Текст книги "Финансовый инжиниринг: инструменты и технологии. Монография"

2.3. Дюрация и выпуклость как меры процентного риска

Показатели дисперсии и стандартного отклонения, хотя и обладают определенными недостатками, могут использоваться и используются для оценки ценового риска финансового инструмента. Однако основным предположением применимости этих показателей является нормальное распределение доходности инструмента, а это, в свою очередь, верно при условии, что доходность (и стоимость инструмента) является случайной величиной. И тут необходимо отметить, что стоимость не всякого финансового инструмента можно считать случайной величиной. Так, на курсовую стоимость акции оказывает влияние множество факторов, ни один из которых не может быть выделен как основной, определяющий, и, следовательно, возможно предположение о случайном распределении стоимости и доходности и использование рассмотренных выше показателей для оценки ценового риска в целом.

Предположение о случайном распределении стоимости и доходности долговых инструментов уже не представляется столь же обоснованным. Понятно, что можно выделить, по крайней мере, один значимый фактор их стоимости – уровень процентных ставок. Именно по этой причине, когда речь идет об измерении ценового риска долговых инструментов, используется термин процентный риск. Другими словами, т. к. для долгового инструмента известен главный определяющий фактор стоимости – процентные ставки, то для него процентный риск рассматривают как подвид общего ценового риска. Понятно, что процентному риску подвержены не только долговые инструменты. Так, изменение ставок вызывает изменение стоимостей всех, в том числе и долевых, финансовых инструментов. Однако для долевых инструментов этот фактор не является главным, т. е. уровень процентного риска не даст общей характеристики риска такого инструмента. Если же рассматривать только долговые инструменты, то для них основным фактором стоимости являются именно процентные ставки, поэтому процентный риск практически полностью выражает уровень ценового риска. Отметим, что данный подход хорошо прослеживается в учебной и научной литературе. Так, при анализе волатильности долговых инструментов многие авторы концентрируются исключительно на процентном риске и его показателях¹¹³.

Традиционной численной характеристикой изменчивости экономических функций является их эластичность по значению аргумента. Так как стоимость финансового инструмента зависит от процентной ставки, то в качестве меры процентного риска можно использовать эластичность его стоимости по процентным ставкам. Такой показатель характеризует относительное (измеренное в процентах) изменение стоимости инструмента при изменении процентных ставок на один процент доходности (100 базисных пунктов), т. е. он оценивает изменчивость (волатильность) стоимости инструмента в зависимости от уровня фактора риска – процентных ставок и, следовательно, может использоваться как показатель риска. В финансовой науке данный показатель называется дюрация (duration).

Термин дюрация был введен в научный и практический оборот американским ученым Маколи в 1938 г.¹¹⁴ Он рассматривал дюрацию как средневзвешенную продолжительность платежей по облигации, что объясняет ее название. Позднее, в пятидесятых годах двадцатого века, Редингтон и Самуэльсон независимо друг от друга расширили толкование термина¹¹⁵. Мы будем использовать расширенное толкование дюрации, а именно: дюрация – показатель эластичности стоимости финансового инструмента по уровню процентных ставок¹¹⁶. В то же время, как будет показано чуть ниже, для инструментов с фиксированным доходом дюрация и в самом деле является средневзвешенной продолжительностью платежей, и в этом частном случае мы будем использовать термин дюрация Маколи.

Для ее расчета, в случае инструмента с фиксированным потоком платежей, используется следующая формула:

(2.12)

где

D – дюрация Маколи;

P – текущая стоимость облигации;

С_i – купонный доход, полученный по облигации в период i;

N – номинал облигации;

n – срок обращения в годах;

y – доходность к погашению облигации (требуемая доходность).

Чаще всего данная формула записывается в следующем виде:

(2.13)

Отметим, что в числителе дроби находится сумма произведений срока поступления по облигации и приведенной стоимости данного поступления, в знаменателе – сумма приведенных стоимостей всех поступлений по облигации, т. е. ее стоимость. Следовательно, формулу расчета дюрации можно записать в следующем виде:

(2.14)

где w(t) – доля приведенной стоимости платежа, получаемого в момент времени t, в стоимости облигации.

