Текст книги "Физика движения. Альтернативная теоретическая механика, или Осознание знания. Книга в двух томах. Том II"

Интересным свойством антициклонов умеренных широт является то, что они как бы преследуют циклоны. В таком случае малоподвижное состояние вполне характеризует антициклон. Погода, образуемая этим вихрем, малооблачная и сухая. Ветра практически не наблюдается.

Циклоны и антициклоны. Сходства и отличия

Для того чтобы разобраться лучше, что такое антициклон и циклон, нужно сравнить их. Определения и главные аспекты этих явлений мы выяснили. Остается открытым вопрос о том, чем отличаются циклоны и антициклоны. Таблица покажет эту разницу более четко.

Таким образом, мы видим, чем отличаются циклоны и антициклоны. Таблица показывает, что это не просто противоположности, природа их возникновения совершенно разная». (Как может быть разная природа у одного и того же явления Кориолиса? Это что же получается, есть силы Кориолиса и есть силы Антикориолиса или Антисилы Кориолиса, которые образуются при переизбытке массы? Вот так договорились! Кому-то пора принимать таблетки!)

5. КЛАССИКИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ О ЯВЛЕНИИ КОРИОЛИСА

5.1. Геометрический вывод ускорения Кориолиса Н. Е. Жуковского

Н. Е. Жуковский

Жуковский Н. Е. в работе «Теоретическая механика» издание второе, ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАНИЕ ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА-ЛЕНИНГРАД 1952 предлагает следующий графический вывод формулы ускорения Кориолиса (см. фотокопии ниже):

Относительное движение в работе Жуковского криволинейное. Значит, в рассматриваемом случае присутствует нормальная составляющая относительной скорости. Однако, хотя Жуковский рассматривает наиболее общий случай сложного движения, в котором теоретически присутствует радиальная и нормальная составляющие относительного движения, в его выводе фактически приводится физический механизм определения ускорения Кориолиса только для радиального относительного движения.

В соответствии с академическим понятием о девиации траектория относительного движения в выводе Жуковского раскладывается на девиацию и условную траекторию в виде прямой линии, пройденную движущейся точкой за время (τ) с постоянной относительной скоростью (u), которую имела движущаяся точка в относительном движении в начальный момент рассматриваемого интервала времени. При этом приращение поворотного движения определяется как длина дуги (QN), описанной радиусом (OQ = DQ * sin θ = u * τ * sin θ), являющимся радиальной составляющей условной траектории относительного движения (DQ) в отсутствии ускорения относительного движения, осуществляющегося со скоростью (u) за время (τ). Проекция условной траектории относительного движения (DQ) на перпендикулярное радиусу направление Жуковским не рассматривается.

Девиация относительного движения (NF) некоторым образом учитывает нормальную составляющую относительного движения. Однако девиация (NF) геометрически начинается из конечной точки дуги (QN), которая соответствует окончанию поворотного движения в рассматриваемом интервале времени (τ). Следовательно, положение точки (F) и величина девиации относительного движения (NF) никоим образом не могут влиять на длину отрезка (QN), который Жуковский и рассматривает в своём выводе как приращение поворотного движения.

Несмотря на то, что в соответствии с переносным вращением фактически осуществляется поворот всей траектории относительного движения (АС), приращение поворотного движения определяется Жуковским только по повороту проекции условной траектории относительного движения на радиальное направление. Проекция условной траектории относительного движения на перпендикулярное радиусу направление и приращение поворотного движения при относительном движении, перпендикулярном радиусу, которое с классической точки зрения также происходит за счёт ускорения Кориолиса, в работе Жуковского не определены ни геометрически, ни физически.

Таким образом, в выводе Жуковского фактически речь идёт исключительно об ускорении Кориолиса, проявляющемся при радиальном относительном движении, несмотря на попытку представить его как вывод ускорения Кориолиса в общем случае сложного движения при произвольном направлении относительного движения. Связь ускорения Кориолиса, проявляющегося при радиальном относительном движении с полным ускорением Кориолиса, Жуковским физически не установлена. Поэтому в выводе Жуковского не может считаться доказанным соответствие формулы вида (66.7) общему ускорению Кориолиса при произвольном направлении относительного движения.

К тому же, как и во всех предыдущих случаях, рассмотренных выше, вызывает сомнение правильность определения приращения поворотного движения при радиальном относительном движении. Жуковский также как и все другие авторы, рассматривающие явление Кориолиса, при определении девиации поворотного движения не учитывает изменение радиуса элементарного поворота внутри бесконечно малого интервала времени поворотного движения.

