Текст книги "Относительность. Мои искания и стремления"

Геометрия мира

Размышления об отношении неевклидовой геометрии к физике с необходимостью приводят к вопросу о соотношении между геометрией и физикой вообще. Этот последний вопрос мы прежде всего и будем иметь в виду и при этом постараемся по возможности не касаться спорных философских вопросов.

В древнейшие времена геометрия, несомненно, была полуэмпирической наукой – чем-то вроде примитивной физики. За точку принималось тело, размерами которого можно пренебречь. Прямая определялась либо с помощью точек, которые можно совместить в направлении луча зрения, либо с помощью натянутой нити.

Таким образом, мы имели дело с понятиями, которые – как и всякие понятия – не взяты непосредственно из опыта, или, другими словами, логически не вытекают из опыта, но все-таки находятся в прямом отношении к объектам наших переживаний. Предложения относительно точек, прямых, равенства отрезков и углов были при таком состоянии знания в то же время и предложениями относительно известных переживаний, связанных с предметами природы.

Такая геометрия превратилась в математическую науку, как только было понято, что большая часть ее предложений может быть чисто логическим путем выведена из небольшого числа предложений, получивших название аксиом. Наука, которая занимается исключительно логическими отношениями между данными предметами, устанавливаемыми по заданным правилам, есть математика.

Вывод отношений занимал тогда главное место в кругу научных интересов, поскольку самостоятельное построение логической системы, независимое от ненадежных, случайных внешних опытов, всегда было неотразимо привлекательным для человеческого духа.

Свидетельствами эмпирического происхождения геометрии остались в ее системе только основные понятия (точка, прямая, отрезок и т. д.) и так называемые аксиомы. Число этих логически неприводимых основных понятий и аксиом стремились свести к минимуму. Стремление извлечь всю геометрию из смутной области эмпирического незаметно привело к ошибочному заключению, которое можно уподобить превращению героев древности в богов. Мало-помалу привыкли ко взгляду на основные понятия и аксиомы как на «очевидные», т. е. как на предметы и качества представления, присущие человеческому духу; согласно этому взгляду, основным понятиям геометрии соответствуют предметы интуиции, и отрицание той или иной аксиомы геометрии никоим образом не может быть осуществлено непротиворечиво. Но тогда самая возможность приложения этих основных понятий и аксиом к объектам действительности становится той самой задачей, из которой возникло кантовское понимание пространства.

Второй мотив для отказа геометрии от ее эмпирической основы дала физика. Согласно ставшему гораздо более утонченным взгляду физики на природу твердых тел и света, в природе не существует таких объектов, которые бы по своим свойствам точно соответствовали основным понятиям евклидовой геометрии. Твердое тело не может считаться абсолютно неизменяемым, а луч света точно не воспроизводит ни прямую линию, ни даже вообще какой-либо образ одного измерения. По воззрению современной науки, геометрия, взятая в отдельности, не соответствует, строго говоря, вообще никаким опытам; она должна быть приложена к объяснению их совместно с механикой, оптикой и т. д. Так как, сверх того, геометрия должна предшествовать физике, поскольку законы последней не могут быть выражены без помощи геометрии, то геометрия и должна казаться наукой, логически предшествующей всякому опыту и всякой опытной науке.

Таковы причины, по которым не только математикам и философам, но и физикам начала XIX столетия основы евклидовой геометрии казались абсолютно незыблемыми.

* * *

В течение всего XIX столетия физику, если он не интересовался специально теорией познания, вопрос о соотношении геометрии и физики представлялся еще проще, схематичнее и категоричнее.

Точка зрения, которой он бессознательно придерживался, соответствовала двум положениям: понятия и основные теоремы евклидовой геометрии очевидны; твердые тела со сделанными на них отметками, при соблюдении некоторых предосторожностей, реализуют геометрическое понятие отрезка, лучи света реализуют прямую линию.

Есть только два способа прожить жизнь. Первый – будто чудес не существует.

