Текст книги "Физика движения. Альтернативная теоретическая механика, или Осознание знания. Книга в двух томах. Том II"

4.6. Общий случай проявления ускорения Кориолиса

Рассмотрим общий случай проявления ускорения Кориолиса, в котором относительная скорость имеет произвольное направление.

Матвеев считает, что: «Произвольная скорость может быть выражена в виде суммы слагающих, направленных по радиусу и перпендикулярно к нему, и для обеих составляющих справедлива одна и та же формула вида (66.7). Отсюда следует, что формула (66.7) справедлива для кориолисова ускорения при произвольном направлении относительной скорости».

w_{К =} 2 [ω, V_отн.┴] (66.7)

где Vотн._┴ – относительная скорость перпендикулярная радиусу.

Запишем в геометрическом виде выражение для ускорения Кориолиса при произвольном направлении относительной скорости в классической интерпретации:

а_к = 2 * ω * V_отн.═ +2 * ω * V_отн.┴ (4.4.1)

где:

2 * ω * V_{отн ┴ =} (2 * ω * ω_отн. * r);

Vr_═: радиальная составляющая относительной скорости;

Vr_┴: перпендикулярная составляющая относительной скорости;

ω: мгновенное значение переносной угловой скорости;

ω _отн: относительная угловая скорость,

r: текущее значение радиуса переносного вращения.

Вынося за скобки общий множитель (2* w) можно записать:

а_к = 2 * ω * (Vотн._═ + Vотн._┴)

Сумма (V_отн.═) и (V_отн.┴), записанная в круглых скобках есть не что иное, как геометрическое выражение для полной относительной скорости (V_отн):

V_отн = V_отн.═ + V_отн┴

Тогда в общем случае ускорение Кориолиса действительно было бы равно:

а_к = 2 * ω * V_отн.

То есть, если рассматривать дополнительное ускорение (2 * ω * ω_отн.┴ * r) как ускорение Кориолиса при относительном движении, перпендикулярном радиусу, а величину ускорения Кориолиса при радиальном относительном движении определять по классической формуле, содержащей удвоенное произведение (ω * V_отн.═), то ускорение Кориолиса при произвольном направлении относительного движения математически действительно определяется выражением (66.7).

Однако, на наш взгляд, математические преобразования, приводящие формулу общего ускорения Кориолиса при произвольном направлении относительного движения к виду (66.7) с физической точки зрения неправомерны.

Ускорение Кориолиса по первому варианту формально зависит только от переносной угловой скорости, т.к. относительная угловая скорость в первом варианте проявления ускорения Кориолиса при равномерном вращении (абсолютная угловая скорость не изменяется) отсутствует.

Однако при произвольном направлении относительного движения текущая угловая скорость постоянно изменяется за счет перпендикулярной радиусу составляющей относительного движения. Поэтому вектора всех составляющих абсолютной скорости сложного движения в абсолютной системе координат вращаются с абсолютной угловой скоростью (если не учитывать сдвиг фаз).

Таким образом, при произвольном направлении относительного движения в формуле (4.4.1) необходимо учитывать абсолютную угловую скорость (Ωn) равную сумме текущих угловых скоростей переносного и относительного движений:

Ωn = ω_ет + ω_отн. т,

Где:

ω_ет = (Ω _(n-1)) – переносная угловая скорость текущая равная абсолютной угловой скорости на (n-1) шаге дифференцирования;

ω_{отн. т} – относительная угловая скорость в текущем интервале времени дифференцирования (n).

В свою очередь в выражении (2 * ω * ω_отн.┴ * r) для дополнительного ускорения, обусловленного перпендикулярной к радиусу составляющей относительного движения необходимо учитывать не абсолютную угловую скорость, а переносную угловую скорость, т.к. в выражении для относительной линейной скорости (ω_отн.┴ * r = V_отн.┴) уже учтена относительная угловая скорость (ω_отн.┴), дополняющая переносную угловую скорость до абсолютной угловой скорости.

