Текст книги "Экономические риски и безопасность (анализ, прогнозирование и управление)"

Математическая модель – совокупность абстрактных объектов таких, как числа, векторы, матрицы, тензоры и отношения между ними. Математическая модель способна воспроизводить некоторым образом определенные стороны реальной динамической системы и процесса ее функционирования, если можно установить правила соответствия, связывающие специфические свойства подсистем этой системы и процессов их функционирования с определенными математическими объектами и отношениями между ними. Описание или представление динамической системы и ее подсистем с помощью математических моделей необходимо для исследования ее возможностей при решении новых задач.

Результаты моделирования могут быть оценены достоверно только на основании опыта эксплуатации системы. Поэтому очень важна адекватность математических моделей реальным системам и процессам. От этого зависят степень достоверности получаемых результатов, последствия принимаемых на их основе решений.

Построение математических моделей служит необходимой предпосылкой для вычислительного эксперимента, так как именно такая модель является основой дальнейшего исследования. Однако математическое моделирование и вычислительный эксперимент, хотя и тесно связаны друг с другом, не тождественны. В процессе вычислительного эксперимента первоначальная модель, как правило, подвергается доработке. Решающую роль здесь играет сопоставление эмпирически проверяемых следствий модели с данными конкретных наблюдений и экспериментов. Поэтому поиски адекватной математической модели, нахождение экономически выгодных режимов функционирования динамической системы требуют огромного объема вычислительной работы.

Пусть ставится следующая задача: спроектировать или изготовить динамическую систему (завод, отрасль), способную достичь поставленные цели. На этапе научных исследований оценивается возможность создания объекта, формируются средства исследования. Как правило, для решения такой задачи на данном этапе строятся математические модели. Потери на этапе создания математической модели экономического объекта обусловлены:

– расходами на научно-исследовательские работы;

– расходами в процессе проведения опытно-конструкторских работ;

– финансовыми потерями, связанными с изъятием денег из обращения, задержкой создания объекта.

Не существует точных принципов и правил построения математических моделей. Тем не менее, известны определенные эвристические принципы и рекомендации, выполнение которых, хотя и не гарантирует в результате построения правильных моделей, но все же приближает к таковым. Есть также определенная последовательность в процессе создания моделей, например, для оценки инвестиционного риска. Изучение явления можно подразделить на следующие этапы.

1. Формирование законов, устанавливающих связи и зависимости между объектами, включая описание в математических терминах сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели.

2. Исследование математических задач, к которым приводят математические модели, связанных с решением прямой задачи, т. е. получением в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых объектов. Здесь важная роль принадлежит выбранному математическому аппарату для анализа математической модели; методу численного решения и типу вычислительной техники для получения количественной оценки выходной информации. Важно также найти или свести задачу к типичной математической модели теории, для которой уже получены некоторые результаты, что упрощает все исследования.

3. Выяснение, удовлетворяет ли принятая (гипотетическая или созданная) модель критерию практики, т. е. согласуются ли результаты наблюдения с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если все параметры математической модели заданы, то определение уклонений теоретических результатов от наблюдений дает решение прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята [11].

4. Последующий анализ модели с использованием накопленных данных об изучаемых явлениях и модернизации модели.

Таким образом, первым шагом разработки математической модели (системы, процесса) является осмысление физической картины явления. Это шаг включает также установление существенных для изучаемых явлений (систем, процессов) свойств, отношений и закономерностей, которые должны быть учтены, абстрагированы от всех второстепенных, случайных, несущественных факторов и моментов, затрудняющих исследование. На этом шаге закладывается соответствие математической модели процессам реальности. Здесь же осуществляется перевод установленных качественных зависимостей на точный количественный язык математики. При этом проблематичен анализ точности описания изучаемых процессов.

Второй шаг включает логико-математический анализ принятой модели и нахождение важных ее особенностей; осуществляется решение задачи; проводится интерпретация решения с учетом выявленных особенностей. Таким образом, мы имеем три основные проблемы:

1. создания математической модели для динамической системы:

– полноту описания данной динамической системы с помощью математической модели;

– возможные пути упрощения математической модели и обоснование этих упрощений;

– полноту и достоверность описания внешних и внутренних возмущающих факторов;

– выделение детерминированной и стохастической областей состояния динамической системы;

2. численного эксперимента (моделирования) – оценка точности результатов моделирования; анализ результатов моделирования;

3. выхода параметров динамической системы в критическую область; проверка выводов и заключений, полученных по результатам моделирования, например, на полунатурных стендах.

Рассмотрим один из важных моментов построения математической модели: полноту описания и моделирования процессов, протекающих в объекте. Согласно существующим знаниям об окружающем мире и возможностям математического моделирования, могут быть выделены следующие уровни формализованного описания.

