Текст книги "Нужно иметь смелость, чтобы лечить людей…"

1. Общая почва, подготовляющая возникновение внечувственного, заключается в тех едва ли не ежеминутных наблюдениях, которые ставят человека в возможность умозаключать о присутствии или существовании чего-либо, несмотря на то что оно невидимо, неслышимо и неосязаемо в данную минуту. Знакомый пригорок или лес, закрывающий от глаз родной дом, никому не мешает думать, что дом есть, хотя и невидим. В знакомом месте мы знаем не только то, что стоит в настоящую минуту перед глазами, но и все, что у нас за спиной. Знакомая, совершенно темная и беззвучная комната не представляет ничего чувственного, а между тем, войдя в нее, человек знает, где стоит стол, диван и стулья, и может даже пройти по комнате, не наткнувшись на мебель. Такое же значение имеет обширная категория ожиданий. Ими наполнена вся душа ребенка, когда он гуляет и производит разного рода эксперименты. Ожидаемое – это цель всех его действий; оно представляется существующим лишь уму, но в данную минуту не есть ни видимое, ни осязаемое. Все подобные переходы мыслей от испытанного прежде к несуществующим налицо соответствующим реальностям, повторяясь несчетное число раз, приучают человека мало-помалу считать реальности возможными и за пределами чувств.

2. Человек со всем, что происходит в его теле и на душе, чувствует себя реально существующим, в том же смысле, как признает реальным все видимое и осязаемое. А между тем акты сознания недоступны органам чувств. Стало быть, в нашу первую категорию недоступных органам чувств реальностей должны быть отнесены все акты сознания, какого бы порядка они ни были.

Сюда же относятся внешние реальности, открываемые лишь при посредстве простых и научных опытов.

То, что обозначает слово даль, чувственно представимо лишь в очень ограниченных размерах – в пределах зрительного кругозора человека. Все же, лежащее за этим пределом, будучи реальным, доступно лишь мысли и получает определенный облик лишь в условном одеянии меры и числа (число верст, километров, миль и пр.). То же самое с понятием малое. В пределах видения оно останавливается на пылинке; но за нею лежат внечувственные реальности, открываемые лишь микроскопом. Еще уже предел чувствования в отношении всего совершающегося во времени. Продолжительность явлений мы чувствуем, ибо различаем в кратковременных из них начало, середину и конец. Но нет человека на свете, который различал бы непосредственно чувством степени продолжительности явлений за пределами секунд; а мыслим мы не только минутами, но годами и столетиями – и, конечно, опять в одеянии, чуждом чувствованию. Для восприятия электричества специального органа чувств у нас нет; но до «электричества» как особого вида энергии человек додумался все-таки чувственным путем – из косвенных проявлений энергии, доступных чувству. Движение земли ни около оси, ни вокруг солнца не чувствуется, но оно несомненно реально.

Во вторую категорию относятся все внечувственные построения опытных наук (физики и химии), и сюда же, с некоторой оговоркой, могут быть причислены ходячие представления об основных душевных способностях человека.

Пока химик изучает состав (и прочие свойства) тел, разлагая их на составные элементы и соединяя последние в новые сочетания, а затем классифицирует весь материал в различных направлениях (т. е. по сходствам в том или другом отношении), он остается в чувственной области и являет всеми этими действиями самый наглядный пример ненамеренного[113]113
  Этим я хочу сказать, что химик, действуя таким образом, может и не знать, что действует по правилам мышления, излагаемым в логике.


[Закрыть] употребления в дело изучения таких приемов, которые в области мысли зовутся логическими приемами мышления, – анализом, синтезом и сравнением. Когда же химик переходит отсюда к рассуждениям о строении тел, то насколько в представлении о составе последних входят такие понятия, как частица, атом, атомность и пр., он уже мыслит внечувственными объектами. Частица и атом химика не суть реальности действительные, но реальности возможные, ибо понятия эти вытекают из опытов. Водяные волны, периодические качания маятника и звуковые колебания как факты, доступные чувству, предшествовали учению о световых колебаниях. Колебания эфира и световые волны суть внечувственные построения, но стоящие на пороге реальности – возможные реальности.

