Текст книги "Физика движения. Альтернативная теоретическая механика, или Осознание знания. Книга в двух томах. Том II"

9. ОТКЛОНЕНИЕ СВОБОДНО ПАДАЮЩИХ ТЕЛ В УСЛОВИЯХ ЗЕМЛИ

Часто для подтверждения формулы ускорения Кориолиса необоснованно ссылаются на результаты экспериментов с бросанием тел с большой высоты, считая, что тангенциальное отклонение падающих тел от вертикали происходит под действием силы Кориолиса. При этом ускорение Кориолиса находят исходя из измеренного линейного отклонения в направлении линейной скорости переносного вращения. Однако это противоречит даже классическому пониманию природы ускорения Кориолиса, т.к. приращение одной из его составляющих, а именно приращение радиальной скорости относительного движения по направлению, определяется, как самостоятельное приращение поворотного движения, которое с классической точки зрения нельзя объяснить приращением переносного движения.

Известен классический эксперимент, в котором на экваторе тело падает в шахту с высоты 80 метров и отклоняется при этом на 2,3 см к востоку. (Учебник физики Л. Д. Ландау, А. И. Китайгородского, Наука, 1974 г.).

Исходные данные

Радиусы R₁ = 6380080 м и R₂ = 6380000 м.

Время падения тела с высоты 80 м – 4 сек.

Линейная скорость вращения Земли для указанных радиусов:

V_лс = 463,7314815 м/сек и V_лб = 463,7372963 м / сек соответственно.

Начальная радиальная скорость тела – Vр = 0.

Ускорение, вычисленное по классической формуле Кориолиса, с такими исходными данными равно:

ω Vр

а_к = 2 * ω * Vр = 2 * (463,7372963 / 6380080) * (9,8 * 4/2) = 0,00288 м / с²

Если подставить полученный результат в формулу (4.10) для пути, пройденного с ускорением, то получим отклонение равное 2,3 см

S = а_к * t ² / 2 = 0,0028 *4² /2 = 0,023 м = 2,3 см

Соответственно, зная отклонение, измеренное в эксперименте, можно из формулы (4.10, гл. 4.1) определить ускорение, с которым, как предполагается, двигалось тело. Оказывается, что это ускорение численно равно ускорению, найденному по классической формуле для ускорения Кориолиса:

а = 2*S / t² = 2 * 0,023 / 16 = 0,00288 м / с²

На первый взгляд это блестящее подтверждение теории практикой. Но вот только ускорения Кориолиса в этом опыте нет! Как уже отмечалось выше, классическое ускорение Кориолиса это изменение абсолютной скорости радиально движущегося тела одновременно участвующего во вращательном движении. Тело, находящееся на поверхности Земли участвует во вращательном движении только за счет механической связи с вращающейся Землей. После потери механического контакта с Землей на сброшенное в шахту тело перестает действовать механизм преобразования видов вращательного движения по радиусу, в котором и проявляется ускорение Кориолиса. А механизм вращательного движения «небесного» тела со связующим телом в виде сил тяготения, не может быть сформирован из-за недостаточной тангенциальной скорости тела, сброшенного в шахту.

По этим причинам какое-либо ускорение сброшенного тела в тангенциальном направлении отсутствует. При этом до самой встречи с дном шахты тангенциальная скорость тела остаётся неизменной, если, конечно же не учитывать сопротивление воздуа. Дно шахты, имеющее радиус вращения на 80 м меньше, чем радиус вращения тела на поверхности шахты, имеет линейную скорость меньшую, чем линейная скорость тела. Следовательно, отклонение тела, брошенного в шахту, происходит не под действием силы и ускорения Кориолиса, а за счет разницы горизонтальной скорости равномерного и прямолинейного движения тела и дна шахты.