Записанная в таком виде формула расчета дюрации (2.14) и есть средняя взвешенная сумма периодов поступлений по облигации в том смысле, как ее понимал сам Маколи¹¹⁷.

Нетрудно заметить, что дюрация зависит от трех факторов: купонных платежей Ci, срока погашения n и требуемой доходности y. Анализ этой зависимости позволяет сделать ряд важных выводов:

• дюрация облигации с нулевым купоном всегда равна сроку ее погашения, т. е.: при C_i = 0, D = n;

• дюрация купонной облигации всегда меньше срока погашения: при C_i > 0, D < n;

• с ростом требуемой доходности (процентной ставки на рынке) дюрация купонной облигации уменьшается, и наоборот.

Показатель дюрации Маколи, или средней продолжительности, более корректно учитывает особенности временной структуры потока платежей. Как следует из формул ее расчета, отдаленные платежи имеют меньший вес и, следовательно, оказывают меньшее влияние на результат, чем более близкие к моменту оценки.

Дюрацию часто интерпретируют как средний срок обязательства, с учетом его текущей (современной) величины, или, другими словами, как точку равновесия сроков дисконтированных платежей. В частности, дюрацию купонной облигации можно трактовать как срок эквивалентного обязательства без текущих выплат процентов (например, облигации с нулевым купоном).

Важное теоретическое и прикладное значение в анализе играет предельная величина дюрации (limited value of duration) – LVD, вычисляемая по формуле:

(2.15)

Отметим следующие свойства этого показателя:

• средняя продолжительность платежей по бессрочным облигациям равна величине LVD, независимо от величины ставки купона;

• дюрация купонной облигации, приобретенной по номиналу или с премией, монотонно возрастает вместе с увеличением срока погашения и приближается к своему предельному значению – LVD, по мере приближения срока погашения к бесконечности;

• дюрация купонной облигации, приобретенной с дисконтом, достигает своего максимума прежде, чем срок погашения приблизится к бесконечности, и затем снижается по направлению к величине LVD.

Однако главная ценность дюрации состоит в том, что она приблизительно характеризует чувствительность цены облигации к изменениям процентных ставок на рынке (доходности к погашению). Таким образом, используя дюрацию, можно управлять риском, связанным с изменением процентных ставок. Рассмотрим возможности, которые предоставляет дюрация в данном вопросе.

Величину дюрации часто модифицируют приведением ее значения к доходности инструмента (делением на 1+y). Модифицированная дюрация (MD) рассчитывается следующим образом¹¹⁸:

(2.16)

С учетом данной формулы приблизительное процентное изменение стоимости облигации может быть рассчитано следующим образом:

(2.17)

или

(2.18)

Если инвестору необходимо определить изменение стоимости облигации в денежном выражении, можно представить формулу (2.18) в следующем виде:

(2.19)

Исходя из этого, значение стоимости облигации после изменения процентных ставок может быть определено следующим образом:

(2.20)

Переход от непрерывных приращений процентных ставок к дискретным позволяет вывести формулу приблизительных изменений стоимости облигации, которая имеет множество приложений в финансовой деятельности (2.21):

(2.21)

Кроме дюрации Маколи и модифицированной дюрации, в финансовом анализе используется денежное значение дюрации:

(2.22)

Завершая рассмотрение свойств дюрации, остановимся на недостатках, присущих данному показателю.

Представленные выше формулы расчета приблизительных изменений стоимости облигации показывают их линейную зависимость от величины изменений процентных ставок. Вместе с тем, понятно, что между y и Р существует нелинейная форма связи. Поскольку скорость изменения показателей при этом будет разной, применение показателей дюрации для прогнозирования цен облигаций в случае значительных колебаний процентных ставок будет приводить к преувеличению падения курса при росте y и занижению реального роста курса при уменьшении y. На рис. 2.1 можно увидеть величину ошибки, возникающей при использовании дюрации.

Другим существенным недостатком дюрации как меры измерения процентного риска является неявное допущение о независимости доходности от срока погашения. Таким образом, предполагается, что краткосрочные процентные ставки изменяются так же, как и долгосрочные. Нереалистичность подобного допущения очевидна.

