Текст книги "История античной науки. Открытия великих ученых и мыслителей древности"

Архитектурные и строительные достижения Египта подразумевают хорошие знания арифметики и геометрии. Во-первых, необходимы были простые средства для того, чтобы вести сложные подсчеты. Такие потребности удовлетворились рано. В Эшмоловском музее в Оксфорде можно видеть булаву эпохи фараона Нармера, правившего до I династии (то есть до 3400 г. до н. э.); на ней сообщается о захвате 120 тысяч пленных, 400 тысяч быков и 1 миллиона 422 тысяч коз. Это большие цифры; они записаны способом, напоминающим римские цифры: символы для каждого десятка (вплоть до миллиона) повторяются по мере необходимости. Так же римляне записали бы 2304 в виде ММСССШ. Самые большие разряды записывались первыми, а остальные по мере их важности, но так было не всегда; разряды могли группировать в любом порядке. Позже появился упрощенный способ, когда вместо 10 100 000 записывали 100 000 × 101.

Что касается геометрии, необходимость в ней была очевидна даже при сооружении таких простых памятников, как пирамиды, что возвращает нас в XXX в. Строители пирамид должны были точно вырезать известняковые блоки перед тем, как поднимать их на их место; самые крупные блоки укладывались в сложную конструкцию над усыпальницей фараона с целью уменьшить давление на потолок; 56 таких потолочных блоков имеются над усыпальницей в Великой пирамиде; в среднем они весят 54 тонны. По свидетельству археолога Ф. Питри, точность, которой достигли при строительстве пирамиды Хеопса (IV династия), почти невероятна.

Обтесывание камней, которые должны были плотно прилегать друг к другу, требовало некоторого знания стереометрии (далее мы увидим, что в этой области египтяне зашли поразительно далеко). Можно утверждать, что такие работы требовали и познаний в области описательной геометрии и стереотомии. Недостаточно было решать такие задачи в общем плане, поскольку резчику по камню необходимо было точно показать, как следует резать известняковые блоки. Однако такие познания оставались эмпирическими и, скорее всего, несформулированными.

Хотя можно с уверенностью утверждать, что архитекторы пирамид обладали серьезной математической подготовкой, без которой не могла быть выполнена теоретическая часть их задачи, у нас нет математических текстов эпохи Древнего царства, как и других царств вплоть до XII династии (2000–1788). Хотя два самых важных текста дошли до нас в позднейших редакциях, вероятнее всего, они появились именно в ту эпоху.

Арчибальд[5]5
  Chace, Bull, Manning, Archibald. The Rhind mathematical papyrus. Vol. 2. P. 192–193.


[Закрыть] перечисляет около 36 оригинальных документов, связанных с египетской математикой; они написаны на древнеегипетском, коптском и древнегреческом языках и датируются от около 3500 г. до н. э. до 1000 г. н. э. (разброс составляет 45 веков). Всего насчитывается 16 документов до 1000 г. до н. э., причем два из них затмевают все остальные.

Давайте рассмотрим их подробнее. До нас дошли два сборника математических задач. Их можно назвать трактатами – древнейшими из существующих учебников математики. Они существуют в виде свитков папируса, которые называются соответственно (по фамилиям первых владельцев) папирусом Голенищева (или Московским математическим папирусом, так как он находится в Москве) и папирусом Ринда (он хранится в Лондоне). На самом деле папирус Ринда состоит из двух свитков папируса (они находятся в Британском музее и хранятся под номерами 10057 и 10058), но фрагмент, связывающий два этих свитка, был обнаружен в Нью-Йоркском историческом обществе. Два свитка из Британского музея и нью-йоркский фрагмент составляли один свиток или один трактат. Папирус Голенищева древнее; он относится к XIII династии (начавшейся в 1788 г. до н. э.), однако в нем отражены способы решения задач, принятые в эпоху предыдущей династии. Папирус Ринда относится к эпохе правления гиксосов (примерно XVII в. до н. э.), но является копией более старого документа времен XII династии. Таким образом, два этих почтенных трактата, хотя и появились в разное время, представляют одну и ту же эпоху, эпоху XII династии (2000–1788), или, грубо говоря, XIX в. до н. э. Период XX–XVII вв. до н. э. считался временем научного расцвета в Древнем Египте, в то время как период, следовавший непосредственно за ним, примерно XVI–XII вв. до н. э., отмечен расцветом политическим, когда Египет стоял во главе всемирной империи. Любопытно, что интеллектуальный расцвет предшествовал политическому, а не совпадал с ним и не следовал за ним, как можно было бы ожидать.