Фактическая или полная модель M₁, на выходе которой имеем фактическое значение x_ф контролируемого параметра x реального объекта, которая в полном объеме нам неизвестна.

Модель M₂, которую мы представляем себе на физическом уровне, на выходе которой мы могли бы получить значение контролируемого параметра X₂ ≠ X_ф, отличающееся от x_ф на величину δx₂, которую будем называть погрешностью модели M₂, согласно уровню наших знаний.

Модель M₃, которую мы можем описать на математическом уровне, на выходе которой мы могли бы получить значение контролируемого параметра x₃ ≠ x_ф, отличающееся от x_ф на величину δx₃, которую будем называть погрешностью модели M₃.

Модель M₄, с которой можно работать при проведении научно-исследовательских работ, для которой можно выделить:

– модель M₄₁ – простейшую, с помощью которой можно проводить экспресс-анализ свойств объекта;

– модель M₄₂, с помощью которой мы уточняем результаты экспресс-анализа и выдаем их в качестве проектных для этапа опытно-конструкторских работ. При этом получаем погрешности δx₄₁ и δx₄₂.

Отметим, что эти модели обладают различной степенью адекватности исследуемой динамической системе. При этом в качестве показателя степени адекватности выступают погрешности δ_i . Как правило, погрешностям присущи случайные свойства. Это обусловлено тем, что последовательный переход от M₁ к M₄ связан с исключением влияния неопределенных факторов, возмущений и воздействий, свойства которых мы можем задать статистически.

Таким образом, возникновение научно-исследовательского риска обусловлено следующими причинами:

– недостаточным уровнем знаний при математическом описании процессов, протекающих в проектируемом объекте, т. е. при построении M₁ (компенсировать это обстоятельство можно, построив реальный объект и проведя испытания);

– недостаточным уровнем знаний относительно внешней среды и ее воздействия на объект (меры, места и времени воздействия);

– ограниченными возможностями существующего математического аппарата, не позволяющего описать все процессы в динамической системе;

– ограниченными возможностями средств численного моделирования.

Основными факторами, обусловливающими отличие результатов, полученных в реальных условиях и с помощью математической модели, являются погрешности. К последним относятся неточности исходного математического описания явлений или процессов, т. е. упрощенное представление изучаемых явлений; погрешности определения отдельных параметров систем, подсистем; случайные отклонения параметров реальных процессов и моделей от расчетных; погрешности обработки результатов расчета. Каждый из указанных факторов в различных явлениях проявляется разнообразным образом. Главное, что все они влияют на наши выводы и заключения о возможности применения математической модели для создания реального объекта, способного достичь заданную цель функционирования. По этой причине необходимо выявить, при каких условиях указанные факторы окажут существенное влияние на создаваемый объект, что обусловливает недостижение заданной цели.

Любую объективную особенность системы, которая проявляется при ее создании или эксплуатации, называют свойством системы. Совокупность свойств системы, обуславливающих ее пригодность выполнять определенные задачи, будем называть качеством системы. При этом различают качество системы как объекта проектирования, производства и качества в процессе ее функционирования, характеризующее степень приспособленности системы для решения поставленной цели.

В дальнейшем будем использовать следующие понятия. Показатели качества системы, составленные из абсолютных или относительных показателей ее свойств, будем подразделять на функциональные и экономические, первые из которых характеризуют способность системы выполнять возложенные на нее функции для достижения поставленных целей (задач). Экономические показатели характеризуют, с одной стороны, затраты, необходимые для придания системе требуемых качеств, а с другой – экономический эффект от ее функционирования. Желаемые или необходимые качества системы будем задавать условиями, которым должны удовлетворять значения показателей этих качеств. Эти условия называются критериями оценки качества системы.

Для решения тех или иных задач необходимы системы, обладающие вполне определенной структурой и свойствами. В дальнейшем будем характеризовать свойства системы с помощью некоторых параметров. Например, в качестве параметров состояния для государства выступает ВНП, для банка – объем оборотных средств, для завода – качество и количество выпускаемой продукции. В процессе анализа системы важно определить соответствия возможных, фактических и необходимых свойств системы и ее подсистем для выполнения поставленной цели. Для решения таких задач воспользуемся понятием динамической системы.

Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы и называется законом эволюции.

Динамические системы – это механические, физические, экономические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описания динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и т. д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.

Соответствие между фактическими и необходимыми свойствами системы в процессе функционирования динамической системы может нарушаться. Наша задача состоит в сохранении на заданном уровне определенных свойств, их совокупности и отношений, повторяемости допустимых ситуаций в заданных условиях. Идеальным решением проблемы о достижении поставленных целей было бы получение явной системы критериев, выполнение которых гарантирует как структурную, так и функциональную (динамическую) устойчивость таких систем, как «менеджер – система». Однако такая задача в настоящее время находится в постановочной стадии.