Рис. 2.1. Ошибка расчетов при использовании дюрации

Несмотря на отмеченные недостатки, показатель средней продолжительности платежей (дюрация) широко используется в теоретическом и прикладном анализе.

Как было показано выше, причинами проблем, возникающих при использовании дюрации, является нелинейность взаимосвязи между ценой и доходностью. В качестве ее характеристики может быть использована вторая производная функции цены облигации:

(2.23)

Из положительного значения данного выражения, в частности, следует выпуклость кривой цена-доходность. С математической точки зрения, значение данного выражения представляет собой скорость изменения дюрации при изменении доходности к погашению y. В финансах данный показатель называют выпуклостью (convexity)¹¹⁹.

Нетрудно заметить, что численное значение второй производной зависит от величины купонного платежа С_t, срока обращения n и доходности y. Поскольку для купонных облигаций, в большинстве случаев, C_t = const и срок погашения n известен заранее, главный интерес представляет зависимость от y. Как следует из формулы выпуклости, численное значение второй производной уменьшается с ростом y и обратно. Таким образом, выпуклость является объяснением сформулированного выше правила асимметричного изменения цен при одинаковом изменении доходности (величина роста курса всегда больше, чем величина падения).

Разделив обе части полученного выражения на стоимость облигации, получим количественное измерение степени крутизны (выпуклости) кривой «цена–доходность»:

(2.24)

Из приведенных формул (2.23) и (2.24) следует, что выпуклость прямо зависит от срока погашения n и дюрации соответственно. Можно также показать, что выпуклость является возрастающей функцией от последней. В целом свойства выпуклости по отношению к n и C_t аналогичны свойствам дюрации.

Вместе с тем выпуклость связана положительной зависимостью с изменениями процентных ставок (доходности к погашению). Объяснение этого свойства следует из того факта, что выпуклость можно определить как разность между фактической ценой облигации и ее ценой, определенной с использованием модифицированной дюрации (2.23).

Совместное использование дюрации D и выпуклости V при анализе ценных бумаг с фиксированным доходом позволяет существенно повысить точность оценки изменений их стоимости¹²⁰. Вместе с тем их совместное использование требует соответствующей формализации.

Один из подходов к решению данной проблемы базируется на аппроксимации изменения цены облигации P с помощью рядов Тейлора. Первые два элемента ряда будут иметь следующий вид:

(2.25)

Разделив обе части выражения (2.25) на стоимость (Р), получим:

(2.26)

Опустив ошибку и выделив в каждом слагаемом уже известные нам значения модифицированной дюрации и выпуклости, можно переписать последнюю формулу в следующем виде:

(2.27)

По формуле (2.27) может быть определено приблизительное процентное изменение стоимости облигации. Если же необходимо выявить само изменение в денежном выражении, то приблизительно его можно вычислить следующим образом:

(2.28)

В заключение еще раз отметим, что все представленные формулы для расчета дюрации и выпуклости могут быть использованы для расчетов по долговым инструментам с известным потоком платежей. И только для таких инструментов дюрация может рассматриваться как средневзвешенная продолжительность платежей. Общее же понимание дюрации предполагает ее понимание как показателя эластичности стоимости инструмента по уровню процентных ставок.

2.4. Дополняющая дюрация как показатель риска реинвестирования121

Результат инвестирования в облигации зависит от будущих значений процентных ставок, которые неизвестны в момент приобретения инструмента. Так, в случае продажи облигации ранее срока погашения, инвестор сталкивается с процентным или рыночным риском, который проявляется в изменении рыночной стоимости обращающихся финансовых инструментов при изменении процентных ставок¹²². В инвестиционном анализе существует целый ряд методов для оценки процентного риска. Один из наиболее известных основан на использовании дюрации облигации и был рассмотрен выше. Данный метод, хотя и обладает целым набором недостатков и допущений, позволяет явным образом оценить уровень возможных изменений стоимости облигации в результате изменений процентных ставок. Кроме того, он широко применяется в портфельном анализе, при оценке банковских рисков, в финансовом инжиниринге¹²³.