Классическая теоретическая механика утверждает, что всякое перемещение неизменяемой системы может быть достигнуто одним поступательным движением и одним вращательным движением. Траектория относительного движения перемещается поступательно вдоль траектории переносного движения до точки соответствующей конечному моменту рассматриваемого интервала времени. Затем траектория относительного движения поворачивается относительного мгновенного центра вращения подвижной системы координат на угол, соответствующий повороту радиуса переносного движения за рассматриваемый интервал времени.

Таким образом, легко получить координаты движущейся точки на абсолютной траектории для времени (τ). Однако одних только координат движущейся по абсолютной траектории точки в конце рассматриваемого интервала времени недостаточно для определения абсолютного ускорения. Необходимо учитывать реальную траекторию движения точки внутри рассматриваемого интервала времени, т.е. необходимо знать все текущие координаты составляющих абсолютного движения в рассматриваемом минимальном интервале времени дифференцирования.

В выводе Жуковского в поворотном движении участвует не вектор радиальной составляющей относительной скорости, а проекция (ОQ) условной траектории относительного движения (DQ = DN) за время (τ) на радиус переносного вращения. Таким образом, речь идёт не о приращении вектора радиальной скорости по направлению, т.е. годографе радиальной скорости, а о приращении поворотного пути, пройденного за счёт поворотного ускорения за время (τ) или о девиации поворотного движения, которая, как мы установили выше, не может быть равна длине дуги (QN). Приращение поворотного движения можно определить и через годограф радиальной составляющей относительной скорости. Однако при этом необходимо помнить, что дополнительное приращение радиальной скорости – есть полное приращение поворотного движения. В работе же Жуковского речь идёт об определении ускорения Кориолиса именно через классическую девиацию поворотного движения.

Поскольку отрезок (QN) в выражении (54) рассматривается как девиация поворотного движения (QN_Д), то его величину необходимо определять с учётом реального поворотного движения, в котором радиус поворота (ОQ), связанный с переносным вращением непрерывно изменяется за счёт радиальной составляющей относительного движения, в том и числе и внутри минимального интервала времени (τ).

Девиация поворотного движения, как мы установили выше, равна дуге окружности, описанной средним радиусом поворотного вращения за рассматриваемый минимальный интервал времени дифференцирования. Только с учетом среднего радиуса поворотного движения в минимальном интервале времени выражение (54) Жуковского можно считать правомерным.

Во время реального поворотного движения радиус поворотного движения за время (τ) изменяется от нуля в момент времени (t), когда (τ = 0) до максимального значения (ОQ), равного (ОQ = u * τ * sinθ) в момент времени (t+τ). Поэтому для расчета девиации поворотного движения (QN_Д) необходимо учитывать средний радиус поворотного движения (u * τ * sin θ / 2) равный половине (ОQ) аналогично тому, как мы это делали при определении ускорения Кориолиса через девиацию поворотного движения (см. главу 4.1 ПЕРВЫЙ ВАРИАНТ ПРОЯВЛЕНИЯ УСКОРЕНИЯ КОРИОЛИСА, СКОРОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НАПРАВЛЕНА ВДОЛЬ РАДИУСА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ, Рис.4.1.5).

Следовательно, девиация (QN_Д) равна:

QN_Д = (1 / 2) * (ОQ) * ω * τ * sin θ = (1 / 2) * (u * τ) * ω *

* τ * sin θ = (1/2) * u * ω * τ² * sin θ = (τ² / 2) * u * ω * sin θ

Девиация криволинейного движения определяется формулой для пути прямолинейного равноускоренного движения:

S = a * t² / 2

Заменив ускорение (а) ускорением Кориолиса (k), а время t временем (τ) получим для (QN_Д):

QN_Д = (τ² / 2) * k

Приравняв два выражения для (QN_Д), найденных через угловую скорость и через ускорение Кориолиса получим:

(τ² / 2) * u * ω * sin θ = (τ² / 2) * k

Отсюда ускорение Кориолиса равно:

k = u * ω * sin θ

Подобный вывод формулы ускорения Кориолиса мы уже приводили выше (см. вывод формулы ускорения Кориолиса (4.8); Рис. 4.1.5; 4.1.6), где также обращали внимание, что для определения пути, пройденного с ускорением Кориолиса через угловую скорость переносного вращения, необходимо учитывать средний радиус поворота в рассматриваемом интервале времени.

