Текст книги "Физика движения. Альтернативная теоретическая механика, или Осознание знания. Книга в двух томах. Том II"

Приращение поворотного движения определяется при переменных координатах абсолютной системы координат в предположении, что во время поворотного движения текущие координаты движущегося тела в подвижной системе координат остаются неизменными, а изменение относительных координат происходит при постоянных абсолютных координатах. При этом принципиально искажается физический смысл приращения поворотного движения, которое в классической физике ассоциируется с дугой окружности с максимальным в рассматриваемом интервале времени радиусом (см. выше, Глава 4.).

В классической физике не существует нескольких версий ускорения Кориолиса. Классическая формула ускорения Кориолиса уже больше двух сотен лет официально не претерпевает никаких изменений. Однако существенное отличие минимальных значений абсолютных ускорений в центре переносного вращения, найденных различными методами, которые с физической точки зрения и представляют собой поворотное ускорение Кориолиса, позволяет усомниться в исключительности и правильности классической версии ускорения Кориолиса.

На наш взгляд, классическое поворотное ускорение, которое определяется в составе абсолютного ускорения по формулам (7.2; 7.4), зависит от субъективной классической модели поворотного движения, т.к. классический метод дифференцирования поворотного движения основан на субъективных искусственных допущениях, которые ошибочны, как с физической, так и с математической точки зрения.

В методе определения абсолютного ускорения через годограф абсолютной скорости отсутствуют какие-либо искусственные допущения классической модели поворотного движения. Годограф абсолютной скорости учитывает реальное изменение скорости в любой момент времени независимо от того связано ли это изменение с поступательным движением или с вращательным движением. Каждая точка годографа соответствует реальному вектору скорости, как по величине, так и по направлению, а совокупность всех его точек эквивалентна изменению абсолютной величины скорости при любом виде движения.

Годограф скорости в общем случае криволинейного движения по своему физическому смыслу ничем не отличается от годографа скорости прямолинейного движения. И в том и в другом случае приращение скорости связано с преобразованием скорости по абсолютной величине (см. выше Глава 3.2), поэтому дифференцирование годографа эквивалентно дифференцированию приращения скорости прямолинейного движения, в котором отсутствует поворотное движение и соответственно методологические ошибки, связанные с его дифференцированием.

При дифференцировании годографа осуществляется чисто математическая операция дифференцирования прямолинейного движения не связанная с какими-либо физическими моделями того или иного вида движения. Единственное методологическое допущение в методе определения абсолютного ускорения через годограф абсолютной скорости связано с представлением кривой годографа в виде ломаной линии (Рис. 7.2.1), что вносит некоторую количественную погрешность при определении абсолютной величины длины годографа.

Однако такая погрешность с физической точки зрения непринципиальна, т.к. она не искажает физической сущности годографа в соответствии, с которой приращением скорости движения является именно абсолютная величина годографа. Погрешность, связанная с линеаризацией криволинейной траектории легко устраняется при дифференцировании с уменьшением дискретности дифференцирования.

7.5. Графический анализ общего случая проявления ускорения Кориолиса

Проведём подобный анализ для общего случая проявления ускорения Кориолиса. Точно также как и для ускорения Кориолиса при радиальном относительном движении определим абсолютное ускорение сложного движения, в котором присутствует радиальная и нормальная составляющая относительного движения двумя классическими методами: через годограф абсолютной скорости и классическим геометрическим методом. Для простоты рассмотрим сложное движение, в котором равномерное и прямолинейное относительное движение направлено под углом в 45⁰ к радиусу переносного вращения.

1. Определим абсолютное ускорение рассматриваемого движения через годограф абсолютной скорости.

Физический механизм определения абсолютного ускорения рассматриваемого движения аналогичен механизму определения абсолютного ускорения при радиальном относительном движении по формуле (7.8*), т.е. через абсолютное ускорение, как центростремительное ускорение вписанной окружности. Однако вместо абсолютной скорости при радиальном относительном движении (Vc) в формулу (7.9) следует подставлять абсолютную скорость (Vс общ.), определённую с учётом нормальной составляющей относительной скорости (Vr общ.).

