Автор книги: Георгий Щедровицкий
Жанр: Философия, Наука и Образование
Возрастные ограничения: 16+
сообщить о неприемлемом содержимом
«Скорости тел, падающих по СА и СВ, не равны».
«Скорости тел, падающих по СА и СВ, равны».
Второе определение, полученное из первого путем, казалось бы, безобидного перехода, отрицает первое, являющееся его частным случаем, и, наоборот, первое отрицает второе. Обозначим время падения шара через t (по СВ). За это время шар, движущийся по СА, достигает D:
Рис. 5
СD не равно СВ, и поэтому отношение 
на этих отрезках не удовлетворяется. Возьмем на СА отрезок СЕ, равный СВ. Пусть время движения шара по СЕ равно t1. Время падения шара по СВ, равному СЕ, не равно t1, и отношение опять не удовлетворено. И в то же время имеются такие положения в движении шаров по СА и СВ, когда .
Здесь абстрактно-логическое знание вступает в противоречие со знанием чувственным. Нам кажется – «мы чувствуем», что движение по вертикали совершается скорее, чем движение по наклонной, а абстрактное знание говорит нам, что эти движения равноскоростны. Таким образом, абстрактно-логическая форма понятия скорости отрывается от тех чувственных образов и представлений, на которых основывалась абстракция скорости. В первой главе нашей работы мы говорили в общей форме об отношении понятий и абстракций к чувственным образам. Во второй главе мы показали, что абстракция «бесконечного» отрицает чувственные образы и попытки наделить бесконечное чувственным существованием, долгое время имевшие место, только приводят к противоречиям.
Здесь мы видим, что абстрактно-логическая форма понятия скорости точно так же на определенной ступени своего развития отрывается от чувственных образов и вступает с ними в противоречие.
Однако причина выявленного Галилеем противоречия не может лежать только в факте определения понятия скорости и обобщения условий равенства скоростей. Если бы мы, пользуясь старым условием равенства скоростей, начали сравнивать движения шаров по СА и СВ, беря отрезки проходимого пути в разных частях СА и СВ, то мы получили бы и при старом определении весьма противоречивые результаты. Скорость падения шара по СВ могла оказаться в одном месте больше скорости падения шара по СА, в другом – равной, в третьем – меньшей. Таким образом, развитие понятия скорости и обобщение условий равенства скоростей не является причиной противоречия, а только формой, которая создает более вероятные условия для проявления этого противоречия.
Причина [противоречия] заключается в том, что понятие скорости, сложившееся из сравнения равномерных движений и однозначно характеризовавшее эти движения, уже не подходит для сравнения и однозначной характеристики неравномерных движений. Оба определения, выдвинутые Галилеем, и оба положения, отражающие конкретное движение двух тел по линям СА и СВ, к которым мы пришли в результате применения этих определений, одновременно и справедливы, и несправедливы. Справедливы в том смысле, что они оба действительны, если мы исходим из определенной формы понятия скорости. Несправедливы в том смысле, что эта определенная форма понятия скорости не дает однозначной характеристики ускоренных движений и для их сравнения требуется другая уточненная форма понятия, имеющая другое содержание. Противоречие, к которому приходит Галилей, заставляет его не отбрасывать одно из противоречащих положений, а развивать понятие, из которого он исходил, заставляет уточнять его содержание и форму.
Прежде всего, Галилей обращает внимание на то, что полученные им результаты зависят от способа сравнения движений, от того, какие отрезки пути он брал. Любое утверждение о скорости тел, падающих по СА и СВ, оказывается не общим положением и приложимо только к уже рассмотренным отрезкам. Скорость оказывается характеристикой относительной, она зависит от того, на каком отрезке мы ее берем[64]64
Исходя из этого положения Галилей уточнил определение равномерного движения. «Движением равномерным или единообразным я называю такое, при котором расстояния, проходимые движущимися телами в любые равные промежутки времени, равны между собой.
Пояснение. К существующему до сего времени определению (которое называло движение равномерным просто при равных расстояниях, проходимых в равные промежутки времени, мы прибавили слово “любые”, обозначая тем какие угодно равные промежутки времени, так как возможно, что в некоторые определенные промежутки времени будут пройдены равные расстояния, в то время как в равные же, но меньшие части этих промежутков пройденные расстояния не будут равны» [Галилей, 1934, с. 282–283].
[Закрыть].
Дальше этого вывода в развитии этой стороны понятия «скорость» Галилей не пошел[65]65
Исследуя неравномерные движения, Галилей ввел понятие ускорения и дал закон равноускоренного движения. Кроме того, Галилей показал относительный характер скорости. Все это, конечно, является развитием понятия скорости, но эти стороны в развитии понятия мы здесь уже не можем рассматривать.