Об этом же свидетельствует и само направление отклонения. Восточное отклонение означает, что на уровне дна шахты тело, сброшенное с верхнего уровня поверхности Земли, опережает вращение Земли на уровне дна шахты, что хорошо согласуется с положительной разницей тангенциальных скоростей тела и дна шахты и в корне противоречит отрицательному приращению тангенциальной скорости при радиальном движении к центру вращения в поворотном движении.

Движение тела в шахте соответствует движению тела, брошенного горизонтально, которое с точки зрения классической физики представляет собой комбинацию двух движений, взаимно перпендикулярных друг другу: – горизонтального равномерного движения и вертикального движения (свободного падения). Этот случай описан практически во всех учебных пособиях по физике и в теоретической механике в частности

Таким образом, сила Кориолиса, безусловно связана с проявлением сил инерции, как собственно и любая другая сила. Но обратное утверждение неверно. Проявление сил инерции не обязательно может быть связано с явлением Кориолиса.

Если тело бросить в шахту не посредине ствола шахты, а вдоль ее стенки, которая при этом будет играть роль направляющей, то тело не отклонится от бывшей вертикали на 2,3 см. Его линейная скорость плавно уменьшится от значения, которое она имела в момент броска до значения линейной скорости дна шахты. В этом случае замедление будет действительно происходить с ускорением Кориолиса.

Рассчитаем ускорение Кориолиса по формулам (4.1.8), (4.1.16), (4.1.25), представленным в главе (4.1.):

а_к = (V_лс – V_лб) / t =

= (463,7372963 – 463,7314815) / 4 = 0,0014537 (м/с²) (4.1.16)

а_к = ω*V_ц =

ω V_ц

= (463,7372963 / 6380080) * (9,8 +0,033706831 +0,033706409) * 4 / 2 =

= 0,00143443 (м / с²) (4.1.8)

а_к = ω * Vр_н + ω * t * (а_цс + а_цб) / 2 =

ω Vр_н ω t

= (463,7372963 / 6380080) * (0) + (463,7372963 / 6380080) * 4 *

(арс + арб)

* (0 +0,033706831 +9,8 +0,033706409) / 2 = 0,00143443 (м / с²) (4.1.25)

Таким образом, получили хорошо согласующиеся между собой значения (а_к) по трем различным формулам (4.1.8), (4.1.16), (4.1.25). Ускорение Кориолиса по (4.1.8) и (4.1.25) получилось несколько меньше, чем по (4.1.16). При вычислении среднего значения радиальной скорости падения тела (Vц) необходимо знать точное значение радиуса Земли, точное значение ускорения тяготения на поверхности Земли и на уровне дна шахты, а также учитывать изменение ускорения тяготения при уменьшении радиуса во время падения.

Составляющую окружных участков пути, пройденную телом по дуге окружности с переменным радиусом под действием ускорения Кориолиса, можно рассчитать по формуле (4.1.10, гл. 4.1)

S _(4.1.10) = а_ко * t ² / 2 = 0,0116296 (м / c²)

Этот путь не равен отклонению тела от бывшей вертикали при свободном падении. Это совершенно разные вещи. При свободном падении отклонение тела от начальной вертикали (от радиуса Земли) происходит за счет разности скоростей тела и дна шахты. При этом линейная скорость свободно падающего тела не изменяется. Под действием же силы Кориолиса, возникающей при взаимодействии падающего тела со стенкой шахты, линейная скорость тела уменьшается от значения линейной скорости тела на поверхности до линейной скорости дна шахты.

В результате, отклонение происходит со средним значением разницы скоростей этих двух движений, которое вдвое меньше самой разницы. Поэтому путь, пройденный за счет ускорения Кориолиса в два раза меньше, чем путь, пройденный за счёт разницы скоростей тела на поверхности и у дна шахты. Соответственно и ускорение Кориолиса будет в два раза меньше, чем гипотетическое ускорение, найденное по результатам отклонения от вертикали свободно падающего тела.

Таким образом, опыт с падением тел не может служить критерием правильности формулы Кориолиса, поскольку в этом опыте проявления силы Кориолиса нет.