Второй – будто кругом одни чудеса

Нужна была громадная работа, продолжавшаяся почти столетие, для того чтобы это положение существенно изменилось. Замечательно, что эта работа началась с чисто математических исследований еще задолго до того, как рамки евклидовой геометрии стали узкими для физики. В задачу математики входит обоснование геометрии при наименьшем числе аксиом. Среди аксиом Евклида была одна, которая казалась математикам непосредственно менее очевидной, чем другие; в течение долгого времени они стремились свести ее к другим, т. е. доказать ее с их помощью. Это была так называемая аксиома о параллельных. Так как все старания доказать ее ни к чему не привели, должно было постепенно выработаться предположение, что это доказательство невозможно, т. е. что эта аксиома не сводится к другим. Это предположение могло бы считаться доказанным, если бы удалось построить логически непротиворечивую научную систему, отличающуюся от евклидовой геометрии тем и только тем, что аксиома о параллельных заменена другой.

После этого у математиков не могло не возникнуть убеждения, что наряду с евклидовой геометрией существуют и другие, логически с нею вполне равноправные. Естественно возникал также вопрос, должна ли быть положена в основание физики именно евклидова геометрия, а не какая-нибудь другая. Вопрос был поставлен в еще более определенной форме: какова геометрия физического мира – евклидова или какая-нибудь другая?

Много спорили о том, имеет ли смысл этот вопрос. Для уяснения данного спора необходимо последовательно провести одну из следующих двух точек зрения. С одной стороны, можно принять, что геометрическое «тело» действительно реализуется физическими твердыми телами, если только, конечно, соблюдены известные предписания относительно температуры, механических напряжений и т. п. Такова точка зрения практического физика-экспериментатора. Тогда геометрический «отрезок» соответствует определенному объекту природы, и тем самым все предложения геометрии приобретают характер утверждений относительно реальных тел. Эта точка зрения была особенно ясно высказана Гельмгольцем; можно добавить, что без нее невозможно было бы практически подойти к теории относительности.

Но, с другой стороны, возможно и принципиальное отрицание существования предметов, соответствующих основным понятиям геометрии. Тогда одна геометрия сама по себе не может высказать никаких положений относительно реальных предметов; такие положения могут быть даны только вместе геометрией и физикой. Эта точка зрения, которая могла бы больше соответствовать систематическому изложению уже готовой физики, была особенно ясно высказана Пуанкаре. С этой точки зрения все содержание геометрии условно; решение вопроса о том, какая геометрия предпочтительнее, зависит от того, насколько «проста» та физика, которая в этом предположении окажется наиболее согласованной с опытом.

* * *

Мы примем первую точку зрения как наиболее отвечающую современному состоянию наших знаний. С этой точки зрения вопрос о применимости или неприменимости евклидовой геометрии приобретает ясный смысл. Евклидова геометрия, как и геометрия вообще, сохраняет характер математической науки, так как вывод ее теорем из аксиом по-прежнему остается чисто логической задачей, но в то же время она становится и физической наукой, так как ее аксиомы содержат в себе утверждения относительно объектов природы, справедливость которых может быть доказана только опытом.

Однако мы должны постоянно помнить, что та идеализация, которая состоит в утверждении, что в природе действительно существуют неизменяемые масштабы, может потом оказаться либо совсем неприменимой, либо оправдываемой только по отношению к некоторым определенным явлениям природы. Общая теория относительности уже доказала неприменимость этого понятия ко всем областям, размеры которых не могут считаться малыми с точки зрения астрономии. Быть может, квантовая теория будет в состоянии показать неприменимость этого понятия на расстояниях порядка размеров атомов. И то, и другое считал возможным Риман.

Заслуга Римана в развитии идей о соотношении между геометрией и физикой двояка. Во-первых, он открыл сферическую (эллиптическую) геометрию, которая является антитезой гиперболической геометрии Лобачевского. Таким образом, он впервые указал на возможность геометрического пространства конечной протяженности. Эта идея была сразу воспринята и привела к постановке вопроса о конечности физического пространства. Во-вторых, Риман имел смелость создать геометрии несравненно более общие, чем геометрия Евклида или неевклидовы геометрии в более узком смысле. Он создал, таким образом, «риманову» геометрию, которая (как и неевклидовы геометрии в более узком смысле) только в бесконечно малом совпадает с евклидовой; эта геометрия является результатом применения гауссовой теории поверхностей к континууму произвольного числа измерений. Сообразно с этой более общей геометрией метрические свойства пространства и различные возможности расположения бесконечно большого числа бесконечно малых неизменяемых тел в конечных областях не определяются исключительно аксиомами геометрии. Вместо того чтобы быть смущенным этим выводом и заключить о физической бессмысленности своей системы, Риман пришел к смелой мысли, что геометрические отношения тел могут быть обусловлены физическими причинами, т. е. силами.