Однако, кроме процентного риска, результат инвестирования зависит от того, под какие ставки будут вложены промежуточные денежные потоки до конца срока инвестирования, т. е. от риска реинвестирования. Иными словами, в результате реализации этого риска изменяется будущая накопленная сумма от инвестирования в облигацию. Отрицательные последствия для инвестора вызывает снижение будущих процентных ставок. При росте ставок инвестор может получить дополнительный доход. Однако общепризнанных и традиционных численных показателей риска реинвестирования в финансовой литературе нет. Большинство исследователей описывают качественные методы его оценки, основываясь на общем представлении о том, что чем большую величину промежуточных денежных потоков создает облигация, тем больший риск реинвестирования принимает на себя инвестор. Отмечается также, что у бескупонных облигаций риск реинвестирования отсутствует. Представляется, что для проведения качественного инвестиционного анализа необходим более четкий подход к оценке данного риска, основанный на использовании какого-либо количественного показателя, понятного инвесторам и аналитикам. Поэтому необходимо исследовать природу риска реинвестирования, его взаимосвязь с процентным риском и на основе этого предложить к использованию количественную меру его оценки.

Результативность инвестиции зависит от того, под какой процент будут вложены будущие поступления от облигации. Так, получаемые купоны и прочие платежи будут вложены до конца срока инвестирования под ту процентную ставку, которая будет доступна на рынке в момент получения соответствующей выплаты. Если процентные ставки в будущем вырастут, то итоговая результативность инвестиции окажется выше доходности к погашению, с которой была куплена облигация. При снижении процентных ставок результативность инвестиции снизится. Риск реинвестирования отсутствует только в одном случае, когда инвестиция не приносит промежуточных поступлений, т. е. только для бескупонных облигаций.

Необходимость реинвестирования промежуточных поступлений, а также неопределенность будущих процентных ставок, приводят к выводу, что наиболее известный показатель эффективности инвестиций в облигации – доходность к погашению – не дает представления о той действительной результативности, которую дадут вложения. Этот факт хорошо известен, в финансовом анализе для устранения данного недостатка предлагается использовать модифицированный показатель доходности – реализованную доходность или реализованный процент (см. пункт 2.1). Расчет этого показателя строится на оценке доходности вложения с учетом известной ставки реинвестирования, а следовательно, в отличие от доходности к погашению не может быть с точностью определен в момент начала инвестиции.

Отметим, что процентный риск и риск реинвестирования взаимосвязаны и противоположно воздействуют на итоги инвестиций. Так, при росте будущих процентных ставок стоимость облигации снижается, однако доходы от реинвестирования возрастают. Другими словами, потери инвестора в результате реализации процентного риска могут быть отчасти компенсированы возросшими доходами от реинвестирования. При снижении процентных ставок возрастает стоимость облигации, но снижаются доходы от реинвестирования, т. е. происходит обратная компенсация. Схематически это влияние представлено на рис. 2.2.

Обратную взаимосвязь между рисками можно проследить и на других примерах. Так, у бескупонной облигации, в силу отсутствия промежуточных выплат, риск реинвестирования равен нулю. Однако такая облигация обладает наибольшим процентным риском из всех облигаций такой же длительности, т. к. ее дюрация равна сроку, а у купонных облигаций такого же срока дюрация будет меньше.

Рис. 2.2. Влияние рисков на результаты инвестирования при изменении ставок

Из общих соображений, чем больший объем поступлений от облигации приходится на ближайшие периоды, тем выше будет риск реинвестирования, т. к. инвестору необходимо будет повторно вкладывать большие суммы. Вместе с тем в этом случае дюрация облигации будет ниже и ее стоимость будет менее чувствительна к изменениям процентных ставок.

Вместе с тем если в финансовом анализе для оценки процентного риска есть стандартный показатель – дюрация, которая известна инвестору в момент начала инвестиции, то для оценки риска реинвестирования в основном используются качественные подходы, описанные выше, что создает определенные неудобства в принятии инвестиционного решения.