Собственно это очевидно и из самого выражения для дополнительного ускорения (2 * ω * ω_отн.┴ * r), в котором присутствуют обе угловые скорости (абсолютная ω и относительная (ω_отн.┴).

Таким образом, в слагаемые выражения (4.4.1), представляющие собой составляющие классического ускорения Кориолиса при произвольном направлении относительного движения должны подставляться разные угловые скорости (Ωn) и (ω_ет).

При этом выражение для ускорения Кориолиса при произвольном направлении относительного движения (4.26) с учетом классического поворотного ускорения при радиальном и при перпендикулярном к радиусу относительном движении будет иметь вид, несколько отличающийся от классической формулы вида (66.7):

а_к = 2 * Ωn * V_отн.═ +2 * ω_ет * V_отн.┴ (4.4.2)

В выражении (4.4.2), математические преобразования по приведению этого выражения к выражению вида (66.7) невозможны, т.к. угловые скорости в каждом слагаемом формулы (4.4.2) разные.

Следовательно, физический смысл классического ускорения Кориолиса по первому варианту не соответствует его же физическому смыслу во втором варианте.

Это еще раз подтверждает, что как минимум один из этих вариантов не связан с явлением Кориолиса.

Причем поскольку во втором варианте классическая физика пытается увязать ускорение Кориолиса с центробежной силой равномерного вращательного движения, то, скорее всего именно этот вариант не относится к явлению Кориолиса

С учетом реальной текущей угловой скорости при произвольном направлении относительного движения в формуле (4.4.2) вынести за скобки чисто математически можно только множитель «2», что с нашей точки зрения также не бесспорно, т.к. в нашей версии ускорения Кориолиса множитель «2» отсутствует.

Множитель «2» при радиальном относительном движении скорее противоречит физической сущности поворотного движения, чем соответствует ей. По крайней мере, все существующие классические объяснения физической сущности ускорения Кориолиса при радиальном относительном движении, на наш взгляд, не выдерживают никакой критики.

Множитель «2» в выражении для дополнительного ускорения (2 * ω * ω_отн.┴ * r) получен чисто математическим путем, как множитель, присутствующий в формуле разложения квадрата суммы двух чисел вне всякой связи с конкретным физическим смыслом дополнительного ускорения (2 * ω * ω_отн.┴ * r).

Таким образом, даже косвенно по аналогии с перпендикулярным радиусу относительным движением «двойка» в выражении для дополнительного ускорения не может служить оправданием такого же множителя «2» в выражении для ускорения Кориолиса при радиальном относительном движении. Тем более что, хотя наличие множителя «2» в выражении (2 * ω * ω_отн.┴ * r) правомерно, дополнительное ускорение, на наш взгляд вообще не является ускорением Кориолиса.

Поэтому при произвольном направлении относительного движения общее ускорение Кориолиса, по нашему мнению, описывается выражением для ускорения Кориолиса при радиальном относительном движении в нашей версии с учётом изменяющей за счёт нормальной составляющей относительного движения угловой скорости переносного вращения:

а_{к общ.} = Ω_n * V_отн.═ (4.4.3)

При этом в абсолютном ускорении дополнительное ускорение (2 * ω * ω_отн.┴ * r) при относительном движении, перпендикулярном радиусу будет автоматически учтено в составе центростремительного ускорения текущего вращательного движения с текущей абсолютной угловой скоростью (Ωn).

Иными словами классическая модель явления Кориолиса это частное явление, возникающее при чисто радиальном движении (без тангенциальной составляющей) с постоянной линейной скоростью на фоне чисто вращательного движения с постоянной угловой скоростью.

При переменных значениях (ω_е) и (V_отн.) в выражение для силы и ускорения Кориолиса должно подставляться либо среднее значение этих параметров, либо их мгновенные значения, что в принципе одно и то же. При этом в усреднение угловой скорости должны входить и её вариации за счёт тангенциальной составляющей относительного движения, если таковая имеется.

