Текст книги "Революция в физике"

4. Аналитическая механика и теория Якоби

Аналитическая механика, тесно связанная с именем великого Лагранжа, представляет собой совокупность методов, позволяющих быстро написать уравнения движения какой-либо системы, если известен набор параметров, знания которых достаточно для однозначного определения положения системы в каждый момент времени. Совершенно не собираясь подробно анализировать здесь методы аналитической механики, сделаем лишь несколько замечаний, касающихся двух хорошо известных систем уравнений: уравнений Лагранжа и уравнений Гамильтона. Отличие метода Лагранжа от метода Гамильтона заключается в том, что в методе Лагранжа энергия системы выражается через обобщенные скорости, т е. через производные по времени от параметров, определяющих положение системы, тогда как в методе Гамильтона энергия выражается как функция обобщенных импульсов.

В рамках классических представлений можно очень просто перейти от обобщенных скоростей к обобщенным импульсам и обратно, поскольку импульсы там всегда определяются через скорости и, таким образом, уравнения Лагранжа и Гамильтона, как показывает их анализ, полностью эквивалентны и отличаются друг от друга лишь формой записи. Когда же мы перейдем к квантовой механике, то увидим, что уравнения Гамильтона, соответствующим образом записанные, сохраняют свое значение, чего нельзя сказать об уравнениях Лагранжа. Это легко объяснить, если заметить, что динамические понятия сохраняют в квантовой механике свое значение, тогда как кинематические понятия, вообще говоря, теряют свой смысл. Так, например, импульс, который, согласно классическим воззрениям, появляется как величина, выводимая из скорости, выступает в квантовой механике уже как вполне автономная величина, не зависящая более от понятия скорости, понятия уже не во всех случаях вполне определенного.

Очень важен и интересен, с точки зрения рассматриваемых здесь вопросов, раздел аналитической механики, посвященный теории Якоби. В самом деле, эта теория позволяет классифицировать различные виды движения материальной точки в заданных полях способом, который как бы подготавливает переход от классической механики к волновой. Мы не в состоянии вдаваться здесь в подробный анализ теории Якоби, требующий к тому же довольно сложного математического аппарата, и ограничимся лишь результатами, которые получаются в частном, но весьма важном случае статических, т е. не зависящих от времени, силовых полей.

Вся совокупность возможных траекторий материальной точки в таком поле сил зависит от шести параметров, поскольку каждая из этих траекторий определяется начальным положением и начальной скоростью материальной точки. Однако все эти траектории можно объединить в семейства, зависящие только от трех параметров, причем траектории одного и того же семейства образуют семейство кривых, ортогональных некоторому семейству поверхностей. Если найти одно из них, то ортогональные этому семейству кривые будут возможными траекториями материальной точки. Теория Якоби позволяет найти семейства таких поверхностей и с помощью решения некоторого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка и второй степени, которое называется уравнением Якоби. Вывод этого уравнения основан на гамильтоновом выражении для энергии материальной точки в каждый момент времени как функции компонент ее импульса и координат в тот же момент времени.

Итак, мы видим, что теория Якоби позволяет разбить шестимерное множество траекторий материальной точки на семейства, каждое из которых содержит в себе трехмерное множество траекторий и соответствует некоторому семейству ортогональных им поверхностей. Каждое семейство траекторий и соответствующее ему семейство ортогональных поверхностей находятся точно в таком же отношении друг к другу, как лучи и волновые поверхности при рассмотрении волн в рамках геометрической оптики. Еще более века назад шотландский геометр Гамильтон отметил эту аналогию между механикой и геометрической оптикой, но только развитие квантовой теории позволило увидеть в ней нечто большее, чем простое сходство математического описания.