В приведенных доселе примерах внечувственный характер объектов непосредственно понятен для ума вследствие определенности тех границ (т. е. известной из опыта ограниченности наших чувств), за которыми она начинается. Но что назвать реально возможным в психической области? Прежнее время, когда участие органов чувств в психике человека сводилось на скромную роль приношения душе ощущений света, тепла, звуков и пр., ответ на вопрос был прост: органы чувств дают душе сырой материал, а переработка его в идейном направлении есть дело психических факторов, и таковыми считаются в обыденной жизни доднесь основные способности души – память, соображение, чувство, ум и воля. С понятиями этими мы до такой степени сроднились и до такой степени привыкли объяснять психические проявления в себе самих, других людях и отчасти даже в животных (приписывая и последним в ограниченных размерах чувство, ум и даже род воли), что реальность их большинству людей кажется несомненной. Легко понять, однако, что все, подразумеваемое под названием специальные способности души, в самом счастливом случае имеет значение гипотез, созданных для объяснения известных циклов явлений, т. е. значение возможных реальностей.

Здесь я должен остановиться, чтобы ответить на вопрос как, т. е. деятельностью каких факторов создаются внечувственные объекты обеих категорий.

Реальность актов сознания чувствуется уже ребенком непосредственно, если они сопровождаются какими-либо приятными или неприятными ощущениями. В зрелом же возрасте, вслед за тем, как личные ряды расчленились на различные формы (помыслы и хотения), человек сравнивает их с явлениями внешнего мира, и тогда акты сознания представляются уму как явления, происходящие внутри нас и совершающиеся во времени. Стало быть, в основе наших представлений о разбираемых процессах лежит самонаблюдение, анализ и сравнение – то, что называется опытом в обширном смысле этого слова.

Участие опыта в возникновении представлений о внешних внечувственных реальностях можно выяснить следующим примером.

Если бы не было мореплавания, то дикие обитатели какого-нибудь очень маленького острова на океане едва ли додумались бы до расстояний, превышающих наш зрительный кругозор. Но и между ними мог найтись человек, способный завести мысль за эти пределы. Выходя из ежедневного опыта, что реальности (видимые вещи) очень часто закрываются от наших глаз посторонними предметами, и считая небесный свод родом занавеса, опускающегося в море, он мог бы вообразить существование реальностей и за этой занавеской. Для его ума эта воображаемая реальность была бы возможной реальностью, потому что вытекала логически из его посылок. Но дайте этому самому дикарю опыт передвижения на неопределенно далекие расстояния, и даль за пределами кругозора станет для него реальностью действительной. Вообще же внешние реальности за пределами чувств, возникая в уме из данных опыта как предположения, становятся для ума действительной реальностью лишь при посредстве дальнейшего опыта.

Столь же ясно сказывается опыт и в теоретических построениях опытных наук и психологии. Все это – случаи толкования явлений за отсутствием в наличности одного или нескольких реальных факторов. Ум, как говорится, прозревает необходимость их в явлении и создает таковые, но не зря, а в согласии с объясняемыми фактами. В этом смысле гипотезы всегда носят характер логических построений или выводов из известных посылок. Так, ум создан по шаблону причинной зависимости, как деятельное начало, объясняющее известный цикл явлений, служащих посылками; такое же значение имеют колебательные движения эфира в отношении световых явлений и пр.

В третью и четвертую категории относятся математические построения ума. На примерах из этой классической области внечувственного мышления я вынужден сделать очень длинную остановку, дабы выяснить общие условия приложимости математических знаний к реальностям и условиям полного разрыва их с действительностью.

Объекты математического мышления суть число, протяженность и общая рамка для них – количество и количественные отношения.

Легко показать, что корни всех этих понятий лежат в чувствовании. Когда простолюдин выражает идею множественности реальным сравнением: «как песку на дне морском», в голове его, очевидно, есть уже все чувственные основы этого понятия. Для множественности однородных предметов существуют даже специальные имена – стая птиц, табун лошадей и пр., с элементом множества – одна птица, одна лошадь и пр. Большое и малое, высокое и низкое, широкое и узкое суть самые обыкновенные результаты сравнения сходных зрительных образов по величине в разных направлениях. Быстрое и медленное – обычная характеристика движений и всего совершающегося во времени – в свою очередь, результаты сравнения.