[Закрыть], и так как наше исследование ограничивается работами Аристотеля и Галилея, мы должны на этом остановиться.
Скажем только несколько слов, чтобы придать нашей работе законченный характер о тех ближайших выводах, которые были сделаны из работ Галилея.
Как мы уже отмечали, Галилей выдвинул положение о том, что величина скорости неравномерного движения зависит от положения того отрезка пути, на котором эта скорость измеряется. Отсюда сразу напрашивается вывод, что как отрезки бывают двух родов – конечные и «бесконечно малые», так и скорости могут быть двух родов – на конечном отрезке и на «бесконечно малом». Хотя этот вывод напрашивался уже из самих работ Галилея, понятие мгновенной скорости не было сформулировано до тех пор, пока Лейбниц и Ньютон не развили исчисление бесконечно малых и не начали оперировать мгновенными характеристиками. Определение мгновенной и средней скорости завершало процесс расщепления понятия «скорость». Внутри него родилось два новых понятия: «средняя скорость» и «мгновенная скорость».
Рассмотренный нами процесс развития понятия скорости в работах Аристотеля и Галилея можно представить следующим образом. Понятие скорости возникает из сравнения и анализа движения. (Его содержание составляют те отношения между предметами, которые существуют и которые мы создаем в процессе самого анализа и сравнения.) Форма понятия, то есть его определения и вообще те связи, которые возникают между абстракцией «скорость» и другими абстракциями, зависит от тех отношений, в которые поставлены рассматриваемые предметы, то есть зависит от содержания. На первом этапе своего развития понятие скорости, благодаря способу и характеру сравнения движущихся тел, применимо только к равномерным движениям. Этот факт остается долгое время неосознанным, и объем понятия, фактически уже определенный его содержанием и формой, для сознания человека остается неопределенным, или, вернее, неправильно определенным. Благодаря этому сложившееся понятие скорости начинают применять для сравнения и анализа неравномерных движений.
Содержание понятия, то есть свойства предметов и явлений, с которыми понятие соотносится, изменилось, а форма остается прежней. Между новым содержанием и старой формой возникает конфликт, противоречие. ‹…›
Противоречие между старой формой и новым содержанием находит себе выражение в тех противоречивых определениях, которые получил Галилей. Устранение этих противоречий заключено в уточнении и развитии формы исходного понятия в соответствии с новым содержанием.
Система суждений, в которую входят исходные положения, выражающие результаты непосредственного опыта, «самодвижение» понятия, то есть его мысленное развитие, соотнесение развитого понятия с действительностью, с новым содержанием, в результате которого мы получаем противоречивые положения, и вытекающее отсюда новое определение понятия – все это составляет форму движения понятия, иначе – форму движения нашего знания. Эту систему можно было бы представить в следующем виде:
Разобранная система суждений дает нам пример сложной формы движения нашего знания, движения, в ходе которого изменяется как содержание, так и форма наших понятий.
В первой главе нашей работы мы говорили о том, что расщепление абстракций является одним из основных процессов развития нашего знания.
На примере понятия «скорость» мы видим, что это происходит не только с абстракциями, но и с весьма сложными понятиями.
Мы говорили, что к расщеплению абстракции приводят противоречия в суждениях типа: «А есть В», «А не есть В». На примере понятия «скорость» мы видим, что это противоречие имеет место и в развитии сложных понятий, хотя, конечно, проявляется оно в значительно более сложной и насыщенной другими процессами форме.
О некоторых моментах мыслительного процесса в геометрии Евклида
Введение. Задача работы[66]66
Черновой набросок статьи с авторской правкой (16 марта 1956 г.). Также имеются поздние пометки автора, часть из которых не приводится, а другая – дается в постраничных сносках (помечено – «на полях»). Публикуется впервые по архивным материалам (№ 0885—05).
[Закрыть]
Настоящая работа посвящена изучению мыслительных процессов в геометрии. Чаще всего при такого рода исследованиях на первый план выдвигалось доказательство; иногда оно рассматривалось как единственная и всеобъемлющая форма. В настоящей работе делается попытка подойти к изучению мыслительных процессов в геометрии в несколько ином аспекте.
Мы исходим из того, что доказательство не является начальным звеном в процессе мышления, что оно есть либо форма изложения уже полученного знания, либо некоторый заключительный этап процесса исследования.
