Текст книги "Занимательный космос. Межпланетные путешествия"

Импульс. Количество движения

Сохранение движения центра тяжести

«Сила Р сообщает свободной массе т ускорение а, которое определяется из уравнения Р = та. Если сила Р постоянна, то и ускорение, постоянно, т. е. движение – равномерно-ускоренное. Если постоянная сила Р действует на массу т в течение времени t, то она сообщает ей скорость V = at. Чтобы оценить действие силы Р за время t, мы умножим выражение силы Р = та на t. Мы получим равенство Р · t = т · v.

Произведение Р · t называется импульсом силы Р за время t. Произведение т · v называется количеством движения массы т, движущейся со скоростью v. Импульс силы равен количеству движения массы, приведенной в движение этой силой.

Если действует сила переменная, то, строго говоря, этот закон можно прилагать лишь к малым промежуткам времени t, в течение которых силу можно считать неизменяющейся. Тогда предыдущее равенство принимает вид:

P · Δt = т · Av.

Понятие импульса и количества движения постоянно применяются в случаях, когда проявляются действие и противодействие.

Рис. 57. Баллистический маятник

Примером практического применения этих понятий может служить баллистический маятник, употребляемый для измерения скорости снаряда. Он состоит из большой, но податливой массы М(например, ящика с песком), которая подвешена на стержне, могущем вращаться около некоторой оси (рис. 57). В маятник стреляют снарядом, имеющим массу т, снаряд входит в песок и сообщает общей массе М + т некоторую скорость. Маятник отклоняется, и высоту его подъема h измеряют. По высоте подъема вычисляют начальную скорость маятника .

Количество движения, приобретенное маятником (вправо), есть Mv_x1; количество движения, приобретенное снарядом влево (или потерянное им, при счете вправо), равно:

тv – тv₁

или

m (v – v₁).

Итак,

Mv₁ = m (v — v₁),

или

mv = (M+ m) v₁.

Отсюда можно вычислить v.

В левой части последнего уравнения (mv) стоит количество движения всей системы (маятник и снаряд) до выстрела, в правой части – количество движения системы после выстрела. Таким образом, количество движения системы не изменяется, если только в эту систему включены все взаимодействующие тела. Такая система называется замкнутой. Итак, в замкнутой системе количество движения остается неизменным, какие бы процессы внутри нее ни происходили. Это закон сохранения количества движения.

Другой пример представляет изображенный на рис. 58 двусторонний пистолет. На штативе горизонтально лежит медная трубка, на один конец которой навинчен массивный металлический цилиндр. Другой такой же цилиндр имеет насадку, плотно входящую в трубочку[49]49
  Предполагается, что цилиндр с трубкой и цилиндр с насадкой имеют одинаковую массу.


[Закрыть]. В трубке сделано отверстие для поджигания с полочкой для пороха. Насыпав на полочку и в трубку немного пороха, вставляют снаряд и кладут пистолет на штатив. Затем при помощи раскаленной проволоки поджигают порох, насыпанный на полочку; порох в трубке взрывается – оба цилиндра с насадками получают ускорения в противоположные стороны и упадут на стол в одинаковых расстояниях от штатива. Действие взрыва одинаково в обе стороны и сообщает обоим цилиндрам одинаковые скорости.

Рис. 58. Двусторонний пистолет

Повторяют опыт с различными массами. Пусть цилиндр, скрепленный с трубочкой, весит 50 г, а вставляющийся в нее – 100 г. После взрыва первый отлетает вдвое дальше второго, хотя давление взрывных газов в обе стороны одинаково.

В каком бы отношении ни находились снаряды, всегда начальные скорости снарядов обратно пропорциональны их массам и, значит, произведения масс снарядов на начальные скорости одинаковы.

Движение снарядов можно определить таким правилом: если до взрыва весь пистолет был в равновесии относительно некоторой оси вращения, то это равновесие сохраняется в каждый момент после взрыва, – причем путь обоих снарядов рассматривается как соединяющая их невесомая проволока, а вся система – как рычаг.