В связи с этим интересно отметить, что с точки зрения классической механики материальной точки связь частицы с волной, следующая из теории Якоби, не имеет физического смысла. Действительно, в рамках классических представлений материальная точка, имеющая в каждый момент времени вполне определенные положение и скорость, описывает в поле сил единственную, вполне определенную траекторию, вид которой определяется начальными условиями. Поэтому бесконечная совокупность траекторий, классифицированная, согласно теории Якоби, в семейства, представляет собой лишь возможные траектории, и только одна из них действительно реализуется в каждом конкретном случае. Эти семейства имеют скорее абстрактно математическое значение, поскольку они отображают совокупность возможностей, из которых осуществляется одна и только одна. Тем не менее им все же можно придать конкретный смысл, если представить себе, что имеется бесконечное число одинаковых и не взаимодействующих друг с другом, материальных точек. Тогда можно предположить, что различные материальные точки описывают различные траектории семейств, которые приобретают, таким образом, конкретное содержание. Следовательно, теорию Якоби можно рассматривать в некотором смысле как статистическую теорию, так как она одновременно рассматривает ансамбли из различных траекторий. В этом можно увидеть в зародыше вероятностное и статистическое толкование волновой механики.

Выше мы рассмотрели случай движения одной материальной точки в заданном силовом поле. При обобщении теории Якоби на случай системы взаимодействующих друг с другом материальных точек возникает одна особенность, о которой мы еще будет говорить, когда перейдем к волновой механике систем. Если система состоит из N материальных точек, то необходимо ввести в рассмотрение некоторое абстрактное пространство 3N координат N частиц, образующих систему, так называемое конфигурационное пространство. Действительно, если написать уравнение Якоби для системы, исходя из гамильтонова выражения для ее энергии, то мы получим дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка и второй степени. Это уравнение, содержит 3N независимых переменных, являющихся координатами N материальных точек системы, и определяет некоторые семейства поверхностей в конфигурационном пространстве (а не в обычном трехмерном пространстве). Очевидно, что каждая конфигурация определяется заданием 3N координат точек, входящих в систему, и может быть геометрически представлена в виде точки в конфигурационном пространстве – с этим и связано такое название пространства. Последовательности же различных состояний системы изображается кривой в конфигурационном пространстве – траекторией, изображающей точки системы. Эти условные траектории системы зависят от 6N параметров – 6 начальных условий для каждой из N точек. Теория Якоби так же, как и в случае одной материальной точки, позволяет разделить это 6N-мерное множество траекторий на ряд семейств. Каждое из этих семейств определяется 3N-параметрами и образует семейство кривых, ортогональных семейству поверхностей, которые в свою очередь являются интегральными поверхностями уравнения Якоби. Именно этот случай 3N-мерного конфигурационного пространства находит аналогию в распространении волн. Можно предвидеть, что при трактовке вопросов динамики систем волновая механика, согласно теории Якоби, должна следовать этому пути и рассматривать распространение волн в конфигурационном пространстве. Это приводит к тому, что волны в волновой механике не только имеют вероятностный и статистический смысл, но и носят также отвлеченный и символический характер, сильно отличаясь от тех волн, с которыми имела дело классическая физика.

5. Принцип наименьшего действия

Уравнения динамики материальной точки в поле сил, обладающих потенциалом, можно получить, исходя из принципа, который в общем виде носит название принципа Гамильтона, или принципа стационарного действия. Согласно этому принципу, из всех движений материальной точки, которые она может совершить между теми же начальной и конечной точками за тот же самый промежуток времени t2…t1 в действительности осуществляется то движение, для которого интеграл по времени от t1 до t2 от разности кинетической и потенциальной энергий этой материальной точки принимает экстремальное, т е. минимальное или максимальное значение. Пользуясь известными методами вариационного исчисления, легко показать, что из этого принципа вытекают классические уравнения движения.

Особенно простую форму принимает принцип стационарного действия в частном, но важном случае статических силовых полей. В этом случае он совпадает с принципом наименьшего действия Мопертюи, согласно которому для действительного пути материальной точки в консервативном (т е. не зависящем явно от времени) силовом поле интеграл от импульса частицы, взятый по отрезку траектории между какими-либо двумя ее точками A и B, минимален по сравнению с такими же интегралами, взятыми по отрезкам других кривых, проведенных через точки A и B. Принцип Мопертюи может быть выведен из принципа Гамильтона. Его можно связать также с теорией Якоби.