Поскольку мы оставляем в стороне сферу доказательства, те понятия, с помощью которых доказательство исследуется, оказываются непригодными, и мы, естественно, должны ввести другие исходные понятия. Приступая к этому, мы должные прежде всего принять во внимание, что мышление есть особого рода деятельность.
Познание человеком природы протекает в форме постановки и решения различных задач. Решение этих задач и есть мыслительная деятельность. Мыслительную деятельность, направленную на решение определенной задачи, мы будем называть мыслительным процессом.
В мыслительном процессе надлежит выделить следующие основные моменты:
1) то, на что направлена мыслительная деятельность, – исходный материал;
2) цель, сообразно которой осуществляется мыслительная деятельность, или задачу познания;
3) само мыслительное действие.
Каждой определенной задаче соответствует определенный способ ее решения.
[Здесь необходимо] ввести понятие операции как результат расчленения данного нам процесса мышления и введения промежуточных задач.
Ряд задач, встающих перед человеком, особенно на ранних ступенях развития общества, могут быть решены с помощью простейших одноактных процессов, или операций. В тех же случаях, когда задача не может быть решена путем одноактного соотнесения мыслимых объектов, ее приходится приводить к виду, в котором она могла бы быть таким образом решена. Эта новая задача опосредует исходную задачу. Такое опосредствование может осуществляться сколько угодно раз – сообразно условиям задачи. Мыслительное действие благодаря этому превращается в сложное образование. Его структура определяется 1) исходным материалом, 2) целью, или задачей, 3) уровнем развития мышления (знания и процессов познания).
Исходя из вышеизложенного, мы будем рассматривать каждый определенный мыслительный процесс в геометрии Евклида[67]67
См. [Евклид, 1948–1950].
[Закрыть] в зависимости от его исходного материала и задачи. Мы будем производить расчленение каждого сложного мыслительного процесса на составляющие его части – на мыслительные операции. Когда же задача разложения мыслительных процессов на составляющие будет решена, мы рассмотрим связь между операциями с тем, чтобы установить зависимость между характером мыслительных процессов и познаваемых посредством них объектов. Другими словами, мы будем стремиться выявить, каким образом закономерности процессов мышления зависят от характера познаваемых объектов.
§ 1. Геометрия как система опосредствующих задач
Перед людьми в их практической деятельности неоднократно вставали различные задачи измерения[68]68
Говорят, что геометрия Евклида возникла из задач измерения площадей, длин и т. п. И это, вообще говоря, верно. Но в самой геометрии измерения как такового мы не увидим. В чем же дело?
[Закрыть]. Примерами таких задач являются задачи измерения расстояний, площадей земельных участков, вместимости сосудов и т. д. Решение подобного рода задач состоит в том, что мы одну из длин, площадей, вместимостей выражаем в другой длине, площади, вместимости. В простейших случаях эта задача решается путем чувственно-практической операции. Однако в ряде случаев, при определенном исходном материале, она подобным образом не может быть решена. Тогда приходится находить опосредствующие задачи и приводить исходный материал к такому виду, в котором данная задача могла бы быть решена.
Однако мы не можем искать совокупность опосредствующих задач для каждого практически данного единичного случая. Это сделало бы невозможным как познание, так и практическую деятельность. В этих условиях и возникает теория. С определенной, необходимой нам в данном случае точки зрения, теория выступает как обобщенная и упорядоченная совокупность способов решения опосредствующих задач.
Однако построение теории как таковой, то есть обобщение и систематизация способов решения различных задач невозможны без группировки, обобщения и систематизации самих задач. В свою очередь, обобщить задачи невозможно без обобщения объекта познания. Обобщение объекта познания достигается за счет абстрагирования некоторых свойств объективной действительности. В результате такой абстракции и обобщения мы получим геометрические фигуры: треугольники, линии, круги, пирамиды и т. п. Все эти абстракции суть объекты теории, или идеальные объекты.
§ 2. Связи в опосредствовании
Попробуем на одном простом примере рассмотреть смысл и назначение опосредствующих задач.
Пусть перед нами два отрезка прямой и надо один измерить другим. В этом случае измерение может быть выполнено путем непосредственного наложения [одного отрезка на другой]. Пусть теперь один из отрезков будет прямолинейный, а другой – криволинейный. В первом случае они, очевидно, качественно одинаковы в таком свойстве, от которого зависит процесс непосредственного измерения. Во втором же – они различны в этом свойстве.