В самом деле, горизонтальные расстояния обоих снарядов от оси вращения в каждый момент движения обратно пропорциональны соответствующим массам, а это отвечает условию равновесия рычага. Воображаемая ось всегда проходит поэтому через центр тяжести обеих частей пистолета, так что положение центра тяжести остается неизменным (закон сохранения центра тяжести). Закон этот справедлив и для того случая, когда пистолет перед взрывом не был в покое, а двигался с постоянной скоростью. В этом случае после взрыва его части движутся так, что их общий центр тяжести продолжает свое прежнее движение с той же скоростью (сохранение движения центра тяжести). То же самое будет, конечно, при распаде на несколько частей – например, при движении осколков разорвавшейся гранаты или обломков распавшихся космических тел».

Движение ракеты

Рассмотрим теперь движение ракеты – сначала в среде, свободной от тяжести, а затем – в условиях тяжести.

а) Движение ракеты в среде без тяжести. Ввиду фундаментального значения «уравнения ракеты» для всей теории звездоплавания приводим далее два ее вывода: один – элементарный, для незнакомых с высшей математикой, и другой – более строгий, с применением интегрального исчисления.

Пусть первоначальная масса покоящейся ракеты равна М_t. Заменим непрерывное вытекание газа из трубы рядом последовательных толчков; с каждым толчком вытекает ¹/_п массы M_t ракеты со скоростью с. После первого толчка масса ракеты уменьшается до

после второго толчка остающаяся масса ракеты равна

после третьего толчка —

а после k-го —

Скорость V₁, приобретаемую ракетой после первого толчка, легко вычислить, исходя из того, что общее количество движения всех частей ракеты до и после разъединения одинаково, т. е. равно нулю:

откуда

Скорость v₂ после второго толчка можно считать равной 2v₁, т. е. , а после k-го толчка

откуда

Подставив это выражение для к в формулу

получаем

Преобразуем последнее выражение:

потому что

Выражение:

при бесконечно большом п (т. е. при переходе от толчков к непрерывному вытеканию газа) равно, как известно, 1/e где е = 2,718. Тогда преобразуемое выражение получает вид:

откуда получаем уравнение ракеты:

Укажем теперь более строгий вывод того же основного уравнения.

Обозначим массу ракеты в некоторый момент через М и предположим, что до горения ракета была неподвижна. Вследствие горения ракета отбрасывает бесконечно малую часть dM своей массы с постоянною скоростью с (по отношению к ракете). При этом остальная часть массы ракеты (М– dM) получает некоторую бесконечно малую прибавку скорости dv. Сумма количества движения обеих частей ракеты должна быть, по законам механики (см. выше), та же, что и до горения, т. е. должна равняться нулю:

cdM + (М– dM)dv = О,

или, по раскрытии скобок,

cdM + Mdv – dMdv = 0.

Отбросив член dMdv как бесконечно малую второго порядка (произведение двух бесконечно малых величин), имеем уравнение:

cdM + Mdv = 0,

которое представляем в виде

Интегрируя это диференциальное уравнение, получаем:

или

Мы пришли к уравнению ракеты или ко «второй теореме Циолковского», которую он формулирует так:

«В среде без тяжести окончательная скорость (v) ракеты не зависит от силы и порядка взрывания, а только от количества взрывчатого материала (по отношению к массе ракеты) и от устройства взрывной трубы».

При всех этих вычислениях не учитывалось земное притяжение, влияние которого мы сейчас вкратце рассмотрим.

б) Движение ракеты в условиях тяжести. Ускорение а, приобретаемое ракетой при отвесном подъеме с Земли, равно, очевидно, разности между собственным ускорением ракеты р и ускорением земной тяжести g:

a = p – g.

Так как приобретаемая при этом ракетой окончательная скорость v₁=at₁ то продолжительность горения равна v₁/a, т. е.

Из этого равенства и из соотношения v=pt мы выводим, что при одинаковой продолжительности горения (t = t₁):

откуда

Значит,

т. е. окончательная скорость ракеты в среде тяжести меньше, чем в среде без тяжести, на такую же долю, какую ускорение (g) тяжести составляет от собственного ускорения (р) ракеты.

Далее, зная из предыдущего, что в среде без тяжести

получаем, что окончательная скорость v₁ ракеты в условиях тяжести

или

Формула (2) позволяет вычислить окончательную скорость, приобретаемую ракетой в поле тяготения, если известно отношение  масс заряженной и незаряженной ракеты и ее собственное ускорение р. Это последнее, мы знаем, не должно превышать 4-кратного ускорения земной тяжести, чтобы быть безвредным для человеческого организма. При p = 4g имеем

Формулы эти не принимают, конечно, в расчет сопротивления воздуха.