Таким образом, всё опять же сводится к чисто радиальному постоянному движению на фоне чисто вращательного движения с постоянной угловой скоростью.

4.7. Силы Кориолиса в гироскопе

Теория гироскопа приведена, например, в статье «Почему и как прецессирует гироскоп», размещённой на сайте кафедры ОиСФ МИФИ под названием «В помощь студентам, изучающим физику». (http://iatephysics.narod.ru/gyroscope/gyrosc_r.htm). Для облегчения восприятия нашего понимания теории гироскопа, которое во многом совпадает с мнением авторов статьи, мы даже не стали менять оригинальные рисунки и обозначения авторов сайта. Но излагать теорию мы будем своими словами с нашими пояснениями некоторых моментов, с которыми мы не согласны в классической теории гироскопа.

Гироскопом называется быстровращающееся симметричное твердое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Однако при попытке изменить положение оси гироскопа в пространстве с помощью внешней силы, он, вопреки ожиданию, поворачивается не в направлении внешней силы, а вокруг оси, лежащей в этой плоскости и перпендикулярной к его оси симметрии. Такое движение гироскопа называется прецессией. Объяснить прецессию можно только действием обычных истинных сил Кориолиса в ответ на воздействие внешних сил. Именно на этом и построена классическая теория гироскопа, изложенная в указанной статье на сайте ОиСФ МИФИ. Однако, как это ни странно, в классической физике такого понятия, как истинная сила Кориолиса не существует.

Рис. 4.7.1

Итак, приступим. Пусть к оси (у) гироскопа постоянно приложены постоянные силы (F₁) и (F₂), создающие момент (M₁₂), перпендикулярный к плоскости, в которой лежат силы (см. Рис. 4.7.1). Под действием момента (M₁₂) гироскоп начинает поворачиваться относительно оси (х) с какой-то угловой скоростью (Ω»). При этом точки (С) и (D) с массами (dm) оказываются движущимися в радиальном направлении вращательного движения относительно оси (х). Следовательно, на них начинают действовать силы Кориолиса (F_С = dm [V_С, Ω»]) и (-F_D = dm [V_D, Ω»]), которые и вызывают прецессию гироскопа, т.е. его вращение относительно оси (z) с угловой скоростью (Ω).

Причём это может быть только момент обычных истинных сил Кориолиса, т.к. направление закручивания совпадает с направлением закручивающих сил, названных авторами статьи силами Кориолиса. О реальности истинных сил Кориолиса-Кеплера свидетельствует реально наблюдаемая изгибная деформация диска прецессирующего гироскопа, если он выполнен, например, из гибкого материала (см. Рис. 4.7.2).

Рис. 4.7.2

Фиктивные же силы инерции, к которым относится, в том числе и классическая сила Кориолиса, всегда направлены противоположно реальному ускорению тел, вызванному обычными силами. При этом реальное ускорение Кориолиса обеспечивает обычная сила, которая поддерживает переносное вращение. В гироскопе поддерживающими силами являются обычные внешние силы (F₁) и (F₂), которые запускают прецессию. Однако эти обычные силы успешно преодолеваются истинными силами Кориолиса-Кеплера. Следовательно, они вовсе не фиктивные. Происходит это следующим образом (см. Рис. 4.7.3).

Рис.4.7.3

Прецессия относительно оси (z) является в свою очередь переносным вращением для точек (А) и (В). Следовательно, на них действуют силы Кориолиса (-F_А = dm [V_А, Ω]) и (F_В = dm [V_В, Ω»]), которые образуют момент (M_AB), стремящийся уравновесить внешний момент (M₁₂). С увеличением скорости прецессии под действием постоянного момента (M₁₂) растёт и момент (M_AB), в то время как противодействующий ему момент постоянных внешних сил (M₁₂), запускающий прецессию, остаётся неизменным. Следовательно, в какой-то нижней точке траектории прецессии (Н) момент (M_AB) сначала сравняется с моментом (M₁₂) по величине, а затем и неминуемо превысит его (см. Рис. 4.7.4).