Таким образом, путем чисто математических рассуждений он пришел к мысли о неотделимости геометрии от физики; эта мысль нашла свое фактическое осуществление семьдесят лет спустя в общей теории относительности, которая соединила в одно целое геометрию и теорию тяготения.

Теория относительности

Основные понятия

Как я уже не раз говорил, классическая механика страдает фундаментальным недостатком, закрывать глаза на который не может ни один человек, способный понимать доводы гносеологического характера. Я поясню главную особенность этого положения на элементарном примере, чтобы оттенить наиболее существенное.

В мировом пространстве на большом расстоянии от всех небесных тел движутся две массы. Пусть они находятся достаточно близко друг к другу, чтобы взаимодействие между ними было заметным. Пусть за движением этих двух тел следит наблюдатель, постоянно смотрящий вдоль линии, соединяющей две массы, на совокупность неподвижных звезд. Он увидит, что линия, по которой он смотрит, вычерчивает на видимой совокупности неподвижных звезд замкнутую кривую, положение которой по отношению к неподвижным звездам не меняется. Если наблюдатель обладает природным разумом, но не знает ни геометрии, ни механики, то он сделает следующий вывод: «Мои массы совершают движение, причинно связанное, хотя бы отчасти, с системой неподвижных звезд. Законы, по которым движутся массы в моей окрестности, определяются вместе с тем и неподвижными звездами».

Человек, постигший школьную премудрость, посмеется над простодушием нашего наблюдателя и скажет ему: «Движение твоих масс не имеет ничего общего с неподвижными звездами; совершенно независимо от прочих масс оно определяется законами механики. Существует пространство R, в котором эти законы выполняются. Эти законы таковы, что твои массы все время остаются в одной плоскости данного пространства. Но система неподвижных звезд в этом пространстве не может вращаться, потому что в противном случае она была бы разорвана мощными центробежными силами. Следовательно, эта система с необходимостью покоится (по крайней мере, почти!), если она вообще в состоянии существовать длительно; поэтому-то плоскость, в которой движутся твои массы, всегда пересекает одни и те же неподвижные звезды».

Но наш бесстрашный наблюдатель скажет: «Может быть, ты несравненно ученее меня, но в нечто громадное, о котором ты мне говоришь, называя его пространством, я верю так же мало, как и в призраки. Я не могу ни видеть это пространство, ни представить его мысленно. Должен ли я представлять себе твое пространство как очень тонкую сетку из тел, к которой относятся другие объекты? Тогда, кроме R, можно представить себе и вторую такую сетку R’, которая движется относительно R произвольным образом (например, вращается). Выполняются ли тогда твои уравнения и относительно R’».

Ученый муж будет отрицать это с полной уверенностью. На это простодушный наблюдатель скажет: «Откуда же тогда знают массы, относительно какого "пространства" R, R’ и т. д. они должны двигаться в соответствии с законами теории относительности, как они узнают пространство или пространства, к которым они должны подстраиваться?» Теперь наш ученый муж придет в величайшее смущение. Хотя он и подчеркнет, что подобные привилегированные пространства должны существовать, но не сумеет указать никакой причины тому, почему одни пространства могут отличаться от других. На это простодушный заметит: «Тогда я вплоть до выяснения буду считать твои привилегированные пространства праздным измышлением и останусь при своем убеждении, что совокупность неподвижных звезд определяет механические свойства моих подопытных масс».

* * *

Несоблюдение элементарнейших постулатов теории познания, допускаемое нашей физикой, я изложу и вторым способом. Предпринимались тщетные попытки определить, что следует понимать под ускорением одного-единственного тела. Удалось лишь определить относительные ускорения тел. Однако, с другой стороны, мы основываем нашу механику на предпосылке, что для ускорения тела необходима сила (причина), причем мы не замечаем, что совершенно невозможно указать, что же следует при этом понимать под «ускорением», ибо могут существовать только относительные ускорения рассматриваемого объекта восприятия.