Полезное действие свободной ракеты и ракетного экипажа

Подсчитаем, какую долю энергии потребляемого горючего ракета переводит в полезную механическую работу.

Обозначим, как прежде, массу свободной ракеты до взрывания через М_t, после взрывания – через M_t, после взрывания – через M_k; масса израсходованного горючего выразится тогда через M_t – M_k, скорость вытекания газа – с. Живая сила вытекающих газов, т. е. кинетическая энергия, равна

Это – полное количество энергии, какое способно развить находящееся в ракете горючее. Получаемая же полезная работа, т. е. кинетическая энергия ракеты при скорости V, равна

Отношение второй величины к первой и есть коэфициент k полезного действия свободной ракеты:

или

Из формулы (2) имеем, что

Значит в среде без тяжести полезное действие ракеты:

Оно достигает наибольшей величины при v/c = 1,6 и равно тогда 65 %.

Если v/c невелико, можно формулу (4) упростить, исходя из того, что

Тогда

В среде тяжести выражение для k сложнее; для случая вертикального подъема его нетрудно вывести, подставив в формулу (3) соответствующее значение- из формулы (2).

Иначе выразится коэффициент k полезного действия ракетного экипажа (вообще – несвободной ракеты), где существенную роль играют помехи движению, как трение и сопротивление воздуха. Рассмотрим случай равномерного движения авторакеты, т. е. случай, когда работа ракеты равна работе сопротивлений. Так как импульс силы равен количеству движения, то, обозначая через ƒ силу, выбрасывающую продукты взрыва (она равна силе, увлекающей автомобиль), а через t – продолжительность движения, имеем

ft = (M-M_k)c,

где M_t – масса автомобиля до взрывания, M_k – его масса после взрывания; с – скорость вытекания газа. Для удобства обозначим M_t – M_k, т. е. запас горючего, через Q, тогда

Полезная же работа автомобиля равна:

так как путь s = vt, где v – скорость автомобиля.

Энергия, затраченная при этом, составляется из двух частей: 1) из той, которая была израсходована на приведение горючего в равномерное движение со скоростью v; эта часть равна-¹/₂Qv²; 2) из той, которая расходуется на сообщение частицам отбрасываемых газов скорости с; часть эта равна – ¹/₂Qc². Вся затраченная энергия равна

Отсюда искомое полезное действие

Оно достигает наибольшей величины при v = с, т. е. когда автомобиль движется со скоростью вытекания продуктов взрыва.

По этой формуле легко вычислить полезное действие ракетного автомобиля; например, для с = 2000 м/с и V = 200 км/ч = 55 м/с:

k = 5,5 %.

Чтобы соперничать в экономичности с обыкновенным автомобилем, полезное действие которого около 20 %, авторакета должна обладать скоростью не ниже 760 км/ч. Но подобная скорость для колесного экипажа практически недопустима, так как сопряжена с опасностью разрыва бандажей колес центробежным эффектом.

4. Начальная скорость и продолжительность перелетов

Начальная скорость

Читатели пожелают, вероятно, узнать, как вычисляется скорость, с которой тело должно покинуть планету, чтобы преодолеть силу ее притяжения. Вычисление основано на законе сохранения энергии. Тело должно получить при взлете запас кинетической энергии, равный той работе, которую ему предстоит совершить. Если масса тела т, а искомая скорость v, то кинетическая энергия («живая сила») тела в момент взлета

mv²/2

Работа же, совершаемая силой при перемещении с поверхности планеты в бесконечность (при отсутствии других центров притяжения), равна, как устанавливает небесная механика,

где М — масса планеты, R — ее радиус, а к — так называемая постоянная тяготения (см. Приложение 1). Абсолютную величину этой работы приравниваем к кинетической энергии:

откуда

Далее, мы знаем, что вес тела на поверхности планеты, т. е. сила, с какою планета его притягивает, равен, по закону тяготения:

если масса тела т. Механика дает нам также и другое выражение для веса – произведение массы на ускорение, та.