Кроме того, за счёт нормальной составляющей относительной скорости (Vr общ.) вектор абсолютной скорости (V (абс) общ) в рассматриваемом движении вращается не с угловой скоростью переносного вращения, а с угловой скоростью абсолютного вращения текущей (Ωn), которая равна сумме угловых скоростей переносного движения текущего (ω_ет) и угловой скорости текущей относительного движения, обусловленного перпендикулярной к радиусу составляющей относительного движения (ω_rт):

Ω (n) = ω_ет + ω_rт

Абсолютную линейную скорость спирали (Vс общ.) определим в соответствии с рисунком 7.10:

Рис. 7.5.1

Vс общ.= √ (Vr_┴ + Vе) ² + V²r₌

С учётом оговоренных поправок перепишем формулу (7.9) применительно к абсолютному ускорению (а _{(абс) общГ}) при относительном движении, направленном под углом 45⁰ к радиусу переносного вращения:

а _{(абс) общГ} = √ (Vr_┴ + Vе) ² + V²r₌) * Ω (n) = Vс общ.* Ω (n) (7.14)

2. Определим абсолютное ускорение классическим геометрическим методом по формуле (7.13) при относительном движении, направленном под углом 45⁰ к радиусу:

2.1 Абсолютное ускорение в каждой точке текущего радиуса вращения без учёта ускорения Кориолиса, проявляющегося за счёт относительного движения с радиальной составляющей (Vr₌) относительной скорости (Vr общ), представляет собой центростремительное ускорение текущее:

а_{цт тек} = Ω (n) ² * Rт общ (7.15)

Перпендикулярно центростремительному ускорению текущему (а_{цт тек}) действует ускорение Кориолиса, обусловленное радиальной составляющей скорости относительного движения. Поскольку переносная угловая скорость за счёт нормального к радиусу относительного движения непрерывно изменяется на величину нормальной составляющей скорости относительного движения, то в каждом минимальном интервале времени дифференцирования необходимо учитывать текущую абсолютную угловую скорость (Ωn = ω_ет + ω_rт). Тогда абсолютное ускорение геометрическое с учётом ускорения Кориолиса в нашей версии будет иметь вид (см. главу 4.3):

а _{(абс) общ. геом} =√ (Ωn² * Rт общ) ² + (Ωn * Vr₌) ² (7.16)

2.2. Определим абсолютное ускорение геометрическое с учётом классического полного ускорения Кориолиса при относительном движении, направленном под углом 45⁰ к радиусу.

Каждому значению текущего радиуса переносного вращения при наличии нормального к радиусу относительного движения соответствует абсолютная текущая переносная угловая скорость (Ωn = ω_ет + ω_rт), которая является абсолютной угловой скоростью в текущем интервале времени дифференцирования. Для ускорения Кориолиса, обусловленного перпендикулярной к радиусу составляющей относительной скорости необходимо учитывать угловую скорость переносную текущую (ω_ет) или абсолютную угловую скорость на (n-1) шаге дифференцирования.

Следовательно, для определения полного ускорения Кориолиса при произвольном направлении относительного движения в соответствии с классической моделью поворотного движения необходимо воспользоваться формулой (4.4.2).

а_{кк общ}. = 2 * Ω (n) * Vr_═ +2 * Ω (n-1) * Vr_┴ где:

Vr_═: радиальная составляющая относительной скорости;

Vr_┴: перпендикулярная составляющая относительной скорости;

Ω (n): переносная угловая скорость на текущем радиусе, которая для радиального относительного движения является абсолютной;

Ω (n-1) = ω_ет: переносная угловая скорость на (n-1) шаге дифференцирования радиального относительного движения;

Запишем формулу (4.4.2) в алгебраическом виде, в котором дополнительное ускорение определяется, как корень квадратный из суммы квадратов катетов (2 * Ω (n) * Vr_═) и (2 * Ω (n-1) * Vr_┴), поскольку составляющие ускорения Кориолиса, проявляющиеся при радиальном относительном движении и при нормальном к радиусу относительном движении, взаимно перпендикулярны:

а_{кк общ.} = √ (2 * Ωn *Vr_═) ² + (2 * Ω (n-1) * Vr_┴) ² (7.17)