Мы видели, что в случае статических полей траектории в этой теории можно рассматривать как кривые, ортогональные некоторому семейству поверхностей. Простые рассуждения показывают, что эти траектории могут быть получены из условия минимальности интеграла, совпадающего с действием по Мопертюи, т е. криволинейного интеграла от количества движения вдоль траектории. Вывод этот весьма интересен, так как он указывает на связь, существующую между принципом наименьшего действия и принципом минимального времени Ферма.

Действительно, мы уже говорили о том, что траектории в теории Якоби можно рассматривать как аналог световых лучей в геометрической оптике. Анализ же доводов, приводимых в доказательство принципа наименьшего действия, показывает, что они полностью идентичны тем, которые в геометрической оптике приводятся для обоснования принципа минимального времени, или принципа Ферма. Вот его формулировка: в преломляющей среде, свойства которой не зависят от времени, световой луч, проходящий через точки A и B, выбирает себе такой путь, чтобы время, необходимое ему для прохождения от точки A до точки B, было минимальным, т е. следует по кривой, которая обращает в минимум криволинейный интеграл от величины обратной фазовой скорости распространения света. Теперь сходство между принципом Мопертюи и принципом Ферма очевидно.

Однако между ними существует и важное различие. В принципе наименьшего действия подынтегральное выражение совпадает с импульсом частицы и, таким образом, интеграл имеет размерность действия (произведения энергии на время или импульса на путь). В принципе же Ферма подынтегральное выражение, наоборот, обратно пропорционально скорости распространения. Именно по этой причине аналогия между этими двумя принципами в течение длительного времени рассматривалась как чисто формальная, не имеющая под собой никакого глубокого физического обоснования. Более того, казалось даже, что с физической точки зрения между ними имеется существенное различие, поскольку импульс прямо пропорционален скорости и, следовательно, подынтегральное выражение в принципе Мопертюи содержит скорость в числителе, тогда как в принципе Ферма она в знаменателе. Это обстоятельство сыграло важную роль в эпоху, когда волновая теория света, вызванная к жизни гением Френеля, завершала свою победу над теорией истечения. Полагали как раз, что, исходя из различной зависимости от скорости подынтегральных выражений, входящих в интегралы Мопертюи и Ферма, можно сделать вывод, что известные эксперименты Фуко и Физо, согласно которым скорость распространения света в воде меньше скорости света в пустоте, дают неопровержимые и решающие аргументы в пользу волновой теории. Однако, опираясь на это различие и объясняя опыты Фуко и Физо как подтверждение факта существования световых волн, предполагали, что вполне законно отождествлять скорость материальной точки, фигурирующую в принципе Мопертюи, со скоростью распространения волн, входящей в интеграл Ферма, Волновая механика показала, что всякой движущейся материальной точке соответствует волна, скорость распространенная которой меняется обратно пропорционально скорости частицы. Только волновая механика действительно пролила свет на природу глубокого родства между двумя фундаментальными принципами и вскрыла его физический смысл. Она показала также, что эксперимент Физо не столь решающий, как это считалось раньше. Хотя он и доказывает, что распространение света есть распространение волн и что показатель преломления необходимо определять через скорость распространения, но он совсем не исключает возможности корпускулярной структуры света при условии, конечно, соответствующей связи между волнами и частицами света. Однако это уже относится к кругу вопросов, которые мы будем обсуждать ниже.

