьниками. Или другое нечётное число – двадцать пять. Разделим двадцать пять кубиков между пятью друзьями-малышами.

– Каждый из трёх школьников получит по три книжки, а каждый из пяти малышей – по пять кубиков. Ты прав: и нечётные числа бывают дружными.

– А какие числа называют круглыми, помнишь?

– Да, те, что нулём оканчиваются: 10, 70, 100, 250. Круглые числа делятся на 10 без остатка… Дядя Кузя мы с тобой так цифрами и числами увлеклись, что не заметили, как мама-этруска урок математики закончила. Теперь малыши палочками на песке рисуют. Ох, и смешные же у них рисунки получаются! Прямо как у меня твой портрет или осьминог-одиннадцатиног. Похоже, малыши не знают, как математика им в рисовании может помочь. И я не знаю. Ты обещал рассказать, да так и не рассказал.

– Обещания надо выполнять. Настраиваю времяскок. 770 год до нашей эры. Древняя Греция.

Задание

Осмотри комнату и с помощью двоичной системы счисления, которой пользовались туземцы островов Торресова пролива, сосчитай, сколько ножек у стула, лампочек в твоей люстре, ушей у кота, ручек на входной двери, чашек на столе, пуговиц на папином пиджаке, гласных в твоём имени. Запиши свои ответы, а рядом напиши привычные нам числа. Что удобнее?