Подставляя в формулу (7.13) выражения (7.15) и (7.17), получим окончательно:

а (абс) общКгеом =

=√ (Ω²_{n. общ}. * R_{т. общ}) ² + (2 * Ω_n * Vr_═) ² + (2 * Ω _(n-1) * Vr_┴) ² (7.18)

Напомним, что в нашей версии полное ускорение Кориолиса при произвольном направлении относительного движения с учетом абсолютной текущей угловой скорости определяется по формуле:

а_{к общ.} = Ωn * Vr_═ (4.4.3)

Используя полученные формулы, построим графики:

1. а _(цт) – график центростремительного ускорения вращательного движения с текущим физическим радиусом (абсолютное ускорение без учёта ускорения Кориолиса за счёт радиальной составляющей относительной скорости по формуле (7.15);

2. а _{(кк) общ. для Ω (абс)} – график классического ускорения Кориолиса по формуле (7.17)

3. а _{(абс) общ. Г} – график абсолютного ускорения, рассчитанного по формуле (7.14);

4. а _{(абс) общ. геом для} а _(к) – график абсолютного ускорения, рассчитанного классическим способом по формуле (7.16);

5. а _{(абс) общ. Кгеом} – график абсолютного ускорения, определенного через годограф абсолютной скорости по формуле (7.18);

6. а _{(к) общ} – график ускорения Кориолиса в нашей версии по формуле (3.27): а_{к общ.} = Ω*Vr_═;

7. а _{(кк) общ} – график классического ускорения Кориолиса (66.7);

Исходные данные практически те же, что и в предыдущем случае с некоторыми оговорками и дополнениями:

Rн = 0 (м) – радиус вращения начальный;

Ωабс.= ω_е + ω_rт – угловая скорость абсолютного движения;

Vr общ. = 50 (м / с) – относительная скорость тела в относительном движении произвольного направления.

Графики построим для относительного движения как в области, расположенной вблизи центра вращения, так и в областях, отдалённых от центра вращения в интервале времени ≈ 2,5с (см. Рис.7.5.2) и ≈ 10с (см. Рис. 7.5.3) с дискретностью Δt = 0,025 c. На рисунке (7.5.4) графики (а _{(к) общ}) и (а _{(кк) общ}) показаны отдельно.

Рис.7.5.2

Рис.7.5.3

Рис. 7.5.4

Резкое уменьшение радиуса переносного вращения в области близкой к центру вращения при неизменной нормальной к радиусу составляющей относительной скорости приводит к резкому увеличению относительной угловой скорости, а, следовательно, и абсолютной угловой скорости, что в свою очередь приводит к увеличению абсолютного ускорения.

Поэтому в области, лежащей вблизи центра переносного вращения, графики абсолютного ускорения устремляются в бесконечность. Однако, как и в случае радиального относительного движения, в точке соответствующей центру вращения абсолютное ускорение в обеих версиях соответствует ускорению Кориолиса в одноимённых версиях.

В нашем примере ускорение Кориолиса для радиального относительного движения в нашей версии, удовлетворяющее исходным данным равно 70,7 м/с². На Рис. (7.5.2) видно, что абсолютное ускорение (а _{(абс) общ. Г}) и (а _{(абс) общ. геом.}) в точке соответствующей центру переносного вращения имеет минимальное значение, равное ускорению Кориолиса, обусловленного радиальной составляющей относительного движения в нашей версии, т.е. 70,7 м/с². График абсолютного ускорения классического геометрического (а _{(абс) общ. Кгеом.}) имеет минимальное значение в точке центра вращения равное 141,42 м/с², что соответствует классической версии ускорения Кориолиса по первому варианту.

Причём если в центре переносного вращения абсолютное ускорение определяется величиной ускорения Кориолиса, то с увеличением радиуса вращения абсолютное ускорение определяется в основном центростремительным ускорением переносного вращения. На Рис.7.5.3 уже через 10 секунд радиального движения все кривые практически сливаются с графиком центростремительного ускорения.