Рис. 4.7.4

Под действием силы (F_B) момента (M_AB) ось (y) начинает двигаться из нижней точки (Н) вверх по рисунку, что приводит к изменению знака угловой скорости вращения гироскопа (Ω») относительно оси (х). При этом направление сил Кориолиса (F_C) и (F_D) и соответственно момента (M_CD) так же изменяется на противоположное. В результате под действием обратных сил (F_C) и (F_D) скорость прецессии уменьшается, т.е. момент (M_CD), который запустил прецессию, теперь тормозит её.

До этого момента мы полностью согласны с классической теорией гироскопа, изложенной ОиСФ МИФИ. Неожиданным для нас в классической теории оказалось только фактическое признание авторами статьи истинной силы Кориолиса, что подтверждается так же исчезновением двойки из формулы классической силы Кориолиса. Это радует. Однако на этом разумное в классической теории гироскопа и заканчиваются, т.к. несмотря на фактическое признание реальности истинных сил Кориолиса, классическая физика по-прежнему утверждает, что работу по образованию прецессии совершают только внешние силы. Но если все силы в прецессии реальные, то все они либо совершают работу, либо не совершают. Но если не совершают, тогда все они являются внутренними силами замкнутой системы. Другого не дано.

Далее на сайте дословно сказано:

«Когда скорость прецессии окажется меньше необходимой, чтобы компенсировать момент пары сил (F₁) и (F₂), знак (Ω») снова изменится, и процесс начнет повторяться. Такое колебательное движение гироскопа вокруг оси x называется нутацией (см. Рис. 4.7.4, автор). Очень скоро из-за трения нутация прекращается и гироскоп переходит в режим установившейся прецессии, при котором |M_AB| = | M₁₂|».

Здесь мы тоже не согласны с авторами. Трение, конечно же, оказывает влияние на затухание любых процессов, в том числе и нутаций. Однако трение не является принципиальным активным элементом физического механизма образования прецессии. В лучшем случае это всего лишь пассивный демпфер нутаций. Принципиально нутации затухают за счёт отрицательной обратной связи механизма прецессии. Из-за резкого нарушения пассивного равновесия гироскопа в первый момент приложения внешних сил размах нутаций может достигать достаточно больших размеров, как по горизонтали, так и по вертикали. При этом нутации могут выходить далеко за пределы горизонтальной плоскости прецессии, с обеих её сторон. Механизм нижней части нутации мы уже рассмотрели. Теперь посмотрим, что происходит при выходе нутаций выше плоскости прецессии.

Как мы выяснили при движении оси гироскопа вверх нутация тормозится. В идеале при возврате оси в прежнюю плоскость прецессия должна полностью остановиться, после чего начинается её новый цикл. Однако при резких колебаниях оси в переходный период, ось может не остановиться в плоскости прецессии. При этом может появиться даже обратная прецессия, что приводит даже к образованию петель нутации (см. Рис. 4.7.5в). Наличие петель как раз и свидетельствует что затухание нутаций обусловлено не только трением.

Петля это есть не что иное, как верхняя мини нутация, обратная нижней основной нутации. Все силы и движения в верхней нутации имеют обратные знаки по сравнению с нижней нутацией. При этом петли ликвидируются за счёт точно такого же механизма, охваченного отрицательной обратной связью, как и нижняя нутация. Ну, а затухание нутаций в этом механизме происходит по закону саморегуляции механизмов, охваченных отрицательной обратной связью. Если бы в этом участвовало только трение, которое в гироскопах очень мало, то большой размах нутации сохранялся бы очень долго, чего в реальной действительности не наблюдается.