Как ни странно, два этих выдающихся папируса имеют одну и ту же длину (544 см), но, в то время как папирус Ринда имеет полную ширину (33 см), папирус Голенищева – своего рода карманное издание, и его ширина составляет лишь четверть от папируса Ринда (8 см). Хотя последний, видимо, является более ранним, удобно вначале рассмотреть папирус Ринда.

Огромное строительство, предпринятое в эпоху пирамид, требовало деятельности клерков, которые сохраняли и увековечивали традиции в виде методов и рецептов, задач, расчетов и таблиц – а также того, что соответствовало нашим копиям чертежей. Можно предположить, что такие традиции, постепенно обогащавшиеся, сохранялись до конца расцвета Древнего Египта. Так, сооружение множества обелисков при XVIII и XIX династиях предполагает, что архитекторы передавали результаты многочисленных экспериментов, полученных методом проб и ошибок, своим ученикам; данные также передавались от двора одного фараона к другому. Вероятно, сохранению научных традиций очень способствовали жрецы, самые образованные люди для своего времени. Так, судя по вступительным словам на папирусе Ринда, его написал писец по имени Ахмес.

Судя по всему, Ахмес сознавал огромную важность своей задачи. Во вступительной части папируса Ахмеса объясняется, что он посвящен «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Перед нами практически научный трактат, то есть систематический отчет о доступных знаниях в его области. Конечно, древний учебник ни в коей мере не является таким же систематическим, как пособия, написанные в наши дни, но в нем прослеживается вполне внушительная методика. Подумать только! Некий Ахмес, живший почти за столько же веков до Христа, сколько живем мы после Христа, приступает к решению основных задач арифметики и геометрии в том виде, в каком они представлялись его современникам!

Прежде чем описывать содержание папируса Ринда, необходимо объяснить, как египтяне представляли себе дроби. По какой-то странной причине для них были приемлемы лишь аликвотные дроби, то есть дроби вида ¹/_n имеющие числитель, равный 1, и знаменатель, выраженный натуральным числом. В порядке исключения использовались две «вспомогательные» дроби, ²/₃ и ³/₄. Вторая из них, «три части», то есть ³/₄, использовалась редко, зато первая – «две части», то есть ²/₃, очень распространена. Для дроби ²/₃ существовал отдельный символ, который часто встречается в математических текстах.

Папирус Ринда начинается с таблицы разложения дробей типа 2/(2π + 1), в которой n — натуральное число от 2 до 50:

То, что таблица помещена в начало трактата, типично для его полутеоретического, полупрактического характера. Писец или его неизвестный предшественник экспериментальным путем пришел к некоторому уровню абстракции и счел целесообразным представить его.

Затем следуют 40 арифметических задач (см. задачу 4 на рис. 9), которые связаны с делением 1, 2…, 9 на 10, умножением дробей, задач на дополнение вычитаемого до уменьшаемого (дополнить ²/₃ ¹/₃₀ до 1; правильный ответ – ¹/₅ ¹/₁₀), задачи на величины (сумма некоторой величины и ¹/₇ от нее равняется 19; найти величину. Ответ – 16 ¹/₂ ¹/₈), деление на дробь, деление на меру хекат, деление хлебов в арифметической прогрессии (см. пример ниже). Эти задачи ведут к уравнениям первой степени с одним неизвестным. Конечно, на папирусе нет уравнений, но можно отметить символы, обозначающие сложение, вычитание и даже один символ, представляющий неизвестную величину. Задача в Берлинском папирусе (№ 6619) Кахуна (XII династия) решается двумя уравнениями, причем одно из них квадратичное, с двумя неизвестными. В современной записи:

х² + у² = 100

У = ³/₄ х.