Сомнительность нашего способа действий очень ясно иллюстрируется сравнением, за которое я обязан своему другу Бессо. Представим себе, что мы перенеслись в древние времена, когда предполагали, что поверхность Земли приблизительно плоская. Тогда среди ученых царило следующее убеждение. В мире существует физически выделенное направление – вертикальное. В этом направлении падают все тела, не имеющие опоры. Отсюда следует заключить, что поверхность Земли в основном перпендикулярна этому направлению, т. е. стремится к форме плоскости. Ошибка состоит здесь в том, что одно направление необоснованно предпочитается другому (фиктивная причина), вместо того чтобы просто считать Землю причиной падения; ошибка нашей физики в том, что в качестве фиктивных причин необоснованно вводятся привилегированные системы отсчета; в обоих случаях нарушается правило достаточного основания.

Поскольку не только классическая механика, но и теория относительности в узком смысле обладают этим фундаментальным недостатком, я и поставил своей целью обобщить теорию относительности таким образом, чтобы устранить его. Прежде всего я понял, что в такой теории наиболее фундаментальная роль должна принадлежать тяготению. Ибо из ранее сказанного уже вытекает, что всякий физический процесс, поскольку ему соответствует энергия, должен порождать и гравитационное поле. С другой стороны, опытный факт, что все тела падают в гравитационном поле одинаково быстро, приводит к предположению, что в гравитационном поле физические процессы протекают точно так же, как и в ускоренной системе отсчета (гипотеза эквивалентности).

Исходя из этой гипотезы, я получил результат, что скорость света нельзя считать не зависящей от гравитационного потенциала. Следовательно, принцип постоянства скорости света несовместим с гипотезой эквивалентности; поэтому теорию относительности в узком смысле нельзя привести в согласие с этой гипотезой. Так я пришел к выводу, что теорию относительности в узком смысле следует считать достаточной только в областях, внутри которых не существует заметных изменений гравитационного потенциала. Теорию относительности (в узком смысле) следует заменить более общей теорией, в которую первая теория входила бы как предельный случай.

Путь к этой теории можно описать словами далеко не полностью. Закон движения материальной точки в поле тяжести, следующий из гипотезы эквивалентности, можно без труда записать в такой форме, что этот закон совершенно не будет зависеть от выбора переменных, определяющих пространство и время. Тем самым, поскольку выбор этих переменных остается априори совершенно произвольным, т. е. не выделяются никакие определенные пространственно-временные системы, отпадает и отмеченное выше возражение гносеологического характера.

Таким образом, теория относительности в широком смысле означает не отбрасывание прежней теории относительности, а дальнейшее развитие последней, необходимое, по-моему, в связи с указанными гносеологическими соображениями.

Принцип относительности

…Уже поверхностный анализ процессов, называемых нами движением, учит нас, что можно воспринимать только относительные движения предметов. Сядем в железнодорожный вагон и будем смотреть на движущийся мимо нас (по соседнему пути) другой вагон. Если отвлечься от тряски вагона, то у нас сперва нет никакого способа решить, движутся ли «в действительности» оба вагона. Мы только констатируем, что относительное положение двух вагонов изменяется со временем. Даже если обратим внимание на стоящие рядом с дорогой телеграфные столбы, ситуация существенно не изменится. Ибо когда мы обычно называем телеграфные столбы (и поверхность земли) «покоящимися», а всякий находящийся в относительном движении к ним предмет «движущимся», то это только обычно удобный способ выражения и ничего больше. Наблюдатель, находящийся в «движущемся» железнодорожном вагоне, с совершенно таким же правом может сказать, что вагон покоится, а земля или же телеграфные столбы движутся.

С течением времени физики обнаружили, что этот чисто относительный характер движения следует объяснять не только примитивностью восприятий, но что каждый из предметов, движущихся относительно друг друга (равномерно), можно называть «покоящимся» с таким же правом, как и любой другой. Представим себе опять равномерно движущийся по прямолинейному пути вагон. Пусть его окна не пропускают воздух и свет; рельсы и колеса пусть будут абсолютно гладкими. Пусть в вагоне находится физик, вооруженный всеми мыслимыми приборами. Тогда мы знаем, что все опыты, проделываемые физиком, проходят точно так, как если бы вагон покоился или двигался с другой скоростью. Это и есть, в сущности, то утверждение, которое физики называют «принципом относительности». В несколько более общей форме этот принцип можно высказать и так: «Законы природы, которые замечает наблюдатель, оказываются не зависящими от его состояния движения».