Об этом же свидетельствует и физический смысл явления Кориолиса. Из классической физики следует, что ускорение Кориолиса это изменение абсолютной скорости в направлении перпендикулярном радиусу, которое обеспечивается двумя самостоятельными независимыми ускорениями:

1. Ускорением, характеризующим приращение линейной скорости переносного вращения по абсолютной величине;

2. Ускорением, характеризующим приращение радиальной скорости относительного движения по направлению.

При этом, хотя отклонение тела от вертикали при свободном падении и позволяет вычислить гипотетическое ускорение, соответствующее классическому ускорению Кориолиса, но оно не соответствует ускорению Кориолиса по физической структуре, из которой классическая физика и выводит физический смысл своего ускорения Кориолиса.

Даже абстрактно математическое ускорение, которое может быть вычислено через отклонение тел от вертикали при падении в условиях Земли, соответствует исключительно только ускорению по приращению переносной скорости по абсолютной величине, т.к. это отклонение измерено в переносном направлении по факту. При этом ускорение по изменению радиальной скорости по направлению ничем не обеспечено.

Возможно, классическая физика считает этот опыт подтверждением одного из теоретических выводов ускорения Кориолиса, который приведён, например, в справочнике по физике Х. Кухлинга (Х. Кухлинг, «Справочник по физике», МОСКВА, «МИР» 1983, см. главу 4). В этом выводе за приращение поворотного движения так же принимается удвоенное приращение переносной скорости по абсолютной величине. То есть фактически в этом выводе так же учитывается длина дуги окружности, достигнутая не за счёт чистого приращения переносной скорости, начиная с его нулевой величины в начальный момент времени, а за счёт готовой постоянной разницы скоростей.

Отсюда и получается удвоенное переносное ускорение, без какого-либо намёка на ускорение по изменению радиальной скорости относительного движения по направлению. Но тогда этот вывод противоречит другим выводам ускорения Кориолиса, в которых отдельно учитывается приращение скорости относительного радиального движения по направлению.

10. КРАТКИЙ АНАЛИЗ ВЗГЛЯДОВ СОВРЕМЕННЫХ АВТОРОВ НА ЯВЛЕНИЕ КОРИОЛИСА

Кандидат технических наук Степан Георгиевич Тигунцев в своей статье («Эффект Кориолиса – это просто» от 29 апреля 2005г. [email protected].) утверждает, что ускорение Кориолиса – это разность ускорений инерции двух широт во времени. Приведем достаточно обширные выборки из его работы.

С. Г. Тигунцев

«Есть некое ускорение инерции, которое определяется по формуле (1). «Из (6) выразим отрезок времени dt, получим (7). Подставим (7) в (2) получим (8). Выражение (8) позволяет получить ускорение Кориолиса по параметрам равномерного движения по меридиану при вращении Земли. Сила Кориолиса определяется по выражению (9)».

Далее С. Г. Тигунцев предлагает проверить свои формулы на практике (приведем оригинальный текст):

«Для проверки правильности методики рассмотрим соответствие расчёта эксперименту. В учебнике физики (авторы Л. Д. Ландау, А. И. Китайгородский, Наука, 1974 г.) показан эксперимент, в котором на экваторе падает тело в шахту с высоты 80 метров и отклоняется при этом на 2,3 см к востоку.

Сначала определим линейную скорость вращения Земли для радиусов 6380080 м и 6380000 м по выражениям (10) и (11), соответственно, 463,7372963 м/сек и 463,7314815 м/сек. Затем определим ускорения инерции для указанных радиусов по выражениям (12) и (13) для отрезка времени 4 сек (время падения тела с высоты 80 м), соответственно, 0,002849295 м/сек² и 0,002849259 м/сек²».

Ниже приводится фотокопия формул и расчетов автора:

«Определяем ускорение Кориолиса, как разность ускорений инерции для указанных радиусов по выражению (14) – 3,573 * 10 ^– 8.