Рис. 4.7.5

Авторы статьи на (http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&uri=page15.html), из которой заимствован рисунок (4.7.5), так же, как авторы сайта МИФИ, объясняют затухание нутаций только трением:

«Характер траектории, по которой движется вершина гироскопа, зависит от начальных условий. В случае (рис. 4.7.5а) гироскоп был раскручен вокруг оси симметрии, установлен на подставке под некоторым углом к вертикали и осторожно отпущен. В случае (рис. 4.7.5б) ему, кроме того, был сообщен некоторый толчок вперед, а в случае (рис. 4.7.5в) – толчок назад по ходу прецессии. Кривые на (рис. 4.7.5) вполне аналогичны циклоидам, описываемым точкой на ободе колеса, катящегося по плоскости без проскальзывания или с проскальзыванием в ту или иную сторону.

И лишь сообщив гироскопу начальный толчок вполне определенной величины и направления, можно добиться того, что ось гироскопа будет прецессировать без нутаций. Чем быстрее вращается гироскоп, тем больше угловая скорость нутаций и тем меньше их амплитуда. При очень быстром вращении нутации делаются практически незаметными для глаза. С энергетической точки зрения кинетическая энергия прецессии появляется за счет изменения потенциальной энергии гироскопа.

Если за счет трения в опоре нутации гасятся быстрее, чем вращение гироскопа вокруг оси симметрии (как правило, так и бывает), то вскоре после «запуска» гироскопа нутации исчезают, и остается чистая прецессия (рис. 4.7.5г). При этом угол наклона оси гироскопа к вертикали (θ₂) оказывается больше, чем он был вначале (θ₁) то есть потенциальная энергия гироскопа уменьшается. Таким образом, ось гироскопа должна немного опуститься, чтобы иметь возможность прецессировать вокруг вертикальной оси».

Однако опыт с обратным толчком, на наш взгляд, подтверждает потерю энергии массовых элементов диска именно на образование прецессии, а не только на трение. Ведь трение при обратном толчке не может очень уж существенно измениться. Гораздо более существенно должен измениться размах нутаций и соответственно затраты сил Кориолиса на регулирование прецессии. А петли нутации при обратном толчке как раз и свидетельствуют о сильном возмущении прецессии, что приводит к резкому увеличению затрат сил Кориолиса. Вследствие этого совершенно очевидно, что при обратном толчке плоскость прецессии должна опуститься наиболее заметно, что можно легко обнаружить в этом опыте.

Все равномерные нелинейные процессы являются авторегулируемыми процессами. При этом любое регулирование всегда запаздывает по отношению к отклонению параметров процесса, которое неизбежно случается в нелинейных процессах. Принципиально сначала появляется отклонение параметра и только после этого вырабатывается регулирующее воздействие, т.е. регулирование неизбежно связано с погрешностью установления параметров процесса.

Нутации это и есть неизбежные погрешности регулирования в механизме прецессии. Поэтому равенство моментов (|M_AB| = |M₁₂|) в установившейся прецессии, о котором говорится на сайте МИФИ, является лишь примерным равенством (|M_AB| ≈ |M₁₂|), погрешность которого и определяют нутации. Однако поскольку равномерное протекание нелинейных процессов принципиально невозможно без регулирования, то вопреки утверждению классической теории гироскопа нутации никогда полностью не прекращаются. В установившейся регулярной прецессии они только переходят на микроуровень. При этом автоматическое регулирование и соответственно «нутации» присутствует на микроуровне даже в равномерном вращательном движении. Это циклы его формирования.