Можно также воспользоваться уравнением (54) первоисточника с учетом найденного нами значения девиации (QN_Д). Подставляя девиацию поворотного движения (QNд = τ² / 2 * u * ω * sin θ) в равенство (54) и разделив все члены равенства на (τ² / 2) получим линейное ускорение, эквивалентное ускорению Кориолиса:

k = u * ω * sin θ

Таким образом, с учетом изменения радиуса поворотной части абсолютного ускорения, значение поворотного ускорения получилось ровно вдвое меньше, чем в выводе формулы ускорения Кориолиса, приведенном Жуковским.

При этом многоугольник PQNF (Фиг. 46 по Жуковскому) примет вид PQ₁N₁F (см. Рис.5.1.1).

Рис. 5.1.1

Стороны многоугольника PQNF соотносятся со сторонами многоугольника PQ₁N₁F следующим образом:

PQ₁ = PQ

N₁F = NF

Q1N1 = QN_Д = QN / 2

В связи с изменением длины (QN) в нашей интерпретации, изменились и направления девиации относительного и переносного движений. Однако в первоисточнике (см. Рис. 46) направление и величина геометрических отрезков девиации не являются строго обоснованными, они показаны схематично, тем более что Жуковский допускает несовпадение по направлению отрезков (НС) и (NF), которые при минимизации времени (τ) должны сливаться.

Возможно, если наша версия ускорения Кориолиса верна, то направление и величина отрезков девиации относительного, переносного и поворотного движений в многоугольнике PQ₁N₁F больше соответствуют действительности, чем направление и величина этих же отрезков в многоугольнике PQNF. Хотя в конечном итоге это не имеет принципиального значения, т.к. ориентация девиации в пространстве является условно академической.

Таким образом, если в выводе Жуковского учесть реальное изменение радиуса поворота в процессе поворотного движения, то мы получим значение абсолютного ускорения сложного движения и поворотного ускорения Кориолиса отличные от их классических значений для первого варианта проявления ускорения Кориолиса. Аналогичные замечания можно предъявить и к геометрическому выводу ускорения Кориолиса С. М. Тарга.

5.2. Геометрический вывод ускорения Кориолиса С. М. Тарга

Вывод Тарга, на наш взгляд, по существу полностью повторяет вывод А. Н. Матвеева представленный в работе «Механика и теория относительности», 3-е издание, Москва, «ОНИКС 21 век», «Мир и образование», 2003 г., допущенной в качестве учебника для студентов высших учебных заведений. Соответственно все наши замечания к выводу формулы ускорения Кориолиса в работе Матвеева мы можем переадресовать и к Таргу.

С. М. Тарг

С. М. Тарг «Краткий курс теоретической механики» МОСКВА, ВЫСШАЯ ШКОЛА 1986 доказывает теорему Кориолиса следующим образом (см. фотокопии ниже).

Кроме рассмотренных выше геометрических выводов ускорения Кориолиса существуют так называемые аналитические методы определения ускорения Кориолиса через дифференцирование приращения координат абсолютного движения.

5.3. Аналитический вывод ускорения Кориолиса И. М. Воронкова

И. М. Воронков в «Курсе теоретической механики» ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1954 §91. Теорема Кориолиса определяет полное ускорение следующим образом (см. Рис.5.3.1):

Рис. 5.3.1

r = r₀′ + r′

r′ = х′ * i′ + y′ * j′ + z′ * k′

r = r₀′ + х′ * i′ + y′ * j′ + z′ * k′

Переносная скорость (v_е) равна производной от радиус-вектора (r) по d (t) при переменных ортах i, j, k:

v_е = dr_о′ / dt + х′ di′ / dt + у′dj′ /dt + z′dk′/ dt

Переносное ускорение (w_e) равно производной переносной скорости (v_е) по (dt), при переменных ортах i, j, k и постоянных координатах х/, у/, z/:

w_e = d²r_о/ / dt² + х/ d²i/ / dt² + у/ d²j/ / dt² + z/d²k/ / dt²

Относительная скорость (v_r) равна производной (r′) по (dt) при переменных координатах х′, у′, z′ и постоянных ортах i, j, k:

v_r = i′ dх′/ dt + j dу′ / dt + k′ d z′ / dt

После дифференцирования последнего выражения при постоянных ортах i, j, k получим относительное ускорение (w_r):