Преобразуем (7) в (15), где в левой части показано произведение разницы линейных скоростей вращения Земли на отрезок времени (4 сек), которое является расстоянием, на которое сместится тело под действием силы Кориолиса.

Получаем по (16) отклонение тела на 2,326 см. И получаем по (17) отклонение тела на 2,326 см. Более точный результат получим, если разобьём путь 80 м на участки и определим отклонения для каждого участка».

Выше уже отмечалось, что по нашему мнению, свободное падение тел под действием силы тяготения не сопровождается действием силы Кориолиса. Если бы отклонение от вертикали происходило под действием ускорения, полученного по формуле Тигунцева, то расхождение с опытными данными, полученными при свободном падении тел на землю, было бы просто огромным.

Действительно, подставив ускорение Кориолиса (а_к), полученное по формуле (14) по Тигунцеву в формулу для пути, пройденного с ускорением (4.10) получим:

S (с учетом а_к по Тигунцеву – (g _(кор))) =

= ак * t ² / 2 = 3,573 * 10^—8 * 4 ² / 2 = 0,000000286 м

Чтобы согласовать формулу Тигунцева (14) с классическим ускорением Кориолиса понадобился бы дополнительный множитель не «2», а более «80 000».

***

Авторы из Удмуртии (maholet.aero.ru, http://vitanar.narod.ru/autors/toropovvlad/toropovvlad.htm) утверждают, что «формула ускорения Кориолиса при движении по направляющей завышена в два раза», но соглашаются, что «сила Кориолиса количественно верна», а также считают, что для небесной механики в два раза завышено не только ускорение Кориолиса, но и сила Кориолиса. Мы солидарны с авторами по всем перечисленным выше позициям в целом, кроме некоторых деталей.

Приведем оригинальный текст:

«3.4.1. Замечания о силе Кориолиса

Ошибка заключается в том, что применяется теорема Кориолиса, которая годится лишь для грубого описания случаев движения тела в «жёсткой» трубке. Эта трубка (или канал) движутся с постоянной угловой скоростью ω, что неприемлемо для свободного движения тела, когда угловая скорость изменяется, как и в данном случае со стулом.

Теорему Кориолиса ошибочно применяют при анализе отклонений падения тел на землю, например, в шахту. Опытные данные подгоняют под теорему, как и аналогичные задачи в учебниках.

Сила Кориолиса определяется по формуле (жирным шрифтом выделяем вектора):

F_к = – a_к · m = -2 ω · V_r · m,

где V_r – радиальная скорость движения тела массой m, ω – его угловая скорость. Это в 2 раза больше, чем при свободном движении тела. Направления ускорения и силы Кориолиса противоположны. При свободном же движении сила и ускорение имеют одно направление.

Применение теоремы Кориолиса для свободного движения (например, планеты) не соответствует закону сохранения энергии.

Ускорение у Кориолиса завышено в 2 раза ошибкой при взятии производной вектора переносной скорости, из-за отрыва от физики.

Сила Кориолиса (при движении в трубке) количественно верна, но не обоснована физически. Половина силы Кориолиса, действительно, является силой инерции: при приближении к центру вращения тело тормозится трубкой, при удалении – разгоняется. Другая же половина силы обусловлена действием центробежной силы, точнее, её проекцией на направление, перпендикулярное радиусу движения в плоскости орбиты (о ней будем говорить далее). Эта половина силы не даёт ускорения – не позволяет трубка. Сила Кориолиса – это сумма двух различных сил».

Авторы не приводят графическое пояснение, поэтому, чтобы прокомментировать приведенный выше оригинальный текст, проиллюстрируем точку зрения авторов графически на Рис. 10.1. Центробежная сила (Fц), по мнению авторов, направлена вдоль геометрического радиуса кривизны (О1,В) дуги (ВС). Авторы полагают, что вторая половина силы Кориолиса, обусловлена силой Fц1 (см. Рис.10.1).