Наконец, в словах сильный и слабый свет, сильный и слабый ветер – опять количественное сравнение. Словом, предвестники математических объектов лежат в повседневных чувственных наблюдениях; и сравнение предметов и явлений с количественной стороны столь же привычно человеку, как сравнение по сходству, представляя лишь частный случай последнего, так как количественно сопоставляются лишь сходные (однородные) предметы. Оттого я и не говорил до сих пор о сопоставлении объектов мысли количественной стороной.

Однако понятиям большое и малое, сильное и слабое и пр. соответствуют лишь неопределенные количественные разницы; полную определенность они получили лишь с тех пор, как были изобретены числа и меры. О вероятных чувственных источниках последних и пойдет теперь речь в виде длинной вставки между знаками A и В.

Про наиболее первобытных дикарей рассказывают, что они не в силах додуматься сами до чисел свыше 4. Понять это до известной степени нетрудно, если принять во внимание, что числа хотя и имеют чувственные корни, но как система представляют продукт чисто символического мышления и возможны только при определенном распорядке обозначений. Одними глазами нельзя, например, сосчитать и 10 песчинок, расположенных в беспорядке, если не следовать в передвижении глаз какой-нибудь заранее принятой системе и не отмечать в уме периодические фиксации словами: раз, два, три и т. д. Легче, но едва ли возможно сосчитать и при посредстве периодических отодвиганий песчинок пальцем, если не сопровождать передвижений теми же знаками. Отчего это? Да просто потому, что считания в форме отдельных передвижений глаз или пальца, представляя однообразно повторяющиеся периоды более или менее длинного ряда, не могут зарегистровываться в памяти раздельно, а должны в силу сходства сливаться друг с другом. Дело другого рода, если каждое последующее передвижение отмечено для сознания новым знаком, например звуковым, тогда память сразу выводится из всякого затруднения, потому что каждый вновь появляющийся знак суммирует сосчитанное.

У многих из тех, кому не случалось думать о происхождении счета из чувственных опытов, в эту минуту невольно должна была мелькнуть в голове мысль, не родились ли уже самые числа из актов, похожих на действие считания предметов глазами, рукой или пальцем, но производившихся бесцельно. Вначале они могли представляться сознанию безразлично, то в виде каких-либо знаков, отмечающих отдельные периоды передвижений глаз или пальцев, то в виде изменчивых групп предметов, выделяемых при счете из множества[114]114
  Так, если из кучи палочек выдвигать пальцем по одной и класть их параллельно друг другу, то первые три группы будут совсем похожи на первые три цифры римского счета.


[Закрыть]; и только мало-помалу из этого слитного чувственного комплекса выработалось, может быть, число со всей его определенностью приблизительно таким же образом, как вырабатывается мысль из слитного сложного ощущения.

Я не могу, конечно, иметь в виду написать историю постепенного развития чисел; но, с другой стороны, в качестве исследователя, выставившего тезисом опытное происхождение внечувственного, обязан указать те элементы человеческого сознания, из которых могли возникнуть числа.

Я сделаю это и – даже несколько более – покажу именно, что в разных чувственных сторонах акта ходьбы, этого наипривычнейшего из явлений для человека, заключены элементы не только для построения чисел во всей их определенности, но также для измерения длин и небольших участков времени.

Прежде, однако, чем приступить к решению вопроса в этой форме, мне необходимо сказать несколько предварительных слов по поводу способности слуха оценивать протяженность времени.

Звук и время представляются сознанию как нечто тянущееся; в этом смысле непрерывные шумы во внешней природе служат, может быть, чувственными первообразами времени. Кроме того, уход различает очень тонко разные степени продолжительности коротких звуковых и пустых промежутков между ними или пауз. Тягучесть звуковых впечатлений и разные степени продолжительности звуков находят объяснение в устройстве слухового органа. Но как объяснить чувствование продолжительности пауз?