Реализация риска реинвестирования для инвестора выражается в недополучении доходов к концу срока инвестиции в результате изменения процентных ставок. При этом доход, который рассчитывает получить инвестор, состоит из двух частей: 1) купоны и прочие поступления от облигации, 2) доходы от реинвестирования промежуточных выплат. Для облигации с фиксированным купоном именно вторая составляющая дохода подвержена риску реинвестирования. Другими словами, риск реинвестирования выражается в чувствительности наращенной или будущей стоимости (FV) денежного потока от облигации к процентным ставкам. И следовательно, его можно оценить через стандартный экономический показатель чувствительности – эластичность.

Рассчитаем эластичность будущей стоимости облигации от процентных ставок на примере гипотетической облигации (таблица 2.1). Эта облигация имеет срок до погашения 7 лет, номинал – 1000, купон – 10%, выплачиваемый один раз год. Предположим, что в данный момент времени облигация котируется по номиналу и, следовательно, ее доходность к погашению составляет 10%. В качестве эталонной рассчитаем будущую стоимость в предположении о неизменности процентных ставок, т. е. для ставки реинвестирования 10%. Последние четыре столбца содержат расчет будущей стоимости с учетом роста и снижения процентных ставок на 1% и 2% соответственно.

Таблица 2.1

Оценка эластичности будущей стоимости по ставке реинвестирования

Как мы видим, во всех случаях получены приблизительно одинаковые значения эластичности, разница объясняется, по всей видимости, нелинейным характером взаимосвязи исследуемых величин. Обобщим сделанные вычисления и выведем формулу для оценки эластичности.

Исходя из логики, пользуясь которой Маколи вывел формулу дюрации, проведем анализ зависимости результатов инвестирования от будущих процентных ставок. Численным результатом вложений в облигацию является будущая стоимость денежных потоков, которые будут получены в конце периода анализа. Для облигации с фиксированным потоком платежей, предполагая, что реинвестирование будет происходить под ставку, равную доходности к погашению, ее можно рассчитать следующим образом:

(2.29)¹²⁴

Чувствительность будущей стоимости к изменению процентных ставок может быть оценена с помощью показателя эластичности по процентным ставкам (eFV,y):

(2.30)

Для расчета эластичности найдем производную функции будущей стоимости по процентной ставке:

(2.31)

Для перехода от абсолютных изменений будущей стоимости к относительным необходимо домножить полученное выражение на , в результате чего степень коэффициента наращения в каждом слагаемом увеличится на единицу:

(2.32)

Будущая стоимость (FV), присутствующая в знаменателе, может быть выражена через текущую стоимость облигации (P) и доходность к погашению (y):

(2.33)

Подставим данное выражение в формулу (2.32) и совершим необходимые преобразования:

(2.34)

Отметим, что каждая дробь вида  в числителе формулы (2.34) представляет собой текущую стоимость соответствующего элемента денежного потока, создаваемого облигацией. Если разделить данное выражение на стоимость (P), представленную в знаменателе формулы (2.34), то получится выражение, равное представленному в формуле (2.14):

(2.35)

С учетом этого, формула (2.34) принимает следующий вид:

(2.36)

Данная формула позволяет сформулировать следующее утверждение: эластичность будущей стоимости облигации по процентным ставкам рассчитывается как средняя взвешенная сроков реинвестирования денежных потоков, создаваемых облигацией, где весом является доля приведенной стоимости платежа в стоимости облигации. По сути дела, мы получили формулу, аналогичную формуле расчета дюрации (2.14), только с измененными показателями сроков. Соответственно, расчет этой эластичности проводится по тем же показателям и в аналогичном порядке с расчетом дюрации. Пример такого расчета для гипотетической облигации, рассмотренной выше, представлен в таблице 2.2. Так как облигация котируется по номиналу, то ее доходность к погашению совпадает с купонной ставкой и составляет 10%. Именно эта ставка и используется для дисконтирования в представленном расчете.