Рис. 10.1

В главе 3.5 показано, что с позиции классической модели вращательного движения принципиально невозможно обнаружить тангенциальные силы, возникающие при «свободном» движении с изменяющимся радиусом, т.к. радиальная сила имеет проекцию только на реальную траекторию поворотного движения и не имеет проекций на строго круговую траекторию переносного вращения. Авторы из Удмуртии попытались преодолеть этот недостаток общей кинематики вращательного движения, через определение центробежной силы (Fц) вдоль геометрического радиуса поворотного движения. При этом они получили-таки проекцию центробежной силы на касательную к окружности переносного вращения в виде тангенциальной силы (Fц1). Однако это решение столь же не физическое и абсурдное, как и классическая модель вращательного движения.

Безусловно, любое произвольное криволинейное движение может быть представлено в виде совокупности равномерных вращательных движений по вписанным окружностям с постоянным геометрическим радиусом. Именно так мы с вами и поступили при определении абсолютного ускорения произвольного криволинейного движения (см. главу 7.3). Однако при этом проектировать силы и ускорения, проявляющиеся вдоль геометрического радиуса на реальную траекторию физически неправомерно, т.к. все соседние точки реальной траектории в таком представлении принадлежат другим вписанным окружностям, т.е. другим движениям.

Таким образом, если мы академически представили движение точки (В), как движение по вписанной окружности с геометрическим радиусом (О1В), то его центробежная сила (Fц) уже не может иметь проекции на касательную к этой окружности в виде тангенциальной силы, т.к. они взаимно перпендикулярны. В этом направлении, но вдоль касательной к реальной траектории действует истинная сила Кориолиса, которая является проекцией центростремительной силы (силы тяготения), направленной вдоль физического радиуса (ОВ). Это и есть истинная сила Кориолиса.

Истинная сила Кориолиса выполняет свою функцию именно вдоль линии проявления линейной скорости движения, направленной по касательной к реальной траектории. При радиальном движении в сторону от центра тяготения именно эта сила реально тормозит тело, и именно эта сила ускоряет его при радиальном движении к центру тяготения. В соответствующем направлении в каждом из этих случаев проявляется и истинное ускорение Кориолиса, которое действительно вдвое меньше классического. Понятно, что при этом меняется и виртуальная для поворотного движения линейная скорость переносного вращения.

Авторы из Удмуртии нашли лишь оригинальный способ определить проекцию результирующей силы вращательного движения на круговую траекторию переносного движения. Классическая физика в лице Хайкина С. Э. так и не смогла этого сделать (см. главу 3.5), т.к. классическими методами это сделать принципиально невозможно. Но даже оригинальный способ, найденный авторами из Удмуртии, не проясняет физический механизм образования такой проекции. Истинная сила Кориолиса физически может быть привязана к тангенциальному направлению по отношению к виртуальным окружностям переносного вращения только через проекцию энергетического влияния радиальной силы на тангенциальное направление, как показано в главе 3.5.

Причем энергетическая проекция это наше академическое нововведение специально для разрешения противоречий классической физики, которой непременно хочется, чтобы сила Кориолиса действовала вдоль геометрической окружности приносного вращения. Но она не может это обосновать, т.к. радиальная сила не имеет проекций на переносную окружность. На окружность может иметь проекции только результирующая сила поворотного движения, которая направлена вдоль касательной к реальной траектории, и на формирование которой естественно оказывает непосредственное влияние радиальная сила. Вот так и появилась академическая, но физически обоснованная проекция энергетического влияния или энергетическая проекция.

Физическая наука не может игнорировать общую кинематику криволинейного движения на макроуровне. В этом мы полностью согласны с классической физикой, т.к. на макроуровне проявляется исключительно общая кинематика любого движения. Но раз уж мы вынуждены мириться с общей кинематикой криволинейного движения, динамику которой векторная геометрия определить, бессильна, то без энергетических проекций в современной физике не обойтись. Во всяком случае, это позволит избавиться от абсурдных противоречий классической физики в теоретическом обосновании динамики криволинейного движения на основе его общей кинематики.