w_r = id² х/ / dt² + jd²у/ / dt² + kd²z/ / dt²

Далее для определения абсолютного ускорения (w_а), Воронков предлагает продифференцировать по времени левые и правые части выражения для абсолютной скорости (v_a) при переменных координатах (х′,у′,z′,i′,j′,k′):

v_a = v_e + v_r

w_a = dv_a / dt = dv_r / dt + dv_e / dt

dv_e / dt = d²r_о/ / dt² + х/d²i/ / dt² + у/d²j/ / dt² + z/d²k// dt² +

+ (dx/ / dt * di/ / dt + dу/ / dt * dj/ / dt + dz/ / dt * dk/ / dt) =

= w_e + (dx′/ dt * di′/ dt + dу′ /dt * dj′/ dt + d z′ / dt * dk′/ dt)

dv_r / dt = id² х/ / dt² + jd²у/ / dt² + kd²z/ / dt² +

+ (dx′/ dt * di′ / dt + dу′/ dt * dj′/ dt + d z′/ dt * dk′ / dt) =

= w_r + (dx′/ dt * di′/ dt + dу′ / dt * dj′/ dt + d z′/ dt * dk′ / dt)

учитывая, что :

di′ / dt = v_r (i′) = ω * i′

dj/ / dt = v_r (j′) = ω * j′

dk/ / dt = v_r (k′) = ω * k′,

то выражение в скобках в уравнениях для (dv_e/dt) и для (dv_r/dt) примет вид:

(dx′ / dt * di′/ dt + dу′ / dt * dj′ / dt + d z′ / dt * dk′/ dt) =

= ω * v_r

Подставляя в уравнение для (dv_e/dt) и для (dv_r/dt) вместо скобок выражение (ω*v_r), получим:

dv_e / dt = w_e + ω * v_r

dv_r / dt = w_r + ω * v_r

Складывая два последних выражения, определим абсолютное ускорение (w_а):

w_а = w_e + w_r +2 * ω * v_r

Воронков, к сожалению, не дает разъяснений, касающихся физического смысла производных по времени (dv_e / dt) и (dv_r / dt) при переменных значениях (х′,у′,z′,i′,j′,k′), хотя это, на наш взгляд, очень важно с точки зрения физического смысла поворотного ускорения Кориолиса. Именно об этом мы говорили при анализе вывода Матвеева и Тарга. Рассмотрим подробнее дифференцирование переносной скорости при переменных координатах (х′,у′,z′,i′,j′,k′). Дифференциал (dv_е / dt) при переменных (i′,j′,k′) это есть непосредственно переносное ускорение (w_e) по определению. А дифференциал переносной скорости (dv_е / dt) при переменных (х′,у′,z′) учитывает дополнительное изменение переносной скорости при осуществлении относительного движения. Действительно, продифференцируем переносную скорость при переменных (х′,у′,z′):

v_е / dt = (dr_о ′ / dt + х′i′ / dt + у′dj′/ dt + z′dk′ / dt) / dt

Дифференциал (dr_о′/dt) = 0, т.к. радиус-вектор (r_о) не зависит от переменных (х′,у′,z′). При дифференцировании оставшихся членов в выражении для относительной скорости (v_е) при переменных (х′,у′,z′) получаем:

v_е/dt = (х′ di/ / dt + у′dj/ / dt + z′dk′ / dt) / dt =

= (dх′ / dt * di′ / dt + dу′ / dt * dj′ / dt + d z′ / dt * dk′ / dt) =

= ω * v_r

Таким образом, переносное ускорение тела при относительном движении это сумма переносного ускорения точки подвижной системы, в которой в данный момент времени находится тело и дополнительного ускорения Кориолиса.

Аналогичным образом рассмотрим подробнее дифференцирование относительной скорости (dv_r/dt) при переменных значениях (х′,у′,z′,i′,j′,k′). Дифференциал относительной скорости (dv_r/dt) при переменных (х′,у′,z′) это есть непосредственно относительное ускорение (w_r) по определению. А дифференциал относительной скорости (dv_r/dt) при переменных (i′,j′,k′) учитывает дополнительное изменение относительной скорости при осуществлении переносного движения.

Продифференцируем переносную скорость при переменных (i′,j′,k′):

dv_r/dt = (i′dх′ / dt +j dу′/ dt + k′d z′ / dt) / dt =

= (dх′ / dt * di′ / dt + dу′ / dt * dj′ / dt + d z′ / dt * dk′ / dt) = ω * v_r

Таким образом, относительное ускорение тела при переносном движении это сумма относительного ускорения и дополнительного ускорения Кориолиса.