Как видно из рисунка 7.5.2 и 7.5.3 абсолютное ускорение, рассчитанное по формуле (7.18) с учётом классического ускорения Кориолиса значительно превышает абсолютное ускорение, рассчитанное по формуле (7.16) с учётом нашей версии ускорения Кориолиса, а также текущее переносное ускорение по формуле (7.15). Причем это наблюдается даже в областях достаточно удаленных от центра вращения, где переносная угловая скорость текущая меняется незначительно.

Это косвенно подтверждает нашу версию ускорения Кориолиса, в соответствии с которой дополнительное ускорение при нормальном к радиусу относительном движении не является ускорением Кориолиса, а входит в состав переносного ускорения вращательного движения.

В классической версии дополнительное ускорение, которое фактически является частью переносного ускорения, рассматривается как ускорение Кориолиса, поэтому в классической версии сложного движения при наличии относительного движения, перпендикулярного радиусу дополнительное ускорение учитывается дважды: один раз автоматически в составе переносного ускорения и второй раз в составе абсолютного ускорения, как ускорение Кориолиса.

Несовпадение графика абсолютного ускорения, определенного через годограф абсолютной скорости (7.14) с графиком абсолютного ускорения по формуле (7.18) с учётом классического ускорения Кориолиса, точно так же как несовпадение графиков абсолютных ускорений в разных версиях при радиальном относительном движении свидетельствует о противоречии между теоремой Жуковского: «Скорость соответственной точки годографа равна полному ускорению точки, движущейся по траектории» и теоремой «О сложении ускорений», т.е. теоремой Кориолиса.

С одной стороны по Жуковскому полное ускорение любой движущейся точки равно скорости соответственной точки годографа (формула 7.7; 7.8). Однако с другой стороны ускорение Кориолиса, определенное в соответствии с теоремой о сложении скоростей и в соответствии с аналитическим выводом ускорения Кориолиса Жуковского, не соответствует ускорению Кориолиса, вычисленного через годограф абсолютной скорости.

Результаты классических методов определения абсолютного ускорения по формулам (7.2; 7.4) противоречат результатам определения абсолютного ускорения через годограф абсолютной скорости по формулам (7.7; 7.9) только за счет разного значения поворотного ускорения Кориолиса в той или иной версии в их составе. При подстановке в проверочную формулу (7.13) классического выражения для ускорения Кориолиса подтверждается классическая версия абсолютного ускорения и, наоборот, при подстановке в формулу (7.13) ускорения Кориолиса в нашей версии подтверждается значение абсолютного ускорения, определенного через годограф абсолютной скорости.

Таким образом, разрешение этого противоречия лежит только в области разрешения противоречий поворотного ускорения Кориолиса.

8. УСКОРЕНИЕ КОРИОЛИСА ПРИ ПЕРЕХОДЕ ЧЕРЕЗ ЦЕНТР ВРАЩЕНИЯ

При переходе через центр вращения ускорение Кориолиса, проявляющееся при радиальном относительном движении и отсутствии нормальной к радиусу составляющей относительной скорости в неинерциальной системе отсчёта, которая связана с точкой, движущейся по абсолютной траектории, не изменяет ни величины, ни направления по отношению к движущейся вдоль радиуса точке. При постоянной относительной и угловой скорости ускорение Кориолиса, обусловленное радиальным относительным движением постоянно на любом расстоянии от центра вращения.

Для того чтобы наглядно проиллюстрировать независимость направления действия силы и ускорения Кориолиса на движущееся радиально тело от расстояния до центра вращения в неинерциальной системе отсчёта, рассмотрим три последовательных положения тела, движущегося в радиальном направлении на вращающемся диске. На Рис. 8.1 видно, что в неинерциальной системе координат сила Кориолиса, действующая на тело со стороны направляющей, при переходе через центр виртуального переносного вращения не изменяет направления по отношению к телу.

Рис.8.1

Процесс изменения направления ускорения Кориолиса при радиальном относительном движении в центральной точке переносного движения ничем не отличается от процесса изменения направления ускорения Кориолиса в любой другой точке его траектории. Резкого изменения направления ускорения Кориолиса на 180⁰ в какой-то одной точке траектории, означающего смену знака физической величины в любой системе отсчёта, не происходит ни в одной точке траектории движения тела при радиальном относительном движении. В то время как переносное ускорение при переходе через центр вращении, а также линейная скорость переносного вращения скачкообразно изменяются по направлению на 180⁰ в одной точке.