Таблица 2.2

Пример расчета рисков облигации

Значения дюрации и эластичности будущей стоимости получены в таблице путем сложения данных в соответствующих столбцах таблицы. Как мы видим, для данного примера эластичность будущей стоимости по процентным ставкам составляет 1,645, что, с учетом нелинейной взаимосвязи между исследуемыми величинами, соответствует значениям, полученным в таблице 2.1. С нашей точки зрения, именно эта величина (1,645) и характеризует риск реинвестирования рассматриваемой облигации. Сравнивая данный показатель для различных облигаций, инвестор может проводить их сопоставление по уровню риска реинвестирования и более квалифицированно принимать решения.

Пользуясь вычисленным значением эластичности, можно проводить оценку изменений будущей стоимости облигации. Так, если перейти от непрерывных приращений функции будущей стоимости к дискретным, то формула (2.30) примет следующий вид:

(2.37)

Это выражение можно преобразовать следующим образом:

(2.38)

Данная формула позволяет инвестору оценивать изменения суммы итоговых доходов от инвестирования в облигацию в результате изменений будущих процентных ставок. Знак «приблизительно равно» означает, что полученные в результате расчетов значения могут отличаться от фактических. Это связано с тем, что формулы (2.37) и (2.38) приводят в линейную форму нелинейную взаимосвязь между будущей стоимостью и процентными ставками (см. формулу (2.29)). И, следовательно, будут давать хороший результат только при небольших изменениях ставок.

Формулу расчета эластичности (2.36) можно упростить. Для этого проведем ее суммирование с формулой расчета дюрации (2.14):

Так как сумму весов приведенных стоимостей в общей стоимости облигации можно представить как единицу, то данную сумму можно преобразовать следующим образом:

Таким образом, мы получаем следующую формулу для расчета эластичности:

Получилось, что эластичность будущей стоимости облигации по процентным ставкам есть разница между сроком облигации и ее дюрацией. Предлагаем выведенный показатель называть дополняющей дюрацией (Supplementary Duration, SD) и представлять формулу (2.39) в следующем виде:

(2.39)

Как было показано нашими расчетами, дополняющая дюрация характеризует степень чувствительности результатов инвестирования к изменению процентных ставок, являясь мерой эластичности наращенной (будущей) стоимости денежных потоков облигации по ставке реинвестирования.

Отметим, что полученный нами показатель риска реинвестирования вполне соотносится с существующими о нем представлении. Так, для бескупонного инструмента он равен нулю, т. к. дюрация равна сроку. Для инструментов с денежными потоками, сдвинутыми к начальным периодам времени, т. е. с низким значением дюрации, риск реинвестирования выше, чем для инструментов с денежными потоками, отнесенными к последним периодам.

Полученная формула позволяет наглядно подтвердить и еще одно положение, хорошо известное в инвестиционном анализе: при сроке инвестирования, равном дюрации инструмента, риск реинвестирования отсутствует.

Исходя из формулы расчета дополняющей дюрации (2.40) и ее взаимосвязи с дюрацией Маколи, их свойства взаимосвязаны. Для того чтобы сформулировать свойства дополняющей дюрации, напомним вначале свойства обычной¹²⁵:

1. Дюрация не превосходит срок погашения облигации. Только для бескупонной облигации величина дюрации Маколи равна сроку.

2. Дюрация облигации с большим сроком при прочих равных условиях (купон, стоимость, доходность к погашению) выше, чем у облигации с меньшим сроком.

3. При более низком значении купонной доходности, при неизменных остальных факторах, значение дюрации выше.

4. У облигации с более высоким уровнем доходности к погашению значение дюрации ниже, чем у аналогичной облигации с меньшей доходностью к погашению.

Мы видим, что в финансовом анализе выделяется три основных фактора, от которых зависит дюрация, а следовательно, процентный риск и волатильность стоимости облигации: срок до погашения, ставка купона, доходность к погашению.

С нашей точки зрения, к перечню свойств дюрации можно также добавить ее зависимость от способа погашения облигации. Так, если номинал гасится не в конце срока, а периодически, вместе с погашениями купонов, т. е. в случае облигации с амортизацией номинала, денежные потоки также являются фиксированными, следовательно, дюрация такой облигации является заданной величиной. Исходя из того, что в этом случае веса ближайших денежных потоков увеличиваются, величина дюрации снижается. Следовательно, амортизация номинала снижает дюрацию облигации.