Рис. 9. Папирус Ринда, задача 4 (частично в Британском музее, частично в Нью-Йоркском историческом обществе). Верхняя часть воспроизводит изначальный иератический шрифт; ниже приведена запись иероглифами с транслитерацией. Вольный перевод: «Раздели 7 хлебов между 10 людьми». Решение: каждый получит по ⁷/₁₀ = ²/₃ + ¹/₃₀, то есть нужно сначала каждый хлеб разделить на 3 части и дать каждому по две, а затем разделить оставшуюся треть на 10 частей и дать каждому по одной.

Всего 7 хлебов, что правильно

Ответ: x = 8, у = 6. Тогда 8² + 6² = 100, или 4² + З² = 5²; мы узнаем числа, фигурирующие в теореме Пифагора (к ней мы еще вернемся).

Вот последняя арифметическая задача:

Задача 40. «Раздели 100 хлебов между 5 людьми таким образом, чтобы доли, доставшиеся каждому, находились в арифметической прогрессии и ¹/₇ от суммы трех самых больших доль была равна сумме двух меньших. Какова разница между долями?»

Решение: пусть разница между долями составляет 5¹/₂ Тогда доли, доставшиеся 5 людям, будут

23 17¹/₂ 12 6¹/₂ 1, всего 60.

Столько раз, сколько необходимо умножить 60, чтобы получилось 100, на столько же необходимо умножить эти доли.

1 60

²/₃ 40

Всего 1²/₃ на 60 дает 100.

Умножить на 1²/₃:

Задачи 41–60 связаны с вычислением площади и объема, а задачи 61–84 носят смешанный характер. Площадь треугольника вычисляют умножением его основания на половину стороны; это верно лишь для остроугольных треугольников. Объем цилиндрического амбара диаметра d и высоты h вычислялся по формуле (d — 1/9d)²h. Это довольно близко к площади круга – 0,7902 d2 0,7854d2, как если бы π равнялось не 3,14, а 3,16.

Нет оснований полагать, что египтяне знали теорему Пифагора, если не считать одного косвенного указания на это в Берлинском папирусе. Возможно, египтяне получили нужные ответы эмпирическим путем, но вопрос остается неясным. То, что приобрести такие знания было относительно легко и они преодолевали и более серьезные трудности, – несерьезный довод. В истории науки обычное явление, когда задачи не всегда решались (одним народом либо всеми коллективно) по мере возрастания сложности.

Ссылка Демокрита Абдерского (V в. до н. э.) на мудрых египетских harpedonaptai, то есть землемеров, которые измеряли расстояния веревкой с узелками, часто трактуется неверно. По словам Демокрита, ни один современник, в том числе египетские землемеры, не превзошел его в построении фигур из линий и в расчете их площади. Комментаторы без дальнейших доказательств пришли к выводу, что землемеры могли вычерчивать нужные углы с помощью веревки с узелками. Скорее всего, функция веревки с узелками была астрономической, а не математической. «Растягивание шнура» было одной из первых церемоний при закладке храма. Шнур или веревку необходимо было растягивать по меридиану, чтобы правильно сориентировать храм. Вполне возможно, что «растягиватели веревок» умели также строить перпендикуляр к меридиану; возможно, они делали это с помощью веревки, поделенной на 3, 4, 5 частей. Впрочем, это лишь догадки, как и все гипотезы, по которым открытие теоремы Пифагора приписывают древним индусам или китайцам.

В Московском математическом папирусе (папирусе Голенищева) всего 25 задач, но одна из них захватывает дух. Похоже, она доказывает, что древние египтяне умели вычислять объем усеченной пирамиды, и решение у них такое же, как у нас, представленное формулой

V = (h/3) (a² + ab + b²),

где h — высота усеченной пирамиды, а и b – стороны квадратных оснований.

Это решение можно назвать шедевром древнеегипетской геометрии. Оно свидетельствует о раннем развитии науки в Древнем Египте и о гениальности египтян. Скорее всего, решение было найдено ими уже в XIX в. до н. э., если не раньше, и они так и не превзошли его, хотя продолжали работать на протяжении еще трех тысячелетий.

Самым главным техническим достижением с точки зрения его культурных последствий стало изобретение папируса, которое обсуждалось выше. Скажем несколько слов о двух других событиях, каждое из которых открывало бесконечные возможности, – изготовление стекла и ткачество.