Теперь разберёмся ещё с одним парадоксом классической теории гироскопа. Как утверждает классическая физика, прецессия осуществляется за счёт работы внешних сил, причём только на начальном этапе её запуска. При этом энергетика основного вращения гироскопа во время прецессии якобы не изменяется, а в нутациях осуществляется только преобразование кинетической энергии внешней силы в потенциальную энергию гироскопа и обратно. Более того, после наступления регулярной прецессии, нутации якобы полностью прекращаются, а внешняя сила только поддерживает прецессию по аналогии с центростремительной силой равномерного вращательного движения. (см. Д. В. Сивухин, Общий курс физики, Механика, Т1, М., 1979 г., 520 с., глава 7, параграф 50, стр. 274).

Можно не знать физического механизма формирования равномерного вращательного движения, который проявляется в виде автоколебаний его параметров на микроуровне (см. гл. 3.3.) или не признавать его, как классическая физика, которая считает колебания вращательного движения побочными. Однако при этом классическая физика хотя бы не отрицает, что центростремительная сила – это внутренняя сила равномерного вращательного движения. При этом энергетическая независимость равномерного вращательного движения в отсутствие внешних сил хотя бы не противоречит закону сохранения энергии замкнутой системы. А вот равномерная беззатратная прецессия под воздействием внешней силы – это прямое нарушение закона сохранения энергии, который не может соблюдаться при наличии внешних сил.

Как следует из приведённого описания, прецессия запускается с нуля в начале цикла нутации и полностью останавливается в конце цикла. Следовательно, в каждой нутации на разгон и торможение прецессии неизбежно затрачивается энергия. При этом существует не абсолютно неизменная постоянная скорость прецессии, как утверждает классическая физика, а только её средняя скорость, которая также является постоянной величиной. Однако её постоянная средняя величина существует только вместе с реальными затратами на образование прецессии в каждом цикле нутации, т.к. усреднение движения с переменной скоростью это всего лишь математическое абстрагирование от реально существующего переменного движения внутри цикла и затрат на его разгон и торможение.

Конечно же, в равномерном вращательном движении, с которым классическая физика сравнивает якобы беззатратную прецессию, так же происходит реверсивное изменение величины линейной скорости. Однако беззатратным является только вращательное движение замкнутых систем. При этом равномерное движение отдельной точки по окружности является затратным, т.к. оно может осуществляться только за счёт внешней силы. В нутациях так же участвует внешняя сила, кинетическая энергия которой не может преобразовываться в потенциальную энергию гироскопа и обратно, как говорит Сивухин, т.к. беззатратный обмен энергии может осуществляться только в замкнутых системах за счёт внутренних сил системы.

Внешняя сила предполагает наличие внешнего тела, которое без постоянной связи, обеспечивающей его принадлежность к единой с гироскопом замкнутой системе, после первого же взаимодействия с гироскопом и его реакции на это воздействие в виде реальных истинных сил Кориолиса навсегда покинет окрестности гироскопа. При этом изменится, как кинетическая энергия вращения элементов гироскопа (dm), которые и являются источником силы Кориолиса, так и кинетическая энергия внешнего тела. Однако даже если соединить внешнее тело с гироскопом упругой механической связью в единую замкнутую систему, то беззатратной прецессии всё равно не получится, т.к. её вообще не будет.

В этом случае, скорее всего будут осуществляться беспорядочные колебания между теперь уже внутренним телом, заменившим внешнюю силу и телом гироскопа. Совершенно очевидно, что массовые элементы диска гироскопа (dm) будут так или иначе принимать участие в этих колебаниях. При этом их упорядоченное движение естественно будет дестабилизироваться. Это и есть известный в физике закон энтропии, в соответствии с которым энергия элементов (dm) в этом процессе уже никогда не вернётся в упорядоченное вращение. По закону энтропии она перейдёт в общую энергию внутренних колебаний.

Опыт с замкнутой системой гироскопа и внешнего тела несложно сымитировать. Ось гироскопа можно соединить через пружину с жестко закреплённой кольцевой направляющей, расположенной над плоскостью прецессии. При этом ось гироскопа вместе с пружинами должна иметь возможность свободно перемещаться вдоль кольца, чтобы не мешать возможной прецессии. Однако прецессии при этом никакой не получится ни регулярной, ни псевдо регулярной, а энергия вращения при этом быстро рассеется по закону энтропии, что и должен показать опыт.