Значит,

откуда

и, следовательно, формула

принимает вид:

V² = 2 aR,

откуда

Подставляя вместо а — ускорение тяжести на планете, а вместо R — радиус, получаем величину скорости, с какою тело навсегда покидает планету. Например, для Луны а = 1,62 м/с², R = 1 740 000 м. Поэтому искомая скорость

На том же можно основать вычисление начальной скорости снаряда или ракеты, которые, покинув Землю, должны долететь до точки равного притяжения между Землей и Луной. Масса Земли в 81 раз больше массы Луны, а так как сила притяжения уменьшается пропорционально квадрату удаления, то притяжения Земли и Луны уравниваются на расстоянии от Земли в 9 раз большем, чем от Луны (тогда притяжение Земли ослабеет в 9 × 9, т. е. в 81 раз больше, чем притяжение Луны). Значит, точка равного притяжения лежит в 0,9 расстояния между Землей и Луной; последнее равно 60,3 радиуса R земного шара, так что ядро должно пролететь расстояние D = 0,9 × 60,3R = 54,3R. Обозначив искомую скорость, с какою тело должно покинуть Землю, через v, имеем для кинетической энергии тела в момент вылета mv²/2. где т — масса тела. Произведенная же этим телом работа, по законам небесной механики, равна потерянной потенциальной энергии, т. е. разности потенциальной энергии Е₁ и Е и конечной и начальной точках пути. Поэтому

Здесь Е₁ есть потенциальная энергия тела в конечной точке пути по отношению к Земле и к Луне. Первая часть потенциальной энергии равна:

где k – постоянная тяготения, М — масса Земли, т – масса брошенного тела, D — расстояние тела от центра Земли в конечной точке пути.

Вторая доля равна потенциальной энергии (по отношению к Луне):

где к и т имеют прежние значения, М₁ – масса Луны, d – расстояние тела от центра Луны в конечной точке пути.

Величина Е есть потенциальная энергия тела (в точке земной поверхности) по отношению к Земле и Луне. Она равна

где R — радиус Земли, L – расстояние от поверхности Земли до центра Луны, а к, т, М и М₁ имеют прежние значения.

Итак,

или

Подставим:

Имеем:

или

откуда

Известно, что

g = 9,8 м/с²;

R = 6370 км.

Выполнив вычисления, получаем искомую скорость

v = 1 107 000 см/с = 11,07 км/с.

Указанным способом можно вычислить скорость и в других подобных случаях. Например, для определения скорости ракеты, взлетающей с Луны по направлению к Земле, имеем уравнение:

Здесь предполагается, конечно, что ракета должна достичь лишь точки равного притяжения, откуда начнется падение на Землю. Зная, что масса М1 Луны равна M/81, где М – масса Земли, имеем (после сокращения на m):

откуда v = 2,27 км/с – на сто метров меньше, чем скорость, вычисленная без принятия в расчет притяжения Земли. С такой же скоростью должно удариться о лунную почву тело, падающее на Луну из точки равного притяжения, имея Землю позади себя.

Так производится расчет наличной скорости для артиллерийского снаряда, скорости, имеющей максимальное значение на земной поверхности. В случае ракеты скорость на уровне земной поверхности равна нулю и постепенно растет по мере взлета ракеты, пока не прекратится горение заряда. Следовательно, максимальную свою скорость ракета приобретает на некоторой высоте над Землей, где напряжение тяжести, естественно, меньше, чем на уровне моря. Поэтому максимальная скорость, уносящая ракету в межпланетный полет, меньше, чем для пушечного снаряда. Вычислим ее, сделав предпосылку, что ракета летит с ускорением, равным утроенному ускорению земной тяжести.

Обозначим высоту, на которой ракета приобретает максимальную скорость v, через х. Известно, что v² = 2 · 3g · x = 6gx.

Потенциальная энергия единицы массы ракеты на уровне × равна, согласно предыдущему:

Потенциальная энергия той же единицы массы на высоте 54,3R (в точке равного притяжения) выражается суммой

Потеря потенциальной энергии при перемещении ракеты с уровня × на уровень 54,3R составляет

и должна, мы знаем, равняться кинетической энергии единицы массы ракеты, т. е. – ¹/₂v², или 3 gx. Имеем уравнение

откуда х = 0,2616, R = 0,2616 · 6370 = 1666 км.

Теперь из уравнения v² = 6gx находим v = 9750 м/с.