Следующее замечание. Авторы пишут: «Половина силы Кориолиса, действительно, является силой инерции: при приближении к центру вращения тело тормозится трубкой, при удалении – разгоняется». Но в соответствии с концепцией классической физики фиктивные силы инерции не могут ничего ни разгонять, ни тормозить. В классической физике это просто абстрактная математическая реакция. Разгоняет и тормозит тело в трубке только реальная поддерживающая сила, а инерционная половина силы Кориолиса это только реакция на поддерживающую силу.

Это же замечание актуально и для представления авторов о второй половине силы Кориолиса: «Другая же половина силы обусловлена действием центробежной силы, точнее, её проекцией (Fц1) на направление, перпендикулярное радиусу движения в плоскости орбиты». Но здесь сложнее. Здесь авторы намешали в кучу и реальные и фиктивные силы. Эта вторая половина существует и в отсутствие поддерживающей силы, как, например, в небесной механике. Об этой половине авторы говорят, что она совпадает по направлению со своим же ускорением (на рисунке зелёная стрелка, совпадающая с (Fц1)): «При свободном же движении сила и ускорение имеют одно направление». Но тогда это самая что ни на есть обычная сила, т.е. она не может быть проекцией фиктивной центробежной силы, направленной хоть вдоль физического радиуса, хоть вдоль геометрического радиуса!

Именно эта сила тормозит и ускоряет тело в отсутствие поддерживающей силы, в том числе и в небесной механике и направлены эти действия противоположно поддерживающей силе при движении в трубке. У авторов же эта сила такая же фиктивная, как и первая половина! По крайней мере, так следует из их текста дословно, ведь у них ускоряет и тормозит тело именно первая половина, про вторую они уже так не говорят. Правда, в дальнейшем через воздействие эфира они поясняют, что центробежная сила это вполне реальная сила. Но всё же это не только словесная неразбериха. Ниже будет показано, что воздействие эфира по типу подъёмной силы крыла играет в описываемом процессе второстепенную роль. Главная роль принадлежит тяготению.

Далее авторы утверждают: «Сила Кориолиса (при движении в трубке) количественно верна, но не обоснована физически». Это так же не совсем верно. Сила Кориолиса не только не обоснована физически, но и количественно не верна. Как утверждают сами авторы, вторая половина уравновешена трубкой: «Эта половина силы не даёт ускорения – не позволяет трубка». Но в динамике неуравновешенного движения уравновешенные силы не участвуют. Поэтому количественно верно только напряжение Кориолиса. Да и Кориолиса ли это напряжение, если за истинную силу толи Кориолиса, толи Кеплера в её составе принимать только вторую половину? Впрочем, это не вина авторов. Неумение чётко излагать свои мысли это наша общая беда.

Далее авторы рассматривают движение свободнолетящего тела под действием центральной силы. Замечания к ним все те же, что и по силе Кориолиса. Но их рассуждения заслуживают внимания, потому что авторы в принципе находятся на правильном пути. Поэтому приведем еще одну обширную цитату из их работы:

«3.4.2. Свободное движение

На рис.8 тело массы m под действием центральной силы F (с центром в точке О) движется по кривой L переменного радиуса кривизны R» с центром кривизны О» со скоростью V. Точка П – перицентр орбиты L. Скорость тела, находящегося в точке в, разложим на 2 составляющие: V_R —радиальная, Vокр – перпендикулярно радиусу обиты R.

На тело m, помимо сил инерции, действуют 2 силы: центральная F (или центростремительная) и центробежная сила Fц. Эту последнюю силу нельзя отнести к силам инерции (см. предыдущий параграф 3.3). В небесной механике считается, что планеты движутся под действием одной центральной силы, что окружное (азимутальное, трансверсальное) ускорение равно нулю (спис. лит.– 46), что планеты имеют только центростремительное ускорение (с.л. 59, 76), направленное всегда к центру тяготения по радиусу. Однако, вечно «ускоряясь», ни одна из них не приблизилась к Солнцу.