Сравнивая движение материальной точки в поле сил, не зависящем от времени, с распространением волн в преломляющих средах, состояние которых также не зависит от времени, мы показали, что между принципами Мопертюи и Ферма существует определенная аналогия. Сравнивая движение материальной точки в переменных во времени силовых полях с распространением волн в преломляющих средах с параметрами, меняющимися во времени, замечаем, что аналогия между принципом наименьшего действия в его общем виде, предложенном Гамильтоном, и принципом Ферма, обобщенном на случай преломляющих сред, состояние которых зависит от времени, сохраняется и в этом, более общем случае. Не будем останавливаться на этом вопросе. Для нас достаточно будет лишь, что эта аналогия между двумя основными принципами механики и геометрической оптики имеет место не только в рассмотренном нами выше, хотя и очень важном, но все же частном случае постоянных полей, но и в более общем случае переменных полей.

Принцип стационарного действия справедлив и для систем материальных точек. Для его формулировки нам удобно вести конфигурационное пространство, соответствующее рассматриваемой системе. В качестве примера ограничимся случаем, когда потенциальная энергия системы не зависит явно от времени. Таков, например, случай изолированной системы, на которую не действуют внешние силы, поскольку потенциальная энергия ее при этом сводится только к энергии взаимодействия и не зависит явно от времени. В этом случае, вводя 3N-мерное конфигурационное пространство и вектор в этом пространстве, 3N компонент которого совпадает с компонентами векторов количеств движения N материальных точек системы, принцип наименьшего действия в форме Мопертюи можно сформулировать следующим образом. Траектория изображающей точки системы, проходящая через две заданные точки A и B в конфигурационном пространстве, делает минимальным криволинейный интеграл от введенного выше 3N-мерного вектора, взятый по отрезку траектории между точками A и B, по сравнению с такими же интегралами, взятыми по отрезкам других кривых в конфигурационном пространстве, проходящих через те же точки A и B. Этот принцип легко получить также из теории Якоби. Аналогия же его с принципом Ферма следует из возможности представления траекторий изображающей точки в конфигурационном пространстве в виде лучей волны, распространяющейся в этом пространстве. Итак, мы снова видим, что для систем материальных точек переход от классической механики к волновой можно осуществить лишь в рамках абстрактного конфигурационного пространства.

Глава II. Классическая физика

1. Дальнейшее развитие механики

В предыдущей главе мы не собирались давать сколько-нибудь полного обзора классической механики. Тем более мы не собираемся излагать в этой главе всю классическую физику. Мы отметим здесь лишь ее основные разделы и сделаем несколько замечаний по поводу каждого из них.

К первому разделу классической физики, развившейся на базе механики, можно отнести гидродинамику, акустику, теорию упругости. Эти области возникли раньше других, поскольку круг явлений, которые они изучают, был наиболее тесно связан с практической жизнью. С теоретической точки зрения они являются непосредственным продолжением механики, из которой они заимствовали свои основные принципы и методы, дополнив их гипотезами, подсказанными опытом. Следует, правда, сказать, что эти теории не предполагают, что твердые тела, жидкости или газы имеют дискретную структуру. Напротив, они исходят из представления о непрерывной структуре материи. При этом считается, что каждый элемент объема этой непрерывной среды взаимодействует со всеми соседними элементами согласно законам механики. Однако ничто не мешает совместить используемые при этом методы с предположением об атомной структуре вещества, если рассматривать элементы объема, хотя и достаточно малые, но все же содержащие в себе чрезвычайно большое число молекул.

Эти разделы классической физики, непосредственно продолжающие механику, хотя и основаны на принципах, вытекающих из законов классической механики, в действительности очень сложны и потребовали для своего развития немалых усилий экспериментаторов и теоретиков.

Физические явления в этих областях далеко не просты и с трудом поддаются изучению. Расчеты здесь часто требуют привлечения сложного математического аппарата. Поэтому хотя эти науки уже давно существуют, они продолжают непрерывно развиваться. Их применяют при изучении широкого круга практических вопросов, и знание этих разделов физики совершенно необходимо инженерам. Применительно к практическим требованиям, когда непосредственные приложения важнее, чем общая теория, пользуются приближенными формами этой теории, такими, как гидравлика и сопротивление материалов.

Здесь мы закончим знакомство с этими дисциплинами. Дальнейшее развитие физики, возможно, приведет к их различным модификациям, однако до сих пор кванты играли тут незначительную роль, и поэтому рассмотрение этих вопросов выходит за рамки книги.