Нет сомнения, что способность последнего рода не могла воспитаться исключительно в школе слуха, потому что пауза, во всяком случае, соответствует периоду почти полного бездействия слухового снаряда. Другое дело, если бы пустые промежутки между звуками выполнялись, в силу устройства слухового органа, например, элементами мышечного чувства, с присущей им по природе тягучестью в сознании; тогда ясная чувственная мера для паузы была бы налицо. Но таких или подобных элементов до сих пор не открыто в ухе, и потому способность оценивать маленькие промежутки времени я считаю принадлежащей первично периодическим движениям тела и по преимуществу актам ходьбы. Развившись здесь, она воспитала вторично слух.

Всякий знает из личного опыта, что мы способны различать непосредственно, т. е. только при помощи тягучего мышечного чувства, очень разнообразные степени продолжительности и быстроты в движениях собственного тела, начиная от мига, которым наш народ символизирует быстроту и вместе с тем самый краткий период времени по продолжительности. Легко понять, однако, что чувство быстроты и продолжительности как нечто определенное могло развиться всего удобнее на таких движениях, которые, будучи в жизни очень частыми, совершались бы с более или менее автоматической правильностью. Под такое требование подходят все вообще периодические сгибания и разгибания членов, т. е. рук и ног (самые простые и привычные движения тела), и всего более периодические акты ходьбы. «Медленная и скорая ходьба», с их валовыми различиями, сознаются, я думаю, уже детьми в очень раннем возрасте. Позднее, путем расчленения чувственного локомоторного ряда, в нем должны выясниться или обособиться моменты стояния ног на земле, которые для правой ноги всегда совпадают с перемещениями левой, и наоборот. Тогда мерой продолжительности стояния правой ноги будет тягучее мышечное чувство в движущейся левой, и обратно. Такое перемещение чувственной мерки стояния справа налево и слева направо вредить не может, потому что оба акта, т. е. стояние одной ноги и движение другой, при средней ходьбе почти совпадают во времени, притом же ходьба, в силу устройства тазобедренного сустава, не может не совершаться с автоматической правильностью. Когда расчленение достигло такой степени, из ходьбы выделяется шаг (промежуток между двумя соседними постановками ног на землю) как постоянно повторяющийся элемент пути и как постоянно повторяющийся элемент продолжительности. Ввиду же того, что каждое ставление ноги на землю сопровождается звуком, ходьба различных скоростей является для сознания периодическим рядом коротких звуков, промежутки которых наполнены тягучими элементами мышечного чувства. Вот, следовательно, та школа, в которой слух мог выучиться оценивать различную продолжительность интервалов в пределах ускорений или замедлений шага при ходьбе.

Заручившись этим выводом, я уже могу приступить к делу.

Ходьба может чувствоваться человеком просто, как правильно периодический ряд звуков ставления ног на пол с равными для слуха пустыми промежутками, вроде того как ночью слышится биение сердца. Если отметить хоть три последующих периода такого ряда какими-нибудь, но непременно разными, графическими знаками и потом хоть через день случайно взглянуть на знаки – что явится в голове при их виде? Первый знак мелькнет в голове в форме одиночного движения (шаг имеет зрительный образ), второй – двойного и т. д. Внесите теперь сюда только слуховую правильность периодов, или слуховое равенство пауз, – и знаки по своему внутреннему содержанию делаются эквивалентными числам: 1, 2, 3. Но откуда же взяться этому чувству равенства? Главный источник его лежит в воспитателях слуха – элементах мышечного чувства, которые сопровождают каждый шаг и, будучи наиболее однородными для сознания между всеми ощущениями тела, чувствуются тождественными до неразличаемости. Если в ходьбе есть, в самом деле, для осознания что-либо, столько же похожее друг на друга, как человек сам на себя, то это, конечно, мышечное чувство, сопровождающее каждый шаг. Оттого-то ходьба и может иметь для сознания форму, в которой на место элементов чувства являются пустые, но равные промежутки. Сходство, доведенное до этой степени, соответствует уже той степени равенства, которая делает из чисел величины однородные и строго определенные во взаимных отношениях[115]115
  Равенство разделяют на практическое, или чувственное, и на математическое. Разделение это верно и уместно, насколько одним выражается приближение, а другим предел. Но на практике для десятков миллионов людей числовое равенство (а следовательно, и определенность чисел) не превышает сходства вещи с самой собой.