Невозможно установить, когда стекло впервые было изготовлено специально (сохранились несколько образцов додинастической эпохи), но к началу XVIII династии (ок. 1580 г. до н. э.) стекло уже производили в широком масштабе, а к середине той эпохи (ок. 1465 г.) техника изготовления стекла достигла высокого уровня. Стекло получается из сплава кварца (кремнезема) со щелочью. Щелочь, обнаруженная в египетских образцах, – по большей части сода; поташ присутствовал лишь в малой пропорции. Это доказывает, что кремнезем египтяне добывали главным образом из натрона (декагидрата карбоната натрия), а не путем выщелачивания древесной золы; остатки стекольных заводов были обнаружены на раскопках во впадине Вади-эн-Натрун на северо-востоке Ливийской пустыни, между Александрией и Каиром. Впадина получила свое название благодаря озерам, богатым содой. (Этот богатый источник соли и соды эксплуатируется по сей день.) Египтяне изготавливали глазурь разных видов, главным образом для покрытия глиняных сосудов, а также разноцветное стекло – аметистовое, черное, синее, зеленое, красное, белое, желтое. Значит, они знали, что добавление определенных металлов или оксидов некоторых металлов к основным материалам (кварцевому песку и карбонату натрия) позволяет добиться желаемых эффектов. Было бы крайне ошибочно называть подобные эмпирические познания химией или говорить, например, что древние египтяне знали кобальт, потому что кобальт обнаружен в античном стекле (уже в эпоху XVIII династии). Тем не менее наличие кобальта имеет большое значение, так как соединения кобальта в Египте не встречаются; их приходилось ввозить из других регионов (Персия, Кавказ). Значит, египетские стеклоделы уже были настолько искушенными, что искали за границей различные ингредиенты, чтобы добиться новых цветов, в данном случае – синего.

Из стекла делали бусы, мозаику и вазы. Последние формовались из тощей глины. Выдувное стекло появилось значительно позже.

Некоторые ткани изготавливали в доисторическую эпоху. Египетский метод прядения и ткачества можно понять по макету станка времен XI династии (2160–2000) и по настенным рисункам времен XII и последующей династий. Маленькие макеты всевозможных предметов и орудий помещали в гробницы. На настенных рисунках изображаются женщины, занятые прядением и ткачеством. Макет и рисунки найдены в Фивах и сейчас находятся в Каирском музее. Отдельные куски полотна, обнаруженные в гробницах фараонов, отличаются столь тонким плетением, что невооруженным глазом их с трудом можно отличить от шелка. Кроме того, найденные полотна полупрозрачны. Даже если бы мы не располагали образцами такого полотна (эпохи Древнего царства!), мы могли бы догадаться о его существовании по рисункам, на которых конечности женщины видны сквозь ткань, которая на ней надета. Художник воспроизводил в точности то, что он видел. В качестве примера можно привести настенные росписи в гробнице Нефретере, жены фараона Рамзеса II (1292–1225). На них изображается богиня Исида, которая провожает Нефретере в ее гробницу.

Одно из основополагающих открытий человечества – открытие твердых сплавов. Его сделали во многих местах независимо друг от друга. Там, где его сделали, оно породило или подготовило промышленную революцию. Мы считаем, что век металла сменил каменный век, хотя Древний Египет производит впечатление своего рода победоносной каменной культуры: металлические орудия исчезли, в то время как каменные памятники по-прежнему можно видеть в долине Нила. Однако создание таких памятников, скорее всего, стало возможно благодаря металлическим резцам. Во всяком случае, металлические инструменты способствовали увеличению их количества. Металлические инструменты преобразили не только труд каменотесов, но и многие другие ремесла; оружие из металла в корне изменило политическое равновесие.