Это утверждение звучит безобидно и естественно. Оно никогда не взволновало бы людей, если бы законы распространения света, к которым привело новейшее развитие электродинамики, не казались несовместимыми с этим принципом. Дело в том, что явления оптики движущихся сред привели к выводу, что свет распространяется в пустоте с постоянной скоростью, совершенно независимой от движения источника света. Однако этот результат выглядит противоречащим только что изложенному принципу относительности. Ибо если луч света распространяется с постоянной скоростью относительно некоторого наблюдателя, то кажется, что относительно другого наблюдателя, который сам движется в направлении распространения света, скорость этого луча света должна быть меньше, чем относительно первого наблюдателя. Но если бы это было так, то в противоречии с изложенным выше принципом относительности закон распространения света в пустоте не был бы одинаковым для наблюдателей, равномерно движущихся относительно друг друга.

Здесь вступает в дело теория относительности. Она показывает, что закон постоянства скорости света в пустоте должен одновременно выполняться для движущихся относительно друг друга наблюдателей таким образом, что один и тот же луч света имеет одну и ту же скорость относительно всех этих наблюдателей.

Возможность такого, на первый взгляд, парадоксального утверждения показывается более тщательным анализом физического смысла высказываний о пространстве и времени. При этом особенно важным является вывод об относительности понятия одновременности. Ведь до создания теории относительности полагали, что утверждение о том, что два события в разных точках происходят одновременно, имеет определенный смысл, причем не требовалось особого определения понятия одновременности. Однако более глубокое исследование, которое не отказывается от определения одновременности, показало, что одновременность двух событий можно определить не абсолютно, а по отношению к наблюдателю с заданным состоянием движения. Оказывается, что два события, одновременных для одного наблюдателя, для другого, движущегося относительно первого наблюдателя, вообще говоря, не будут одновременными. Это означает фундаментальное изменение нашего понятия времени.

Именно в этом заключается наиболее важный и вместе с тем наиболее оспариваемый вывод новой теории. Объединяя закон постоянства скорости света в пустоте и принцип относительности, приходят чисто дедуктивным путем к теории, называемой ныне «теорией относительности». Эта теория уже оправдала себя в качестве вспомогательного аппарата для теоретического вывода законов природы. Ее значение в том, что она дает условие, которому должен удовлетворять каждый общий закон природы. Ибо она учит, что природа устроена таким образом, что ее законы не зависят от состояния движения наблюдателя, к которому относятся события в пространстве и времени.

* * *

Из основных результатов теории относительности мы упомянем здесь два, которые должны интересовать и неспециалистов. Первый из них заключается в том, что от гипотезы о существовании среды, заполняющей пространство и служащей для распространения света, – эфира – надо отказаться. Свет, согласно этой теории, рассматривается уже не как движение неизвестного носителя, а как физическое явление, которому следует приписывать совершенно самостоятельное физическое существование. Во-вторых, теория показывает, что инерция тела не является абсолютно неизменной, она растет с его энергией. Важные законы сохранения массы и энергии сливаются таким образом в один-единственный закон; энергия тела определяет и его массу.

Является ли очерченная выше теория относительности в основном законченной, или же она представляет только первый шаг на пути дальнейшего развития? По этому вопросу даже физики, ценящие теорию относительности, еще не имеют единого мнения. Однако, во всяком случае, веские аргументы говорят в пользу последнего утверждения. Выше было сказано, что законы природы для «равномерно движущегося» и «покоящегося» наблюдателей в точности одинаковы. Это значит, что наблюдатель не может указать какие-либо критерии, согласно которым можно решить, находится он в состоянии равномерного движения или в покое; «покой» и «равномерное движение» физически равноценны. Тогда возникает вопрос, ограничивается ли этот принцип равномерным движением. Может быть, законы природы устроены так, что они одинаковы и для двух наблюдателей, движущихся относительно друг друга неравномерно?

В последние годы выяснилось, что такое обобщение теории относительности возможно и что оно приводит к общей теории относительности, в качестве первого приближения содержащей теорию Ньютона. Согласно общей теории относительности, свет в гравитационном поле испытывает искривление, хотя и очень малое, но еще доступное астрономическим наблюдателям. Будущее покажет, соответствует ли действительности эта обобщенная теория относительности, являющаяся весьма удовлетворительной с теоретико-познавательной точки зрения.