Чтобы выполнить измерение во втором случае, мы должны как-то преобразовать исследуемый объект: кривую изобразить в виде прямой. Произведя это преобразование, мы получим три связанные друг с другом объекта. Кривая и исходная прямая связаны друг с другом лишь по одному свойству – как линии, – которое, взятое изолированно, само по себе еще не гарантирует возможности произвести измерение путем непосредственного наложения. Прямая, построенная нами путем преобразования исходной кривой, и исходная прямая – эталон, связаны между собой не только по этому свойству – свойству линии вообще, но и по другому свойству – как прямые линии. Кривая и замещающая ее прямая линии связаны лишь по количественному свойству: по величине их длин кривая и замещающая ее прямая равноценны, равнозначны, то есть могут замещать друг друга в этом процессе, не меняя его результата.
С точки зрения процесса измерения, то есть с точки зрения определения длины, такую связь объектов мы будем называть эквивалентной, или связью эквивалентности. В эквивалентной связи объекты выступают, во-первых, как одинаковые (их одинаковость дает возможность производить замещение одного другим), во-вторых, как различные (это различие также является предпосылкой и условием замещения: без него последнее было бы бессмысленным. То есть в эквивалентной связи объекты выступают в двоякой форме: как одинаковые и как различные.
Таким образом, эквивалентность есть такая связь, которая при решении определенной задачи позволяет один объект замещать другим, вообще говоря, отличным от первого[69]69
См. по этому поводу также [Ладенко, 1958а; 1958б]. Примеч. ред.
[Закрыть].
Естественно, что дальше встает вопрос: когда, то есть при каких условиях и как можно производить это замещение? И вся геометрия в этой связи может быть рассмотрена как наука об условиях и правилах эквивалентного замещения.
Основные мыслительные операции§ 1. Операция задания[70]70
На полях: «Это не операция». Примеч. ред.
[Закрыть]
Операцией задания называется такая мыслительная операция, путем которой объекты задаются в некоторой связи. Например, в задаче на построение параллелограмма, равновеликого данному треугольнику, параллелограмм и треугольник задаются в количественной связи. Они задаются как количественно тождественные. Но от количественной связи мы не можем переходить непосредственно к качественной. Нам же такой переход необходим с тем, чтобы в дальнейшем перейти от качественной связи к качественной определенности параллелограмма как отдельного [объекта]. Как это сделать?
Мы можем выбрать любую качественную связь треугольника и параллелограмма и от нее прийти к количественной. Такой качественной связью может быть, например, расположение треугольника и параллелограмма. Пусть треугольник и параллелограмм находятся на одном и том же основании и между теми же параллельными.
Мы задаем, таким образом, треугольник и параллелограмм в некоторой качественной связи. Путем дальнейшего мышления мы приходим к количественной связи.
Задаваться объекты могут в количественных и в качественных связях равным образом. Задание различается по способу на количественное и качественное.
Качественно объекты могут быть заданы трояким образом:
1. Объекты могут быть заданы через связь некоторых своих элементов. Например, пусть два треугольника имеют две стороны с равными углами между ними.
2. Два объекта могут быть заданы относительно третьего. Например, две прямые, параллельные третьей прямой.
3. Наконец, объекты могут быть заданы и относительно своих элементов, и относительно другого какого-либо объекта (или нескольких объектов).
§ 2. Операция сравнения
Когда же объекты заданы в некоторой качественной связи, нам необходимо выявить некоторую их количественную связь.
Операция, путем которой мы, выражая один из качественно тождественных объектов в другом, получаем количественное определение первого относительно второго, называется сравнением.
Так, например, если нам даны треугольники на одном и том же основании и между теми же параллельными, то мы можем определить их количественную связь.
Рассмотрим простейший случай определения количественной связи.
Пусть нам даны два треугольника. Пусть у каждого из этих треугольников две стороны и угол между ними равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. Путем наложения определяется количественное их определение друг относительно друга.
Операция сравнения в непосредственно-чувственной форме выполнима, если: 1) сравниваемые качественно тождественны, 2) сравниваемые обладают простейшей структурой, 3) сравниваемые могут быть перемещаемыми в пространстве.
Однако эти три условия не всегда соблюдены в самих объектах, тогда приходится прибегать к некоторым другим способам решения задачи. Один из наиболее распространенных способов мы и рассмотрим в следующем параграфе.
§ 3. Операция извлечения
В случаях, когда сравнение невыполнимо в непосредственно-чувственной форме, мы прибегаем к особой операции, называемой извлечением. В этом случае мы должны иметь, кроме сравниваемых объектов, некоторое понятие.