Относительное ускорение при переносном движении отличается от относительного ускорения в отсутствии переносного движения на величину ускорения Кориолиса. Точно также как переносное ускорение при относительном движении отличается от переносного ускорения в отсутствии относительного движения на ту же самую величину. В обоих случаях и при дифференцировании (dv_e / dt) при переменных координатах (х′,у′,z′), и при дифференцировании (dv_r / dt) при переменных (i′,j′,k′) фактически дифференцируется одна и та же поворотная часть абсолютного движения. Поэтому присутствие в классической формуле абсолютного ускорения двойных членов поворотного ускорения Кориолиса означает, что одно и то же поворотное ускорение учтено дважды. Реальное абсолютное ускорение сложного движения, по нашему мнению, определяется выражением:

w_а = w_e + w_r + ω * v_r

Воронков безупречно выполнил математические преобразования, которые, однако, основаны на неправильном, на наш взгляд, представлении о реальном геометрическом приращении поворотного движения и природе ускорения Кориолиса. В результате поворотное ускорение Кориолиса в выводе Воронкова, как и в выводах других авторов, завышено вдвое за счет двойного учета одной и той же физической величины.

Аналитические выводы уравнения абсолютного ускорения и ускорения Кориолиса не ограничиваются методом, предложенным Воронковым. В теоретической механике представлены и другие варианты аналитического определения ускорения Кориолиса, которые по физической сущности мало чем отличаются от рассмотренного вывода Воронкова.

5.4. Аналитический вывод ускорения Кориолиса Н. Е. Жуковского и П. Аппеля

Так Жуковский Н. Е. в уже упомянутом выше труде (Н. Е. Жуковский, «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА», ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, МОСКВА-ЛЕНИНГРАД, 1952г.) в разделе «Определение ускорения Кориолиса аналитическим путем» и П. Аппель («Теоретическая механика» том первый ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1960) определяют абсолютное ускорение следующим образом.

Жуковский и Аппель находят выражение для абсолютного ускорения путем двойного дифференцирования приращения абсолютных координат в неподвижной системе координат. Абсолютные координаты определяются через координаты подвижной системы координат при помощи косинусов углов Эйлера. При этом в уравнении для абсолютного ускорения присутствуют выражения для переносного ускорения, относительного ускорения и дополнительного поворотного ускорения Кориолиса.

Координата (х) в неподвижной системе координат, выраженная через координаты подвижной системы координат при помощи косинусов углов Эйлера определяется выражением (нумерация формул оригинальная):

х = х₀ + а * х′ + в * y′ + с * z′ (1.41)

где:

х₀ – радиус-вектор абсолютной системы координат, определяющий начало подвижной системы координат;

х′, у′, z′ – оси подвижной системы координат;

х, у, z – оси абсолютной системы координат;

а, в, с – косинусы углов между соответствующими подвижными и неподвижными осями.

После двойного дифференцирования уравнения (1.41) получаем выражение для а (абс):

а (абс) = d²x₀ / dt² + х/d²а / dt² + у/d²в / dt² + z/d²с / dt² +

+ (da / dt * dx/ / dt + dв / dt * dy / dt + dc / dt * dz / dt) +

+ id² х′ / dt² + jd²у′ / dt² + kd²z′/ dt² +

+ (da / dt * dx/ / dt + dв /dt * dy / dt + dc / dt * dz / dt) (1.42)

где:

w_e = d²x₀ / dt² + х′d²а / dt² + у′d²в / dt² + z′d²с / dt² – переносное ускорение

w_r = id² х/ / dt² + jd²у/ / dt² + kd²z/ / dt² – относительное ускорение

w_k = 2* (da / dt * dx / dt + dв / dt * dy / dt + dc / dt * dz / dt) – ускорение Кориолиса

Таким образом, при дифференцировании абсолютных координат сложного движения по методу Жуковского и Аппеля поворотное ускорение Кориолиса также как и у Воронкова, вдове превышает значение ускорения Кориолиса в нашей версии. И это не удивительно. Вывод ускорения Кориолиса в редакции Жуковского и в редакции Аппеля ничем принципиально не отличается от вывода Воронкова, т.к. дифференциал суммы равен сумме дифференциалов.