Итак, ракета, отвесно направляющаяся к Луне, достигает наибольшей своей скорости – 9³/₄ км/с – далеко за пределами земной атмосферы. Число секунд t, в течение которого накапливается эта скорость, определяется из уравнения 9750 = 3·9,8 t, откуда t = 321 с. Можно вычислить, что под действием земной тяжести ракета потеряет 321 · 7,76 = 2490 м своей секундной скорости (7,76 – средняя величина ускорения тяжести на протяжении 1666 км от земной поверхности). В общем итоге запас энергии, каким надо снабдить ракету для отвесного полета на Луну, должен отвечать скорости 9750 + 2490 = 12 240 м/с.

Сходным образом можно установить, что при отвесном подъеме ракеты с Луны она приобретает максимальную скорость (2300 м/с) на высоте 90 км, после 76 с подъема. И обратно: падая от точки равного притяжения на лунную поверхность, ракета должна начать замедление полета на высоте 90 км, чтобы при ускорении (отрицательном) 3g свести свою 2300-метровую скорость к нулю.

Вычисляя скорость, с какою тело должно покинуть Землю для удаления в бесконечность, мы принимали, что Земля – единственный центр, притяжение которого тело должно при этом преодолеть. На самом же деле приходится считаться также и с притяжением Солнца. Чтобы учесть это обстоятельство, установим сначала зависимость между скоростью тела на орбите и другими величинами.

Рис. 59. К расчету скорости полета

По второму закону Кеплера, площади, описываемые радиусом-вектором в равные времена, равны. Пусть тело (планета) движется вокруг Солнца по эллипсу с полуосями а и Ь; период обращения Т секунд, секундная скорость V, радиус-вектор г; тогда для точек перигелия и афелия имеем равенство

где левая часть есть выражение (приближенное) для площади, описываемой радиусом-вектором за одну секунду,

a πab — площадь эллипса. Имеем:

Пусть теперь тело (звездолет, планета), движущееся вокруг Солнца по круговой орбите радиуса r, должно перейти в точке А своего пути на эллиптическую орбиту с полуосями а и Ь. Определим, какое для этого необходимо изменение скорости.

Из третьего закона Кеплера следует, что отношение квадрата периода обращения планеты к кубу ее среднего расстояния от Солнца (или большой полуоси) есть величина постоянная; для планет солнечной системы эта постоянная равна (в единицах системы см-г-сек)

откуда

Отсюда имеем скорость v кругового движения около Солнца на расстоянии r:

Обращаясь к эллиптической орбите, имеем прежде всего

Из формулы (5) мы знаем, что скорость v_Э движения по эллиптической орбите в точке А

Так как скорость v_K, движения по круговой орбите (см. (6))

то из сопоставления формул (6) и (7) имеем

По этой формуле и вычисляется скорость, какую необходимо сообщить звездолету, чтобы с круговой орбиты он перешел на эллиптическую или удалился в бесконечность. В последнем случае полагаем большую полуось а эллипса равной бесконечности. Имеем:

т. е. для удаления звездолета с круговой орбиты в бесконечность необходимо, чтобы круговая скорость его увеличилась в  раз. Так, для удаления с земной орбиты (соответствующая скорость 29,6 км/с) в бесконечность нужна скорость

т. е. приращение скорости 41,8 – 29,6 = 12,2 км/с.

Теперь мы можем вычислить скорость, какая должна быть сообщена звездолету для преодоления притяжения Земли и Солнца и, следовательно, для свободного удаления с Земли в бесконечность. Чтобы преодолеть притяжение, нужна начальная скорость 11,2 км/с, т. е. работа (живая сила) для каждого килограмма веса звездолета.

Чтобы преодолеть солнечное притяжение, нужна работа (v = 12 200 м/с)

Общая работа для преодоления совокупного притяжения Земли и Солнца равна

Искомая скорость × получается из уравнения:

откуда

Вычислим теперь начальные скорости, необходимые для достижения планет Марса и Венеры. Для Марса

Поэтому из формулы (8) имеем

т. е. нужна добавочная скорость 32,6 – 29,6 = 3 км/с.

Искомая скорость для преодоления совокупного притяжения Земли и Солнца вычисляется, как сейчас было показано:

Таким же образом определяем, что для достижения Венеры нужна начальная скорость, не меньшая

Рис. 60. Маршрут перелета с Земли (7) на Венеру (V)