Простейшим примером такого понятия является понятие, выражаемое в геометрии в форме условного предложения. Например, если треугольники имеют по две равные стороны и равные углы между ними, то такие треугольники равны. В этом понятии мы имеем два объекта, связанные качественно и количественно, причем качественная связь выступает как нечто обусловливающее количественную связь. Поэтому если мы имеем такое понятие, мы можем уже не производить сравнение в чувственной форме. Мы можем в таком случае лишь выделить качественную связь в нашем эмпирически данном примере путем операции подведения под понятие из качественной связи. Например, нам встретились два треугольника, которые нам надо сравнить, но непосредственно они не могут быть сравнены в силу своего положения. Тогда достаточно найти некоторую их качественную связь и из нее извлечь количественную. Это извлечение постоянно осуществляется в геометрии.
Таким образом, в операции извлечения мы должны обязательно иметь во всяком случае некоторое понятие, с помощью которого осуществляется извлечение, и два каких-то объекта с выделенной качественной их связью. Сама же операция осуществляется в форме обычного умозаключения.
§ 4. Операция разложения
Однако в ряде случаев мы не можем сравнить данные нам объекты, исходя из некоторого непосредственного понятия.
Например, нам даны два параллелограмма, расположенные на одном и том же основании и между теми же параллельными. Мы не можем их перемещать в пространстве. Мы не можем также из данной их качественной связи извлечь их количественную связь, так как у нас нет понятия, под которое мы смогли бы подвести непосредственно данный случай. Тогда мы можем, исходя из понятия о равенстве треугольников, расчленить параллелограммы на треугольники и из качественной связи треугольников извлечь их количественную связь. Так делается у Евклида в предложении 35 книги I-й.
Разложение данных объектов производится не иначе как сообразно некоторому предмету мышления (некоторым нашим знаниям).
Таким образом, операцией разложения называется такая мыслительная операция, путем которой мы производим расчленение данных объектов сообразно нашим знаниям.
§ 5. Операция выведения
Когда же мы сравним данные нам объекты в расчлененном виде, мы получим знания о составляющих эти объекты. Нам же нужны знания о самих этих объектах. Тогда мы должны воспроизвести из частей объектов, из связей и качеств составляющих связи и качества самих объектов. Операция, путем которой осуществляется такое воспроизведение, называется операцией выведения.
Примером операции выведения может служить операция воспроизведения параллелограмма и треугольника из составляющих их треугольников в предложении 42 книги I-й геометрии Евклида.
§ 6. Следование операций
Рассматривая предложения книги I-й Евклидовой геометрии, можно прийти к следующим выводам:
1. Процесс мышления всегда начинается операцией задания. Вначале задаются объекты, над которыми надо совершить некоторые действия.
2. За операцией задания следует в простейших случаях операция сравнения. Например, в предложении 1 книги I-й Евклида задаются три прямые, являющиеся сторонами треугольника. Они задаются относительно некоторого третьего объекта – круга. Далее производится их сравнение.
3. Сравнение может осуществляться как в непосредственной чувственной форме, так и в форме подведения под понятие и извлечения общей связи из отдельной связи.
4. В случаях, когда сравнение или подведение под понятие невыполнимо, после операции задания следует операция разложения. Например, в предложении 35 книги I-й геометрии Евклида.
5. После разложения обычно следует сравнение либо в чувственной форме, либо в форме подведения под понятие.
6. Когда же мы изучили объект в расчлененном виде, нам необходимо его воспроизвести. Поэтому за сравнением составляющих всегда следует выведение.
* * *
Когда мы проделали весь процесс мышления по решению какой-либо задачи, мы имеем перед собой некоторый результат. Этот результат всегда выражен в форме некоторого процесса: 1) мы всегда имеем исходный пункт мышления – объекты, заданные в некоторой связи, 2) мы имеем всегда конечный пункт мышления – результат, 3) мы всегда имеем процесс движения от исходного пункта к результату – мыслительный процесс.
Нам же необходимо показать, что некоторая связь, полученная нами как определенный результат мышления, обусловлена связью, которая является исходным пунктом мышления. Для этого необходимо каким-то образом соединить исходный и конечный пункты мышления непосредственно, то есть опустив в явной форме процесс движения от исходного пункта к результату, и представить исходный пункт и результат связанными не посредством процесса, а непосредственно.
Такая задача вполне выполнима и постоянно решается в геометрии Евклида. Операция, путем которой мы связываем непосредственно исходный пункт и результат мышления, опуская опосредствующий их мыслительный процесс, называется операцией сокращения. Однако опущенный в явной форме мыслительный процесс всегда в неявной, скрытой форме входит в нашу формулу, полученную после сокращения. О таком мыслительном процессе говорят, что он входит в формулу в снятом виде. Операцию сокращения поэтому можно называть операцией снятия.
Все вышеназванные операции мышления – это основные операции Евклидовой геометрии.