[Закрыть]. Значит, из элементов ходьбы действительно могут возникнуть определенные числа.

Ходьба может чувствоваться далее как периодическое откладывание шагов по видимой длине проходимого человеком пространства, вроде, например, попеременной перестановки правой и левой ножки циркуля по длине измеряемой линии. При этом для глаз путь, проходимый человеком, представляется как цельная протяженность (как отстояние предмета, к которому человек имеет идти) и имеет значение измеряемой длины; а шаг, сознаваемый в виде постоянно повторяющегося элемента пути, получает смысл меры. Еще проще выясняется такое значение шага, если ноги оставляют по себе на почве следы. Тогда путь представляется разделенным шагами на равные участки. Отсюда переход к измерению длин шагами делается уже сам собой, если счет готов и шаги считаются. Так произошли, вероятно, ножные меры для измерения длин, а локти и пяди (может быть, позднее) для измерения высот.

Ходьба может чувствоваться, наконец, как звуковой ряд с постоянной продолжительностью пустых промежутков, тянущийся все время, пока человек проходит известное пространство. Тогда процесс рисуется в сознании совершенно в той же форме, как случай измерения продолжительности любого явления с определенным началом и концом во времени, при посредстве звукового счетчика (например, метронома). При этом постоянная продолжительность шага по самому смыслу дела соответствует периоду времени измерительного снаряда, а ходьба как ряд будет соответствовать самому снаряду.

Пример ходьбы важен не только в том отношении, что он представляет единичный шаблон, на котором могли развиться числа, линейная мера и мера времени, но еще и потому, что, сводя все три продукта на одного и того же деятеля – мышечное чувство, он дает возможность определить их физиологически.

Как счетчик равных периодов мышечное чувство дает при помощи определенных обозначений ряд чисел.

Как счетчик периодически откладываемых равных длин оно дает при тех же обозначениях определенные протяженности в пространстве.

Как счетчик периодически повторяющихся равных продолжительностей оно дает, опять при том же обозначении, определенные протяженности во времени.

Сведение же всех трех продуктов на мышечное чувство, в свою очередь, представляет большую теоретическую важность. В первой части этого труда оно было выставлено как определитель предметных отношений в пространстве и времени. Близь, даль и высота предметов, пути и скорости их движений – все это продукты мышечного чувства. Теперь же мы видим, что, являясь в периодических движениях дробным, то же мышечное чувство становится измерителем или дробным анализатором пространства и времени.

Я, конечно, далек от мысли утверждать, что числа и обе меры развились именно из ходьбы. Я знаю, наоборот, очень хорошо, что употребительные дробные меры времени возникли из разделения крупных дневных периодов на равные части, а не последние были сведены на короткие условные единицы, заимствованные от продолжительности шага. Моя цель заключалась в том, чтобы показать читателю в возможно простой и удобопонятной форме, что все три продукта первоначально должны были развиться из каких-нибудь правильно периодических движений тела, с сопровождающим их мышечным чувством, а из каких именно, это уже вещь второстепенная. В пользу же того обстоятельства, что счет для своего развития требовал правильно периодических движений, я могу привести, помимо всего доселе сказанного, еще следующий последний довод.

Известно, что на практике счет из глубокой древности и по сие время прикладывается только к собраниям предметов однородных. Считают только деревья в лесу, овец, окна в дому, трубы; но я уверен, например, что очень немногие люди могут тотчас же ответить на вопрос, сколько у человека на голове выдающихся в зрительном отношении особенностей. Всякий знает, как дважды два, что у человека в голове 2 глаза, 1 нос, 1 рот и 2 уха; но до сей минуты многие (я сужу по себе) не знали, что всех особенностей, следовательно, шесть. Причина этому лежит, очевидно, глубже, чем в практических интересах счета, потому что считанием всех особенностей в предметах без разбора, если бы оно продолжалось из века в век, могли бы быть достигнуты, может быть, очень важные результаты. Причина заключается в том, что чем резче отличаются друг от друга перебираемые поочередно глазом или рукой предметы, тем больше шансов вниманию быть отвлеченным от числа в сторону качества, тем счет невозможнее. С другой стороны, чем монотоннее влияния на человека извне, тем правильнее совершаются у него все периодические движения рук, ног и даже дыхания; но стоит какому-нибудь впечатлению внезапно возвыситься из-за среднего уровня – и гармония периодических движений нарушена. Не указание ли это, что счет мог возникнуть только как гармонический ряд из гармонического же движения?