2. Оптика

Если гидродинамика или теория упругости не представляют непосредственного интереса для изучения квантовой теории, то с оптикой дело обстоит совершенно иначе, поскольку ее прогресс тесным образом связан с развитием новейшей физики. Подобно явлениям, происходящим с твердыми и жидкими телами, световые явления также с ранних пор привлекали к себе внимание людей. Но только в XVII в. оптика начала формироваться в настоящую науку. В этот период Декарт сформулировал законы преломления и отражения света и Ферма предложил свой принцип, в котором содержится вся геометрическая оптика. В течение всего этого периода развития оптики понятие световых лучей играло в ней главную роль: изучалось прямолинейное распространение световых лучей в пустоте или в однородных средах, отражение их от зеркальных поверхностей и преломление при переходе из одной среды в другую и, наконец, искривление световых лучей при распространении света в неоднородных преломляющих средах. Тогда же Христиан Гюйгенс предложил другую интерпретацию тех же явлений, основанную на понятиях волны и волновой поверхности. Он показал, кроме того, что его метод также объясняет недавно открытое явление двойного лучепреломления в исландском шпате.

С чисто геометрической точки зрения метод, основанный на понятии световых лучей, и метод, использующий понятие волновых поверхностей, полностью эквивалентны. В рамках геометрической оптики без труда можно перейти от одного метода рассмотрения к другому и убедиться в этой эквивалентности. Лучи представляют собой кривые, ортогональные семейству волновых поверхностей, и принцип Ферма является прямым следствием этого факта.

Однако эти два формально эквивалентных метода приводят к существенно различным взглядам на физическую природу света в зависимости от того, какое из этих понятий – световой луч или волновую поверхность – принять за первичное.

Предположение о том, что понятие светового луча основное, а волновой поверхности – вспомогательное, приводит к выводу о корпускулярной природе света. Согласно этой гипотезе, свет представляет собой совокупность мельчайших частиц, движущихся вдоль определенной траектории – светового луча. Прямолинейность распространения света в однородных средах и явление отражения его от поверхности зеркал находят себе в этой теории наглядное и естественное объяснение. Исходя из этого представления, можно объяснить также, хотя и несколько сложнее, явление преломления светового луча на границе двух сред. С этой точки зрения, именно световые лучи, т е. траектории световых частиц, имеют физический смысл. Волновые же поверхности – лишь чисто вспомогательное геометрическое понятие, позволяющее объединить лучи в некоторые семейства, подобно тому как в механике интегральные поверхности уравнения Якоби позволяют разбить совокупность различных траекторий частиц на семейства кривых, ортогональных интегральным поверхностям. Можно, однако, пойти по другому пути и считать, что первичным основным понятием является понятие волны и волновой поверхности. Этот путь приводит нас к представлению о волновой природе света. Согласно этой точке зрения, свет представляет собой волны, распространяющиеся в пространстве, лучи же оказываются чисто абстрактным понятием и определяются просто как кривые, ортогональные волновым поверхностям. Тонкий анализ Гюйгенса показал, что волновая теория объясняет явления отражения и преломления. Однако объяснение прямолинейности распространения света в однородных средах, столь очевидное в корпускулярной теории, где оно непосредственно следует из закона инерции, в волновой теории на первый взгляд отнюдь не так просто.

Эти две противоположные точки зрения – корпускулярная концепция, или теория истечения, и волновая концепция – господствовали в XVII и XVIII вв. Первая, поддерживаемая вначале Декартом, нашла себе затем чрезвычайно авторитетного защитника в лице Ньютона. Гениальный создатель небесной механики был остановлен трудностями, которые встали перед волновой теорией (особенно при попытке объяснения прямолинейности распространения света), и решительно высказался в пользу корпускулярной гипотезы. Вслед за Ньютоном в XVIII в. большинство ученых стали склоняться к корпускулярной теории, и волновая гипотеза, столь блестяще развитая в конце предыдущего века Гюйгенсом, сохранила лишь немного приверженцев (Эйлер). Казалось, что победу одержали сторонники теории, основанной на представлении о дискретной природе света.