В общем случае при произвольном направлении относительного движения присутствуют обе составляющие относительной скорости. Если радиус переносного вращения при движении к центру непрерывно уменьшается, а тангенциальная составляющая относительной скорости при этом остаётся неизменной, то в области близкой к центру вращения резко возрастает относительная угловая скорость. Увеличение относительной угловой скорости приводит к увеличению общей угловой скорости абсолютного переносного движения и как следствие к увеличению относительного и абсолютного ускорений. Кроме того, с увеличением абсолютной угловой скорости увеличивается и ускорение Кориолиса по первому варианту, т.к. радиальная составляющая относительной скорости вращается с абсолютной угловой скоростью.

На графиках, изображённых на Рис (7.8; 7.9) при приближении к центру вращения за счёт нормальной к радиусу составляющей относительной скорости относительное ускорение, абсолютное ускорение и ускорение Кориолиса по первому варианту возрастают до бесконечности. На практике увеличение ускорений, конечно же, не достигает бесконечной величины, т.к. реальные тела имеют конечные геометрические размеры. Радиус относительного вращения не может быть меньше радиуса тела (если для простоты предположить, что тело имеет форму шара), что ограничивает рост относительной угловой скорости.

Тем не менее, тело, движущееся с относительной скоростью произвольного направления в сторону центра вращения при наличии радиальной и нормальной к радиусу составляющей относительного движения вблизи центра переносного вращения, действительно может испытывать резкое увеличение абсолютного ускорения подобно резкому увеличению ускорения, испытываемому телом при встрече с неподвижным препятствием.

Резкое увеличение угловой скорости вблизи центра вращения означает увеличение инерционного сопротивления прямолинейному движению в процессе преобразования его во вращательное движение. Следовательно, поддержание вращательного движения в таких условиях в конечном итоге требует резкого увеличения центростремительного ускорения, а значит и абсолютного ускорения в целом. Однако это не является спецификой исключительно переносного движения с изменяющимся радиусом, имеющего радиальную и тангенциальную составляющие. Любое тело, движущееся с большой скоростью в произвольном направлении и с произвольным ускорением при встрече с неподвижным препятствием, оказывающим большое сопротивление движению, испытывает значительное ускорение, которое может привести к разрушению тела или его отражению.

Переход через центр переносного вращения можно смоделировать следующим образом. Тело, находящееся на бесконечно тонкой радиальной направляющей движется по внутренней поверхности сжимающейся сферы с относительной скоростью перпендикулярной радиусу в одном направлении со сферой, которая одновременно совершает переносное вращение. Пусть направляющая сохранаяет свою длину в неизменном виде, за счёт разреза в сжимающейся сфере. Для того чтобы тело достигло центра переносного вращения сфера должна сжаться в точку. При этом происходит резкое увеличение ускорения, связанное с увеличением относительной угловой скорости.

Сопротивление линейному движению в направлении перпендикулярном радиусу в центре вращения эквивалентно сопротивлению, испытываемому телом при встрече с неподвижным препятствием в направлении перпендикулярном направлению движения, что приводит к остановке тела. Для смены знака ускорений переносного и относительного вращательного движений при переходе через центральную точку телу необходимо сообщить нормальное к радиусу относительное движение в обратном направлении и продолжить радиальное движение тела в прежнем направлении, что эквивалентно отражению тела от отражающей поверхности.

Таким образом, при переходе через центр происходит обычное отражение тела от центра вращения. При этом после отражения тело вновь получает абсолютное ускорение, равное по величине абсолютному ускорению до отражения, но нормальная к радиусу составляющая отражённого движения меняет знак на противоположный. Следовательно, ускорение переносного и относительного вращательного движения при переходе через центр вращения в абсолютной системе координат также изменяют знак на противоположный. Однако ускорение Кориолиса по первому варианту в центре вращения не уменьшается до нуля, т.к. при отражении скорость движения вдоль отражающей поверхности остаётся неизменной, а угловая скорость вращения радиальной составляющей вектора скорости относительного движения в центре вращения не равна нулю.