Теперь читателю должно быть понятно уже без дальнейших объяснений, что в превращении связей в пространстве и времени в количественные отношения сходство играет громадную роль. Превращение это совершается, как мы сейчас видели, при посредстве числа и меры, а в образовании последнего участвует анализ правильно периодических рядов по сходству звеньев, да еще такому полному, что сходство превращается в тождество.

Теперь обратимся к разыскиванию в математике других отзвуков действительности, делающих ее учение приложимым к реальностям.

В ряду человеческих знаний математика стоит особняком и представляет для ума следующую поразительную особенность: обрабатывая свой внечувственный материал обычными умственными приемами исследования – анализом, синтезом и сравнением, она, в отличие от опытных наук, приходит к непогрешимым выводам: эти дают относительные, а математика – абсолютные истины.

Первым залогом непогрешимости математического мышления считается то, что исходным пунктом рассуждений и действий в этой науке служат аксиомы. Так как большинство последних для людей образованных самоочевидны, т. е. понимаются сразу, без всяких рассуждений и толкований, то им приписывалось внеопытное (или, что то же, внечувственное) происхождение, а способ их восприятий или понимания считался непосредственным, интуитивным.

Чтобы избежать длинных рассуждений по этому предмету, обращаю внимание читателя на следующее. Все самоочевидные истины, во-первых, крайне элементарны, во-вторых, всегда представляют с виду сильно обобщенные выводы, встречающие приложение не только в науке, но и в практической жизни на каждом шагу. Такая приложимость их к опыту, рядом с отсутствием понимания многих аксиом детьми в раннем возрасте, заставляет уже сильно сомневаться в их внеопытном происхождении, хотя и не может, конечно, опровергнуть этой мысли абсолютно. Но вот что ее опровергает. Все признают, что интуиция равнозначна выводу, делаемому как будто без посылок; на этом основании Льюис характеризует ее чрезвычайно метко словами интуиция есть организованное суждение, желая этим выразить ее сходство с сильно привычным движением, сделавшимся автоматическим, где механизм процесса заучения скрыт быстротой и легкостью действия. Я, с своей стороны, могу привести аналогию еще более подходящую, именно unbewusste Schlusse Гельмгольца при восприятии пространственных отношений детьми в такую пору, когда они еле начинают ходить, не только что рассуждать. Аналогия последних актов с интуициями до такой степени полная, что я, не колеблясь, утверждаю психологическую однозначность интуитивного понимания такой, например, аксиомы, как «часть всегда меньше своего целого», с пониманием следующего предложения: «чтобы видеть предмет, стоящий справа, нужно всегда повернуть или голову, или глаза направо». А между тем кто же станет сомневаться, что последняя из истин, будучи столь же самоочевидной, всеобщей и необходимой, как первая, имеет чувственное происхождение? Недоказываемая в геометрии аксиома «прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками» имеет опять несомненно чувственные корни. Смотря на окружающие нас предметы, мы ясно чувствуем разницу (со стороны положения) между теми, которые стоят прямо перед нами, и всеми прочими. Мы привыкли относить положение видимых предметов, не исключая и песчинки, к фронту нашего тела и к положению на этом фронте мысленного циклопического глаза на переносье (нам кажется, что мы смотрим не двумя глазами, а одним, лежащим между ними). Под словами «прямо передо мной» подразумевается прямая линия, и она же подразумевается в акте ходьбы. Если со стороны местности нет препятствий, то мы идем к намеченному предмету всегда по прямой линии, не задаваясь никакими геометрическими соображениями, а по существующему в нашем теле согласованию перемещения ног с фронтом тела и направлением видения – зрительной осью циклопического глаза. Результатом таких жизненных опытов является в уме даже простолюдина следующая самоочевидная для него истина: если бы можно было идти к такому-то предмету прямо, то было бы совсем близко, а то приходится колесить. Далее, в действиях математика на каждом шагу подразумевается как непреложная истина мысль, что одно и то же действие, будучи приложено к величинам однородным, дает результаты, однородные между собой, в приложении к сходным – сходные и т. д. Такие выводы по аналогии целиком взяты из действительности. Если бы сапожник не был непреложно убежден из опытов, что по данной колодке можно шить сапоги равной меры, а по разным сходным колодкам – сходные же вещи другой меры, то он отказался бы от своего ремесла.