Однако в начале XIX в. положение полностью изменилось. Причиной этого было открытие явлений интерференции и дифракции. В некоторых частных случаях эти явления были известии еще во времена Ньютона: сначала они были обнаружены Гуком и Гримальди, а затем и самим Ньютоном. В частности, явление, впервые им наблюдавшееся и носящее ныне название колец Ньютона, есть не что иное, как явление интерференции. Со свойственной ему проницательностью Ньютон отлично сознавал, что и в рамках поддерживаемой им корпускулярной теории объяснение этих явлений требует введения некоторых элементов периодичности. Поэтому он вынужден был выдвинуть гипотезу, согласно которой частицы света попеременно испытывают приступы легкого прохождения и легкого отражения. Это предположение, которое могло показаться на первый взгляд весьма странным и искусственным, явилось, тем не менее, первой попыткой объединить представления о корпускулярной и волновой природе света, попыткой, в какой-то степени предвосхитившей пути развития современной науки. Но в XVIII в. всецело господствовали представления о корпускулярной природе света и на явления интерференции не обратили должного внимания. И лишь в конце XVIII и в начале следующего века английский ученый Томас Юнг предпринял серьезное исследование интерференции и дифракции, а гениальный француз Огюстен Френель (1788…1827 гг.) дал им полное и окончательное теоретическое объяснение. Опираясь на выдвинутую Гюйгенсом волновую гипотезу, Френель полностью объяснил все известные к тому времени опыты по дифракции и интерференции и показал, и это было весьма существенно, что представления о волновой природе света не противоречат факту прямолинейности распространения света в однородных средах. Критикуемый противниками волновой теории, которые указывали ему на то, что она представляет, на первый взгляд, парадоксальные результаты, Френель провел соответствующие эксперименты, и его предсказания полностью оправдались. С этого момента успех волновой теории был обеспечен, а корпускулярная теория, хотя и поддерживаемая еще некоторыми учеными (например, Био, Лапласом), стала быстро терять своих приверженцев.

Но Френель не ограничился этим. Для объяснения явлений поляризации он выдвинул идею о поперечности световых колебаний, отвечающую на вопрос, почему свойства поляризованного света зависят от угла в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Изучая свойства поперечных колебаний, Френель развил теорию отражения света от поверхности преломляющих тел, вывел законы двойного лучепреломления и разработал теорию распространения света в анизотропных средах. Эти работы – настоящие шедевры теоретической физики. Они вошли без каких-либо существенных изменений во все современные учебники физической оптики. Истощенный постоянным огромным умственным напряжением, Огюстен Френель был сражен болезнью и умер в 1827 г. в возрасте 39 лет, но совершенный им поистине великий труд навсегда останется одной из самых прекрасных глав в истории развития физики.

После смерти Френеля волновая природа света становилась все более общепризнанной, и эксперименты Фуко и Физо принесли неоспоримые доказательства этой гипотезы. И только много позже, на рубеже нашего века, физики вновь были вынуждены обратиться к корпускулярным представлениям о природе света, не отвергая, однако, ни одного момента из волновой теории Френеля. Возникла необходимость в своеобразном синтезе или, скорее, последовательном сочетании волновых и корпускулярных представлений. И если Френель дал верную общую волновую интерпретацию известных к его времени или открытых им самим оптических явлений, то физики, принадлежащие к противной школе, по существу тоже не ошибались, предполагая существование дискретного аспекта в природе света. Ньютон и Био не зря подозревали какую-то глубокую аналогию между свойствами световых лучей и траекториями материальных точек в классической механике. И не случайно геометрическая оптика обнаруживает аналогии с динамикой, например принцип Ферма подобен принципу наименьшего действия. Замечательные теории аналитической механики, и в особенности теория Якоби, поясняют истинный смысл законов геометрической оптики, но и волновая оптика в свою очередь указывает путь обобщения классической механики, на котором мы обнаруживаем, что она, как и геометрическая оптика, оказывается лишь приближением, справедливым во многих случаях, но имеющим определенным образом ограниченную область применения.