Существует иллюзия, что в центре вращения угловая скорость радиальной составляющей вектора скорости относительного движения равна нулю, однако уменьшение до нуля угловой скорости в центре вращения относится только к математической точке, не имеющей геометрических размеров. Переход же физического тела через центр вращения, как бы ни были малы его размеры, не приводит к изменению знака угловой скорости вектора радиальной составляющей относительного движения. Поскольку при переходе через центр вращения радиально движущегося тела направление вращения системы не изменяется, то и смены знака угловой скорости вектора радиальной составляющей относительного движения не происходит. Следовательно, в центре вращения угловая скорость вектора радиального относительного движения в отличие от окружной линейной скорости не равна нулю. На всём протяжении радиального движения происходит плавное изменение направления скорости радиального движения, в том числе и при пересечении центра переносного вращения.

Поскольку радиальная направляющая пронизывает сферу без изменения своей длины, то с началом процесса расширения сферы радиальное движение в неизменном виде продолжится в направлении от центра вращения, а нормальная к радиусу составляющая относительного движения сменит знак на противоположное значение, то есть направление вектора линейной скорости всех вращательных движений поменяется на противоположное. Полное ускорение в центре вращения по абсолютной величине равно ускорению Кориолиса по первому варианту, т.к. все составляющие абсолютного ускорения в центре вращения, кроме ускорения Кориолиса по первому варианту равны нулю. Следовательно, минимумом функции абсолютного ускорения от радиуса переносного вращения при произвольном направлении относительного движения является ускорение Кориолиса, обусловленное радиальным относительным движением.

Таким образом, величина абсолютного ускорения и общего ускорения Кориолиса при переходе через центр вращения никогда не снижается до нулевого значения и не переходит через нуль, т.е. смены знака ускорения Кориолиса при переходе движущегося радиально тела через центр вращения по отношению к телу не происходит.

Здесь необходимо уточнить, что при переходе через центр вращения отражение нормальной составляющей от центра вращения происходит в математической точке. Поэтому такое отражение возможно только для точечного тела, т.к. только в этом случае все тело переотразится в новом направлении. Но поскольку точечных тел в природе не существует, то это возможно только теоретически. В реальной действительности переход через центр вращения приводит к остановке вращения. Этот эффект демонстрирует рамка И. М. Крюкова (Рис. 8.2).

Внутри металлической рамки l, установленной на оси АВ в подшипниках, расположены планки 7 и 8 с грузиками 2, способными свободно перемещаться по планкам. Грузики с одной стороны прикреплены к боковинам рамки пружинами, а с другой имеют петли 3 и, передвигаясь, растягивают пружины до крючков 4, которые и удерживают пружины в растянутом положении. Крючки 4 тягами 6 соединены со спусковой кнопкой 9.

Рис. 8.2

Если рамку с зафиксированными грузами раскрутить вокруг оси АВ и оставить ее вращающейся, то до останова пройдет две-три минуты. Если же после раскручивания, нажать кнопку 9 то освобожденные грузы 2 под действием пружин устремятся к оси АВ. Пока они сходятся к оси, рамка раскручивается в соответствии с «законом» сохранения момента импульса. Но достаточно грузикам перейти ось АВ, как вращение рамки мгновенно тормозится почти до полной ее остановки. Происходит это следующим образом:

Каждая точка грузов отражается по отдельности. После отражения первой же точки её скорость оказывается противоположной скорости следующей за ней второй точки тела. В результате после перехода через центр вращения всех точек тела его общая нормальная скорость оказывается равной нулю, т.е. вращение прекращается. Поэтому описанная выше теоретическая модель на практике может работать только при внешней поддержке вращения после перехода через центр вращения.

Что же касается ускорения Кориолиса по второму варианту, связанному с относительным движением перпендикулярным радиусу, то такого ускорения в природе не существует. Это составная часть абсолютного центростремительного ускорения, которое естественно при переходе через центр вращения вместе с абсолютным центростремительным ускорением меняет знак на противоположный.