Другой и самый главный залог непогрешимости математического мышления (при этом прошу читателя держать пока в голове числа и арифметические действия над ними)[116]116
  Памятуя, однако, что на последующих ступенях развития математической мысли количество меняет лишь одеяние: вместо знаков – чисел – употребляется общий для них знак – буква.


[Закрыть] заключается в идеальной однородности, простоте и неизменяемости по природе того материала, из которого выстроены математические величины. Благодаря таким свойствам материала все действия над ним (по смыслу те же самые, что приписаны выше химику) – анализ, синтез и сравнение – достигают идеальной простоты и дают абсолютно верные результаты. Так, достоверность вывода «дважды два – четыре» более достоверности наступления завтрашнего дня после сегодняшнего – первая абсолютна, а за достоверность второго вывода говорит лишь опыт людей за многие тысячи лет против одного гадательного завтра. По тем же причинам степени сходств и разниц в математике от тождества к противоположности вполне определенны. Более крайней и простой противоположности, чем «положительное» и «отрицательное» математики, нет ничего на свете.

Все только что перечисленные свойства математических величин, выражающиеся словами однородность, неизменяемость по природе под влиянием действий, определенность действий и результатов, определенность сходств и разниц, очевидно, заимствованы от фактов действительности, с тем лишь различием от последних, что в математических величинах все эти свойства сведены, так сказать, до идеала, а в реальных вещах они представляют лишь приближения к идеалу. Кроме того, вся характеристика количества взята мной от чисел и арифметических действий над ними; а арифметика усваивается в очень ранней юности, т. е. почвой, воспитавшейся исключительно на реальностях.

Однако мысль математики не останавливается на этой первоначальной ступени развития, и от конечного она переходит к бесконечному, от неизменного к изменяющемуся.

Если на бумаге провести черту карандашом или пером в каком-либо направлении, то под микроскопом, при достаточно сильном увеличении, контуры черты никогда не окажутся ровными, а всегда мелко зазубренными. Причина понятна. Первое прикосновение пера или карандаша к бумаге дает точку некоторых размеров; следовательно, передвижению их должен соответствовать непрерывный ряд точек, тем более зернистый, чем точка крупнее и передвижение ее медленнее. Еще большая неправильность черты получилась бы в случае, если бы поступательное движение точки было связано с вращениями пишущего снаряда около оси и размеры точки не во всех направлениях были одинаковы. Дело другого рода, если вообразить себе точку, не имеющую размеров, – тогда она могла бы двигаться с какой угодно медленностью и с какими угодно вращениями, – путь ее, во всяком случае, будет линией, однородной по длине, без размеров в толщину. Такая точка будет математической точкой, а путь ее передвижения – математической линией. То и другое более чем внечувственно – то, что называется фикцией, реальной невозможностью; но зато отношение между точкой и линией стало строго определенным со стороны пространственной. Пример этот показывает, какими простыми рассуждениями и опытами можно дойти до фикций, когда дело идет о крайне простых отношениях. С другой стороны, легко показать, что обе фикции приложимы к реальностям, что опять говорит в пользу происхождения их из реальностей. Так, центр тяжести тела есть понятие, стоящее уже на границе реальности, а между тем таким центром может быть только математическая точка. Другой пример. Столяр, измеряя размеры какой-либо поделки ниткой, очень ясно понимает, что тут дело не в толщине нитки, а только в ее длине. Представление о контуре предмета тоже эквивалентно математической линии: глаз видит контур как границу между фигурой тела и окружающим ровным фоном; но куда отнести эту границу как линию: к веществу тела или к окружающему фону? Одна математическая линия, без размера в толщину, выводит ум из затруднения.