Что же это за алхиметрия?! Если планета не имеет окружного ускорения, то, что же заставляет тогда её изменять окружную и угловую скорость, например, при переходе от апоцентра к перицентру?

Итак, центробежную силу Fц, действующую по радиусу кривизны, разложим на 2 составляющие: F» – по радиусу орбиты (радиальная составляющая), Fокр – перпендикулярно этому радиусу – окружная составляющая.

С противоположной стороны от центра О в точке а движется центральное тяготеющее тело М (например, Земля, если m – Луна) с меньшим радиусом орбиты R_M = Оа.

На рис. 9 представлены ускорения, действующие на тело m. О них поговорим позднее.

Угол ψ – это угол между вектором орбитальной скорости V и вектором окружной скорости Vокр. Он положителен, если V_R – положительна. Угловая скорость ψ» положительна, если угол ψ растёт. При движении в I четверти (как на рисунках) и в IV четверти центробежная составляющая F» по модулю больше центральной силы F на величину кс. Они равны при углах истинной аномалии θ = 90º и 270º, что следует из расчётов. Во II и III четвертях F» <F. За счёт разницы этих сил и возникает радиальное ускорение a_r, которое два раза меняет свой знак за 1 оборот тела по орбите. В I и IV четвертях это ускорение положительно – направлено от центра. Скорость положительна также при направлении от центра.

В I и II четвертях тело m, удаляется от центра О, окружная сила Fокр направлена назад – тело тормозится (в окружном и орбитальном направлениях). В III и IV четвертях (движение от апоцентра к перицентру) – ускоряется. Эту окружную силу Fокр и заменяют в небесной механике и в ряде земных задач ошибочно силой Кориолиса.

Определим величину окружной силы и окружного ускорения

1 вариант вывода. Величина этой силы была определена из сравнения работ центральной и орбитальной сил. Производилось также сравнение работы орбитальной силы с изменением кинетической энергии тела m (например, для случая на рис.10) с учётом того, что при отсутствии момента внешних сил момент количества движения постоянен (есть теорема), то есть в скалярном виде

L = m · V · R · cosψ = const.

Задача решена на частных примерах и в квадратурах. Получилось, что все три энергии равны, если окружная сила (в скалярном виде):

F_окр = a_окр· m = -V_R · ω · m.

Здесь: окружное ускорение a_окр= -V_R · ω,

ω– угловая скорость.

Знак минус (-) означает, что при положительной радиальной скорости V_R (движение от перицентра к апоцентру – подъём) ускорение и сила отрицательны, то есть тело тормозится.

2 вариант. Величину окружной силы можно определить из 2 закона Кеплера, который запишем в скалярной форме:

Ś = ½ R V cos ψ = ½ R V_окр = const.

Секториальная скорость Ś постоянна, поэтому её производная по времени равна нулю:

Ś^’_t = ½ [R’_{t ́} V_окр+R · (V_окр) ’_t] = 0.

Здесь:

R’_t = V_R – радиальная скорость, поскольку R – скаляр;

(V_окр) ’_t = a_окр – окружное ускорение;

V_окр = ω·R_окр = θ» · R_окр.

Тогда уравнение можно записать так:

V_R·ω · R_окр +R_окр ·a_окр = 0.

Сократив на Rокр, получим :

a_окр = -V_R · ω. (формула 3.4.2.1)

Окружная сила, с учётом 2 закона динамики, будет равна:

F_окр = a_окр · m = – V_R · ω · m. (форм.3.4.2.2)

Вновь получили такое же выражение окружного ускорения и окружной силы, что и в 1 варианте.

Ньютон, Лагранж и их последователи до наших дней допускают ошибку при выражении секториальной скорости:

Ś = ½ RV_окр.