Собственно, по закону энтропии затраченная на прецессию энергия элементов (dm) не возвращается им обратно и при наличии внешней силы. Только рассеивается она в этом случае не внутри системы, а между гироскопом и внешней силой, т.к. внешнее тело, которое создаёт эту внешнюю силу, будучи не связанным с системой гироскопа будет стремиться покинуть зону взаимодействия. При этом для того чтобы обеспечить их новое взаимодействие с прежней силой и в прежней точке необходимы ещё несколько внешних тел.

Одно из них должно вернуть тело гироскопа в прежнее положение в пространстве. При этом элементы гироскопа (dm) по закону энтропии потеряют ещё некоторую энергию своего вращения. Затем ещё одно тело должно восстановить потерянную по закону энтропии энергию вращения массовых элементов гироскопа (dm) на этих двух этапах до прежней величины. Ну и, наконец, необходимо не только восстановить энергию первого внешнего тела, но и вернуть его в точку контакта под таким же углом взаимодействия, как и в первом взаимодействии. Из этого следует, что энергия массовых элементов диска гироскопа тратится на противодействие возвращению всех этих внешних тел во взаимодействие, что является внешними для гироскопа затратами.

Таким образом, прецессия – это старт-стопное движение, которое осуществляется только благодаря затратам на разгон и торможение гироскопа в каждом цикле прецессии – нутации. При этом постоянная средняя скорость во всех нутациях прецессии сохраняется практически неизменной на протяжении длительного времени, что обусловлено постоянными силами прецессии и очень малыми затратами на разгон и торможение прецессии по сравнению с энергией быстрого вращения гироскопа.

Теперь, имея некоторые представления о классической теории гироскопа и её противоречиях, перейдём к рассмотрению динамики прецессирующего гироскопа. Начнём с классической динамики гироскопа, приведённой в работе А. Н. Матвеева, Механика и теория относительности, Глава 11 Динамика твёрдого тела, стр. 325, 326, М.: Высшая школа, 1986 (см. курсив).

В результате прецессии полная скорость прецессии (ω + Ω) не совпадает с осью гироскопа (см. Рис. 4.7.6). Однако в виду того, что (ω>> Ω) это несовпадение незначительно и поэтому, несмотря на наличие прецессии, угловая скорость быстрого вращения гироскопа практически совпадает с его осью симметрии и с моментом импульса (L).

Тогда угловая скорость прецессии легко может быть вычислена из уравнения моментов.

dL / dt = M₁₂

Отсюда:

dL = M₁₂ * dt,

но приращения момента импульса (L) можно определить через момент импульса и приращение угла его поворота в прецессионном вращении (см. Рис. 4.7.6):

Рис. 4.7.6

Из рисунка видно, что:

dL = L * dφ,

т.е.

dL = M₁₂ * dt = L * dφ

Отсюда угловая скорость прецессии равна:

Ω = dφ / dt = M₁₂ / L = M₁₂ / (I * ω)

Как видно, из классического вывода вовсе не следует, что при постоянной внешней силе прецессия осуществляется исключительно только с постоянной угловой скоростью. Наоборот, он предполагает исключительно только не равномерную прецессию, т.к. при наличии тангенциальный закручивающих сил никакого равномерного движения не может быть в принципе. В этом случае можно определить только мгновенную скорость прецессии. Следовательно, классическая динамика гироскопа противоречит его же классической теории.