Металлы открыли не в Египте; их открыли в доисторическую эпоху. Скорее всего, открытие сделали случайно, причем одновременно во многих местах. На Синайском полуострове в изобилии имелась медная руда; местные жители или гости из Египта могли обкладывать костер кусочками этой руды. Некоторые кусочки выплавлялись, и утром среди угля находили блестящие кусочки меди. Египетские женщины с самых ранних известных нам времен красили глаза малахитом. Малахит – это медная руда (основной карбонат меди); если кусочек малахита падал в костер, он мог выплавиться и появлялся кусочек меди. Если мужчине в первом случае или женщине во втором случае хватало наблюдательности и ума, чтобы сделать вывод из случайного происшествия (умных людей немного, однако они встречаются в любое время), они повторяли эксперимент в разных условиях, получали больше меди, били по металлу молотом и придавали куску желаемую форму, делали новые орудия труда, применяли эти орудия… Как всегда, речь здесь идет не об одном открытии, а о целой цепочке открытий, ведь для ковки меди требовался не один человек. У каждого кузнеца появлялись последователи, а у каждого последователя – свои последователи. Ко времени строительства пирамид медный век давно начался.

Рудные залежи редко ограничиваются каким-то одним металлом. Древние металлурги вынуждены были добывать нечистые металлы, то есть смесь одного основного металла – меди – с другими. Возможно, они заметили превосходящую ценность некоторых сплавов и позже стали делать сходные сплавы, смешивая разные руды. Иными словами, они заметили: если сплавить вместе разные руды, качество конечного продукта повышается. Еще позже, гораздо позже мастера стали делать определенные сплавы, смешивая металлы в постоянной пропорции. Всего один абзац подводит итог многим тысячелетиям металлургических опытов.

Самым известным сплавом в древности была бронза, то есть сплав меди и олова. Возможно, первая бронза появилась случайно еще до XVIII династии (1580–1350). Образцы меди, выплавленной ранее того времени, содержат различное количество олова, мышьяка, марганца или висмута. Изобретение бронзы, то есть сплава меди с определенным количеством олова (от 2 до 16 % в Античности; от 9 до 10 % в наши дни) стало почти таким же важным шагом вперед, как открытие самой меди; это изобретение знаменовало собой начало новой эпохи. Бронза крепче и тверже меди, особенно при ковке. (Данное утверждение справедливо, только если доля олова мала, скажем, 4 %; если она чуть больше, скажем, 5 %, сплав после ковки становится хрупким, если его периодически не закаляют в процессе.) Температура плавления бронзы ниже, чем температура плавления меди; кроме того, бронза легче поддается формовке. Выплавленная бронза не уменьшается в объеме, как выплавленная медь, и не так быстро абсорбирует газы. Бронза нашла широкое применение в эпоху XVIII династии и позже.

Где египтяне брали олово? Возможно, в конце Древнего царства его уже импортировали в Египет. Олово ввозили с некоторых островов, из финикийского Библа (нынешнего Джебейла в Ливане) и, возможно, даже из Центральной Европы. Самым очевидным источником был Библ, в окрестностях которого имелись как медные, так и оловянные рудники. Таким образом, сплав двух руд появился довольно рано – сначала случайно, но затем его начали производить специально.

Если та или иная руда оказывалась особенно ценной, если на нее был спрос, местные жители вначале выбирали запасы, лежащие ближе к поверхности, а затем приступили к строительству шахт. В эпоху Древнего царства уже широко разрабатывались шахты на Синае; их эксплуатация была реорганизована в эпоху XII династии, во времена Сесостриса I (1980–1935) и особенно широко развивалась при Аменемхете III (1849–1801). В то время рыли колодцы и цистерны, строили казармы для рабочих, дома для надсмотрщиков и укрепления для защиты от бедуинов. В местности Серабит-эль-Хадим на Синае по приказу фараона вырыли огромный резервуар в скалах; управление шахтами велось весьма методично. Развалины этого шахтерского поселения, построенного почти 38 веков назад, можно видеть и в наши дни.

Время от времени египтяне находили применение метеоритному железу, но основными их металлами были медь и бронза. Железная металлургия гораздо труднее медной; она началась и развивалась в Западной Азии, а в Египет попала очень поздно (в Навкратисе, в VI в. до н. э.). Возможно, азиатские кузнецы попадали в Египет до того времени, что объясняет присутствие немногочисленных железных орудий, более или менее науглероженных и закаленных. Они датируются 1200 г. до н. э. и позже.

Для того чтобы увеличить температуру в металлургических печах, египтяне уже во времена V династии пользовались трубками для подвода сжатого воздуха, а в эпоху XVIII династии и позже – воздуходувными мехами.