Её просто заменяют геометрическим выражением:

S = ½ R²_окр ω,

где радиус R_окр – фиксированная величина (в действительности R ≠ R_окр).

При взятии производной это даёт другой результат – окружное ускорение a_окр получается с двойкой, как у Кориолиса, но с другим знаком.

3 вариант. Вместо 2-го закона Кеплера (во втором варианте вывода) можно взять закон постоянства момента количества движения в скалярной форме: M = m V R cosψ. Результат опять будет таким же.

Таким образом, при орбитальном свободном движении тело имеет окружное (азимутальное) ускорение а_окр под воздействием окружной силы эфира

F_окр = -V_{R ·} ω · m.

Когда человек с гантелями вращается на стуле (рис.10), подтягивая их к себе, он ускоряется этой окружной силой. Этой силе приходится здесь разгонять не только гантели, но и человека со стулом. Поэтому ускорение разгона будет меньше, чем аокр. Следовательно, в общем случае тело испытывает напряжённость окружной силы:

а_окр^н = F_окр / m

А само ускорение тела будет

a_окр = F_окр ׃ m_пр, где m_пр – приведённая масса тела (стандартное понятие)

Определим связь между ускорениями свободного тела m (согласно рис.8 и 9).

Продифференцируем по времени скорости:

V_окр = Vcosψ, V_R = Vsinψ.

Получим значения окружного и радиального ускорений:

а_{окр =} (V_окр)» =V’cosψ – V sinψ ·ψ» = a cοs ψ – Vψ’sinψ,

где a =V» – орбитальное ускорение;

a_r = (V_R)» =V’sinψ+Vcosψ·ψ» = asinψ +Vψ’cosψ

– радиальное ускорение, направлено по радиусу орбиты; оно положительно, если направлено от центра.

После исключения произведения Vψ» из обоих выражений и несложных преобразований получим соотношение ускорений (в общем случае при несвободном движении – напряжений):

a =a_окрcosψ +a_rsinψ (формула 3.4.2.3).

Орбитальное ускорение равно сумме проекций окружного и радиального ускорения на направление касательной к траектории.

Орбитальная сила имеет направление ускорения и равна:

F_орб = ma (3.4.2.4).

Для вычисления радиального ускорения надо cумму центробежной составляющей и центральной (центростремительной) сил (с учётом их знака) разделить на массу тела:

a_r = (F/+F) /m = (F/-|F|) /m =F_r /m (3.4.2.5).

Здесь F_r является радиальной силой, под действием которой и происходят радиальные перемещения и изменения скорости.

Умножим равенство 3.4.2.3 на массу тела m, получим:

ma =ma_окрcosψ +ma_rsinψ.

Или, учитывая предыдущие соотношения и определения:

F_орб =F_окрcosψ +F_rsinψ (3.4.2.6).

Орбитальная сила равна сумме проекций окружной и радиальной сил на направление касательной к траектории.

Таковы реальные физические ускорения и силы, действующие на движущееся тело под действием центральной силы.

Заметим, что при определении ускорений производная бралась не от вектора скорости (как принято в классической механике), а от величины скорости. Как уже отмечалось в нашей работе (пар.3.3), ускорение – это изменение скалярной величины скорости (или просто – величины скорости). Направление ускорения определяется направлением ускоряющей силы.

Как видно, мы не обнаружили центростремительного ускорения и в данной задаче. Есть радиальное ускорение, которое может быть направлено как к центру, так и от центра. Оно соответствует реальным перемещениям и изменениям скоростей тела. Нет центростремительных ускорений, есть центростремительные напряжения, вызванные центральной силой. И это следовало бы различать. Но физико-математики с этим не считаются. И складывают ускорения с напряжениями. И иногда получают теоремы.

Ускорение – это результат действия напряжений

Следует обратить внимание, что окружные и орбитальные силы и ускорения дают проекцию на ось апсид (большая ось орбиты), всегда направленную к перицентру.