В дальнейшем мы еще вернемся к этим вопросам. Однако чтобы подготовить почву, может быть полезно уже сейчас указать, каким образом волновая оптика включает в себя геометрическую и как, например, с точки зрения Френеля, можно было бы обосновать принцип Ферма. Распространение волн в волновой теории описывается уравнением в частных производных второго порядка, хорошо известным под названием волнового уравнения. Это уравнение содержит некоторый параметр, равный скорости распространения волны, который в наиболее общем случае неоднородных сред с переменными во времени параметрами будет некоторой определенной функцией пространственных координат и времени.

В важном частном случае неизменных во времени сред скорость распространения не зависит от времени и определяет постоянный в каждой точке пространства показатель преломления. Волновое уравнение при этом допускает решения, гармонически меняющиеся во времени и представляющие собой свет различной частоты, т е. разных цветов, распространяющийся в рассматриваемой среде. Можно видеть, что если показатель преломления мало меняется на расстоянии порядка длины волны, то изменение фазы волны описывается приближенно некоторым уравнением в частных производных первого порядка и второй степени, которое называется уравнением геометрической оптики и в точности совпадает по форме с уравнением Якоби. Это уравнение для каждой распространяющейся монохроматической волны позволяет найти семейство так называемых волновых поверхностей, на которых фаза волны имеет постоянное назначение. Таким образом, можно найти кривые, ортогональные волновым поверхностям, и определить их как соответствующие световые лучи, распространяющиеся в среде.

Отсюда уже можно вывести принцип Ферма, теорему Малюса, построения Гюйгенса и все другие законы геометрической оптики. Итак, с точки зрения волновой теории геометрическая оптика справедлива во всех случаях, когда оказывается возможным приближенно заменить строгое волновое уравнение уравнением геометрической оптики. Условием этого, как мы видели, оказывается достаточно медленное изменение показателя преломления в пространстве. Однако этого недостаточно. Необходимо, чтобы на пути света не было никаких препятствий, мешающих его свободному распространению и приводящих к явлениям дифракции или интерференции.

Таким образом, с точки зрения волновой теории геометрическая оптика оказывается некоторым приближением, имеющим определенный смысл, но тем не менее всегда ограниченным.

Обратимся теперь к физическому смыслу волновой теории. Световые волны, свободно распространяющиеся в пустоте, вовсе не связаны с перемещением вещества. Что же тогда является носителем этих волн, какова среда, колебания которой представляют световые волны? Такие вопросы встали перед создателями волновой теории. Для ответа им пришлось предположить существование некоей неуловимой всепроникающей субстанции: светового эфира, распространившегося по всей Вселенной, заполнившего пустоту и пропитавшего материальные тела. Свойства этой загадочной среды и характер взаимодействия ее с материальными телами должны были объяснить особенности распространения света в пустоте и в преломляющих средах. Последователи Френеля поставили своей целью разрешить проблему эфира. Они старались уточнить его механическую природу, представить себе его структуру. Результаты этих исследований оказались весьма странными. С одной стороны, эфир, рассматриваемый как упругая среда, в которой могут распространяться только поперечные волны, должен быть во много раз более жестким, чем, скажем, сталь, а с другой стороны, эта жесткая среда, как показывает опыт, не должна оказывать никакого сопротивления движущимся в ней телам и совершенно не влияет на движение планет. Но ни одна теория, предполагающая существование среды с такими парадоксальными свойствами, какой бы совершенной она ни была, не может иметь права на существование, и все больше и больше физиков стало сомневаться в действительном существовании этой среды. Ниже мы увидим, какие изменения претерпела теория эфира сначала после появления электромагнитной теории, а затем после установления принципа относительности.