На этапе создания систем, как правило, используются такие математические модели, с помощью которых определяется множество возможных, допустимых и текущих состояний (параметров или свойств) динамической системы или ее подсистем, а также строится оценка соответствия текущих состояний необходимым.

Взаимодействие системы с окружающей средой заключается в том, что она, получив извне на вход что-то, после переработки что-то отдает в окружающую среду, в частности, другим системам внутри или вне себя. Динамическая система может получать извне и выдавать в окружающую среду различные вещества, товар, деньги, информацию, управляющие воздействия. Так, например, завод получает на входе потоки сырья, комплектующих изделий и различных материальных средств, плановых заданий, директив вышестоящих организаций, а на выходе отдает выпускаемую им продукцию и документацию, отходы производства, передаваемые другим системам.

В математических моделях величины, определяющие внешнее воздействие на систему, называются ее входными сигналами, а величины, определяющие воздействие системы на окружающую среду и, в частности, на другие системы – выходными сигналами. Кроме указанных сигналов положение или состояние системы в каждый момент времени характеризуется состоянием ее подсистем, их взаимным положением и воздействием. Эти характеристики называют параметрами системы, или переменным состоянием системы. В дальнейшем всю совокупность переменных состояний (параметров) системы будем называть вектором или пространством состояний. Входные и выходные сигналы системы как некоторые функции времени и изменения вектора состояния во времени характеризуют функционирование системы или ее поведение. Таким образом, математическая модель динамической системе включает в себя:

– вектор состояний z;

– совокупность входных параметров y;

– совокупность выходных параметров (индикаторов) x;

– соотношения, связывающие входные сигналы (y), вектор состояний (z) и выходные сигналы x = Ψ(y,z,t), где Ψ – оператор преобразования.

В дальнейшем будем рассматривать детерминированные и стохастические модели. В первом случае на входе системы имеем одну определенную реализацию (y), во втором – известное вероятностное распределение ее входного параметра (y₀). Как правило, экономические динамические системы относятся к классу сложных систем. При этом никакая модель не может с достаточной точностью воспроизвести все функции системы. Одни модели могут быть лучше по одним показателям, другие – по другим, однако ни одна не может быть наилучшей сразу по всем показателям. Поэтому для сложных систем строят не одну, а несколько моделей и применяют для одних целей одни модели, а для других целей – другие. При этом одни модели могут быть детерминированными, а другие – стохастическими.

Для сложных систем таких, как завод, отрасль промышленности, экономика региона, страны характерно то, что они состоят из большого числа более простых систем (подсистем). По этой причине управление u = (u₁, u₂, …, u_n) ими невозможно без соответствующей организации внутри самой системы, без организации управления каждой отдельной подсистемой. В результате управление такой динамической системой получается иерархическим, распределенным по элементам системы, составляющим органическое целое с самой управляемой системой. Такие системы называют большими системами.

Как правило, надежные модели систем мы имеем при расчетном (штатном) режиме функционирования системы и не имеем – при других ее состояниях. Однако основные ошибки управления, приводящие динамические системы к катастрофам, связаны с нештатными ситуациями, выходом x в критическую область. При математическом и имитационном моделировании социально-экономических процессов будем выделять следующие события и процессы:

– произведенные средой (природой), на которые человек не может влиять или которыми не может управлять; это, как правило, чрезвычайно редкие события и процессы, которые нельзя отождествлять между собой и чрезвычайно трудно, часто невозможно, прогнозировать;

– являющиеся, как правило, результатом деятельности человека в окружающей среде, имеющие определенную повторяемость и достаточно четкое описание возникновения;

– обусловленные управляющими воздействиями со стороны человека в различных системах (технической, социальной, экономической, политической).

При этом будем различать события и процессы следующего вида:

– обладающие неопределенностью количественных характеристик и моментом их появления;

– поддающиеся статистическому описанию (как правило, тоже неуправляемые);

– случайные (в том числе экономические).

Отметим, что формально неопределенность отличается от определенности тем, что последняя предполагает наличие фиксированной группы условий входных воздействий – одно состояние среды, тогда как неопределенности свойственен некоторый диапазон возможных множеств условий среды, которые могут породить более, чем одно состояние входных воздействий.

Как правило, математическая модель динамической системы включает в себя систему контроля и информационно-измерительную систему. Они предназначены для получения количественной информации о состоянии объекта исследования, обработки ее и выдачи потребителю для принятия решений, в том числе по формированию управлений u(t). Следовательно, нужно рассматривать систему контроля как средство получения информации в неразрывной связи с объектом исследования и потребителем и включать в модель изучаемого объекта.