Можно, конечно гипотетически допустить, что по аналогии с классической моделью равномерного вращательного движения постоянный по абсолютной величине вектор (L) под действием постоянной центральной силы вращается с постоянной угловой скоростью. Но тогда классическая физика должна объяснить, как тангенциальные для вектора (L) силы (F₁) и (F₂), лежащие вовсе не в плоскости его вращения могут быть эквивалентны центральной силе в плоскости его вращения. Такого объяснения в классической физике нет. Следовательно, классическая теория гироскопа остаётся не подтверждённой.

Но и это ещё не всё. В классическом выводе начисто отсутствуют силы Кориолиса, которые играют не менее важную роль в теории гироскопа, чем внешние силы. Причём, несмотря на отсутствие в классической физике понятия истинной силы Кориолиса, в классической теории гироскопа речь идёт именно об этих обычных силах. Иначе никакой прецессии не получится.

Теперь рассмотрим нашу альтернативную динамику прецессирующего гироскопа, которая лишена всех перечисленных выше противоречий классической теории. Из приведённого выше описания механизма прецессии следует, что энергетически прецессия питается энергией внешней силы и энергией основного вращения. Поскольку энергия основного вращения гироскопа нейтрализует энергию внешней силы через прецессию, то, очевидно, что момент силы, изменяющий основное вращение (изъятый из него) равен моменту силы прецессии. То есть расчёт можно вести через силу Кориолиса.

Поясним этот момент более подробно.

Поскольку в прецессии участвует как внешняя, так и изменяющаяся внутренняя энергия, то это должно означать, что прецессия вызван суммарной энергией внешних сил и внутренних сил Кориолиса. Фактически это так и есть. Но количественно старт-стопную прецессию, которая в каждом её цикле – нутации начинается с нуля и кончается нулём, можно свести либо к внешнему моменту, либо к моменту сил Кориолиса – каждому в отдельности по следующим соображениям.

Если гипотетически запустить прецессию совместным моментом внутренних и внешних сил, например, на ходе оси гироскопа вниз до точки (Н), то скорость прецессии изменится от нуля до (Ω_max) в середине цикла. На обратном ходе вверх скорость прецессии изменится от (Ω_max) до нуля. Средняя скорость на протяжении всего цикла нутации будет равна (Ω_ср = Ω_max / 2). Это равносильно, запуску равномерного вращения со средней угловой скоростью под действием только одного из моментов либо внешним моментом (М_1,2), либо внутренним моментом сил Кориолиса (Мк).

Таким образом, если мы хотим выразить скорость прецессии через внешний момент, то следует работать с ним, если через внутренний момент, то принимаем во внимание внутренний момент сил Кориолиса. Количественный результат будет одинаковым. Классическая физика выбрала для этого внешний момент (М_1,2). Но внешний момент формально не связан с угловой скоростью прецессии, лежащей совсем в другой плоскости. Поэтому непротиворечиво выразить угловую скорость прецессии мы можем только через силы Кориолиса, которые действуют в плоскости прецессии.

Итак, обозначив запускающий прецессию момент сил Кориолиса индексом (к), прецессию индексом (п), а момент импульса гироскопа индексом (г) можно записать:

|М_К| = dL_Г / dt = |M_П| = dL_П / dt

При этом, несмотря на расчёт вращения прецессии по её средним постоянным параметрам, мы фактически определяем только динамику пуска или останова псевдоравномерной старт-стопной прецессии. Для основного вращения гироскопа эта динамика его торможения.

В прецессии происходит смена плоскости основного вращения гироскопа. Это означает, что момент импульса гироскопа (L_Г) не является параметром единого вращательного движения в одной его плоскости. В каждом новом угловом положении оси основного вращения гироскопа в плоскости прецессии образуется его новое основное вращение с моментом импульса (L_Г2), меньшим момента импульса в предыдущей нутации (L_Г1). Следовательно, траектория прецессии – это не траектория равномерного движения по окружности стрелки виртуального вектора (L_Г), с радиусом равным длине (L_Г), а геометрическое место точек разных последовательных вращений диска гироскопа. Радиус такой траектории равен радиусу диска гироскопа.