Перейдем теперь к анализу свойств дополняющей дюрации. Очевидно, что ее величина всегда строго меньше срока облигации и не меньше нуля. Дополняющая дюрация равна нулю только для бескупонных инструментов, у которых дюрация равна сроку.

Что касается зависимости дополняющей дюрации от срока погашения облигации, то однозначного вывода о ее характере из формулы (2.40) сделать нельзя. Дюрация облигации растет при увеличении срока, однако не в той же мере, в какой увеличился срок. Соответственно, дополняющая дюрация тоже должна возрастать. Но каков будет характер этого роста, сказать сложно. Для этого проведем имитационный анализ воздействия срока погашения облигации на характеристики дюрации, результаты которого представлены на рис. 2.3. Для расчета использовались гипотетические облигации, аналогичные рассмотренным выше. У каждой из облигаций купон и доходность к погашению составляют 10%, отличаются только сроки погашения, которые составляют от 1 до 15 лет. У облигации сроком погашения 1 год дополняющая дюрация равна нулю, у пятнадцатилетней – 6,63. Дюрация Маколи возрастает соответственно от единицы для срока 1 год, до 8,37 для 15 лет.

Как видно из рис. 2.3, оба показателя дюрации возрастают при увеличении срока погашения, однако характер этого роста различается. Дополняющая дюрация возрастает быстрее обычной. Это означает, что риск реинвестирования при увеличении срока инвестирования возрастает быстрее, чем процентный риск. При этом, по мере увеличения срока вложений, его роль становится все более значимой, и реинвестирование все в большей степени влияет на состояние инвестора.

Рис. 2.3. Зависимость дюрации и дополняющей дюрации от срока погашения облигации

Так как дюрация снижается при росте купона (при неизменном сроке инвестирования), дополняющая дюрация будет изменяться обратным образом. Это следует из формулы (2.40). Следовательно, чем выше купон у облигации, тем больше будет дополняющая дюрация и риск реинвестирования. В принципе это свойство может быть объяснено и общими соображениями, исходя из того, что будет необходимо реинвестировать большие суммы.

Из этих положений можно сделать и еще один обобщающий вывод: более доходные облигации обладают более высоким риском реинвестирования по сравнению с менее доходными. Исходя из того факта, что доходность облигации определяется ее кредитным риском, можно сделать вывод о наличии прямой зависимости между ними. Принимая на себя большие кредитные риски, инвестор сталкивается и с большим риском реинвестирования.

Обратным образом, по сравнению с обычной дюрацией, воздействует на исследуемый показатель и изменение доходности к погашению, при росте которой дополняющая дюрация увеличивается. Снижение доходности к погашению, наоборот, снижет дополняющую дюрацию. Кроме формального объяснения такой зависимости, следующего из формулы (2.40), а также свойств дюрации, это может быть объяснено тем, что при снижении рыночных ставок в настоящее время снижается вероятность понести потери от реинвестирования в будущем и наоборот. Таким образом, высокое значение текущих рыночных ставок увеличивает риск реинвестирования, с которым сталкивается инвестор. Графическое подтверждение данного рассуждения представлено на рис. 2.4, где представлена зависимость будущей стоимости облигации от ставок реинвестирования.

Рис. 2.4. Зависимость будущей стоимости от рыночной доходности

На данном рисунке будущая стоимость денежных потоков от облигации (FV) представлена в виде возрастающей нелинейной функции. Линии (1) и (2) представляют собой прямые, заданные формулой (2.38). Дополняющая дюрация представлена на данном рисунке тангенсом угла наклона прямых, являющихся касательными к функции будущей стоимости в соответствующих точках (точнее этот тангенс равен выражению  из формулы (2.38)). Как видно на рис. 3, линия (1) имеет меньший наклон по сравнению с линией (2), следовательно, дополняющая дюрация в точке (1) ниже, чем дополняющая дюрация в точке (2). График зависимости будущей стоимости от доходности подтверждает, что риск реинвестирования возрастает при росте доходности.