В системе контроля осуществляется соответствие между текущим состоянием объекта контроля и заданным, при этом решаются следующие задачи:

– получение текущих, измеренных (x_i)_изм значений контролируемых параметров x_i , определяющих данное состояние объекта контроля;

– построение области Ω_доп допустимых значений параметров x_i;

– сопоставление x_изм и его допустимого x_доп значений, т. е. определение принадлежности x к области допустимого состояния объекта контроля;

– получение и выдача результатов контроля, т. е. суждения о том, каково положение вектора x_изм относительно x_кр .

Отметим, что погрешности информационно-измерительных систем оказывают существенное влияние на результат контроля и управления, следовательно, могут являться причиной выхода параметров системы из области допустимых состояний.

Среди множества математических моделей в экономике мы будем рассматривать только модели, связанные с процессами экономической деятельности, которые необходимо контролировать и ограничивать. Процессы, подлежащие контролю и ограничению, будем называть индикаторами или показателями экономики (параметрами).

Для решения проблем прогнозирования экономических процессов-индикаторов необходимо иметь комплекс моделей, позволяющих осуществлять экономико-математическое моделирование. Построение модели (ее структуры, связей, а также синтез моделей) включает в себя определение параметров разработанной модели, в том числе идентификацию или «настройку» под конкретную реальную экономическую систему. При этом точность и обоснованность анализа, прогнозирования и, соответственно, планирования управления зависят от того, насколько в разработанных моделях отражены реальные процессы и связи между показателями развития экономических объектов, ограничения, накладываемые на параметры (индикаторы) состояния системы объектов, достоверность информации, используемой при моделировании.

В связи с этим определяющим моментом возможности применения экономических моделей является адекватность реальных экономических процессов и процессов на выходе экономической модели при достаточно широком спектре возмущающих воздействий, а также с учетом широкого спектра требований, предъявляемых к разработке различных вариантов развития экономики. Отметим, что экономика, представляющая собой научную систему, обладает ограниченными возможностями в организации и проведении натурного эксперимента, который часто вообще невозможен. Поэтому необходимо тщательное теоретическое обоснование математических моделей, границ их применимости и условий, в которых они адекватно отображают экономические процессы.

С другой стороны, многочисленность или многократная повторяемость в различных условиях изучаемых или близких к ним явлений экономической жизни позволяет воспользоваться методами идентификации структур и параметров. Это дает возможность построить модели, адекватные изучаемым процессам и явлениям, проверить непротиворечивость фактам на предыдущих по времени этапах функционирования реально существующих систем или подсистем.

Трудность анализа экономической безопасности обусловлена необходимостью абстрагироваться от реальной модели сложных взаимосвязей всех подсистем, образующих экономическую систему, изображенную на рис. 4.2. Отметим что, чем меньше связей при анализе экономики мы учитываем, тем более проще математическая модель экономики как системы, тем точнее полученные по этим моделям результаты и тем точнее оценки процессов, создающихся на выходе системы, полученных с использованием первичных критериев достоверности знаний [11]. С другой стороны, уменьшение количества связей и факторов приводит к более грубой модели, снижению точности и надежности конечных результатов анализа.

В макроэкономике как системе выделены следующие подсистемы, обеспечивающие ее функционирование:

– власть, в том числе управления экономикой;

– бизнес;

– финансовая подсистема (в том числе финансовый рынок);

– рынки: факторов, товаров и услуг.

В подсистемах 1–4 (рис. 4.2) решающая роль принадлежит управлению u(t), формируемому властью, которой делегированы такие полномочия от государства. Управление u(t) формируют люди как в единичной, так и в коллективной формах.

Характерной особенностью современных систем и их подсистем является наличие сложных внутренних связей, которые не позволяют для упрощения исследования расчленять систему на независимые составляющие и определять общие характеристики методом наложений. В силу чрезвычайной сложности экономических явлений часть действий совершенно разных, никак не связанных между собой факторов могут приводить к одному и тому же результату. Следует также избегать непроверенных обобщений: когда то, что справедливо для части, формально распространяется на целое. Здесь часто могут быть «подводные рифы», которые проявятся впоследствии.

При анализе и прогнозировании состояния экономики, в том числе возникновения критических состояний, необходимо учитывать исходное состояние экономики: спад, подъем, стабильное состояние (установившееся), переходный период от одного состояния к другому. Наиболее интенсивное развитие и широкое распространение экономико-математические исследования получили в начале шестидесятых годов и, в первую очередь, в работах Немчинова В.С., Канторовича Л.В., Леонтьева В.

К настоящему времени имеется большое количество различных типов экономико-математических моделей, разработанных для целей планирования, постановок плановых задач и методов их решения, а также значительный опыт практического применения их в разработке различных планов. Отметим особое место работ Сиразетдинова Т.К. и его школы, создавших уникальный теоретический аппарат основы динамического моделирования объектов экономики различной сложности. В основе этих моделей лежат соотношения, описывающие количественную связь между выпуском продукции и затратами различных ресурсов в разрезе отдельных производственных подразделений народного хозяйства в динамике.